DSTT CNTT HK2 2015 2016 chuong 1 ma tran va he phuong trinh tuyen tinh

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016 Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/dsb1 FB: fb.com/daisob1 Trường Đại Học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 1/104 Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính 2x + y = 5; 4x − y =   −x +y +z = 1; 4x −3y +5z = 6; Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính  2x +y −z = Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính  −2x +2y +z +2t    2x −2y +3z −3t x +y +z −2t    3x +4y −5z +2t = 1; = 2; = 2; = Hỏi Làm cách để giải hệ phương trình có số ẩn số phương trình lớn? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 2/104 Nội dung Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 3/104 1.1 Ma trận Định nghĩa ký hiệu Ma trận vuông Các phép tốn ma trận Một số ký hiệu • N = {0, 1, 2, } tập hợp số tự nhiên • Z = {0, 1, −1, 2, −2, } tập hợp số nguyên m • Q= | m, n ∈ Z, n = tập hợp số hữu tỉ n • R: Tập hợp số thực • C: Tập hợp số phức lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 4/104 1.1.1 Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa Một ma trận A cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng n cột với m × n phần tử R, có dạng   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   am1 am2 amn Ký hiệu A = (aij )m×n hay A = (aij ), aij ∈ R aij hay Aij phần tử vị trí dòng i cột j A Mm×n (R): Tập hợp tất ma trận cấp m × n R lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 5/104 Ví dụ  A= −3 ∈ M2×3 (R); −6  B = 0 1 ∈ M3×2 (R) Định nghĩa Ma trận có tất phần tử gọi ma trận khơng , ký hiệu 0m×n (hay 0) Ví dụ 03×4 lvluyen@hcmus.edu.vn   0 0 = 0 0 0 0 0 Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 6/104 1.1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu ma trận A có số dòng số cột A gọi ma trận vng   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   an1 an2 ann ✄ Mn (R): Tập hợp tất ma trận vng cấp n R Ví dụ   −1 A =  −1 1 ∈ M3 (R); lvluyen@hcmus.edu.vn  0 03 = 0 0 0 Chương Ma trận Hệ PTTT  23/02/2016 7/104 Định nghĩa Nếu A = (aij ) ∈ Mn (R) đường chứa phần tử a11 , a22 , , ann gọi đường chéo (hay đường chéo) A   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   an1 an2 ann Ví dụ   A = −2 −3 3 −2 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 8/104 Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn (R) Khi Nếu phần tử nằm đường chéo A (nghĩa aij = 0, ∀i > j) A gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằm đường chéo A (nghĩa aij = 0, ∀i < j) A gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằm đường chéo (nghĩa aij = 0, ∀i = j) A gọi ma trận đường chéo, ký hiệu A = diag(a1 , a2 , , an )     0 0 Ví dụ A =  −3 3, B = −2 0 −1 −4   −1 0  0 0 C = diag(−1, 0, 5) = 0 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 9/104 Nhận xét Ma trận A ma trận đường chéo vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác Định nghĩa Ma trận vuông cấp n có phần tử đường chéo 1, phần tử nằm đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I) Ví dụ I2 = lvluyen@hcmus.edu.vn ;   0 I3 =  0 0 Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 10/104 Ví dụ Cho A = Khi A−1 = 2 −5 −1 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) Giả sử A khả nghịch có nghịch đảo A−1 Khi (i) A−1 khả nghịch (A−1 )−1 = A (ii) A khả nghịch (A )−1 = (A−1 ) (iii) ∀α ∈ R \ {0}, αA khả nghịch (αA)−1 = −1 A α Mệnh đề Cho A, B ∈ Mn (R) Nếu A B khả nghịch AB khả nghịch, (AB)−1 = B −1 A−1 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 90/104 1.4.2 Nhận diện tìm ma trận khả nghịch Định lý Cho A ∈ Mn (R) Khi khẳng định sau tương đương: (i) A khả nghịch (ii) r(A) = n (iii) A ∼ In (iv) Tồn phép BĐSCTD ϕ1 , , ϕk biến ma trận A thành ma trận đơn vị In : ϕ1 ϕ k A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = In Hơn nữa, qua phép BĐSCTD ϕ1 , · · · , ϕk , ma trận đơn vị In biến thành ma trận nghịch đảo A−1 : ϕ1 ϕ k In −→ B1 −→ · · · −→ Bk = A−1 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 91/104 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) dùng phép BĐSCTD đưa A dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1 ϕp (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ · · · −→ ( Ap | Bp ) −→ · · · Trong q trình biến đổi xảy hai trường hợp sau: • Trường hợp 1: Tồn p cho dãy biến đổi trên, ma trận Ap có dòng hay cột Khi A khơng khả nghịch • Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai dãy biến đổi khơng có dòng hay cột Khi ma trận cuối dãy có dạng (In |B) Ta có A khả nghịch A−1 = B Lưu ý Nếu toán yêu cầu kiểm tra ma trận A có khả nghịch hay khơng, ta cần tính hạng ma trận (dùng Gauss) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 92/104   1 Ví dụ Cho A = 1 2 Xét tính khả nghịch A tìm A−1 (nếu có)? Giải    1 1 0 d2 −d1    (A|I3 ) = 2 −−−−→ d3 −d1 0  d1 −d2  −−−−→ d3 −d2  d −d3 0 −−2−−→  1 0 1 −1 0 −1  −1 0 1 −1 0 −1  0 −1 −1 −1 −1 1 (I3 |A−1 ) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 93/104  Suy A khả nghịch A−1  −1 −1 = −1 −1   Ví dụ.Cho B = −2 −5 3 Xét tính khả nghịch B tìm 15 −1 B (nếu có)? Giải    0 d +2d1 0 −1 (B|I3 ) = −2 −5 0 −−2−−−→ d3 −2d1 15 0 −1 −2  d1 +2d2 21 d3 −d2 −−− −−→  −9 −2 −d2 0 −4  0 0  −1 0 −1 Suy r(B) = < Như B không khả nghịch lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 94/104 Ví dụ Tìm tất giá trị m để   A= ma trận sau khả nghịch  m Giải Tìm hạng A     1 1 −2d1 2 m −d−2− −−→ 0 −1 m − 4 d3 −3d1 −1 −5   1 d −d2 0 −1 m − 4 −−3−−→ 0 −m − Ta có A khả nghịch ⇔ r(A) = Do để A khả nghịch −m − = ⇔ m = −1 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 95/104 Ví dụ Xét tính khả nghịch A tìm A−1 (nếu có)      A=  12  14 19 Giải  2 (A|I4 ) =  3 d2 −2d1 d3 −3d1 −−−−−→ d4 −4d1 lvluyen@hcmus.edu.vn  0  0 7 12 14 19 0 0 0 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 Chương Ma trận Hệ PTTT  0  0 0  0  0 23/02/2016 96/104  0  0   d1 −2d2 −− −−→  0 d3 −d2  d1 −7d3 0 d2 +2d3 −−−−→  0 d4 −2d3  d1 +d4  d −d4 0 −−2−−→ 0 d3 −d4 lvluyen@hcmus.edu.vn  0  0  −2 0 −2 −1 −2 0  1 −1 −1 0 0 −4  −1 12 −7 0 −4 −1 0  1 −1 −1 0 −2 −2  −9 0 10 0 −2 −3 −1  = (I4 |A−1 ) 1 −3 −1 −2 −2 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 0 0 0 0 Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 97/104 Như vậy, A khả nghịch  A−1  10 −9 −2 −3 −1  =  −3 −1 −2 −2 Ví dụ Xét tính khả nghịch A tìm A−1 (nếu có)    1   A=   −1 −3 Giải   (A|I4 ) =   −1 lvluyen@hcmus.edu.vn −3 0 Chương Ma trận Hệ PTTT 0 0  0    23/02/2016 98/104  d2 −2d1 0 d3 −3d1 −−−−→  0 d4 −4d1   d3 −2d2 −− −−→  0 d4 −3d2   d −d3 0 −−4−−→ 0 −3 −5 −8 −2 −6 −7 −11 −3 −9 −12 −19 −4 0 1 −3 −5 −8 −2 −2 −3 1 −3 −5 −8 −2 −2 0 −1  0  0  0 0  0  0 0  0 −1 0 Ta có r(A) < Suy A không khả nghịch lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 99/104 1.5 Phương trình ma trận Định lý Cho ma trận A, A ∈ Mn (R) khả nghịch B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi (i) AX = B ⇔ X = A−1 B; (ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ; (iii) AXA = D ⇔ X = A−1 DA −1 Ví dụ Giải phương trình X= −2 Giải Phương trình có dạng AX = B Ta có A khả nghịch A−1 = lvluyen@hcmus.edu.vn −1 Suy X = A−1 B = −5 Chương Ma trận Hệ PTTT −6 16 23/02/2016 100/104 Ví dụ Giải phương trình X = −2 Giải Phương trình có dạng XA = B Ta có A khả nghịch A−1 = −1 −5 Suy X = BA−1 = −2 −1 = −5 −19 11 −21 13 Ví dụ Tìm ma trận X thỏa     1 1 −2 1 2X = 3 1 3 −1 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 101/104 Giải Phương trình có dạng AXB = C Ta có A, B khả nghịch   −1 −2 −1; B −1 = A−1 = −1 −4 −1 Suy  X = A−1 CB −1 lvluyen@hcmus.edu.vn   −1 −2 −2 −13 1 = −1 −4 −1 −1   −1 −5 −2 5 = −4 −1 −2   17 −13 9 = −11 −4 Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 102/104 Ví dụ Tìm ma trận X thỏa −1 X= −2 −3 1 −2 −1   x1 x2 Giải Đặt X = x3 x4  Ta có x5 x6 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6  x1 + 2x3 − x5 = 1;    x2 + 2x4 − x6 = −2; Suy hệ phương trình −2x −1  − 3x3 + x5 =   −2x2 − 3x4 + x6 =   −1  −1 −2  A˜ =  −2 −3 −1 −2 −3 1 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 103/104  0  0 0 0 0  −1 0 4  −1 1 −1 −3 Suy  x1     x2    x3 x4      x   x6 = = = = = = −1 − t; − s; + t; −3 + s; t; s t, s ∈ R   −1 − t 4−s Vậy X =  + t −3 + s  với t, s tự t s lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02/2016 104/104 ... Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02 /2 016 6 /10 4 1. 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu ma trận A có số dòng số cột A gọi ma trận vuông   a 11 a12 a1n  a 21 a22 a2n   A=   an1 an2... Chương Ma trận Hệ PTTT 23/02 /2 016 4 /10 4 1. 1 .1 Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa Một ma trận A cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng n cột với m × n phần tử R, có dạng   a 11 a12 a1n  a 21 a22 ... cột j B   1 Ví dụ Cho A = ; B = −2 1 C = 1 AB, BA, AC, CA, BC, CB? Giải  1  −3 −2 1 = • AB = 11    11 1 • BA = −2 1 =  −4 1 lvluyen@hcmus.edu.vn Tính −2  Chương Ma trận Hệ PTTT