BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2 - C2 (HUỲNH HỮU DINH)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2 - C2 MSSV: Họ tên: TPHCM - Ngày 01 tháng 01 năm 2017 Mục lục Ma trận định thức 1.1 Ma trận 1.1.1 Các khái niệm ma trận 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận 1.2 Định thức 1.2.1 Hoán vị nghịch 1.2.2 Định nghĩa định thức ma trận vuông 1.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp công thức khai triển định thức 1.2.4 Một số tính chất định thức 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.3.1 Phương trình ma trận AX = B XA = B 1.4 Hạng ma trận 1.4.1 Khái niệm hạng ma trận 5 15 16 16 18 Hệ phương trình tuyến tính 2.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 2.1.1 Khái niệm tổng quát 2.2 Phương pháp khử Gauss 2.3 Phương pháp Cramer 2.4 Phương pháp phân rã LU 2.4.1 Phương pháp Crout 2.4.2 Phương pháp Doolittle 2.5 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2.6 Hệ phương trình tuyến tính 2.7 Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát 59 59 59 61 64 69 70 73 Không gian vector 3.1 Khái niệm không gian vector 3.2 Tổ hợp tuyến tính biểu thị tuyến tính 3.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.4 Cơ sở số chiều không gian vector 3.5 Tọa độ vector Ma trận chuyển sở 20 24 32 37 40 40 76 78 83 93 93 95 98 104 110 MỤC LỤC 3.6 Không gian vector 3.6.1 Không gian sinh tập hợp 3.6.2 Không gian nghiệm 3.7 Không gian vector Euclide 3.7.1 Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt 117 117 120 122 Ánh xạ tuyến tính 4.1 Định nghĩa tính chất 4.2 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu 4.2.1 Đơn cấu 4.2.2 Toàn cấu 4.2.3 Đẳng cấu 4.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 4.4 Giá trị riêng, vector riêng ma trận vuông tốn tử tuyến tính Vấn đề chéo hóa ma trận vuông 4.4.1 Hai ma trận đồng dạng 4.4.2 Đa thức đặc trưng ma trận vuông tốn tử tuyến tính 4.4.3 Giá trị riêng, vector riêng ma trận vng tốn tử tuyến tính 4.4.4 Không gian riêng 4.4.5 Chéo hóa ma trận vng tốn tử tuyến tính 139 139 145 145 147 149 150 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương 5.1 Khái niệm dạng song tuyến tính dạng tồn phương 5.1.1 Dạng song tuyến tính 5.1.2 Dạng toàn phương 5.1.3 Đổi sở cho dạng song tuyến tính dạng toàn phương 5.2 Dạng tắc dạng tồn phương Đưa dạng tồn phương dạng tắc 5.2.1 Dạng tắc dạng tồn phương 5.2.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 5.3 Bài tập chương 187 187 187 192 125 157 157 158 161 164 170 196 197 197 198 211 Chương Ma trận định thức 1.1 Ma trận 1.1.1 Các khái niệm ma trận Các ví dụ ma trận ( ) −1 • Bảng số A = gọi ma trận cấp × 3 −1  • Bảng số B =  −2 2 √  −1  gọi ma trận cấp × −9   • Bảng số C =   gọi ma trận ct cp ì ( ) ã Bng số D = −2 −4 gọi ma trận dịng cấp 1×3 Các khái niệm ma trận Một bảng hình chữ nhật gồm m × n số thực thành m dòng n cột gọi ma trận cấp m × n    Ký hiệu: A = (aij )m×n =   a11 a21 a12 a22 a1n a2n am1 am2 amn      CHƯƠNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC • i gọi số dịng • j gọi số cột • aij phần tử nằm dòng i cột j Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n (R) Ma trận có số dịng số cột (m = n) gọi ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij )n • a11 , a22 , , ann gọi phần tử thuộc đường chéo • a1n , a2(n−1) , , an1 gọi phần tử thuộc đường chéo phụ Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn (R) ( ) Ví dụ 1.1 Ma trận A = ma trận vuông cấp 3 Ma trận vuông A = (aij )n gọi ma trận chéo aij = 0; ∀i ̸= j, ký hiệu A = dig (a11 , a22 , , ann )  ( ) 0   ;B = ma Ví dụ 1.2 Các ma trận A = 0 e 0 −2 trận chéo  Ma trận chéo cấp n có tất phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In Từ định nghĩa ta nhận ( ) I2 = ,   0 I3 =   , 0    In =   0      1.1 MA TRẬN Ma trận vuông A = (aij )n gọi ma trận tam giác aij = 0; ∀i > j Nếu A ma trận tam giác A có dạng   a11 a12 a1n  a22 a2n    A =     0 ann Ma trận vuông A = (aij )n gọi ma trận tam giác aij = 0; ∀i < j Nếu A ma trận tam giác A có dạng   a11  a21 a22    A =     an1 an2 ann Ma trận cấp m × n có tất phần tử khơng, ký hiệu Om×n (đơi O), gọi ma trận không Từ định nghĩa ta suy ma trận Om×n có dạng   0  0    Om×n =     0 Ma trận bậc thang Trước vào khái niệm ma trận bậc thang cần tìm hiểu số khái niệm liên quan Dịng khơng: Một dịng ma trận có tất phần tử khơng gọi dịng khơng Phần tử sở dịng: Phần tử khác khơng dịng tính từ trái sang gọi phần tử sở dòng Ma trận bậc thang: Ma trận bậc thang ma trận khác không thỏa hai điều kiện sau: CHƯƠNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC • Dịng khơng (nếu có) nằm dịng khác khơng • Phần tử sở dòng nằm bên phải phần tử sở dịng Ví dụ 1.3 Các ma trận bậc thang:     −1 1     A=  ; B =  0 −2   0 −1  0 −9 0 0 Các ma trận không ma trận bậc thang:     −9 −1   −6     ;D =  C= 0    −9 0 −1 0 0 Ma trận bậc thang có phần tử sở dòng một, phần tử lại không gọi ma trận bậc thang rút gọn Ví dụ 1.4 Các ma trận bậc thang rút gọn:     0 0 A =  0 ;B =   0 0 0 1.1.2 Các phép toán ma trận Hai ma trận Định nghĩa 1.1 Hai ma trận gọi chúng cỡ có tất phần tử tương ứng vị trí Cho hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )m×n Khi đó, A = B ⇔ aij = bij ; i = 1, m, j = 1, n 1.1 MA TRẬN Ví dụ 1.5 Tìm x, y, z, t để hai ma trận ( ) ( ) x+y x+z A= ;B = t + y t + 2z Giải Theo định nghĩa, hai ma trận A, B   x + y =    x + z =  t + y =    t + 2z = Từ đẳng thức ta giải x = 2, y = −1, z = 0, t = Nhân số với ma trận Định nghĩa 1.2 Nhân số với ma trận nhân số với tất phần tử ma trận Cho A = (aij )m×n với k ∈ R ta có kA = (kaij )m×n Đặc biệt (−1) A = (−aij )m×n gọi ma trận đối ma trận A, ký hiệu −A ( ) ( ) 15 Ví dụ 1.6 Cho ma trận A = Khi 3A = Ví dụ 1.7 Nếu A ∈ Mm×n (R) 0A = Om×n 1A = A Cộng hai ma trận Định nghĩa 1.3 Cộng hai ma trận cấp cộng phần tử tương ứng vị trí Nếu A = (aij )m×n B = (bij )m×n A + B = (aij + bij )m×n CHƯƠNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ví dụ 1.8 Thực phép tính ma trận ( Cho A = ) ( B = ) Tính A + B     1 Cho A =   B =   Tính 5A + 2B 4 Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1+6 4+3 7 A + B = + = = 5+1 2+7       23 21 18 16 5 5A + 2B =  20  +  16  =  24 16  10 28 10 20 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 1.4 Cho ma trận A = (aij )m×n , ma trận có cấp n × m nhận từ ma trận A cách đổi dòng thành cột đổi cột thành dòng gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu AT ( Ví dụ 1.9 Cho ma trận A =   ) 1 , AT =   2 Nhận xét 1.1 Một số kết quan trọng ta suy từ định nghĩa (A + B)T = AT + B T ; ∀A, B ∈ Mm×n (R) (cA)T = cAT ; ∀c ∈ R, A ∈ Mm×n (R) (αA + βB)T = αAT + βB T ; ∀α, β ∈ R; A, B ∈ Mm×n (R) ( Ví dụ 1.10 Cho A = −1 ) Tìm ma trận X thỏa X+A = 3(A + I2 )T 10 5.2 DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC    với [X]B =   x1 x2      xn Ý tưởng phương pháp Lagrange tìm sở P1 V cho biểu thức tọa độ q P1 có dạng q (X) = λ1 y1′ + q1 (y2′ , y3′ , , yn′ ) ) y2′ yn′ với [X]TP1 = ( y1′ (5.5) Tiếp theo, từ biểu thức 5.5 ta tìm sở P2 V cho biểu thức tọa độ q sở P2 có dạng q(X) = λ1 y1′′ + λ2 y2′′ + q2 (y3′′ , y4′′ , , yn′′ ) ( ) = y1′′ y2′′ yn′′ y1′′ = y1′ với [X]TP2 Cứ tiếp tục cho bước tiếp theo, giả sử sau k (k ≤ n) bước q có dạng tắc Khi đó, ma trận chuyển từ sở B sang sở q−chính tắc có dạng CB→P1 CP1 →P2 CPk−1 →Pk Trong q trình biến đổi dạng tồn phương q (và cho dạng toàn phương q1 , q2 , ) ta gặp hai trường hợp sau: Trường hợp 1: aii = với i thuộc tập {1, 2, , n} Nếu a12 = a13 = · · · = a1n = dạng tồn phương q có n − biến chuyển qua xử lí cho q1 (x2 , x3 , , xn ) Nếu ngược lại tồn a1i ̸= với giá trị i thuộc {1, 2, , n} Không giảm tổng quát ta giả sử a12 ̸= Thực phép biến đổi   x1 = x′1 + x′2   ′ ′    x2 = x1 − x2 ′ x3 = x3 (5.6)       x = x′ n n Phép biến đổi 5.6 viết dạng ma trận sau      x′1 1 x1  x2   −1   x′        x3   0   x′  =                 x′n 0 0 xn Ta thấy ma trận phép biến đổi 5.6 khơng suy biến có định thức −2 Do đó, hệ vector B ′ = (X1 + X2 , X1 − X2 , X3 , , Xn ) 199 CHƯƠNG DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG sở V, đồng thời  CB→B ′    =   1 −1 0 0 0 0        Biểu thức tọa độ q sở B ′ có dạng q (X) =  với [X]B ′   =  x′1 x′2 x′n 2a12 x′1 − 2a12 x′2 + n ∑ aij x′i x′j i,j=2      Vậy với phép biến đổi 5.6, trường hợp đưa trường hợp Trường hợp 2: Có aii ̸= với i thuộc tập {1, 2, , n} Không tổng quát, giả sử a11 ̸= Khi đó, n ∑ q(X) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + · · · + 2a1n x1 xn + aij xi xj i,j=2 [ ) ( )2 ] ( a a a a 1n 12 1n 12 = a11 x21 + 2x1 x2 + · · · + xn + x2 + · · · + xn a11 a11 a11 a11 ( )2 n ∑ a12 a1n −a11 x2 + · · · + xn + aij xi xj a11 a11 i,j=2 ( )2 a1n a a a12 12 1n x2 + · · · + xn )2 − a11 x2 + · · · + xn + = a11 (x1 + a11 a11 a11 a11 n ∑ aij xi xj i,j=2 Đặt λ1 = a11  a1n a12  x2 + · · · + xn y1′ = x1 +   a11 a11     y2′ = x2 y3′ = x3        ′ yn = xn (5.7) Khi dạng tồn q viết lại dạng q (X) = λ1 y1′ + q1 (y2′ , y3′ , , yn′ ) 200 (5.8) 5.2 DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC với ( q1 (y2′ , y3′ , , yn′ ) = −a11 a1n ′ a12 ′ y2 + · · · + y a11 a11 n )2 + n ∑ aij yi′ yj′ i,j=2 Biến đổi 5.7 dạng  a12 ′ a13 ′ a1n ′  x1 = y ′ − y2 − y3 − · · · − y   a11 a11 a11 n     x2 = y2′ x3 = y3′        xn = yn′ (5.9) Phép biến đổi 5.9 viết lại dạng ma trận sau      − aa1n − aa12 x1 y1′ 11 11  x2    ′        y2    =           xn yn′ 0 Ta thấy ma trận phép biến đổi 5.9 khơng suy biến có định thức Do đó, hệ vector ) ( a13 a1n a12 X1 , X − X1 , , Xn − X1 P1 = X1 , X2 − a11 a11 a11 sở V, đồng thời    CB→P1 =   − aa12 − aa1n 11 11 0      Biểu thức tọa độ q sở P1 có dạng 5.8 Tiếp tục thuật toán trên, sau tối đa n bước ta đưa dạng tồn phương q dạng tắc Ví dụ 5.17 Cho q dạng toàn phương R3 xác định q (X) = x21 + 3x22 + 6x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 với X = (x1 , x2 , x3 ) Đưa dạng tồn phương q dạng tắc phương pháp Lagrange xác định sở q−chính tắc 201 CHƯƠNG DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG Giải Ta biến đổi q sau [ ] q (X) = x21 + 2x1 (x2 + x3 ) + (x2 + x3 )2 + 2x22 − 4x2 x3 + 5x23 = (x1 + x2 + x3 )2 + 2x22 − 4x2 x3 + 5x23 Ta thực phép đổi biến   ′ ′ ′ ′  x1 = y1 − y2 − y3  y1 = x1 + x2 + x3 ⇔ y ′ = x2 x = y2′   2′ y3 = x3 x3 = y3′ (5.10) Phép đổi biến 5.10 viết dạng ma trận sau   ′    x1 y1 −1 −1  x2  =    y2′  x3 0 y3′ Do đó, sở P1 = ((1, 0, 0), (−1, 1, 0), (−1, 0, 1)) biểu thức tọa độ q có dạng 2 (5.11) q (X) = y1′ + 2y2′ − 4y2′ y3′ + 5y3′ ( ′ ) T với [X]P1 = y1 y2′ y3′ Ta tiếp tục biến đổi biểu thức 5.11 ( ) q (X) = y1′ + y2′ − 2y2′ y3′ + y3′ + 3y3′ = y1′ + 2(y2′ − y3′ )2 + 3y3′ Thực phép đổi biến  ′  ′′ ′′ ′  y1 = y1  y1 = y1 y2′ = y2′′ + y3′′ y ′′ = y2′ − y3′ ⇔   2′′ y3′ = y3′′ y3 = y3′ (5.12) Phép đổi biến 5.12 viết dạng ma trận   ′′   ′   y1 0 y1  y2′  =  1   y2′′  y3′′ 0 y3′ Khi đó, sở P2 = ((1, 0, 0) , (−1, 1, 0) , (−2, 1, 1)) biểu thức tọa độ q có dạng 2 (5.13) q (X) = (y1′′ ) + 2(y2′′ ) + 3(y3′′ ) ) ( với [X]TP2 = y1′′ y2′′ y3′′ Biểu thức 5.13 có dạng tắc nên thuật tốn dừng đây, sở q−chính tắc sở P2 202 5.2 DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Nhận xét 5.6 Ví dụ 5.10 giải ngắn gọn theo cách sau: Biến đổi dạng toàn phương q dạng q (X) = x21 + 3x22 + 6x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 [ ] = x21 + 2x1 (x2 + x3 ) + (x2 + x3 )2 + 2x22 − 4x2 x3 + 5x32 = (x1 + x2 + x3 )2 + (x22 − 2x2 x3 + x23 ) + 3x23 = (x1 + x2 + x3 )2 + 2(x2 − x3 )2 + 3x23 Ta thực phép đổi biến    y1 = x1 + x2 + x3  x1 = y1 − y2 − 2y3 ⇔ y = x2 − x3 x = y2 + y3   y3 = x x3 = y3 (5.14) Phép đổi biến 5.14 viết dạng ma trận      x1 y1 −1  x2  =  1   y2  x3 0 y3 Với phép biến đổi 5.14, dạng toàn phương q có dạng tắc q (X) = y12 + 2y22 + 3y32 sở q−chính tắc sở P2 Ví dụ 5.18 Cho q dạng toàn phương R3 xác định q (X) = 2x1 x2 + 4x1 x3 − 8x2 x3 với X = (x1 , x2 , x3 ) Đưa dạng tồn phương q dạng tắc phương pháp Lagrange xác định sở q−chính tắc Giải Trước hết, ta thực phép đổi biến       z1 1 x1  x1 = z1 + z2 x = z1 − z2 ⇔  x2  =  −1   z2   z3 0 x3 x3 = z3 Với phép đổi biến dạng tồn phương q có biểu thức q (X) = 2z12 − 2z22 − 4z1 z3 + 12z2 z3 [X]TPz = ( z1 z2 z3 ) ; Pz = ((1, 1, 0) , (1, −1, 0) , (0, 0, 1)) 203 (5.15) CHƯƠNG DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ta biến đổi biểu thức 5.15 dạng q (X) = 2z12 − 2z22 − 4z1 z3 + 12z2 z3 = (z12 − 2z1 z3 + z32 ) − (z22 − 6z2 z3 + 9z32 ) + 16z32 = 2(z1 − z3 )2 − 2(z2 − 3z3 )2 + 16z32 Thực phép đổi biến    y1 = z1 − z3  z1 = y1 + y3 y = z2 − 3z3 ⇔ z = y2 + 3y3   y = z3 z3 = y (5.16) Viết dạng ma trận phép đổi biến 5.16      1 y1 z1  z2  =    y  0 y3 z3 Với phép đổi biến 5.16, dạng tồn phương q có dạng tắc q (X) = 2y12 − 2y22 + 16y32 sở q−chính tắc Py = ((1, 1, 0), (1, −1, 0), (4, −2, 1)) Phương pháp Jacobi Cho V khơng gian vector n chiều, q dạng tồn phương V Giả sử biểu thức tọa độ q sở B = (X1 , X2 , , Xn ) có dạng ∑ q (X) = a11 x21 + a22 x22 + + ann x2n + aij xi xj 1≤i