CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VECTƠ - BÀI GIẢNG TOÁN A2

CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ  Không gian vectơ hình học ν : Trong hình học giải tích, ta làm quen với vectơ tự không gian (tức vectơ chuyển đến điểm không gian mà không thay đổi độ dài hướng) định nghóa phép toán tuyến tính chúng (cộng vectơ nhân vectơ với số thực) Tập hợp vectơ tự không gian xét với phép toán tuyến tính gọi không gian vectơ chiều ν3 phần tử không gian gọi vectơ (hình học) Nếu không gian ν3 ta đưa vào hệ tọa độ thẳng trực giao với sở B0 = {i,j,k} thu tương ứng đơn trị tương hỗ vectơ không gian ν3 với ba số thực thứ tự (các tọa độ chúng) Ta viết tọa độ vectơ không gian ν3 dạng ma trận cột gồm ba số Khi ma trận cột gồm tọa độ vectơ gọi vectơ chiều Tập hợp vectơ chiều gọi không gian vectơ chiều Thí dụ : a1  a ; u = a1i + a2 j + a3 k ⇔U =   a3    b1  v = b1i + b2 j + b3 k ⇔U = b2 ;   b3     a1 + b1   a + b ; u + v = (a1 + b1 )i + (a2 + b2 ) j + (a3 + b3 )k ⇔ U + V =  2   a3 + b3    λa1  λa ; λu = λa1i + λa2 j + λa3 k ⇔λU =   λa3    Bằng cách lý luận tương tự, ta xây dựng không gian vectơ chiều ν2 không gian vectơ chiều ν1 Không gian vectơ Không gian vectơ :  Định nghóa : ν tập hợp rỗng, xác định hai phép toán : Luật hợp thành trong, gọi phép tính cộng, u, v ∈ ν; u + v ∈ ν Luật hợp thành ngoài, gọi phép nhân vô hướng, u ∈ ν; k ∈ R; ku ∈ ν ν gọi không gian vectơ trường số thực R luật hợp thành thỏa mãn tiên đề sau : [A1] ∀u,v ∈ ν; u + v = v + u [A2] ∀u,v,w ∈ ν; (u + v) + w = u + (v + w) [A3] ∃0 ∈ ν, u + = + u = u, ∀u ∈ ν [A4] ∀u∈ ν, toàn vectơ đối –u, u + (– u) = [M1] ∀k∈ R, ∀u,v ∈ ν, k (u + v) = ku + kv [M2] ∀h,k∈ R, ∀u ∈ ν, (h + k) u = hu + ku [M3] ∀h,k∈ R, ∀u ∈ ν, h (ku) = (hk) u [M4] ∃1∈ R, 1u = u, ∀u ∈ ν Hieäu vectơ u v vectơ w ∈ ν : v + w = u Ta ký hiệu vectơ u v u – v, nghóa u – v = w Rõ ràng u – v = u + (– v) Định lý : a Vectơ tồn b Với vectơ bất kỳ, vectơ đối tồn c ∀u ∈ ν, đẳng thức 0u = thỏa mãn d ∀k∈ R 0∈ ν, đẳng thức k0 = thỏa mãn e Từ đẳng thức ku = suy hai đẳng thức k = u = f Vectơ (-1) u vectơ đối vectơ u  Các thí dụ không gian vectơ : Không gian vectơ Rn n số nguyên dương, ta xét dãy thứ tự gồm n phần tử R : [a1,a2,…, an] Tập hợp dãy tập tích Rn Giả sử u = [a1,a2,…, an], v = [β1, β2,…, βn], hai phần tử thuộc Rn k ∈ R Ta đặt : u + v = [a1 + β1, a2+ β2,…, an + βn] ku = [ka1 + ka2,…, kan] (3.1) (3.2) Dễ dàng chứng minh hai phép toán thỏa mãn tất tiên đề định nghóa không gian vectơ, Rn không gian vectơ trường số thực R Vectơ 0, phần tử trung hoà phép tính cộng vectơ [0, 0, …, 0] phần tử đối vectơ u = [a1,a2,…, an] vectơ – u = [- a1, - a2,…, - an] Các số thực a1,a2,…, an gọi thành phần vectơ u = [a1,a2,…, an] Gọi X tập hợp không rỗng F tập hợp tất hàm số từ X vào R Tổng hai hàm f, g ∈ F laø haøm f + g ∈ F xác định đẳng thức : (f + g) (t) = f (t) + g (t), ∀t ∈ X Tích vô hướng hàm f ∈ F với K ∈ R hàm k f ∈ F Dễ dàng chứng minh hai phép toán thỏa mãn tất tiên đề định nghóa không gian vectơ Vậy F không gian vectơ R Pn tập hợp tất đa thức cấp ≤ n – 1, p (t) = an-1tn-1 + … + a1t + a0 với phép toán cộng nhân đa thức với số thực Pn không gian vectơ R Trường số thực R không gian vectơ Tập hợp Mmxn tập hợp tất ma trận cấp mxn, với hai phép toán cộng nhân vô hướng (nhân ma trận với số thực) không gian vectơ R  Không gian không gian vectơ  Định nghóa : Ta gọi không gian vectơ không gian vectơ ν trường R (gọi tắt không gian con) tập hợp νν vectơ ν thỏa mã tính chất : i Nếu u ∈ νν v ∈ νν u + v ∈ νν ii Nếu u ∈ νν k ∈ R ku ∈ νν Thí dụ : Tập hợp {0} gồm vectơ không gian ν đồng thời chứa không gian khác ν Chính không gian vectơ ν không gian vectơ ν, đồng thời chứa không gian khác cuûa ν v1 = v1 +0v2 , v2 =0v1 + v2 , 1 v3 =2v1 − v2 thân vectơ v1, v2 độc lập tuyến tính Do đó, v1, v2 lập thành sở hệ vectơ cho Cơ sở gồm vectơ nên hạng hệ Việc tính toán hạng hệ vectơ thí dụ vừa nêu không đïc thuận tiện Vì vậy, để tính toán hạng hệ vectơ người ta dựa vào định lý sau : Định lý : Hạng hệ vectơ cột (các vectơ hàng) hạng ma trận lập cột (hàng) Chứng minh : Giả sử cho trước p1, p2, …, pn hệ vectơ cột A ma trận tạo vectơ cột A = [p1, p2, …, pn ] Giả sử hạng ma trận r rõ ràng r ≤ n theo định lý định thức sở, cột p1, p2, …, pn ma trận A ta tìm r cột q 1, q2, …, qr cho tất cột ma trận A biểu thị tuyến tính qua cột thân cột độc lập tuyến tính Điều chứng tỏ hệ p1, p2, …, pn có sở gồm r vectơ q1, q2, …, qr Do đó, hạng hệ vectơ p1, p2, …, pn r, nghóa trùng với hạng ma trận A tạo vectơ Hệ : Trong ma trận bất kỳ, hạng hệ vectơ cột hạng hệ vectơ hàng Hệ thức biến đổi tọa độ vectơ sở thay đổi Ma trận chuyển Cho B = {e1, e2, …, en} vaø {f1, f2, …, fr} Là hai sở không gian vectơ Rn Ta quy ước gọi B sở cũ, B’ sở Hệ thức biểu thị tọa độ vectơ sở B’ sở cũ, B : f1 = a11e1 +a12 e2 + +a1n en f = a21e1 +a22 e2 + +a2 n en = f n = an1e1 +an e2 + +ann en (3.17) Ma trận vuông caáp n : a11 a  12 P=   a1n a21 a22 a2 n an1   an    ann  (3.18) Được gọi ma trận biến đổi từ sở cũ B = {ei} đến sở B = {fi} Các cột ma trận P tọa độ tương ứng vectơ f1, f2, …, fn sở cũ B = {ei} Với (3.18), viết lại (3.17) dạng ma trận : F = PT E (3.17’) Trong : F = {f1, f2, …, fr}T, E = {e1, e2, …, er}T Định lý 10 : Giả sử P ma trận chuyển từ sở B = {ei} đến sở B’ = {fi} Q ma trận chuyển từ sở B’ = {fi} trở sở B = {ei} Khi P khả nghịch Q = P-1 (3.19) Định lý 11 : Giả sử P ma trận chuyển từ sở B = {ei} đến sở B’ = {fi} không gian vectơ ν Khi vectơ v ∈ ν : i [u]B = P [u]B’ (3.20) ii [u]B’ = P-1 [u]B (3.20) Nhận xét : Mặc dù P gọi ma trận chuyển từ sở cũ B = {ei} đến sở B’ = {fi}, tác dụng biến đổi tọa độ vectơ sở B’ trở tọa độ sở cũ B Thí dụ : Tìm tọa độ vectơ hình học u = -1 + 2j + k sở B tạo vectơ e1 = i + j, e2 = j + k, e3 = i + k Cơ sở tắc B0 = {i,j,k} sở cũ Tọa độ vectơ e1, e2, e3 sở B0 : 1         E =  E =  E1 =  ; 1 ; 0         1       Ma trận chuyển từ sở B0 đến sở B : 1 1 P= 0  1 1  0 1  Ma trận chuyển từ sở B trở sở B : 1 1 −1 Q = P = −1 1  1 −1 −1     Tọa độ vectơ u sở B : [u ] B = U = P −1 [u ] B0 1 1 = −1 1  1 −1 −1     −1 0  2  = 2      1  −1     Hay : 3 [u ]B = e1 + e2 − e3 2 Nếu cho trước tọa độ vectơ u sở mới, ta tìm tọa độ vectơ u sở cũ B0 nhờ ma trận chuyển P : 1 1 [u ]B0 = P[u ]B =  0  1 1  0 1  0   − 1 2  = 2       − 1 1      Trong R3 cho trước sở : B = {u1, u2, u3} vaø B’ = {v1, v2, v3} : 1       2 u =  u =  u1 =  ; 3 ; 1     2         1       2 v =  v =  v1 =  ; 1 ; 4     2         vectơ u = {a,b,c} ∈ R3 Tìm tọa độ vectơ u sở B B’ Tìm ma trận chuyển P từ B B’ ma trận chuyển Q từ B’ trở B Chứng tỏ [u]B = P [u]B’ [u]B’ = Q [u]B 1  1  0  x + y b  = x  2 + y 3  + z 1  ⇔ 2 x + y + z          c      3   y + z          a  a  [u ]B  a −3b +c   6a +3b −c  = −   a −2b +c    =a =b =c (a) a 1  0 1   x'+ y ' b  = x'  2 + y ' 1  + z '  4 ⇔ 2 x'+ y '+4 z '          c  1   2 6  x'+2 y '+6 z '          [u ]B −  2a +2b −c   8a +5b −2c  = −   a −2b +c    =a =b =c (b) b p dụng a tìm tọa độ vectơ sở B’ sở B để xác định ma trận P [v1 ]B 2  −1   −1; [v ] =  ; [v ] = 0  =  B  B      0  2       Do : 2 − P= 1  −1 −1     Tương tự, áp dụng b tìm tọa độ vectơ sở B sở B’ để xác định ma trận Q = P -1 [u1 ] B 2  2  −1 2 ; [u ] = 3 ; [u ] = −1 =  B   B   −1 −1         Do : 2 2 −1 Q=P = −  −1 −1  −1   Dễ dàng kiểm chứng : 2 − P[ u ] B ' =  1  −1 1  0 2   − 2a + 2b − c   7a − 3b + c   − 8a + 5b − 2c  =  − 6a + 3b − c  = [u ] B      3a − 2b + c   4a − 2b + c      2 2 Q[ u ] B =  −  −1 − 1  − 1    7a − 3b + c   − 2a + 2b − c   − 6a + 3b − c  =  − 8a + 5b − 2c  = [u ] B'      4a − 2b + c   3a − 2b + c      ... vectơ không gian ν đồng thời chứa không gian khác ν Chính không gian vectơ ν không gian vectơ ν, đồng thời chứa không gian khác ν Định lý : Phần giao số không gian không gian vectơ ν không gian. .. nghóa không gian vectơ, Rn không gian vectơ trường số thực R Vectơ 0, phần tử trung hoà phép tính cộng vectơ [0, 0, …, 0] phần tử đối vectơ u = [a1 ,a2, …, an] vectơ – u = [- a1, - a2, …, - an]...Tập hợp vectơ tự không gian xét với phép toán tuyến tính gọi không gian vectơ chiều ? ?3 phần tử không gian gọi vectơ (hình học) Nếu không gian ? ?3 ta đưa vào hệ tọa độ thẳng