Chương 3: Không gian Vecto pdf

Bài giảng mơn học Đại số A1 Chương 3: KHƠNG GIAN VECTƠ Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 / 85 Nội dung Chương KHƠNG GIAN VECTƠ Khơng gian vectơ Tổ hợp tuyến tính Cơ sở số chiều không gian vectơ Không gian vectơ Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Tọa độ ma trận chuyển sở Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 / 85 Không gian vectơ Không gian vectơ Định nghĩa Cho V tập hợp với phép tốn + V gọi khơng gian vectơ K u, v, w ∈ V α, β ∈ K ta có tính chất sau: (1) u+v = v+u; (2) (u+v)+w = u+(v+w); (3) tồn ∈ V : u+0 = 0+u = u; (4) tồn u ∈ V : u +u = u+u = 0; (5) (αβ)u = α(βu); (6) (α + β)u = αu + βu; (7) α(u+v) = αu+αv; (8) 1.u = u Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 / 85 Khơng gian vectơ Khi ta gọi: • phần tử u ∈ V vectơ • số α ∈ K vơ hướng • vectơ vectơ khơng • vectơ u vectơ đối u Ví dụ Xét V = Kn = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ∈ K∀, i ∈ 1, n} Với u = (a1 , a2 , , an ), v = (b1 , b2 , , bn ) ∈ Kn α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + nhân vô hướng sau: • u+v = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ); • αu = (αa1 , αa2 , , αan ) Khi Kn khơng gian vectơ K Trong đó: Vectơ khơng = (0, 0, , 0); Vectơ đối u −u = (−a1 , −a2 , , −an ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 / 85 Không gian vectơ Ví dụ Tập hợp Mm×n (K) với phép cộng ma trận nhân ma trận với số thực thông thường không gian vectơ K Trong đó: Vectơ khơng ma trận khơng Vectơ đối A −A Ví dụ Tập hợp K[x] = {p(x) = an xn + + a1 x + a0 | n ∈ N, ∈ K, i ∈ 1, n} gồm đa thức theo x với hệ số K không gian vectơ K với phép cộng vectơ phép cộng đa thức thông thường phép nhân vô hướng với vectơ phép nhân thông thường số với đa thức Ví dụ Tập hợp Kn [x] gồm đa thức bậc nhỏ n theo x với hệ số K không gian vectơ K Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 / 85 Không gian vectơ Ví dụ Cho V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ K3 | 2x1 + 3x2 + x3 = 0} Khi V khơng gian vectơ K Ví dụ Cho W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ K3 | x1 + x2 − 2x3 = 1} Khi W khơng khơng gian vectơ, u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, u + v = (3, 5, 3) ∈ W / Mệnh đề Cho V khơng gian vectơ K Khi với u ∈ V α ∈ K, ta có i) αu = ⇔ (α = hay u = 0); ii) (−1)u = −u Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 / 85 Tổ hợp tuyến tính Tổ hợp tuyến tính 1.1 Tổ hợp tuyến tính 1.2 Độc lập phụ thuộc tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Khơng gian vectơ 22/05/2010 / 85 Tổ hợp tuyến tính 2.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Cho u1 , u2 , , um ∈ V Một tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um vectơ có dạng u = α1 u1 + α2 u2 + + αm um với αi ∈ K Khi đó, đẳng thức gọi dạng biểu diễn u theo vectơ u1 , u2 , , um Ví dụ • Vectơ u = (4, 4, 2) tổ hợp tuyến tính vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 3, −1), u3 = (0, 1, −2), u = u1 + 2u2 − u3 • Vectơ ln ln tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um = 0u1 + 0u2 + + 0um Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 / 85 Tổ hợp tuyến tính Hỏi Làm cách để biết u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um ? Ta có u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um phương trình u = α1 u1 + α2 u2 + + αm um (∗) có nghiệm α1 , α2 , αm ∈ K Xét trường hợp không gian Kn Giả sử u = (b1 , b2 , , bn ) u1 = (u11 , u21 , un1 ); u2 = (u12 , u22 , un2 ); um = (u1m , u2m , unm )   u11 α1 + u12 α2 + + u1m αm = b1 ;   u21 α1 + u22 α2 + + u2m αm = b2 ; Khi (∗) ⇔    un1 α1 + un2 α2 + + unm αm = bn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ (∗∗) 22/05/2010 / 85 Tổ hợp tuyến tính  u11 u12 u1m b1  u u22 u2m b2   Ma trận hóa (∗∗) ta  21   un1 un2 unm bn  Tức (u1 u2 um | u ) Như vậy, để kiểm tra u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um Kn ta làm sau: • Lập ma trận hóa (u1 u2 um | u ) • (1) Nếu (1) vô nghiệm, kết luận u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um Nếu (1) có nghiệm α1 , α2 , αm u tổ hợp tuyến tính có dạng biểu diễn theo u1 , u2 , , um : u = α1 u1 + α2 u2 + + αm um Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 10 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Tọa độ Như vậy, B = (u1 , u2 , , un ) sở V u ∈ V u có dạng biểu diễn là: u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un Ta đặt    [u]B =   α1 α2      αn Khi [u]B gọi tọa độ u theo sở B Ví dụ Trong khơng gian K3 , ta có sở tắc B0 = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} Với u = (x1 , x2 , x3 ) ta có: u = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 71 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở  Suy [u]B0  x1 =  x2  = u x3 Nhận xét Đối với sở tắc B0 = (e1 , e2 , , en ) không gian Kn u = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Kn ta có   x1  x2    [u]B0 =   = u   xn Ví dụ Khơng gian R2 [x] có sở tắc B0 = {x2 , x, 1}   a Với f = ax2 + bx + c, ta có [f ]B0 =  b  c Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 72 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Phương pháp tìm [u]B Cho V khơng gian vectơ có sở B = (u1 , u2 , , un ) u ∈ V Để tìm [u]B ta giải phương trình u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un (∗) với ẩn α1 , α2 , αn ∈ K Do B sở nên phương trình (∗) có nghiệm (α1 , α2 , , αn ) = (c1 , c2 , , cn )   c1  c2    Khi [u]B =     cn Lưu ý Khi V = Kn , để giải phương trình (∗) ta lập hệ (u1 u2 un | u ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 73 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Ví dụ Trong không gian K3 , cho vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (1, 3, 1), u3 = (2, 5, 3) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở K3 b) Tìm tọa độ vectơ u = (a, b, c) ∈ K3 theo sở B Giải    u1 a) Lập A =  u2  =  u3 độc lập tuyến tính Vậy B 1 b) Với u = (a, b, c), để tìm [u]B  1  (u1 u2 u3 | u ) → 1  4a − b − c Vậy [u]B =  −a + b − c  −a + c Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)  1  Ta có |A|=1, suy u1 , u2 , u3 sở K3 ta lập hệ phương trình    a 0 4a − b − c b  →  −a + b − c  c 0 −a + c Chương Không gian vectơ 22/05/2010 74 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Ví dụ Trong khơng gian R2 [x] cho f1 = x2 + x + 1, f2 = 2x2 + 3x + 1, f3 = x2 + 2x + a) Chứng minh B = (f1 , f2 , f3 ) sở K2 [x] b) Tìm tọa độ vectơ f = x2 + 3x + theo sở B   c) Cho [g]B =   , tìm g? −4 Giải a) Kiểm tra B sở (tự làm) b) Với f = x2 + 3x + 3, để tìm [f ]B ta giải phương trình f = α1 f1 + α2 f2 + α3 f3   α1 + 2α2 + α3 = 1; α1 + 3α2 + 2α3 = 3; ⇔  α1 + α2 + α3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 75 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở     1 0 ˜ Ma trận hóa, A =  3  →  −2  1 0   Vậy [f ]B =  −2    c) Ta có [g]B =   , suy g = 2f1 + 3f2 − 4f3 −4 g = 2(x2 + x + 1) + 3(2x2 + 3x + 1) − 4(x2 + 2x + 1) = 4x2 + 3x + Mệnh đề Cho B sở V Khi đó, với u, v ∈ V, α ∈ K ta có: • [u + v]B = [u]B + [v]B • [αu]B = α[u]B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 76 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở 6.2 Ma trận chuyển sở Định nghĩa Cho V không gian vectơ B1 = (u1 , u2 , , un ), B2 = (v1 , v2 , , ) hai sở V Đặt P = ([v1 ]B1 [v2 ]B1 [vn ]B1 ) Khi P gọi ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở B2 ký hiệu (B1 → B2 ) Ví dụ Trong khơng gian K3 , cho B = (u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, 3, −1), u3 = (3, 1, 3)) sở K3 Gọi B0 cở sở tắc K3 Khi   3  (B0 → B) = ([u1 ]B0 [u2 ]B0 [u3 ]B0 ) = (u1 u2 u3 ) =  −2 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 77 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Nhận xét Nếu B = (u1 , u2 , , un ) sở Kn B0 sở tắc Kn (B0 → B) = (u1 u2 un ) Phương pháp tìm (B1 → B2 ) Giả sử B1 = (u1 , u2 , un ) B2 = (v1 , v2 , ) hai sở V Ta thực sau: • Cho u vectơ V , xác định [u]B1 • Lần lượt thay u v1 , v2 , ta xác định [v1 ]B1 , [v2 ]B1 , , [vn ]B1 Khi (B1 → B2 ) = ([v1 ]B1 [v2 ]B1 [vn ]B1 ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 78 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Đặc biệt, V = Kn , để xác định (B1 → B2 ) ta làm sau: • Thành lập ma trận mở rộng (u1 u2 un | v1 v2 ) • Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận dạng (In |P ) • Khi (B1 → B2 ) = P Ví dụ Trong khơng gian K3 , cho hai sở B1 = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (2, 3, 1)) B2 = (v1 = (1, −3, 2), v2 = (−1, −2, 4), v3 = (3, 3, −2)) Tìm ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 Giải Cho u = (a, b, c) ∈ K3 , xác định [u]B1 Ta lập     1 a 0 a−b+c (u1 u2 u3 |u ) →  b  →  −2a + b + c  1 c 0 a−c Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 79 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở   a−b+c Như [u]B1 =  −2a + b + c  a−c Thay u  v1 ,2 , v3 ta v     −2 [v1 ]B1 =  −3  , [v2 ]B1 =   , [v3 ]B1 =  −5  −1   −5 −2 −5  Vậy (B1 → B2 ) =  −3 −1 −5 Cách khác Lập ma trận mở rộng   1 −1 3 → (u1 u2 u3 | v1 v2 v3 ) →  −3 −2 1 −2     0 −2 −2  −3 −5  Suy (B1 → B2 ) =  −3 −5  0 −1 −5 −1 −5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 80 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Định lý Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều B1 , B2 , B3 ba sở V Khi i) (B1 → B1 ) = In ii) ∀u ∈ V, [u]B1 = (B1 → B2 )[u]B2 iii) (B2 → B1 ) = (B1 → B2 )−1 iv) (B1 → B3 ) = (B1 → B2 )(B2 → B3 ) Hệ Cho B1 = (u1 , u2 , , un ); B2 = (v1 , v2 , , ) hai sở không gian Kn Gọi B0 sở tắc Kn Ta có i) (B0 → B1 ) = (u1 u2 un ) ii) (B1 → B0 ) = (B0 → B1 )−1 iii) ∀u ∈ V, [u]B1 = (B0 → B1 )−1 [u]B0 iv) (B1 → B2 ) = (B0 → B1 )−1 (B0 → B2 ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 81 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Ví dụ Cho W khơng gian K4 sinh vectơ: u1 = (1, 2, 2, 1), u2 = (0, 2, 0, 1), u3 = (−2, 3, −4, 1) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở W b) Cho u = (a, b, c, d), tìm điều kiện để u ∈ W Khi tìm [u]B c) Cho v1 = (1, 0, 2, 0); v2 = (0, 2, 0, 1); v3 = (0, 0, 0, 1) Chứng minh B = (v1 , v2 , v3 ) sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B Giải a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở W    u1 Lập A =  u2  =  u3 −2 độc lập tuyến tính Vì W = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)  2  Ta có r(A) = 3, suy B −4 B nên B sở W Chương Không gian vectơ 22/05/2010 82 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở b) Cho u = (a, b, c, d), tìm điều kiện để u ∈ W Khi tìm [u]B Ta có u ∈ W u tổ hợp tuyến tính B Lập hệ phương trình    0 a + 2b − 4d −2 a  −a − 3b + 7d  2 b    u1 u2 u3 |u ) →   −4 c  →  0 b − 2d 1 d 0 −2a + c Dựa vào hệ phương trình, để u ∈ W −2a + c = Suy   a + 2b − 4d [u]B =  −a − 3b + 7d  b − 2d Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010     83 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở c) Cho v1 = (1, 0, 2, 0); v2 = (0, 2, 0, 1); v3 = (0, 0, 0, 1) Chứng minh B = (v1 , v2 , v3 ) sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B Ta thấy vectơ v1 , v2 , v3 thỏa điều kiện −2a + c = nên theo câu a), vectơ thuộc W Mặt khác, dễ thấy B = (v1 , v2 , v3 ) độc lập tuyến tính nên B sở W (do dimW = |B| = = |B | ) Dùng kết câu b) ta có       −4 [v1 ]B =  −1  , [v2 ]B =   , [v2 ]B =   0 −2   −4  Suy (B → B ) =  −1 0 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 84 / 85 Tọa độ ma trận chuyển sở Ví dụ Trong khơng gian R3 , cho S = (u1 = (1, 1, 3), u2 = (1, −2, 1), u3 = (1, −1, 2)) T = (v1 = (1, −2, 2), v2 = (1, −2, 1), v3 = (1, −1, 2)) a) Chứng tỏ S T sở R3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ S sang T (kí hiệu (S → T ))   c) Cho u ∈ K3 thỏa [u]T =  −3  Tính [u]S −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 85 / 85 ... Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 36 / 85 Không gian vectơ Không gian vectơ 4.1 Định nghĩa 4.2 Không gian sinh tập hợp 4.3 Khơng gian dịng ma trận 4.4 Khơng gian tổng Lê Văn... (vì = 2.3.2) Suy W không không gian / K Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 40 / 85 Không gian vectơ Định lý Nếu W1 , W2 không gian V W1 ∩ W2 khơng gian V Chứng minh... (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ 22/05/2010 22 / 85 Cơ sở số chiều không gian vectơ Cơ sở số chiều không gian vectơ 3.1 Tập sinh 3.2 Cơ sở số chiều Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Không gian vectơ