DSTT CNTT HK2 2015 2016 chuong 3 khong gian vecto

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016 Chương KHÔNG GIAN VECTƠ lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/dsb1 FB: fb.com/daisob1 Trường Đại Học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 1/97 Nội dung Chương KHƠNG GIAN VECTƠ Khơng gian vectơ Tổ hợp tuyến tính Cơ sở số chiều không gian vectơ Không gian vectơ Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Tọa độ ma trận chuyển sở lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 2/97 3.1 Không gian vectơ Định nghĩa Cho V tập hợp với phép toán + phép nhân vô hướng R với V Khi V gọi khơng gian vectơ R u, v, w ∈ V α, β ∈ R thỏa tính chất sau: (1) u+v = v +u; (2) (u+v)+w = u+(v +w); (3) tồn ∈ V : u+0 = 0+u = u; (4) tồn −u ∈ V : −u+u = u+−u = 0; (5) (αβ).u = α.(β u); (6) (α+β).u = α.u+β u; (7) α.(u+v) = α.u+α.v; (8) 1.u = u lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 3/97 Khi ta gọi: • phần tử u ∈ V vectơ • vectơ vectơ khơng • vectơ −u vectơ đối u Ví dụ Xét V = R3 = {(x1 , x2 , x3 ) | xi ∈ R} Với u = (x1 , x2 , x3 ), v = (y1 , y2 , y3 ) α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + nhân vơ hướng sau: • u+v = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ); • α.u = (αx1 , αx2 , αx3 ) Khi R3 khơng gian vectơ R Trong đó: Vectơ khơng = (0, 0, 0); Vectơ đối u −u = (−x1 , −x2 , −x3 ) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 4/97 Ví dụ Xét V = Rn = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ∈ R ∀i ∈ 1, n} Với u = (x1 , x2 , , xn ), v = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + nhân vô hướng sau: • u+v = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ); • α.u = (αx1 , αx2 , , αxn ) Khi Rn khơng gian vectơ R Trong đó: Vectơ khơng = (0, 0, , 0); Vectơ đối u −u = (−x1 , −x2 , , −xn ) Ví dụ Tập hợp Mm×n (R) với phép cộng ma trận nhân ma trận với số thực thông thường không gian vectơ R Trong đó: Vectơ khơng ma trận khơng Vectơ đối A −A lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 5/97 Ví dụ Tập hợp R[x] = {p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 | n ∈ N, ∈ R, i ∈ 1, n} gồm đa thức theo x với hệ số R không gian vectơ R với: • phép cộng vectơ phép cộng đa thức thơng thường; • phép nhân vơ hướng với vectơ phép nhân thông thường số với đa thức Ví dụ Tập hợp Rn [x] gồm đa thức bậc nhỏ n theo x với hệ số R không gian vectơ R Ví dụ Cho V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | 2x1 + 3x2 + x3 = 0} Khi V khơng gian vectơ R lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 6/97 Ví dụ Cho W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 − 2x3 = 1} Khi W khơng khơng gian vectơ, = (0, 0, 0) ∈ /W Mệnh đề Cho V không gian vectơ R Khi với u ∈ V α ∈ R, ta có i) αu = ⇔ (α = hay u = 0); ii) (−1)u = −u lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 7/97 3.2 Tổ hợp tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Độc lập phụ thuộc tuyến tính lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Khơng gian vectơ 22/03/2016 8/97 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Cho u1 , u2 , , um ∈ V Một tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um vectơ có dạng u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αm um với αi ∈ R Khi đó, đẳng thức gọi dạng biểu diễn u theo vectơ u1 , u2 , , um Ví dụ Vectơ u = (5, 4, 2) tổ hợp tuyến tính vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 3, −1), u3 = (0, 1, −2), u = u1 + 2u2 − u3 Nhận xét Vectơ ln tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um = 0u1 + 0u2 + · · · + 0um lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Khơng gian vectơ 22/03/2016 9/97 Ví dụ Cho u1 = (1, 2, −1), u2 = (0, 1, −1), u3 = (1, 3, −1) u = (4, 9, −2) Chứng tỏ u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 Giải Giả sử u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 , tồn α1 , α2 , α3 cho u = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 Từ ta suy hệ phương trình  + α3 = 4;  α1 2α1 + α2 + 3α3 = 9;  −α1 − α2 − α3 = −2 Giải hệ ta α1 = 1, α2 = −2, α3 = Suy u = u1 − 2u2 + 3u3 Do u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 10/97 Ví dụ Trong khơng gian R3 , ta có sở tắc B0 = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} Với u = (x1 , x2 , x3 ) ta có: u = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 Suy   x1 [u]B0 = x2 = u x3 Nhận xét Đối với sở tắc B0 = (e1 , e2 , , en ) không gian Rn u = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn ta có   x1  x2    [u]B0 =  = u   xn lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 83/97 Phương pháp tìm [u]B Cho V khơng gian vectơ có sở B = (u1 , u2 , , un ) u ∈ V Để tìm [u]B ta giải phương trình u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un (∗) với ẩn α1 , α2 , , αn ∈ R Do B sở nên phương trình (∗) có nghiệm (α1 , α2 , , αn ) = (c1 , c2 , , cn )   c1  c2    Khi [u]B =     cn Lưu ý Khi V = Rn , để giải phương trình (∗) ta lập hệ (u1 u2 un | u ) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 84/97 Ví dụ Trong khơng gian R3 , cho vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (1, 3, 1), u3 = (2, 5, 3) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 b) Tìm tọa độ vectơ u = (a, b, c) ∈ R3 theo sở B Giải    u1    a) Lập A = u2 = u3 lập tuyến tính Hơn R3  1 Ta có detA = 1, suy u1 , u2 , u3 độc số vectơ B dimR3 nên B sở b) Với u = (a, b, c), để tìm [u]B  1 (u1 u2 u3 | u ) = 2 1 lvluyen@hcmus.edu.vn ta lập hệ phương   a b→ 0 c 0 Chương Khơng gian vectơ trình  4a − b − c −a + b − c −a + c 22/03/2016 85/97   4a − b − c Vậy [u]B = −a + b − c −a + c Ví dụ.(tự làm) Trong không gian R4 cho u1 = (1, 2, 1, 2); u2 = (−1, −1, 2, 1); u3 = (−2, −2, 3, 1) Gọi W không gian sinh u1 , u2 , u3 a) Chứng tỏ B = (u1 , u2 , u3 ) sở W b) Cho u = (x, y, z, t) ∈ R4 Tìm điều kiện để u ∈ W , sau tìm [u]B ? Hướng dẫn b) Để u ∈ W u xét hệ phương trình  −1 −2 2 −1 −2 (u1 u2 u3 | u ) =  1 1 lvluyen@hcmus.edu.vn tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 Ta   x 0 y →  z  0 t Chương Không gian vectơ 0 0  −x + y 8x − 5y + 2z   −5x + 3y − z  −x − z + t 22/03/2016 86/97 Như để u ∈ W −x − z + t = Hơn   −x + y [u]B =  8x − 5y + 2z  −5x + 3y − z Ví dụ.(tự làm) Cho B1 = (u1 = (1, 2, 3), u2 = (2, 1, 1), u3 = (2, 1, 3)) B2 = (v1 = (2, 5, −2),  v2 = (1, 3, −2), v3 = (−1, −2, 1)) hai sở R3 [u]B1 = −3 Tìm [u]B2 ? Đáp án [u]B2 = (10 −4 18) Mệnh đề Cho B sở V Khi đó, với u, v ∈ V, α ∈ R ta có: • [u + v]B = [u]B + [v]B • [αu]B = α[u]B lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 87/97 3.6.2 Ma trận chuyển sở Định nghĩa Cho V không gian vectơ B1 = (u1 , u2 , , un ), B2 = (v1 , v2 , , ) hai sở V Đặt P = ([v1 ]B1 [v2 ]B1 [vn ]B1 ) Khi P gọi ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở B2 ký hiệu (B1 → B2 ) Ví dụ Trong khơng gian R3 , cho B = (u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, 3, −1), u3 = (3, 1, 3)) sở R3 Gọi B0 cở sở tắc R3 Khi   3 1 (B0 → B) = ([u1 ]B0 [u2 ]B0 [u3 ]B0 ) = (u1 u2 u3 ) = −2 −1 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 88/97 Nhận xét Nếu B = (u1 , u2 , , un ) sở Rn B0 sở tắc Rn (B0 → B) = (u1 u2 un ) Phương pháp tìm (B1 → B2 ) Giả sử B1 = (u1 , u2 , , un ) B2 = (v1 , v2 , , ) hai sở V Để tìm (B1 → B2 ), ta thực sau: • Cho u vectơ V , xác định [u]B1 • Lần lượt thay u v1 , v2 , , ta xác định [v1 ]B1 , [v2 ]B1 , , [vn ]B1 Khi (B1 → B2 ) = ([v1 ]B1 [v2 ]B1 [vn ]B1 ) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 89/97 Đặc biệt, V = Rn , để xác định (B1 → B2 ) ta làm sau: • Lập ma trận mở rộng (u1 u2 un | v1 v2 ) • Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận dạng (In |P ) • Khi (B1 → B2 ) = P Ví dụ Trong khơng gian R3 , cho hai sở B1 = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (2, 3, 1)) B2 = (v1 = (1, −3, 2), v2 = (−1, −2, 4), v3 = (3, 3, −2)) Tìm ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 Giải Cho u = (a, b, c) ∈ R3 , xác định [u]B1    1 a (u1 u2 u3 |u ) = 1 b→ 0 1 c lvluyen@hcmus.edu.vn Ta lập hệ phương trình  0 a−b+c −2a + b + c a−c Chương Không gian vectơ 22/03/2016 90/97   a−b+c Như [u]B1 = −2a + b + c Thay u v1 , v2 , v3 ta có a−c       −2      , [v3 ]B1 = −5 [v1 ]B1 = −3 , [v2 ]B1 = −1 −5   −2 −5 Vậy (B1 → B2 ) = −3 −1 −5 Cách khác Lập ma trận mở rộng   −1 1 3→ (u1 u2 u3 | v1 v2 v3 ) = 1 −3 −2 −2 1     0 −2 −2 0 −3 −5 Suy (B1 → B2 ) = −3 −5 0 −1 −5 −1 −5 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 91/97 Định lý Cho V không gian vectơ B, B1 , B2 , B3 sở V Khi i) (B → B) = In ii) ∀u ∈ V, [u]B1 = (B1 → B2 )[u]B2 iii) (B2 → B1 ) = (B1 → B2 )−1 iv) (B1 → B3 ) = (B1 → B2 )(B2 → B3 ) Nhắc lại Cho B = (u1 , u2 , , un ) sở Rn Khi (B0 → B) = (u1 u2 un ) Hệ Cho k, B1 , B2 sở khơng gian Rn Khi i) (B → B0 ) = (B0 → B)−1 ii) ∀u ∈ V, [u]B = (B0 → B)−1 [u]B0 iii) (B1 → B2 ) = (B0 → B1 )−1 (B0 → B2 ) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 92/97 Ví dụ Cho W khơng gian R4 sinh vectơ: u1 = (1, 2, 2, 1), u2 = (0, 2, 0, 1), u3 = (−2, 3, −4, 1) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở W b) Cho u = (a, b, c, d), tìm điều kiện để u ∈ W Khi tìm [u]B ? c) Cho v1 = (1, 0, 2, 0); v2 = (0, 2, 0, 1); v3 = (0, 0, 0, 1) Chứng minh B = (v1 , v2 , v3 ) sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B ? Giải a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở W    u1    Lập A = u2 = u3 −2 tuyến tính Vì W = B lvluyen@hcmus.edu.vn  2 1 Ta có r(A) = 3, suy B độc lập −4 nên B sở W Chương Không gian vectơ 22/03/2016 93/97 b) Cho u = (a, b, c, d), tìm điều kiện để u ∈ W Khi tìm [u]B ? Ta có u ∈ W u tổ hợp tuyến tính B Lập    −2 a 0 2   b 0 (u1 u2 u3 |u ) =  2 −4 c→ 0 1 1 d 0 hệ phương trình  a + 2b − 4d −a − 3b + 7d   b − 2d −2a + c Dựa vào hệ phương trình, ta thấy để u ∈ W −2a + c = Hơn lvluyen@hcmus.edu.vn   a + 2b − 4d [u]B = −a − 3b + 7d b − 2d Chương Không gian vectơ 22/03/2016 94/97 c) Cho v1 = (1, 0, 2, 0); v2 = (0, 2, 0, 1); v3 = (0, 0, 0, 1) Chứng minh B = (v1 , v2 , v3 ) sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B ? Ta thấy vectơ v1 , v2 , v3 thỏa điều kiện −2a + c = nên theo câu b), vectơ thuộc W Mặt khác, dễ thấy B = (v1 , v2 , v3 ) độc lập tuyến tính nên B sở W (do dimW = |B| = = |B | ) Dùng kết câu b) ta có       −4      7 [v1 ]B = −1 , [v2 ]B = , [v2 ]B = 0 −2   −4  7 Suy (B → B ) = −1 0 −2 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 95/97 Ví dụ Trong khơng gian R3 , cho S = (u1 = (1, 1, 3), u2 = (1, −2, 1), u3 = (1, −1, 2)) T = (v1 = (1, −2, 2), v2 = (1, −2, 1), v3 = (1, −1, 2)) a) Chứng tỏ S T sở R3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ S sang T ?   c) Cho u ∈ R3 thỏa [u]T = −3 Tìm [u]S ? −2 a) Chứng tỏ S T sở R3     u1 1 1 Ta có r(A) = 3, suy S độc lập Lập A = u2 = 1 −2 u3 −1 −2 tuyến tính Hơn dimR3 = số vectơ S Vậy S sở R3 Làm tương tự cho T lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Khơng gian vectơ 22/03/2016 96/97 b) Tìm ma trận chuyển sở từ S sang T ? Lập ma trận mở rộng  (u1 u2 u3 | v1 v2  0 −1  → −1 0 1 1 1 v3 ) = 1 −2 −1 −2 −2 2   −1 0   Suy (S → T ) = −1  −1  0 0  c) Cho u ∈ R3 thỏa [u]T = −3 Tìm [u]S ? −2       −1 0 −2 Ta có [u]S = (S → T )[u]T = −1 0−3= −5 −2 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/03/2016 97/97 ... khơng gian vectơ R Ví dụ Cho V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | 2x1 + 3x2 + x3 = 0} Khi V không gian vectơ R lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Không gian vectơ 22/ 03 /2016 6/97 Ví dụ Cho W = {(x1 , x2 , x3 )... lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Khơng gian vectơ 22/ 03 /2016 26/97 Ví dụ Trong khơng gian R5 cho vectơ u1 = (1, 2, 3, 5, 1); u2 = (1, 3, − 13, 22, −1); u3 = (3, 5, 1, −2, 5) Hãy xét xem u1 , u2 , u3 độc lập tuyến tính...  + 3 = 4;  α1 2α1 + α2 + 3 3 = 9;  −α1 − α2 − 3 = −2 Giải hệ ta α1 = 1, α2 = −2, 3 = Suy u = u1 − 2u2 + 3u3 Do u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Khơng gian