CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI GIẢNG TOÁN A2

CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  Trong chương này ta xét chủ yếu các ma trận Trong chương này ta xét chủ yếu các ma trận vuông cấp n bất kỳ. vuông cấp n bất kỳ. Mỗi ma trận vuông cấp n Mỗi ma trận vuông cấp n [ ] njiaA ij ,1,, == [ ] ij aA = theo một quy luật xác đònh, theo một quy luật xác đònh, ta đặt tương ứng một số thực, gọi là đònh thức, ký ta đặt tương ứng một số thực, gọi là đònh thức, ký hiệu hiệu ∆ ∆ , det A hoặc : , det A hoặc : Có thể nói đònh thức là hàm số với miền xác đònh là Có thể nói đònh thức là hàm số với miền xác đònh là tập hợp các ma trận vuông và miền giá trò là tập hợp tập hợp các ma trận vuông và miền giá trò là tập hợp 1. Đònh thức cấp 1, cấp 2, cấp 3 : các số thực. Đònh thức được ứng dụng để giải hệ các số thực. Đònh thức được ứng dụng để giải hệ phương trình gồm n phương trình n ẩn số (quy tắc phương trình gồm n phương trình n ẩn số (quy tắc cramer). Khái niệm về hạng của ma trận cũng được cramer). Khái niệm về hạng của ma trận cũng được xây dựng nhờ đònh thức. Lý thuyết tổng quát giải hệ xây dựng nhờ đònh thức. Lý thuyết tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính gồm m phương trình n phương trình đại số tuyến tính gồm m phương trình n ẩn số được xây dựng dựa trên khái niệm về hạng ẩn số được xây dựng dựa trên khái niệm về hạng của ma trận (Đònh lý Kronecker – Kapelli). của ma trận (Đònh lý Kronecker – Kapelli). Ma trận vuông cấp 1 A = [a Ma trận vuông cấp 1 A = [a 11 11 ] chỉ gồm một ] chỉ gồm một phần tử a phần tử a 11 11 và trò số của phần tử này là đònh thức cấp và trò số của phần tử này là đònh thức cấp 1 của ma trận. 1 của ma trận. Ma trận vuông cấp 2 có Ma trận vuông cấp 2 có dạng : dạng : Khi đó đònh thức cấp 2 tương ứng với ma trận A là một số bằng a 11 a 22 - a 12 a 21 .       = 2221 1211 aa aa A (2.1) Vậy theo đònh nghóa : 21122211 2221 1211 det aaaa aa aa AA −=       == Từ công thức (2.1) ta có thể phát biểu : đònh thức cấp 2 tương ứng với ma trận vuông cấp 2 A bằng hiệu các tích của phần từ đường chéo phụ của ma trận A. Từ đây về sau ta nói các phần tử hàng, cột, đường chéo của đònh thức hiểu là các phần tử hàng, cột, đường chéo của ma trận đã cho. Xét ma trận vuông cấp 3: Đònh thức cấp 3 của ma trận A là một số được tính theo công thức :           = 333231 222221 131211 aaa aaa aaa A       +       −       =∆ 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a (2.2 ) Công thức (2.2) chứng tỏ đònh thức cấp 3 được tính toán nhờ các đònh thức cấp 2. Đặt :       =       =       = 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 ;; aa aa M aa aa M aa aa M và gọi M 11 , M 12 , M 13 là các đònh thức con tương ứng của các phần tử a 11 , a 12 , a 13 . Đònh thức con M 11 của phần tử a 11 là đònh thức cấp 2 thu được bằng cách gạch bỏ hàng 1 cột 1 của đònh thức cấp 3, tương tự M 12 : gạch bỏ hàng 1 cột 2 của ∆, M 13 : gạch bỏ hàng 1 cột 3 của ∆. Với khái niệm đònh thức con của phần tử, có thể viết lại công thức (2.2) : k k k k MaMaMaMa 1 1 3 1 1131312121111 )1( + = −=+−=∆ ∑ (2.2’) và gọi A 11 , A 12 , A 13 là các phần phụ đại số tương ứng của các phần tử a 11 , a 12 , a 13 được xác đònh từ các đẳng thức : 13 31 1312 21 1211 11 11 )1(;)1(;)1( MAMAMA +++ −=−=−= (2.3 ) Với khái niệm phần phụ đại số của phần tử, công thức (2.2’) có thể viết lại dưới dạng : k k k AaAaAaAa 1 3 1 1131312121111 ∑ = =+−=∆ (2.4 ) Ta gọi (2.4) là biểu thức khai triển của đònh thức cấp 3 theo các phần phụ đại số của phần tử hàng 1. k k k AaAaAaAa 2 3 1 2232322222121 ∑ = =+−=∆ (2.5 ) Tương tự ta có các biểu thức khai triển của đònh thức cấp 3 theo các phần phụ đại số của phần tử hàng 2 và hàng 3 : Hàng 2 : k k k AaAaAaAa 3 3 1 3333332323131 ∑ = =+−=∆ (2.6 ) Hàng 3 : (2.8 ) Ta có thể đònh nghóa đònh thức cấp 3 bằng cách khai triển theo các phần phụ đại số của phần tử một cột : Cột 2 : 1 3 1 1313121211111 i k i AaAaAaAa ∑ = =+−=∆ (2.7 ) Cột 1 : 2 3 1 2323222221212 i k i AaAaAaAa ∑ = =+−=∆ (2.9 ) Cột 3 : 3 3 1 3333323231313 i k i AaAaAaAa ∑ = =+−=∆ Trong các công thức (2.4) – (2.9) A ij là phần phụ đại số của phần tử a ij được xác đònh qua đònh thức con M ij bằng công thức : (2.10) 3,2,1,;)1( =−= + jiMA ij ji ij Đònh thức con M ij của phần tử a ij là đònh thức thu được từ đònh thức ∆ sau khi gạch bỏ hàng I và cột j. Dấu của phần phụ đại số A ij phụ thuộc vào thừa số (-1) i+j tức là phụ thuộc vào vò trí của phần tử a ij trong ma trận A. sự phân bố dấu của A ij trong ma trận A như sau :           +−+ −+− +−+ Nhận xét : 322311332112 312213322113312312332211 333231 232221 131211 det aaaaaa aaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa A −− −++=           ==∆ Trong các công thức (2.4) – (2.9) ta khai triển mỗi đònh thức cấp 2 theo (2.1) rồi thế vào các công thức đó sẽ thu được một số biểu thi đònh thức cấp 3 : (2.11) [...]... công thức (2. 24), ta có ∆ = λ∆1 + µ 2 Thí dụ : a11 a 12 a13 b1 + c1 b2 + c 2 b3 + c3 = 1 a 31 a11 a 32 a 12 b2 a 31 b3 a 32 = b1 a13 a 33 a 33 a11 a 12 c2 a 31 c3 a 32 + c1 a13 a 33 2 2 1 5 2 −3 5 2 2 5 0 3 2 1 3+0 2 3 1 −5 3=0 2 3 3 −4 3 2 Tính chất 8 (Hệ quả 4) Nếu đònh thức có một hàng là tổ hợp tuyến tính của hai hàng khác thì đònh thức bằng không Giả sử hàng i là tổ hợp tuyến tính của hàng k và l... Khi n = 2 ta có 2 hoán vò : 1 1  2  2 và 1 2  2  1 Hoán vò thứ nhất có số nghòch thế bằng 0 nên nó là hoán vò chẵn, hoán vò thứ hai có số nghòch thế bằng 1 nên nó là hoán vò lẻ Do đó : det A = a11 a 22 − a 12 a 21 (2. 20) trùng với (2. 1) (2. 20) Khi n = 3, ta có tất cả 6 hoán vò (6 = 3!) 2 3 1 2 3 1 1 1  2  3 2 3  3 1   2 1 3  2 1 3  2 3 3  2 2 2 3  1 1 2  2 1 3... tính chất đối với hàng Tính chất 2 (Đònh lý 3) Khi hoán vò hai hàng, đònh thức đổi dấu nhưng trò tuyệt đối của nó vẫn không thay đổi Thí dụ, đònh thức cấp 2 : 2 = a11 a 12 a 21 a 22 = a11 a 22 − a 12 a 21 2 = ' a 21 a 22 a11 a 12 = a 12 a 21 − a11 a 22 = − 2 Tính chất 3 (Hệ quả) Đònh thức có hai hàng giống nhau thì bằng không Thật vậy, thay đổi hai hàng giống nhau và áp dụng đònh lý 3, ta có : ∆ = -. .. đònh thức cấp 2 : A11 = a 22 ; A 22 = a11 ; A 12 = − a 21 ; A21 = a 12 ; 2 Trong công thức (2. 11), đònh thức cấp 3 gồm có 3! = 6 số hạng và số các số hạng có dấu công bằng số các số hạng có dấu trừ và bằng 3! /2 3 Mỗi số hạng của (2. 11) gồm ba phần tử, các phần tử được phân bố ở các hàng và các cột khác nhau, tức là trong mỗi số hạng (2. 11) không chứa hai phần tử có hàng giống nhau hoặc cột giống nhau 2 Có... 1 3  3 và 1 1  3 hoán vò đầu có số nghòch thế tương ứng bằng 0 ,2, 2 nên là những hoán vò chẵn, 3 hoán vò sau có số nghòch thế bằng 3,1,1 nên là những hoán vò lẻ Do đó, det A = a11 a 22 a33 + a 12 a 23 a31 + a13 a 21 a 32 −a13 a 23 a31 − a 12 a 21 a33 − a11 a 23 a 32 (2. 21) trùng với (2. 11) (2. 21) 3 Các tính chất cơ bản của đònh thức : Tính chất 1 (Đònh lý 2) Khi chuyển vò ma trận, đònh thức của nó... 3, ta có : ∆ = - ∆ hoặc 2 ∆ = 0, do đó ∆ = 0 Tính chất 4 (Đònh lý 4) Nếu hàng i của đònh thức ∆ là tổ hợp tuyến tính : aij = λbj + µcj; j = 1 ,2, …,n (2. 23) thì đònh thức ∆ = tổ hợp tuyến tính của 2 đt ∆1 và 2 ∆ = λ ∆1 + µ 2 (2. 24) trong đó hàng thứ i của đònh thức ∆1 và 2 tương ứng bằng (b1, b2, …, bn) và (c1, c2, …, cn), tất cả các hàng còn lại đều giống các hàng của đònh thức ∆ Để chứng minh đònh... : Đònh thức cấp n tương ứng với ma trận vuông a11 a  21 ∆=   a n1 a 12 a 22 an2 a1n   a2n    a nn  là số : a11 a  21 ∆ = det A =   a n1 a 12 a 22 an2 a1n   a2n    a nn  = ∑ (−1) S (π ) a1π (1) a 2 ( 2 ) a nπ ( n ) (2. 19) π trong đó dấu tổng lấy theo tất cả các hoán vò π cấp n (=n!) số hạng Để minh họa ta áp dụng công thức (2. 19) cho hai trường hợp riêng n = 2 và n = 3... A= A T T (2. 22) (2. 22 ) T Hoặc (2. 22 ) ∆=∆ (2. 22) được suy trực tiếp từ đònh lý 1 Thật vậy, đònh thức /A/ khai triển theo các phần phụ đại số của các phần tử cột 1 trùng với công thức khai triển đònh thức /AT/ theo các phần phụ đại số của các phần tử hàng 1 Nhận xét : Đònh lý 2 chứng tỏ sự bình đẳng giữa hàng và cột của đònh thức, tức là một kết luận đúng với hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại... đònh thức ∆, ∆1 và 2 theo các phần phụ đại số hàng i và nhận thấy rằng tất cả các phần phụ đại số hàng i của ba đònh thức đều giống nhau Từ đẳng thức aij = λbj + µcj; suy ra ∆ = λ ∆1 + µ 2 Tính chất 5 (Hệ quả 1) Thứa số chung của các phần tử một hàng có thể đưa ra ngoài dấu đònh thức Tính chất 6 (Hệ quả 2) Nếu đònh thức có một hàng gồm toàn số không thì đònh thức bằng không Thật vậy, trong công thức. .. (2. 15) và (2. 16) sự liên hệ giữa Aij và Mij tương tự (2. 13) 1+ j Aij = (−1) M ij (2. 13’) Thí dụ : Tính đònh thức tam giác cấp n: a11 a  21 ∆n =   a n1 0 a 22 an2 0   0    a nn  Khai triển theo các phần tử hàng 1 : ∆ n = a11∆ n − 1 Trong đó : a 22 a  32 ∆ n −1 =   a n1 0 a33 an2 Khai triển ∆n-1 theo các phần tử hàng 1 : ∆ n −1 = a 22 ∆ n − 2 0   0    a nn  Trong đó ∆n-2 .           = 33 323 1 22 222 1 13 121 1 aaa aaa aaa A       +       −       =∆ 323 1 22 21 13 3331 23 21 12 33 32 2 322 11 aa aa a aa aa a aa aa a (2. 2 ) Công thức (2. 2) chứng tỏ đònh thức cấp 3 được tính. : Khi đó đònh thức cấp 2 tương ứng với ma trận A là một số bằng a 11 a 22 - a 12 a 21 .       = 22 21 121 1 aa aa A (2. 1) Vậy theo đònh nghóa : 21 122 211 22 21 121 1 det aaaa aa aa AA. đònh thức. Lý thuyết tổng quát giải hệ xây dựng nhờ đònh thức. Lý thuyết tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính gồm m phương trình n phương trình đại số tuyến tính gồm m phương trình