số thực với phép cộng.
c) Định lý
Giả sử A là một tập con của một nhóm X, T là phép toán hai ngôi trong X. A là nhóm con của nhóm X khi và chỉ khi các điều kiện sau đ−ợc thỏa mãn:
i) Với mọi a b, ∈A aTb, ∈A.
ii) e∈A, với e là phần tử trung lập của X iii) Với mọi a∈A a, '∈A.
2.3. Cấu trúc vành 2.3.1. Định nghĩa 2.3.1. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một vành nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn:
+) X cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán. +) X cùng với phép nhân là một vị nhóm.
+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x y z, , ∈Xta có:
.( ) . .
.( ) . .
y x+z = y x+ y z
Phần tử trung lập của phép cộng th−ờng kí hiệu là 0 và đ−ợc gọi là phần tử không.
Phần tử trung lập của phép nhân th−ờng kí hiệu là 1 và đ−ợc gọi là phần tử đơn vị.
Phần tử đối xứng của một phần tử x (đối với phép cộng) th−ờng kí hiệu là
-x và đ−ợc gọi là phần tử đối của x.
Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì vành X đ−ợc gọi là vành giao hoán.
* Chú ý: Định nghĩa vành có thể đ−ợc phát biểu một cách t−ờng minh nh− sau: Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th−ờng đ−ợc kí hiệu là +, . và gọi là phép cộng và phép nhân. X đ−ợc gọi là một vành nếu các điều kiện sau đ−ợc thoả mãn:
1) Phép cộng có tính chất kết hợp. 2) Phép cộng có phần tử trung lập.
3) Mỗi phần tử a∈Xđều có phần tử đối xứng a′∈X đồi với phép cộng. 4) Phép cộng có tính chất giao hoán.
5) Phép nhân có tính chất kết hợp. 6) Phép nhân có phần tử trung lập.
7) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x y z, , ∈Xta có:
.( ) . .
x y+z =z y+x z
.( ) . .
y x+z = y x+ y z
2.3.2. Ví dụ
+) Tập hợp các số nguyên với phép cộng và phép nhân thông th−ờng là một vành giao hoán và gọi là vành các số nguyên.
+) Vành các số hữu tỉ . +) Vành các số thực . +) Vành các số phức .
2.3.3. Định lí
Cho X là một vành, với mọi x y z, , ∈X ta có: i) x y( − =z) xy−xz y;( −z x) = yx−zx. ii) 0x=x0=0.
iii) x(−y)=(−x)y=−xy,(−x)(−y)=xy.
Chứng minh:
i) x(y−z)=xy−xz. Thật vậy, theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta có: ( 0) ( ( )) (( ) ) ( ) xy=x y+ =x y+ −z z =x y− +z z =x y− +z xz ( ) ( ) xy xz x y z xz xz xy xz x y z ⇒ − = − + − ⇒ − = − . ii) Theo i) ta có 0x=(y−y)x= yx−yx=0=xy−xy= x(y−y)= x0. iii) Từ i) và ii) ta có: ( ) (0 ) 0 0 0 (0 ) ( ) x − =y x −y = x −xy= − = −xy xy = y−xy= −x y= −x y ( x)( y) x( y) ( xy) xy ⇒ − − = − − = − − = .
Đặc biệt với mọi số nguyên n, n n
x x = − ) ( nếu n chẵn và n n x x =− − ) ( nếu n lẻ.
2.3.4. Ước của không a) Định nghĩa 1 a) Định nghĩa 1
Giả sử X là một vành giao hoán. a, b là các phần tử của X. a đ−ợc gọi là bội của b (hay a chia hết cho b) nếu ∃c∈Xsao cho a = bc, kí hiệu: aMb. Khi đó b đ−ợc gọi là −ớc của a, kí hiệu: ba.