BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp a2

Miền xỏc định của hàm số một biến số Nếu hàm z cho bởi biểu thức z=fx,y thì miền xác định của z là tập tấtcả những điểm Mx,y∈R2 sao cho biểu thức fx,y có nghĩa, nó thờng làmột tập liên

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2

Chương 1 Hàm số nhiều biến số 1.1 Khỏi niệm mở đầu

1.1.1 Khỏi niệm hàm nhiều biến

1.1.1.1 Tập hợp trong khụng gian R n

Xét không gian Ơclit n chiều Rn (n>1):

Rn={x=(x1,x2,…,xn): xi∈R, i= n1 } ,

Nh vậy mỗi phần tử x=(x1,x2,…,xn) là một bộ có sắp thứ tự gồm n số thực

Ta cũng gọi mỗi phần tử của Rn là một điểm trong Rn

Trong tài liệu này chúng ta xét với n=2 hoặc n=3 Mọi khái niệm và kếtquả thu đợc đều mở rộng đợc cho n hữu hạn tuỳ ý

a Khoảng cách giữa hai điểm: Giả sử M(x1,x2,…,xn), N(y1,y2,…,yn) là hai

điểm trong Rn, ta gọi khoảng cách giữa hai điểm đó, ký hiệu d(M,N), là số

i

i y x

1

2)( (1)

Từ (1) dễ dàng chứng minh đợc bất đẳng thức tam giác, với ba điểm A,

B, C bất kỳ trong Rn luôn có:

d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)

b Lân cận: Cho M0∈Rn và ε>0 đủ bé, ta gọi ε_lân cận của M0 là tập hợp,

ký hiệu uε(M0), xác định bởi:

uε(M0)={M∈Rn:d(M0,M)< ε} Ngời ta gọi mọi tập hợp chứa một ε_lân cận nào đó của M0 là một lân cậncủa M0

c Tập mở: Cho E là một tập trong Rn

- Điểm M∈E đợc gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một ε_lân cận nào

đó của M nằm trong E

- Tập E đợc gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong

- Cho điểm M0 và số r>0, khi đó tập E xác định bởi:

E={M: d(M0,M)<r}

gọi là quả cầu mở bán kính r chứa M0

Hiển nhiên E là một tập mở Thật vậy, giả sử M là một điểm bất kỳ thuộc

E, hay d(M0,M)<r Đặt ε=r-d(M0,M) khi đó uε(M0) nằm hoàn toàn trong E, vìnếu M’∈ uε(M0) thì d(M0,M’)< ε, khi đó theo bất đẳng thức tam giác ta có:

d(M0M’)≤d(M0,M)+d(M,M’)<d(M0,M)+ ε=r

d Biên của tập hợp: Ta gọi M0 là điểm biên của tập E nếu mọi uε(M0) vừachứa những điểm thuộc E vừa chứa những điểm không thuộc E Điểm biêncủa E có thể thuộc E mà cũng có thể không thuộc E Tập tất cả các điểmbiên của E gọi là biên của E

e Tập đóng: Tập E đợc gọi là đóng nếu E chứa mọi điểm biên của nó.

Cho điểm M0 và số r>0, khi đó tập E xác định bởi:

E={M: d(M0,M)≤r}

gọi là quả cầu đóng bán kính r chứa M0, còn tập:

Γ={M: d(M0,M)=r}

là biên của quả cầu đó

f Tập bị chặn: Tập E đợc gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó

chứa nó

g Tập liên thông và tập đơn liên:

- Tập E đợc gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ của E bằngmột đờng liên tục nằm trong E

Tập E đợc gọi là đơn liên nếu biên của E là một tập liên thông, E đợc gọi

là tập đa liên nếu biên của E là tập không liên thông

1.1.1.2 Định nghĩa hàm số nhiều biến số

Định nghĩa: Cho D là một tập con trong Rn Ta gọi ánh xạ:

f: D→Rcho ứng mỗi x=(x1,x2,…,xn)∈D với một số thực xác định u là một hàm số nbiến xác định trên D và ký hiệu:

u=f(x1,x2,…,xn) Nếu xem (x1,x2,…,xn) là toạ độ của điểm M∈Rn thì ta cũng có thể viếtu=f(M)

Nếu n=2 hay n=3 ta thờng dùng ký hiệu: z=f(x,y) hay u=u(x,y,z)

Ta gọi D là miền xác định và f(D) là miền giá trị của hàm f

Nếu hàm hai biến cho bởi:

z=f(x,y)trong đó f(x,y) là một biểu thức của x,y thì ta nói hàm hai biến cho dới dạnghiện

Nếu từ biểu thức:

ϕ(x,y,z)=0với mỗi (x,y)∈D ta xác định đợc z tơng ứng để biểu thức trên thoả mãn thì

ta nói biểu thức xác định một hàm ẩn hai biến z=z(x,y)

Trong các biểu thức trên x,y là các biến độc lập, còn z là biến phụ thuộc Nếu từ hệ thức:

0),,,,(

v u z y x G

v u z y x F

với mỗi (x,y,z)∈Ω ta xác định đợc u, v tơng ứng để hệ thức thoả mãn thì

ta nói hệ thức xác định một hệ hai hàm ẩn ba biến:

u=u(x,y,z) v=v(x,y,z)

1.1.1.3 Miền xỏc định của hàm số một biến số

Nếu hàm z cho bởi biểu thức z=f(x,y) thì miền xác định của z là tập tấtcả những điểm M(x,y)∈R2 sao cho biểu thức f(x,y) có nghĩa, nó thờng làmột tập liên thông trong R2

Nếu z=f(x,y) có miền xác định D thì tập hợp:

Ω={(x,y,z): x,y∈D}⊂R3

đợc gọi là đồ thị của hàm z=f(x,y) Khi (x,y) chạy trên D, thì điểm M(x,y,z)

vẽ lên một mặt trong không gian, nh vậy Ω là một mặt trong không gian màhình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng Oxy là miền xác định D

Ví dụ 1.1: Tìm và biểu diễn hình học miền xác định của hàm số:

a z= x + xy

2 arcsin

xy x

0

2 2

y x

2 2

y x x

b u= 1 22 22 22

c

z b

y a

y a

x , đó là một elipxôi

1.1.2 Giới hạn của hàm số một biến số

Trong mặt phẳng, khi cho x→x0, y→y0 thì điểm M(x,y) dần đến điểm

M0(x0,y0), điều này tơng đơng với khoảng cách:

0 ) ( ) ( ) ,

0

2 0

0 M = x−x + y−y →

M

ρ Cho z=f(x,y)=f(M) xác định trên tập D và M0(x0,y0) là một điểm có thểthuộc D hoặc không thuộc D

Định nghĩa 1: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi M→M0 nếu ∀ε>0,

∃δ>0 sao cho ∀M∈D, 0<ρ(M0,M)<δ:f(M)-a<ε Ký hiệu:

Mlim→M0 f(M)=ahoặc f x y a

0 0hoặc ( ,y)lim→(x0,y0) f(x,y)

Ngời ta chứng minh đợc định nghĩa 1 tơng đơng với định nghĩa sau:

Định nghĩa 2: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi M→M0 nếu với mọi dãy

điểm Mn(xn,yn) (Mn∈D) dần đến M0(x0,y0) ta đều có:

a y

1 Theo định nghĩa, giới hạn của hàm số không phụ thuộc cách thức

điểm M dần đến M0, do đó nếu M dần đến M0 theo những cách thức khácnhau mà hàm có giới hạn khác nhau thì hàm số không có giới hạn khi M dần

đến M0

2 Cũng nh hàm một biến số ta cũng có các định nghĩa tơng tự dới đây:

→∞

→ ( , ) lim f x y y

lim

y x

xy y

x→→ +

Ta thấy hàm số f(x,y)= 2 2

sin

y x

xy

+ xác định với mọi (x,y)≠(0,0).

Cho (x,y)→(0,0) theo phơng của đờng thẳng y=kx ta có:

2 2

0

0

) sin(

lim

y x

xy

y

0 2 2

2

sin lim

k

k x

k

kx x

xy y

x→→ +

Hàm số f(x,y)= 2 2

y x

x y

x

xy

≤ +

lim

y x

xy y

x→→ + =0

1.1.3 Tớnh liờn tục của hàm số nhiều biến số

Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x,y)=f(M) xác định trong miền D và

M0(x0,y0) là điểm thuộc D Ta nói rằng f(M) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn:

) ( ) (

0

M f M f M

→

Cho x0 và y0 các số gia tơng ứng ∆xvà ∆y, khi đó biểu thức:

) , ( ) ,

(x0 x y0 y f x0 y0f

Nếu f(M) không liên tục tại M0 thì ta nói nó gián đoạn tại M0 Hiển nhiên

M0 là điểm gián đoạn của f(M) khi:

(i) Hoặc f(M) không xác định tại M0

(ii) Hoặc f(M) xác định tại M0 nhng không tồn tại giới hạn của f(M) khi

M→M0

(iii) Hoặc f(M) xác định tại M0 và tồn tại giới hạn khi M→M0 nhng giới hạn đókhác f(M0).

Hàm f(M) đợc gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.Nếu D là miền đóng và f(M) liên tục trên D thì cũng giống nh hàm mộtbiến, khi đó f(M) bị chặn trên D, nó đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trênmiền ấy

Ví dụ 1.3: Khảo sát tính liên tục của hàm số:

) 0 , 0 ( ) , ( 0

) 0 , 0 ( ) , (

2 2

y x khi

y x khi y x

xyα

Trong đó α là một số dơng

Ta thấy, f(x,y) liên tục với mọi (x,y)≠(0,0) vì nó là thơng của hai hàm liêntục có mẫu số khác không Xét tại điểm (0,0), theo bất đẳng thức Côsi tacó:

) (

2

1 2 2

y x

xy ≤ +

2

1 ) , ( ≤ + α−

α x y y

x f

x , hay f(x,y) liên tục tại (0,0)

không dần đến không khi x→0, do đó f(x,y) không liên tục tại (0,0)

1.2 Đạo hàm và vi phõn

1.2.1 Đạo hàm riờng

Định nghĩa : Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm

M0(x0,y0)∈D Cho y=y0 cố định, nếu hàm số một biến số z=f(x,y0) có đạohàm tại x=x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) đối với x tại(x0,y0) và ký hiệu là:

f’x(x0,y0) hay z’x(x0,y0),Hoặc

x

y x f

∂

∂ ( 0, 0)

Nếu cho x0 số gia ∆x=x−x0, khi đó:

) , ( ) , (x0 x y0 f x0 y0f

f x

y x

f

x x

x

−

∆ +

lim lim

) ,

0 0

0

0 Tơng tự, nếu cho x=x0 cố định, nếu f(x0, y) có đạo hàm tại y0 thì đạohàm đó gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) tại (x0,y0) theo y Ta cũng ký hiệu đạohàm riêng theo y là:

f’y(x0,y0) hay z’y(x0,y0),

Hoặc ∂f(x∂0y,y0) hay ∂z(x∂0y,y0)

Nếu cho y0 số gia ∆y=y−y0, khi đó:

) , ( ) ,

(x0 y0 y f x0 y0f

f y

y x

f

y y

y

−

∆ +

( lim lim

) ,

0 0

2 Khi tính đạo hàm riêng của hàm n biến theo một biến nào đó ta coihàm chỉ phụ thuộc biến đó, các biến còn lại coi nh không đổi, rồi áp dụngmọi quy tắc đạo hàm cho hàm một biến số

Ví dụ 1.4: Cho hàm

u=ln 2 12 2

z y

x + +

Chứng tỏ rằng: = − 1

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

z

u z y

u y x

r

r x

x

''

∂

∂ +

∂

∂

z

u z y

u y x

u

2

2 2

2 2

2 2

z r

y r x

1.2.2 Vi phõn toàn phần

a Định nghĩa

Định nghĩa : Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm

M0(x0,y0)∈D Hàm số z=f(x,y) đợc gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu số gia toàn phầntại (x0,y0) có thể biểu diễn dới dạng:

) , ( x y o y B x A

Nếu z=f(x,y) khả vi tại mọi điểm của miền (mở) D thì ta nói f(x,y) khả vitrên D.

Mệnh đề: Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì nó liên tục tại đó

Thật vậy, nếu f(x,y) khả vi, từ biểu thức:

) , ( x y o y B x A

f = ∆ + ∆ + ∆ ∆

∆

Khi ∆x,∆ydần đến không ta có ∆f cũng dần đến không, hay f(x,y) liên tục tại(x0,y0)

b Điều kiện khả vi của hàm số

Định lý 1.1: (Điều kiện cần) Nếu z=f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì nó có các

đạo hàm riêng hữu hạn tại điểm đó và

y

y

z x x

z

∂

∂ +

)0,0(),(0

)0,0(),(

sin2 2

y x khi

y x khi y x xy

Tơng tự có: f’y(0,0)=0

Theo vớ dụ 1.2 f(x,y) khụng liờn tục tại (0,0) nờn khụng khả vi tại đú Như vậy khỏc với hàm sốmột biến số điều kiện khả vi là mạnh hơn điều kiện hàm cú đạo hàm riờng tại một điểm Tuynhiờn định lý sau đõy sẽ cho ta thấy hàm cú đạo hàm riờng tại một điểm thỡ cũng khả vi tại đú

Định lý 1.2: (Điều kiện đủ để hàm khả vi)

Nếu hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M0(x0,y0) và nếucác đạo hàm riêng đó liên tục tại M0(x0,y0) thì f(x,y) khả vi tại đó

Chứng minh: Ta có:

) , ( ) ,

(x0 x y0 y f x0 y0f

([f x0 y0 +∆y − f x0 y0

+

áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến ta đợc:

x y y x x

f y y x f y y

x

x

f( 0 + ∆ , 0 + ∆ ) − ( 0, 0 + ∆ ) = 'x( 0 +θ1∆ , 0 + ∆ ) ∆

y y y

x f y x f y

(

' x0 1 x y0 y f x0 y0 1 x y

),(),('),

(

' x0 y0 2 y f x0 y0 2 x y

trong đó α1(∆x,∆y)→0, α2(∆x,∆y)→0 khi ∆x,∆y→0

Do đó:

) , ( ) , ( ' ) , ( ' x0 y0 x f x0 y0 y o x y f

∆

Hay z=f(x,y) khả vi tại (x0,y0)

Chú ý: Cũng nh trờng hợp hàm một biến, nếu x,y là các biến độc lập thì

∆x=dx, ∆y=dy do đó ta có thể viết:

dy z dx z

z=

y x

x dx y x

y

+

− +

02 , 1

1 02 , 0 2

a Hàm hợp của hàm hai biến

Giả sử z=f(u,v), trong đó u, v là hàm của hai biến độc lập x,y:

) , (

y x v v

y x u u

Khi đó ta nói z là hàm hợp của hai biến x,y và viết:

z=f(u(x,y),v(x,y)) Chúng ta có công thức tính đạo hàm của hàm hợp từ định lý sau:

Định lý1 3: Nếu f có các đạo hàm riêng

∂ liên tục trong trên miền ∆

và nếu u, v có các đạo hàm riêng

, ∂∂y v liên tục trong miền D,

u(D)⊂∆ và v(D)⊂∆ thì khi đó trên D tồn tại các đạo hàm riêng

f y

u u

f y z

x

v v

f x

u u

f x

u

x

v x

u

x

v x

) , (

y x D

v u D

y

v y

u

x

v x

2

y x v

xy u

v

u+

1

, u’x=2y, v’x=2xVậy ta có:

x

v v

f x

u u

f x

∂

∂

)(

2)

ln( 4 2

y x y x x e

) (

t y y

t x x

Khi đó z=f(x(t),y(t)) là hàm hợp một biến t, nên nó có đạo hàm theo t

Đây cũng chính là trờng hợp riêng của trờng hợp trên với u=x, v=y còn x=y=t

áp dụng công thức ta có:

dt

dy y

f dt

dx x

f dt

dz

∂

∂ +

t a x

3

3

sin cos

x't= − 3 sin cos 2

t t a

y't =3 cos sin2

dt

dy y

z dt

dx x

z dt

dz

∂

∂+

∂

∂

=

=3a2cos(a2cos6t+a2sin6t).sin2t.[sin4t−cos4t]

Xét trờng hợp z=f(x,y), trong đó x là biến độc lập, còn y=y(x) là hàmcủa x, khi đó z=f(x,y(x)) là truờng hợp riêng của trờng hợp trên với t=x, nên tacó:

dx

dy y

f x

f dx

dz

∂

∂ +

1 1

1

x y y

x y x

x y

f x

f dx

dz

∂

∂ +

y

2 2

2

21

1.2.4 Đạo hàm và vi phõn cấp cao

a Đạo hàm riờng cấp cao

Cho hàm số z=f(x,y), các đạo hàm riêng cấp một z’x, z’y của nó hiển nhiêncũng là các hàm của hai biến x,y Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêngcấp một này, nếu tồn tại, sẽ đợc gọi là các đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn

đạo hàm riêng cấp hai với ký hiệu là:

f x

f x

f y

Định lý 1.4: ( Định lý Schwartz) Nếu trong một lân cận nào đó của điểm

M0(x0,y0) hàm f(x,y) có các đạo hàm cấp hai f " xy,f " yxvà nếu các đạo hàm ấyliên tục tại M0(x0,y0) thì f " xy(x0,y0)= f " yx(x0,y0)

Định lý cũng đúng cho hàm n biến bất kỳ

Ví dụ 1.11: Cho hàm = + y

x g xy f

z ( ) với f, g tuỳ ý có đạo hàm riêng cấp hai.Chứng tỏ rằng:

0 ' '

z x= + , ' ' 2 g'

y

x xf

z xx= + , " " " 2 '

3 4

2

y

x g y

x f x

z yy = + +

Do ' ' 2 g'

y

x yz

xz x− y= , 2 " 2 " 2 g'

y

x z

y z

d2z=d(dz)=d(f’xdx+f’ydy) Tơng tự, vi phân toàn phần cấp ba:

d3z=d(d2z)

…………

dnz=d(dn-1z)

và chúng đợc gọi là các vi phân toàn phần cấp cao của z.

Giả sử z=f(x,y) thoả mãn định lý Schwartz, khi đó:

f f dy

dx

∂ +

2

y x

xy

+

) (

2

y x

2

y x

y

+

) (x y

y x

2

y x

xy

+

2 2

) (x y

y x

+

−

dxdy+ 2 2 2

) (

2

y x

1.2.6 Cụng thức Taylor

Công thức Taylo cho hàm nhiều biến cũng đợc mở rộng từ hàm một biếnbằng định lý sau:

Định lý 1.5: Giả sử hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên

tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0,y0) Nếu điểmM(x0+∆x,y0+∆y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có:

f(x0 + ∆x,y0 + ∆y) = f(x0,y0) +df(x0,y0) + +

!2

),( 0 0

2f x y d

)!

1(

),

(

!

),(

1 0

0

+

∆+

∆++

n

y y

x x

f d n

y x f

1 1

Ta thấy f(x,y) có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục Ta có:

f(0,0)=arctg1=

4π

) 1

( ) 1

(

2 ) 1 ( 2

y x y

x

xdy dx y

+ + + +

−

− +

df(0,0)=dx

) 1 ( ) 1 (

)]

)(

1 ( ) )(

1 ][(

) 1

[(

4

y x y

x

dy dx y x dy dx y x xdy dx y

+ + + +

−

+ + + + +

− +

−

− +

y x arctg

+

−

+ +

1

1

2 4

xy

x− +

≈π

1.3 Cực trị

1.3.1 Cực trị của hàm số nhiều biến số

Định nghĩa : Cho hàm z=f(x,y) xác định trong miền D và điểm

M0(x0,y0)∈D Ta nói rằng f(x,y) đạt cực trị tại M0(x0,y0), nếu tồn tại một lâncận nào đó của M0(x0,y0), mà f(M)-f(M0) có dấu không đổi với mọi điểmM(x,y) khác M0 thuộc lân cận

Nếu f(M)-f(M0)>0 ta có điểm cực tiểu, nếu f(M)-f(M0)<0 ta có điểm cực

Thật vậy, vì f(x,y) đạt cực trị tại (x0,y0) nên các hàm một biến f(x,y0) vàf(x0,y) cũng đạt cực trị tại x0 và y0 vì vậy theo định lý Fecma ta cóf’x(x0,y0)=0 và f’y(x0,y0)=0.

Nh vậy, nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng trên D, thì các điểm cực trị trên

0 ) , ( '

y x f

y x f y

x

Những điểm thoả mãn hệ trên gọi là các điểm dừng, hay điểm tới hạn,

nó giúp ta thu hẹp việc tìm các điểm cực trị

0 ) , ( '

0 0

0 0

y x f

y x f y x

Khi đó, đặt A=f xx" (x0,y0), B= f xy" (x0,y0), C=f yy" (x0,y0) thì:

(i) Nếu B2-AC<0 thì M0(x0,y0) là điểm cực trị, khi đó:

+ Nếu A<0 thì M0(x0,y0) là điểm cực đại

+ Nếu A>0 thì M0(x0,y0) là điểm cực tiểu

(ii) Nếu B2-AC>0 thì M0(x0,y0) không là điểm cực trị

(iii) Nếu B2-AC=0 thì cha thể kết luận về M0(x0,y0)

Chứng minh: Giả sử M(x0 + ∆x,y0 + ∆y)thuộc lân cận M0(x0,y0) Đặt ∆f(M0), theo công thức Taylo ta có:

=f(M)-) , ( ) 2

( 2

y x o y C y x B x

Nếu ∆y=0 ta có G=A∆x2 cũng luôn cùng dấu với A Nh vậy ta luôn có f(M0) luôn cùng dấu với A, vậy nếu A<0 ta có cực đại, nếu A>0 ta có cực tiểu Giả sử B2-AC>0, tam thức bậc hai Au2+2Bu+C đổi dấu khi u biến thiên,

f(M)-do đó ∆ đổi dấu nên f(x,y) không có cực trị tại M0

Giả sử B2-AC=0, tam thức bậc hai Au2+2Bu+C có nghiệm kép u0 Ta khôngxét trờng hợp này

Ví dụ 1.14: Tìm cực trị của hàm số

2 2

1 x y xy

0 ) (

'

2 2

2 2

y u u

x z

x u u

y z

y x

có các nghiệm:

M1(0,0), M2  3 

1 , 3

1

, M3  − 3 

1 , 3

1

,

M4 − 3 

1 , 3

1

, M5 − − 3 

1 , 3 1

Vì z là hàm lẻ với từng biến nên ta chỉ cần xét các điểm M1, M2

x y

"

u

y x u

y x u

z xy = − + −

Tại M1 ta có:

A=C=0, B=1 B2-AC>0 nên không là điểm cực trị,

1

1.3.2 Giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trong một miền đúng bị chặn

Cũng nh hàm một biến số, nếu hàm hai biến f(x,y) liên tục trên miền đóng

D thì nó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D Vì giá trị lớn nhất và

bé nhất của f(x,y) trong miền D cũng là những điểm tới hạn bên trong Dhoặc nằm trên biên của D Vì vậy, để tìm những điểm có giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất trên miền D ta đi tìm các điểm tới hạn của f(x,y) nằmtrong D, tính giá trị của hàm tại các điểm đó, đồng thời tìm cực trị trênbiên của D, rồi so sánh chúng với nhau

Ta thấy rằng các điểm tới hạn bên trong D là các điểm tới hạn không điềukiện, nó là nghiệm của hệ:

0 ) , ( '

y x f

y x f y x

Nếu biên của D có phơng trình:

ϕ(x,y)=0thì các điểm tới hạn trên biên của D là các điểm tới hạn có điều kiện, ta cóthể dựa vào phép tìm cực trị có điều kiện để tìm nó

Ví dụ 1.15: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:

z=8x2+3y2+1-(2x2+y2+1)2trên miền đóng xác định bởi: x2+y2≤1

−

=

0 ) 2 4 1 ( 2 2 ) 1 2

( 2 6 '

0 ) 2

1 ( 8 4 ) 1 2

( 2 16 '

2 2 2

2

2 2 2

2

y x y y y

x y f

y x x x y

x x f

0 , M2  − 2 

1 ,

Ta có: y2=1-x2, thay vào hàm z ta có:

z = 8x2+3(1-x2)+1-[2x2+(1-x2)+1]2 = -x4+x2=x2(1-x2)

Ta phải tìm cực trị với: -1≤x≤1 Ta thấy hàm đạt trị nhỏ nhất bằngkhông khi x=±1, và đạt giá trị lớn nhất bằng

0),,,,(

v u z y x G

v u z y x F

(9)

có thể xác định một hoặc nhiều cặp hàm ẩn u=u(z,y,z), v=v(x,y,z)

Ta thừa nhận các định lý sau về sự tồn tại, tính liên tục và khả vi của cáchàm số ẩn.

Định lý 1.8: Giả sử F(x0,y0)=0, nếu hàm số F(x,y) có các đạo hàm riêng liêntục ở lân cận của điểm M0(x0,y0) và nếu F’y(M0)≠0 thì hệ thức F(x,y)=0 xác

định một hàm ẩn y=y(x) trong một lân cận nào đó của x0, hàm số đó cógiá trị y0 khi x=x0, liên tục và có đạo hàm liên tục tại lân cận nói trên

Định lý 1.9: Giả sử F(x0,y0,z0)=0, nếu hàm số F(x,y,z) có các đạo hàm riêngliên tục ở lân cận của điểm M0(x0,y0,z0) và nếu F’z(M0)≠0 thì hệ thứcF(x,y,z)=0 xác định một hàm ẩn z=z(x,y) trong một lân cận nào đó của(x0,y0), hàm số đó có giá trị z0 khi (x,y)=(x0,y0) liên tục và có các đạo hàmriêng liên tục tại lân cận nói trên

0),,,,(

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

v u z y x G

v u z y x F

Nếu các hàm số F(x,y,z,u,v) và G(x,y,z,u,v) có các đạo hàm riêng liên tục ởlân cận của điểm M0(x0,y0,z0,u0,v0) và nếu tại các điểm ấy định thứcJacôbi:

0''

''),(

),

v u

v u

G G

F F v u D

G F D

(10)thì hệ thức:

0),,,,(

v u z y x G

v u z y x F

xác định hai hàm ẩn u=u(x,y,z) và v=v(x,y,z) trong lân cận nào đó của

điểm (x0,y0,z0), chúng có giá trị tơng ứng là u=u0, v=v0 khi (x,y,z)=(x0,y0,z0),chúng liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận đó

1.4.2 Đạo hàm của hàm số ẩn

Giả sử các điều kiện của các định lý trên đợc thoả mãn

(i) Từ biểu thức (7) lấy đạo hàm riêng hai vế theo x:

0

=

∂

∂ +

∂

∂

dx

dy y

F x F

Từ đó ta đợc:

) , ( '

) , ( '

y x F

y x F dx

∂

∂

x

z z

F x F

∂

∂

y

z z

F y F

Từ đó ta đợc:

) , , ( '

) , , ( '

z y x F

z y x F x

) , , ( '

z y x F

z y x F y

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

G x

u u

G x G

x

v v

F x

u u

F x

''),(

),

v u

v u

G G

F F v u D

G F D

(x,y,z)∈D

HÖ ph¬ng tr×nh sÏ cho nghiÖm duy nhÊt:

) , (

) , (

) , (

) , (

v u D

G F D

v x D

G F D

),(

),(

),(

v u D

G F D

u x D

G F D x

trên U Gỉa sử (x0,y0) ∈U, u0 = u(x0,y0),

v0 =v(x0,y0) Nếu tại (x0,y0) , định thức Jacobi

( , ) ' ' 0

' '( , )

Ta thấy (17) là phơng trình của đờng cong trong mặt phẳng, nh vậycực trị có điều kiện chính là cực trị của hàm (16) trên một đờng cong Nếu từ (17) ta rút đợc y theo x để có hàm hiện y=y(x), khi đó (16) trởthành z=f(x,y(x)) là hàm một biến số, do đó ta có thể dùng cực trị hàm mộtbiến để tìm cực trị có ràng buộc.

Trong trờng hợp chung ta có thể dùng phơng pháp nhân tử Lagrange dựavào định lý sau

Định lý 1.11: ( Điều kiện cần của cực trị có điều kiện)

Gỉa sử M0(x0,y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm (16) với điềukiện (17) Nếu

(i) ở lân cận M0 các hàm số f(x,y) và ϕ(x,y) có các đạo hàm riêng cấp mộtliên tục

(ii) các đạo hàm riêng ϕ’x, ϕ’y không đồng thời bằng không tại M0

Khi đó tại M0 có:

0 ' '

' '

=

y x

y

x f f

Lấy vi phân hai vế của (23) ta đợc:

ϕ’x(x0,y0)dx+ϕ’y(x0,y0)dy=0

Ta đợc hệ tuyến tính thuần nhất đối với dx, dy và hệ có nghiệm không tầmthờng, do đó nó có định thức bằng không:

0 ' '

' '

=

y x

y

x f f

ϕϕ

Chú ý: Hệ thức (24) có thể biểu diễn dới các dạng:

1.

y

y x

x f f

'

' '

'ϕ

= +

0 ) , ( ' ) , ( '

0 ) , ( ' ) , ( '

0 0 0

0

0 0 0

0

y x y

x f

y x y

x f

y y

x x

λϕλϕ

có nghiệm không tầm thờng (1, λ) Nh vậy, hệ:

= +

0 ) , (

0 ) , ( ' ) , ( '

0 ) , ( ' ) , ( '

y x

y x y

x f

y x y

x f

y y

x x

3 Để xét xem điểm tới hạn M0(x0,y0) có là điểm cực trị có điều kiện haykhông ta dựa vào ý nghĩa thực tế của bài toán, hoặc dựa vào hàm bổ trợ:

F(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y) (21)Trong đó λ là nhân tử Lagrange Nếu ϕ'x(x0,y0) ≠ 0 ta có:

) , ( '

) , ( '

0 0

0 0

y x

y x f x

2 2

2 2

2

0 0

y

F dxdy y x

F dx

∂

∂

∂+

∂

∂

(22)Khi đó:

(i) Nếu:

d2F(x0,y0)<0 (23)thì M0(x0,y0) là điểm cực đại có điều kiện

(ii) Nếu:

d2F(x0,y0)>0 (24)thì M0(x0,y0) là điểm cực tiểu có điều kiện

(iii) Nếu:

d2F(x0,y0)=0 (25)thì cha có kết luận

Ví dụ 1.16: Tìm cực trị của hàm

z=x2+y2với điều kiện: ax+by+c=0 (c≠0)

Theo điều kiện (25) ta có:

b

y a

=

0

c by ax b

y a x

ta đuợc điểm tới hạn M0 

b a

bc b

a

ac

Theo ý nghĩa hình học, biểu thức z=x2+y2 là khoảng cách từ M(x,y) đếngốc toạ độ, nên bài toán của chúng ta là tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốctoạ độ đến đờng thẳng ax+by+c=0 Do đó, M0 chính là chân đờngvuông góc hạ từ O xuống đờng thẳng, vậy M0 là điểm cực tiểu (Hình 7)

Ta cũng có thể dùng hàm bổ trợ:

F(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y) =x2+y2+λ(ax+by+c)Khi đó:

F’x=2x+λa, F”xx=2, F”xy=0, F”yy=2

Do đó d2F=2(dx2+dy2)>0 nên M0 là điểm cực tiểu

Bài tập chương 1

1) Tỡm cỏc giới hạn sau:

a) ( ) 2

2 0

2 2

0 2

2 1 1 lim

2

x y

2) Khảo sát sự tồn tại của các giới hạn sau

sin

x y

0

(1 )(1 cos ) lim

4) Chứng minh rằng đối với hàm f x y ( , ) x y

x y

−

= + ta có: lim lim0 ( 0 ( , ) ) 1

− − có liên tục đều trong miền x2 + y2 < 1 hay không.

9) Khai triển hàm f x y ( , ) 2 = x2 − xy y − 2 − 6 x − 3 y + 5 theo công thức Taylorr trong lâncận điểm A (1, 2) −

10) Tìm số gia của hàm f x y ( , ) = x y xy2 + 2 − 2 xy khi chuyển từ giá trị x = 1, y = − 1 tới cácgiá trị x1 = + 1 h y , 1 = − + 1 k.

11) Tìm cực trị của các hàm số sau.

a) f x y ( , ) = + x3 y3 − 3 xy

b) f x y ( , ) = e− (x2+y2)(2 x2 + 3 ) y2

12) Tìm cực trị của hàm số

a) z = 1 − − x2 y2 với điều kiện x y + − = 1 0

b) f x y ( , ) 6 4 = − x − 3 y với điều kiện x và y liên hệ với nhau bởi phương trình

x + y =

13) Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số

a) f x y ( , ) = + x2 y2 − xy x y + + trong miền D = { ( x y x , ) : ≤ 0; y ≤ 0; x y + ≥ − 3 } b) z = sin sin sin( x y x y + ) trong hình vuông 0 ≤ ≤ x π ; 0 ≤ ≤ y π

Chương 2 Tích phân bội 2.1 Tích phân phụ thuộc tham số

2.1.1 Tích phân xác định

2.1.1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số.

Giả sử f(x, y) là hàm số xác định với trên [a, b] x [c, d] sao cho f(x, y) khả tích theo x trên [a, b] với mỗi y ∈ [c, d] Đặt

xy a

by ay a

Định lý 2.1 (Tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số)

Nếu f(x, y) là hàm số xác định và liên tục trong hình chữ nhật D thì tích phân phụ thuộc

tham số ( ) b ( , )

a

I y =∫ f x y dx là một hàm số liên tục trên [c, d]

Định lý 2.2 (Tính khả tích của tích phân phụ thuộc tham số)

Nếu hàm số f(x, y) là hàm số liên tục trong hình chữ nhật D = [a, b] x [c, d] = {(x, y) , a ≤ x ≤

Giả sử hàm số f(x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi

y cố định thuộc [c, d] Hơn nữa f(x, y) có đạo hàm riêng f ( , ) x y

2.1.1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số

Cho D = [a, b] x [c, d] = {(x, y) , a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}, và C1, C2 là hai đường cong trơn nằm trong hình chữ nhật D, tương ứng có các phương trình:

x = α (y) và x = β(y), y ∈[c, d]

trong đó α(y) và β(y) là các hàm xác định trong [c, d]

Giả sử f(x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D, khả tích theo x ∈[a,b] với mỗi y cố địnhthuộc [c, d] Đặt

( ) ( )

c) Các hàm α(y) và β(y) khả vi trong đoạn [c, d].

Khi đó tích phân

( ) ( )

Giả sử f(x, y) là hàm số xác định với mọi x ∈[a, + ∞) và y ∈ [c, d] sao cho với mỗi y

∈[c, d] cố định thì f(x, y) khả tích suy rộng trên khoảng [a, + ∞) Đặt

I y =+∞∫ f x y dx hội tụ đều trên Y nếu:

a) Với mỗi y ∈ Y cố định, tích phân ( ) ( , )

Định lý 2.7 Giả sử f(x, y) là hàm số xác định với mọi x ≥ a, y ∈[c, d], liên tục theo x với mỗi y

cố định thuộc [c, d]; g(x) là hàm số xác định, đơn điệu và có đạo hàm g’(x) liên tục trên [a, + ∞) Hơn nữa:

Ví dụ 2.3 Xét tích phân

0

sin ( ) xy x , 0

x

+∞

−

= ∫ hội tụ đều theo y ≥ 0.

Ví dụ 2.4 Áp dụng các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số hãy tính:

x

+∞

−

= ∫ hội tụ đều theo y ≥ 0, nên theo định lý

trên thì I(y) là hàm liên tục với mọi y ≥ 0 và

0 0

sin(0) lim ( )

∂   hội tụ đều đối với y ∈[y 0 , y 1]

Vì vậy hàm I(y) là khả vi với mọi y ∈[y 0 , y 1] do đó nó khả vi với mọi y > 0, và ta có:

2 0

1'( ) sin

Vỡ vậy: lim ( ) lim ( arctan ) 0

I(y) = – arctan y +

2

π

Lấy giới hạn khi y →0, ta cú:

2.2.1 Khỏi niệm tớch phõn kộp

a Bài toỏn thể tớch của vật thể hỡnh trụ

Hãy tính thể tích vật thể, giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt trụ có đờngsinh song song trục Oz tựa trên đờng cong L thuộc mặt phẳng Oxy và mặttrên S có phơng trình:

z=f(x,y)trong đó z=f(x,y) là hàm số xác định, liên tục, không âm trong một miền D

đóng, bị chặn, có biên là L

Chia tuỳ ý miền D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên và diệntích của các mảnh nhỏ đó là:

∆S1, ∆S2, …, ∆SnLấy mỗi mảnh nhỏ đó làm đáy, dựng các hình trụ mà mặt xung quanhsong song trục Oz Nh vậy vật thể đã cho đợc chia thành n vật thể nhỏ cómặt trên giới hạn bởi mặt S Trên mỗi ∆Si lấy tuỳ ý điểm Mi(xi,yi) (i= n1 ), nếu,

đờng kính di của ∆Si khá nhỏ vật thể nhỏ thứ i có thể tích thể xấp xỉ:

i i i

i y S x

f V

1

),

i i

i y S x

f

1

),( sẽ dần tới thểtích V của vật thể đã cho

b Định nghĩa tớch phõn kộp

Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên một miền đóng và bị chặn D Chiatuỳ ý miền D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên và diện tíchcủa các mảnh nhỏ đó là:

∆S1, ∆S2, …, ∆SnTrên mỗi mảnh ∆Si lấy tuỳ ý điểm Mi(xi,yi) (i= n1 ) Tổng,

n f x y S I

1

),

đợc gọi là tổng tích phân của hàm z=f(x,y) trên miền D Gọi di là đờngkính của mảnh ∆Si, nếu khi cho n→∞ sao cho maxdi→0 mà In dần đến mộtgiới hạn xác định I không phụ thuộc cách chia miền D và cách chọn các

điểm Mi(xi,yi) thì I đợc gọi là tích phân hai lớp hay tích phân kép củaf(x,y) trên D và ký hiệu:

∫ ∫

=

D

dS y x f

D đợc gọi là miền lấy tích phân, f(x,y) gọi là hàm dới dấu tích phân, nếutích phân (3) tồn tại ta nói hàm f(x.y) khả tích trên miền D

Vì tích phân kép nếu tồn sẽ tại không phụ thuộc cách chia miền D nên ta

có thể chia miền D bằng các lới hình chữ nhật, khi đó yếu tố diện tíchdS=dxdy do đó ta có:

∫ ∫

=

D

dxdy y x f

f( , ) (iii) Diện tích của miền D đợc tính theo công thức:

(i) ∫ ∫ [ ± ] =∫ ∫ ±∫ ∫

dxdy y x g dxdy y x f dxdy y x g y x

(ii) ∫ ∫ = ∫ ∫

D D

dxdy y x f k dxdy y x f

),()

,()

,(

D D

D

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f

(vi) Nếu f(x,y)≤g(x,y), ∀(x,y)∈D thì:

dxdy y x g dxdy y x

(v) Nếu m, M tơng ứng trị nhỏ nhất và trị lớn nhất của f(x.y) trên miền D

và S là diện tích của miền D thì:

mS≤∫ ∫ ≤

D

dxdy y x

(vi) Định lý về giá trị trung bình: Nếu f(x,y) là hàm số liên tục trên miền

đóng và bị chặn D thì trong D tồn tại ít nhất một điểm M(ξ,η) sao cho:

D

S f

dxdy y x

∫ ∫

D

dxdy y x

f( , )

là thể tích của vật thể V Gọi S(x) là diện tích của thiết diện của mặtphẳng vuông góc với trục Ox với vật thể tại mỗi x∈[a,b], khi đó theo côngthức tính thể tích vật thể của tích phân xác định ta có:

V=∫ ∫

D

dxdy y x

a

dx x

d c

dy dx y x

a

d c

dy y x f

c

b a

dx y x f

D là miền chữ nhật: {1≤x≤3, 1≤y≤2}

=+

1)

dy dx

1ln2

11

1

x

x dx x

x y

x y

dy y x f dx dxdy y x f

) (

) (

2

1

),()

dx x S dxdy y x

Do S(x)= ∫( )

) (

2

1

),(

x y

x y

dy y x

f , thay vào ta có:

D

b a

x y

x y

dy y x f dx dxdy y x f

) (

) (

2

1

),()

,(Công thức vẫn đúng khi f(x,y) có dấu thay đổi

Tơng tự, nếu D={c≤y≤d, x1(y)≤x≤x2(y)} ta có:

D

d c

y x

y x

dx y x f dy dxdy

y

x

f

) (

) (

2

1

),()

2

2 2

)(

x x

dy y x

2

2 2

2

1

dx y

x

x x

4

222

)(2

1)

y y

y

π π

2

1

dy y y

y y

22

sin2sin

2

1

ππ

c Miền lấy tớch phõn giới hạn bời đường cong kớn

Giả sử miền lấy tích phân D giới hạn bởi đờng cong kín L mà mỗi đờngthẳng song song với trục Ox đều cắt L tại không quá hai điểm Dựng hìnhchữ nhật

{a≤x≤b, c≤y≤d}

mà các cạnh của nó tiếp xúc với L tại các điểm M,N,P,Q

Các điểm M,P chia biên L của D thành hai cung MNP và ^ MQP có phơng^trình theo thứ tự:

x y

x y

dy y x f dx dxdy y x f

) (

) (

2

1

),()

,(

Các điểm N, Q chia biên L của D thành hai cung NMQ và ^ NPQ có phơng^trình theo thứ tự là:

y x

y x

dx y x f dy dxdy

y

x

f

) (

) (

2

1

),()

1

2

1

),(

Biểu diễn hình học miền lấy tích phân:

Vẽ các đờng x=1, x=2, y=

x

1, y=x ta đợc Vì đờng cong bên dới không trơn nên ta chia miền D thành hai miền D1

và D2, do y=x và y=

x

1 cắt nhau tại y=1 nên ta có:

1

x y y

1 1

2 1

),()

,(

y y

dx y x f dy dx y x f dy

Qua ví dụ trên ta thấy, khi tính tích phân ta nên chọn thứ tự tích phânsao cho cách tính đơn giản hơn

Chú ý: Xét miền lấy tích phân D đối xứng qua trục Oy (đối xứng với biến

,(

D D

dxdy y x f dxdy

y x f

Tơng tự ta có kết quả đối với miền đối xứng qua Ox ( đối xứng với biếny)

Ví dụ 2.9 Tính I=∫ ∫ − 

+

D

dxdy x y y

2cos , trong đó D là miền giới hạn bởicác đờng y=0, y=-x2+4

Giao điểm của hai đờng là nghiệm của phơng trình:

-x2+4=0, x1=-2, x2=2I=∫ ∫ − 

+

D

dxdy x y y

2cos

ydxdy x

dxdy y

2cos

Vì miền D đối xứng qua Oy, f(x,y)=

2cos

3+

2 2 2

2

dx y

x ydy dx

6 2

2

2( x 4) dx (x 8x 16x )dx x

1051024

2.2.3 Đổi biến trong tớch phõn kộp

a Cụng thức đổi biến trong tớch phõn kộp

Xét tích phân:

∫ ∫

D

dxdy y x

f( , )

trong đó f(x,y) là hàm liên tục trên miền D.

Thực hiện phép đổi biến:

),(

v u y y

v u x x

(11)Nếu:

(i) x(u,v), y(u,v) là các hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng liêntục trong miền đóng D’ của mặt phẳng Ouv

(ii) Các công thức (11) xác định một song ánh từ miền D’ lên miền D củamặt phẳng Oxy

(iii) Định thức Jacôbi

''

''),(

),(

≠

=

v u

v u

y y

x x v u D

y x D

trong miền D’ trừ ra tại một số hữu hạn điểm

Khi đó ngời ta chứng minh đợc công thức đổi biến trong tích phân kép:

∫ ∫

D

dxdy y x

'

)),(),,((

D

dudv J v u y v u x

Ví dụ 2.10:

(i) Tính I=∫ ∫

xy=1, xy=3 và các đờng parabol: y2=2x, y2=4x

u xy

1 3

3

1 3

2 3

2

v u uv y

v u v

u x

miền D trở thành miền D’ trong mặt phẳng Ouv (Hình 9b):

D’={1≤u≤3, 2≤v≤4}

),(

),(

v u D

y x D

v v

u v

u

v u v

u

31

3

13

1

3

13

2

3

2 3

1 3

1 3 2

3

4 3

2 3

1 3 1

13

1

dv v

u du

(ii) Tính I=∫ ∫ +

−

D

y x y x

=

−

v y x

u y x

)(21

u v y

v u x

Ta đợc miền D’ giới hạn bởi các đờng: u+v=0, v-u=0, v=1

2

1),(

),

v u D

y x D

−

−

=1

0

1)(

4

12

1

e e du e dv

v v v u

Chú ý: Phép đổi biến trong (i) làm cho miền lấy tích phân đơn giản

hơn, phép đổi biến trong (ii) làm cho hàm lấy tích phân đơn giản hơn

)sin(

t a

y

t t a x

t t a

),(

y t D

y x D

10

0)cos1(

t a

t a

0

2

0

)cos1(

t a

dy t ya

dt

π

= a t y a(1 cost)dt

0 2 2

0

)cos1(2

3

)coscos

3cos31(

3cos31(

31(

a

= 3π2

5

a

Chú ý: Tích phân các hàm: cost, cos 2t, cos3t trên mỗi chu kỳ của chúng

đều bằng không

b Tớch phõn kộp trong hệ tọa độ cực

Từ công thức chuyển toạ độ từ toạ độ Đề các sang toạ độ cực:

ϕsin

cos

r y

r x

),(

),(ϕ

r D

y x D

ϕϕ

cossin

sincos

Do đó công thức tính tích phân trong toạ độ cực:

rdrd r

r f dxdy y x

f

'

)sin,cos()

,

Nếu miền D’ giới hạn bởi: cú thể thay đỏi mặt phẳng D BỎI DẠNG KHÁC

βϕα

r r r

ta có công thức tính tích phân hai lớp trong toạ độ cực:

ϕ ( )) (

2

1

)sin,cos()

,(

r

r D

rdr r

r f d dxdy y x

=+

x y x

y x

2

12 2

2 2

y x

Suy ra trong toạ độ cực điểm A có tg

I=∫ ∫ = ∫ ∫

D

d r

d xdxdy

3

0

cos 2

1

2cos2

π

ϕ

ϕϕϕ

3cos

8(cos32

π

ϕϕ

3

16

ϕϕϕ

=

4

33

2)

cos4

cos2

cos43(

cos0

0

br y y

ar x x

(14)

rb b

ra a

r D

y x D

=

−

=

ϕϕ

ϕ

ϕ

sincos

),(

),(

y a

x

2

2 2 2