Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 39 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
39
Dung lượng
445,66 KB
Nội dung
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016 Chương ĐỊNH THỨC lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/dsb1 FB: fb.com/daisob1 Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 1/39 Nội dung Chương ĐỊNH THỨC Định nghĩa tính chất Định thức ma trận khả nghịch Ứng dụng định thức để giải hệ PTTT lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 2/39 2.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Quy tắc Sarrus Khai triển định thức theo dòng cột Định thức phép biến đổi sơ cấp lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 3/39 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho A ma trận vuông cấp n Ta gọi ma trận A(i|j) ma trận có từ A cách xóa dòng i cột j A Rõ ràng ma trận A(i|j) có cấp n − 3 Ví dụ Cho A = 6 10 5 Tìm ma trận A(1|2) A(2|3)? 3 Giải A(1|2) = 6 3; 10 lvluyen@hcmus.edu.vn 2 A(2|3) = 6 Chương Định thức 08/03/2016 4/39 Định nghĩa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Định thức ma trận A, ký hiệu detA hay |A| số thực xác định quy nạp theo n sau: • Nếu n = 1, nghĩa A = (a), |A| = a a b , |A| = ad − bc c d a11 a12 a1n a21 a22 a2n • Nếu n > 2, nghĩa A = , an1 an2 ann • Nếu n = 2, nghĩa A = dòng n a1j (−1)1+j |A(1|j)| |A| ==== j=1 ==== a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + · · · + a1n (−1)1+n A(1|n) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 5/39 Ví dụ Cho A = −2 Khi |A| = 4.5 − (−2).3 = 26 Ví dụ Tính định thức ma trận −3 0 A = 2 3 Giải dòng |A| ==== 1(−1)1+1 2 + 2(−1)1+2 + (−3)(−1)1+3 4 ==== 12 − 16 + 15 = 11 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 6/39 2.1.2 Quy tắc Sarrus (n = 3) a11 a12 a13 Cho A = a21 a22 a23 Theo định nghĩa định thức, ta có a31 a32 a33 a a a a a a |A| = a11 22 23 − a12 21 23 + a13 21 22 a31 a32 a31 a33 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 Từ ta suy công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau: lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 7/39 |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ) (Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh) Ví dụ = (1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1) − (3.2.3 + 1.1.1 + 2.4.5) = −31 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 8/39 2.1.3 Khai triển định thức theo dòng cột Định nghĩa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Với i, j ∈ 1, n, ta gọi cij = (−1)i+j detA(i|j) phần bù đại số hệ số aij 1 Ví dụ Cho A = 2 1 Tìm phần bù đại số a12 a31 ? Giải c12 = (−1)1+2 lvluyen@hcmus.edu.vn = 3; c31 = (−1)3+1 Chương Định thức 1 = −2 08/03/2016 9/39 Định lý Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Với i, j ∈ 1, n, gọi cij phần bù đại số hệ số aij Ta có cơng thức khai triển |A| n • theo dòng i: |A| = aik cik k=1 n • theo cột j: |A| = akj ckj k=1 Nhận xét n dòng i aik (−1)i+k |A(i|k)| |A| ==== cột j k=1 n akj (−1)k+j |A(k|j)| ==== k=1 −1 2theo dòng cột Ví dụ Tính định thức A = 5 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 10/39 Ví dụ Tìm tất a)A = −1 giá trị m để ma trận sau khả nghịch 1 1 1 3 ; b)B = 2 m2 2 m −1 −3 Hướng dẫn a) Ta có |A| = 8m − 72 Do A khả nghịch 8m − 72 = ⇔ m = b) Ta có |B| = (4m − 4)(0) = Do B khơng khả nghịch với m 1 Ví dụ.(tự làm) Cho A = 2 1 Tính |A−1 |; 3 Đáp án |A−1 | = ; lvluyen@hcmus.edu.vn |3A| = 54; |3A|; |adj(A)| |adj(A)| = Chương Định thức 08/03/2016 25/39 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) A khả nghịch Khi (i) |A−1 | = ; |A| (ii) |αA| = αn |A|; (iii) |adj(A)| = |A|n−1 Ví dụ Cho A, B ∈ M3 (R) |A| = 3, |B| = −2 Tính |(2AB)−1 | |adj(AB)|? Giải • |(2AB)−1 | = 1 1 = = = =− ; |2AB| |AB| 8|A||B| 8.(3).(−2) 48 • |adj(AB)| = |AB|3−1 = (|A||B|)2 = (3.(−2))2 = 36 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 26/39 2.3 Ứng dụng định thức để giải hệ PTTT Quy tắc Cramer Biện luận giải hệ PTTT Cramer lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 27/39 2.3.1 Quy tắc Cramer Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn n phương trình Đặt ∆ = detA; ∆i = det(Ai ), ∀i ∈ 1, n, Ai ma trận có từ A cách thay cột i cột B Khi đó: (i) Nếu ∆ = (∗) có nghiệm là: xi = ∆i , i ∈ 1, n ∆ (ii) Nếu ∆ = ∆i = với i (∗) vơ nghiệm (iii) Nếu ∆ = ∆i = ∀ ∈ 1, n hệ vơ nghiệm vơ số nghiệm Trong trường hợp ta phải dùng phương pháp Gauss Gauss-Jordan để giải (∗) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 28/39 Ví dụ Giải phương trình x 2x x sau quy tắc Cramer − y − 2z = −3; − y + z = 1; + y + z = (1) Giải Ta có −3 −1 −2 −1 −2 −1 = −7; = −7; ∆1 = |A1 | = ∆ = |A| = −1 1 1 1 −3 −2 −1 −3 1 = −14; ∆3 = |A3 | = −1 = −7 Vì ∆2 = |A2 | = 1 ∆ = nên hệ (1) có nghiệm x= lvluyen@hcmus.edu.vn ∆2 ∆3 ∆1 = 1; y = = 2; z = = ∆ ∆ ∆ Chương Định thức 08/03/2016 29/39 Ví dụ Giải hệ phương trình sau x + y − 2x + 3y + 5x + 7y + quy tắc Cramer 2z = 4; 3z = 3; 4z = (2) Giải Ta có 1 −2 = 0; ∆ = |A| = 4 −2 = −45 ∆1 = |A1 | = 3 Vì ∆ = có ∆1 = nên hệ phương trình vơ nghiệm lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 30/39 Ví dụ Giải hệ phương trình sau quy tắc Cramer x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = 10 (3) Giải Ta có 1 −2 = 0; ∆ = |A| = 4 −2 = 0; ∆1 = |A1 | = 3 10 4 −2 1 = 0; ∆3 = |A3 | = 3 = ∆2 = |A2 | = 10 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = nên khơng kết luận nghiệm hệ Do ta phải dùng Gauss Gauss-Jordan để giải lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 31/39 Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có 1 −2 3 A˜ = 2 10 −9 1 −2 d1 −d2 d −2d1 0 −5−−− −5 −−→ 0 A˜ −−2−−−→ d3 −2d2 d3 −5d1 14 −10 0 0 Ta có z ẩn tự Như nghiệm hệ (3) x = + 9t; y = −5 − 7t; z = t ∈ R lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 32/39 2.3.2 Biện luận giải hệ PTTT Cramer Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình sau theo x1 + 2x2 + 2x3 −2x1 + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 mx1 + x2 + (m + 1)x3 tham số m ∈ R: = 0; = 2; = −2 Giải Ta có 2 ∆ = |A| = −2 m − m − = m2 − 4m + = (m − 1)(m − 3); m m+1 ∆1 = |A1 | = lvluyen@hcmus.edu.vn 2 m − m − = −4m + 12; −2 m+1 Chương Định thức 08/03/2016 33/39 2 m − = 0; ∆2 = |A2 | = −2 m −2 m + 1 2 = 2m − = 2(m − 3) ∆3 = |A3 | = −2 m − m −2 Biện luận: Nếu ∆ = ⇔ m = 1; Khi hệ có nghiệm m = (x1 , x2 , x3 ) = Nếu ∆ = ⇔ −4 , 0, m−1 m−1 m=1 m=3 • Với m = 1, ta có ∆1 = = nên hệ vô nghiệm lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 34/39 • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = Khi hệ phương trình là: 2 2 0 d +2d1 0 2 −−2−−−→ 2 A˜ = −2 −2 d3 −3d1 −2 −5 −2 −2 d3 +d2 6/5 −4/5 − 51 d2 2/5 −−−−−→ 0 2/5 d1 −2d2 0 0 Ta có x3 ẩn tự Suy nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = 2 − t − , − t + , t với t ∈ R 5 5 Ví dụ Giải biện luận hệ phương 12y (m − 7)x + −10x + (m + 19)y −12x + 24y lvluyen@hcmus.edu.vn trình sau theo tham số m ∈ R: − 6z = m; − 10z = 2m; + (m − 13)z = Chương Định thức 08/03/2016 35/39 Giải m−7 12 −6 −10 = (m − 1)2 (m + 1); ∆ = −10 m + 19 −12 24 m − 13 m 12 −6 −10 = m(m − 1)(m − 17); ∆1 = 2m m + 19 24 m − 13 ∆2 = 2m(m − 1)(m − 14); ∆3 = −36m(m − 1) Biện luận: Nếu ∆ = ⇔ m = −1 x = ∆1 = ∆ ∆2 y = = ∆ ∆3 z = = ∆ lvluyen@hcmus.edu.vn m = Khi hệ có nghiệm m(m2 − 18m + 17) (m − 1)(m2 − 1) m(m2 − 15m + 14) (m − 1)(m2 − 1) −36m(m − 1) (m − 1)(m2 − 1) Chương Định thức = = = m(m − 17) ; m2 − m(m − 14) ; m2 − −36m m2 − 08/03/2016 36/39 Nếu ∆ = ⇔ m = −1; m = • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 = nên hệ vơ nghiệm • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = Hệ trở thành −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2; −12x + 24y − 12z = Ma trận hóa hệ −6 A˜ = −10 −12 phương trình ta có −6 12 −6 12 −6 d3 −2d1 20 −10 2−−−−−→ −10 20 −10 2 24 −12 0 0 −2 Suy hệ vô nghiệm lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 37/39 Ví dụ.(tự làm) Giải biện luận hệ phương trình sau x2 + x3 = 1; mx1 + x1 + mx2 + x3 = 1; x1 + x2 + mx3 = Hướng dẫn ∆ = m3 − 3m + = (m − 1)2 (m + 2); ∆1 = ∆2 = ∆3 = m2 − 2m + = (m − 1)2 Biện luận: m=1 Khi hệ có nghiệm m = −2 Nếu ∆ = ⇔ (x1 , x2 , x3 ) = lvluyen@hcmus.edu.vn 1 , , m+2 m+2 m+2 Chương Định thức 08/03/2016 38/39 Nếu ∆ = ⇔ m=1 m = −2 • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = Hệ trở thành x + y + z = 1; x + y + z = 1; x + y + z = Giải hệ Gauss Gauss-Jordan, ta có hệ vô số nghiệm (x1 , x2 , x3 ) = (1 − t − s, t, s) với t, s ∈ R • m = −2, ta có ∆1 = = Suy hệ vô nghiệm lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Định thức 08/03/2016 39/39 ... 08/03 /20 16 6/39 2. 1 .2 Quy tắc Sarrus (n = 3) a11 a 12 a13 Cho A = a21 a 22 a23 Theo định nghĩa định thức, ta có a31 a 32 a33 a a a a a a |A| = a11 22 23 − a 12 21 23 + a13 21 22 a31 a 32 a31... −751 = 28 58 548 −3 42 Chương Định thức 08/03 /20 16 16/39 Ví dụ 1 3 4 6d1 12d2 1 ====== 60d3 12 60 c1 −2c2 c2 −c3 ====== c3 −2c2 4 320 dòng ====== − 4 320 6 20 15 12 2 1 −10 2 −10 = 21 60 Nhận... a11 a 22 a33 + a 12 a23 a31 + a13 a21 a 32 −(a13 a 22 a31 + a11 a23 a 32 + a 12 a21 a33 ) (Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh) Ví dụ = (1 .2. 5 + 2. 1.3 + 3.4.1) − (3 .2. 3 + 1.1.1 + 2. 4.5)