Bài Giảng Toán A2 + C2

CHƯƠNG MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1.1 Định nghĩa 1: • Ma trận bảng số hình chữ nhật gồm m dịng, n cột dạng  a11 K a1n  A= M O M÷  ÷ a ÷ L a  m1 mn  • Phần tửaij phần tử dòng thứ i, cột thứ j i =1, m (aij ) j =1, n = Amìn ã Ta vit lAi= ã Tp hp cáMc ma tr ậ n m dịng, n m×n ( ¡ ) cột Ký hi ệ u   Ví dụ Trong đó:   0.5 1.1: π 1,7 ÷ ÷∈ M 3×4 ÷  a31 = π ; a23 = 0; a34 = 1.2 Định nghĩa 2: • Hai ma trận A, B gọi A, B có cấp aij = bij ; ∀i = 1, m , ∀j = 1, n • Ma trận có số dịng số cột gọi ma trận vuông Tập ma trận vuông với hệ số thực ký hiệu Mn ( ¡ )  a11 K  A= M O  a  n1 L a1n  ÷ M ∈ M n (Ă ) ữ ữ ann ã Cỏc phn tử a11 , a22 ,K , ann gọi đường chéo A • Các phần tử a1n , a2 n−1 ,K , an1 gọi đường chéo phụ A • Ma trận có phần tử nằm ngồi đường chéo 0, gọi ma trận chéo Ví dụ 1.2  0   12 0  0 0 ÷  ÷ −  ÷   0 −1 ÷  0 11 ÷÷     • Chú ý: A = (aij ) ma trận chéo ⇔ aij = 0, ∀i ≠ j • Ma trận chéo cấp n, có phần tử nằm đường chéo In gọi ma trận đơn vị, ký hiệu a = 0, i ≠ j  ij  •ANói = (acá)ch khác ⇔ ij   aij = 1, i = j ma trận đơn vị • Ma trận có phần tử nằm (trên) ường chéo gọi ma trận tam giác (dưới)   a11 a12 a13   b11  ÷  ÷ A = a22 a23 ; B = b21 b22  ÷  ÷  ÷ b ÷ a b b   31 32 33  33  A tam giác trên, B tam giác • Ma trAậ=n( a11 a12 K a1n ) gọi ma trận dịng  a11  a ÷ 21 ÷  A= Mữ trn an1 ữ ã Ma trn cột gọi ma _ Ma trận B thu cách đổi dòng A thành cột B gọi ma trận T chuyển vị A,Aký hiệu _ Cho A = ( aij ) , B = (bij ) T B = A ⇔ aij = b ji , ∀i , j _ Ma trậnA ∈ M m×n ( ¡ ) có phần tử At= Om×n 0, gọi ma trận không, viế V Định lý: Ma trận vuông A chéo hóa thỏa hai điều kiện sau: i)A có n trị riêng khác đơi ii)A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính VI Các bước chéo hóa trận: Từ ví dụ mở đầu ta có bước chéo hóa ma trận sau đây: i) ii)… DẠNG TOÀN PHƯƠNG Định nghĩa: Ta gọi dạng toàn phương cấp hàm hai biến có dạng sau : f ( x) = f ( x1 ; x2 ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x2 Ta gọi dạng toàn phương cấp hàm ba biến có dạng sau : f ( x) = f ( x1 ; x2 ; x3 ) = a11 x1 + a22 x2 + a33 x3 2 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 Nhận xét : 2 f ( x) = f ( x1; x2 ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + a22 x2  a11 a12  x1  = ( x1 x2 )  ÷ ÷  a12 a22  x2  f ( x) = x A.x T A gọi ma trận dạng toàn phương Nếu dạng tồn phương cấp : f ( x) = f ( x1 ; x2 ; x3 ) = a x + a22 x2 + a33 x3 11 2 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = x A.x T  a11  = ( x1 x2 x3 )  a12 a  13 a12 a22 a23 a13  x1  ÷ ÷ a23 ÷ x2 ÷ ÷ a33 ÷ x   Ma trận A dạng toàn phương ma trận đối xứng Định nghĩa : Nếu dạng tồn phương có ma trận A ma trận chéo, dạng tồn phương gọi dạng tắc Nói cách khác dạng tắc có biểu thức là: f ( x) = f ( x ; x )  λ1   x1  = ( x1 x2 )  ÷ ÷  λ2   x2  2 = λ1 x1 + λ2 x2 f ( x) = f ( x1 ; x2 ; x3 ) = x A.x T  λ1 0   x1   ÷ ÷ = ( x1 x2 x3 )  λ2 ÷ x2 ÷  0 λ ÷ x ÷    2 = λ1 x1 + λ2 x2 + λ3 x3 Nhận xét: Vì ma trận đối xứng chéo hố được, nên dạng tồn phương đưa dạng tắc phép biến đổi thích hợp Thật vậy, từ f ( x) = x A.xT Vì ma trận A chéo hố trực giao được, nên tồn ma trận trực giao P cho : P A.P = D ⇒ A = P.D.P T D ma trận chéo T f ( x) = x A.x = x ( P.D.P T T )x T = ( xP ) D ( P x ) = ( xP ) D ( xP ) T T = y.D y T T Biểu thức y.D.yT dạng tắc Khi ta nói dạng tồn phương f(x) đưa dạng tắc g(y), ứng với sở P Các bước đưa dạng toàn phương dạng tắc: Bước 1: Tìm ma trận A dạng tồn phương Bước 2: Chéo hố trực giao ma trận A Bước 3: f(x)=x.A.xT =(xP)D(PTxT) =(xP)D(xP)T Bước : Đặt y=xP , đưa dạng toàn phương dạng tắc Ví dụ : Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc ( x ) = f ( x1; x2 ; x3 ) = x1 + 3x2 + x3 + x1 x2 − x2 x3 2 Bước 1: Ma trận A dạng toàn phương 1   −1÷  ÷  −1 ÷   Bước 2: Chéo hoá trực giao A 1− λ p (λ ) = A − λ I = 2 − λ −2 −2 − λ = (1 − λ ) (3 − λ ) − (1 − λ ) − 4(1 − λ ) = (1 − λ ) (3 − λ ) − 4(1 − λ ) − 4(1 − λ ) = (1 − λ ) [ (1 − λ )(3 − λ ) − 8] = (1 − λ )( λ − 4λ − 5) p(λ ) = (1 − λ )(λ − 4λ − 5) = ⇔ λ = 1; λ = −1; λ = 5; Tìm véctơ riêng X1 ứng với trị riêng ( A − λ1 I ) X = 0  x1      x1    1 −  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ ⇔  − −2 ÷ x2 ÷ =  ÷ ⇔  2 −2 ÷ x2 ÷ =  ÷  ÷ x ÷  ÷  −2 ÷ x ÷  ÷ − −             2 −2  0  2 −2 ÷ →  ÷  ÷  ÷  −2 ÷  0 ÷      x1 + x2 − x3 = ⇔  x2 =  ⇔ x1 = x3  x = 2 Vậy X1=(x1 ; 0; x1)=x1(1; 0; 1)=(1; 0; 1) Tìm véctơ riêng X2 ứng với trị riêng -1 ( A − λ2 I ) X = 0  x1     2  x1    1 +  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ ⇔  + −2 ÷ x2 ÷ =  ÷ ⇔  −2 ÷ x2 ÷ =  ÷  −2 + 1÷ x ÷  ÷  −2 ÷ x ÷  ÷           2  2   ÷  ÷ − → −  ÷  ÷  −2 ÷  −2 ÷      x1 + x2 =  x2 = x3 ⇔ ⇔  x2 − x3 =  x1 = − x3 Vậy X2=(x1 ; x2; x3)= (-x3; x3; x3)=(-1; 1; 1) Tìm véctơ riêng X3 ứng với trị riêng ( A − λ3 I ) X = 0  x1     −4  x1    1 −  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ ⇔  − −2 ÷ x2 ÷ =  ÷ ⇔  −2 −2 ÷ x2 ÷ =  ÷  ÷ x ÷  ÷  −2 −4 ÷ x ÷  ÷ − −            −4   −4   ÷  ÷ −2 x1 + x2 =  x2 = −2 x3 ⇔  −2 −2 ÷ →  −1 −2 ÷⇔  x1 = − x3  −2 −4 ÷  −2 −4 ÷  x2 + x3 =      Vậy X3=(x1 ; x2; x3)= (-x3; -2x3; x3) Vậy ta có ba véctơ riêng vng góc với đơi X1=(1; 0; 1); X2=(-1; 1; 1); X3== =(-1; -2; 1) X1   Y1 = = ; 0; , ÷ X1 2  X2   −1 Y2 = = ; ; , ÷ X2 3  X3  −1 −2  Y3 = = ; ; ÷ X3 6       P=     −1 3 −1  ÷ 6÷ −2 ÷ ÷ 6÷ ÷ ÷ 6 Đặt y=xP dạng toàn phương đưa 2 dạng tắc g ( y ) = y1 − y2 + y3 y1 = y2 = y3 = ... a13 a22 a23 a21 a23 1+1 1+2 a21 a22 a23 = a11(- 1) a a + a12(- 1) a a + 32 33 31 33 a31 a32 a33 1+3 a13(- 1) a21 a22 a31 a32 = (a1 1a22 a33 + a1 2a23 a31 + a1 3a21 a32) (a1 3a22 a31 + a1 2a21 a33 + a1 1a23 a32)... a ỗ 21 22 ố ứ A = a1 1a22 - a1 2a21 A ổ a11 ỗ =ỗ a21 ỗ ç ç èa31 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø a12 a13 a22 a23 a32 a33 1+1 a22 a23 1+2 a21 a23 A = a11(- 1) a32 a33 + a12(- 1) a31 a33 + 1+3 a21 a22 a13(- 1) a31 a32... trình:  x1 + x2 + x3 =  2 x1 + x2 + x3 = −3 x + x − x = −4  Giải:  x1 + x2 + x3 =  x1 + x2 + x3 =   ⇔ 0 x1 − x2 − x3 = −9 ⇔ 0 x1 − x2 − x3 = −9 0 x + x + x = 14 0 x + x − x = −22