Chương 2 Định Thức Toán Cao Cấp C2

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC I – Các định nghĩa ví dụ II – Tính chất định thức III – Định thức ma trận khả nghịch I Các định nghĩa ví dụ 1.1 Định nghĩa ma trận ma trận Cho A = ( aij ) n×n ma trận vng cấp n Gọi A(i; j) ma trận thu cách bỏ dòng thứ i cột thứ j ma trận A; 1.2 Ví dụ 1 −3 A =     1 0 A(2,3) =   3 2  −3  (bỏ d2, c1 A) A ( 2;1) =   2   −3 A(3,1) =   3  1.3 Định nghĩa định thức: Định thức ma trận A, kí hiệu detA A Nếu A = [ a11 ]  a11 a12  Nếu A =   a a 22   21  a11 a12  Nếu A = a 21 a 22  a 31 a 32 det A = A = a11 det A = a11a 22 − a12 a 21 a13  a 23  det A = a11a 22 a 33 + a12 a 23a 31 +a13a 21a 32 a 33  −a13a 22 a 31 −a11a 23a 32 −a12 a 21a 33 Cột 1Cột Nháp  a11 a12 a  21 a 22  a 31 a 32 ( −) ( −) a13  a11 a12 a 23  a 21 a 22 a 33  a 31 a 32 ( −) ( +) ( +) ( +) Nếu n≥  a11 a12 L A= *  a1n    det A = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n Trong A ij = ( −1) i+ j A ( i;j) Ví dụ Tính định thức ma trận sau: 1 0 A= 0  1 0 −1  −1 2   0 m  −2 B= 0  0 −1   1 2  −2  Lưu ý: Có thể tính định thức cách khai triển theo dịng cột tùy ý (Nên chọn dịng cột chứa nhiều 1.4 Đối với định thức cấp từ trở lên ta cịn tính cách khác sau: - Dùng phép bđsc dòng cột để làm cho dòng cột chứa nhiều số Sau khai triển theo dịng cột Lưu ý: Khi sử dụng phép bđsc để tính định thức cần nhớ rằng: i) | A | iii ) | A | di ↔ d j = − | A′ | di →di + β d j = ii ) | A | di →α di = | A′ |; α | A′ | Ví dụ: Tính định thức ma trận sau: 2  −2 A= 3  1 2  1 −2   3 1  −2 B= 0  m −1 m  1  m 2  1 ( α ≠ 0) II CÁC TÍNH CHẤT 2.1 Một số tính chất giúp tính nhanh định thức Tc1: Ma trận A có dịng (cột) 0, det A = −3 11 =0 0 0 14 Tc2: Ma trận A có hai dịng (cột) tỉ lệ nhau, detA = −2 −6 = 15 ( c2 = 3c1) Tc3: Nếu A ma trận tam giác detA tích phần tử đường chéo Ví dụ −1 −3 A=0 0 0 0 4 = ⋅ (−3) ⋅ ⋅ ⋅1 = −120 2.2 Phương pháp tính định thức có quy luật 1) Dùng phép bđsc cho dịng 1cột có thừa số chung, sau đem thừa số chung dấu định thức (thường dùng với định thức chứa tham số) 2) Dùng phép bđsc dòng cột để làm cho dòng cột chứa nhiều số 0, sau khai triển định thức theo dịng cột Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức ma trận 1    ÷ A= a b c ÷ b + c c + a a + b÷   Giải | A| d3 → d3 + d a b c a +b+c a +b+c a +b+c 1 = ( a + b + c) a b c = 1 Ví dụ Tính x y z x 0 y y z z x z y x Ví dụ 13 Tính định thức Dn = L L 0 L L L L L L 0 L Ví dụ 14 Tính định thức Dn = L L 0 L L L L L L 0 L Ví dụ 15 Tìm ma trận nghịch đảo cách tính định thức 1  A =  −1÷  ÷ 3 ÷   Ví dụ 16 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau 1  −1 A= 5  1 0 0 0÷ ÷ 0÷ ÷ 2 Ví dụ 18 Tìm tất giá trị thực m để ma trận sau khả nghịch   1  A =  m ÷ ÷  ÷ ÷  −1÷ ÷    Ví dụ 19  1 1  ÷ Cho A =  ÷  3 5÷   1) Tính det (A-1) 2) Tính det (5A)-1 3) Tính det (PA) Ví dụ 20 Cho A ∈ M 3[ R ]; B ∈ M 3[ R ];det( A) = 2;det( B ) = −3 1) Tính det (4AB)-1 2) Tính det (PAB) I Định nghĩa ví dụ Ví dụ 1 −3 A =     Tính detA với Giải det A = a11 ×c11 + a12 ×c12 + a13 ×c13 = 1×c11 + ×c12 + (−3) ×c13 −3 1+1 1+1 c11 = (−1) = ( −1) = 12 4 1+1 det A = ×(−1) 3 1+ + ×c12 + (−3) ×(−1) det A = 12 + 15 = 27 1.5 Cơng thức khai triển Có thể tính định thức cách khai triển theo dòng cột tùy ý (Nên chọn dịng cột chứa nhiều số 0) A = ai1 * L ain = ai1 Ai1 + Ai + L + ain Ain * a1 j A= * a2 j * L anj = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj II Các tính chất 2.1 Các tính chất Tc1: det AT = det A 1   3 T A= ⇒ A =   5     A = A T = −1 Tc2: Ma trận A có dịng (cột) 0, det A = =0 Tc3: Ma trận A có hai dịng (cột) tỉ lệ nhau, detA = =0 2.1 Các tính chất Tc4: i) det(AB) = detA detB ( ) = ( det A ) ii) det A ( iii) det A k −1 ) = det A k , ∀k ≥ A khả nghịch Chú ý: det(A+B) ≠ detA + detB Tc5: Nếu A ma trận tam giác detA tích phần tử đường chéo Ví dụ −1 −3 A=0 0 0 0 4 = ⋅ (−3) ⋅ ⋅ ⋅1 = −120 Tc6: Nếu dòng (hoặc cột) A có phần tử biểu diễn thành tổng hai số hạng detA phân tích thành tổng hai định thức Ví dụ a11 a12 a11 a12 a11 a12 = + a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 21 a 22 b 21 b 22 Tc7: Khi sử dụng biến đổi sơ cấp tính định thức i) | A | di →α di iii ) | A | = | A′ | α ( α ≠ 0) ii ) | A | di →di + β d j di ↔ d j = − | A′ | Chú ý: Kết hợp 2, ta có phép biến đổi | A| di →α di + β d j = | A′ | α ( α ≠ 0) = | A′ | Ví dụ Sử dụng phép biến đổi sơ cấp, tính định thức  1 −1     A= − 2   −  Giải | A| −1 Khai triển 5 theo cột 1+ − × ( − 1) 2 −1 −1 d3 → d3 − 2d1 d → d + d1 d3 →3d3 −2d1 1 −7 Khai triển theo cột 2 1+ ×(−1) = −19 −7