Bài giảng Chương 2 Toán cao cấp C2

Chương §1 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 1.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính hệ thống gồm m phương trình bậc n ẩn có dạng sau  a11 x1  a12 x2 a x  a x  21 22      am1 x1  am x2   a1n xn  b1   a2 n xn      b2     amn xn  bm (2.1) số aij gọi hệ số, số bi gọi hệ số tự x1 , x2 , , xn ẩn số 1.1.1 Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính Xét hệ phương trình tuyến tính (2.1) Đặt  a11 a12  a a22 A   21    am1 am a1n   a2 n  ,   amn   x1    x X  2,      xn   b1    b B       bm  (2.2) Khi hệ phương trình tuyến tính (3.1) viết lại sau A X  B (2.3) A gọi ma trận hệ số, B gọi cột hệ số tự X gọi cột ẩn Ma trận A có cách viết thêm vào bên phải ma trận A cột hệ số tự B , gọi ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính (2.1)  a11  a A   21    am1 a12 a22 am a1n b1   a2 n b2    amn bm  (2.4) 1.2 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến gồm m phương trình , n ẩn gọi b1  b2   bm   a11 x1  a12 x2 a x  a x  21 22      am1 x1  am x2   a1n xn   a2 n xn         amn xn    1.3 Hệ Crammer Hệ phương trình tuyến tính (2.1) gọi hệ Cramer m  n det  A   a11 x1  a12 x2 a x  a x  21 22      an1 x1  an x2   a1n xn  b1   a2 n xn       ann xn  b2    bn Nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2.1) gồm số  c1 , c2 , , cn  thỏa mãn (2.1) Ví dụ a)  x1  x2  2 x1  3x2  x3  x3  hệ hai phương trình tuyến tính  2 x1  x2   x1  3x2  hệ hai phương trình tuyến tính không  1 ba ẩn b) hai ẩn c) 2 x1  x2  x3   Hệ phương trình  x1  x2  x3  Đây hệ Crammer det A  7   x  x  x  3  số phương trình với số ẩn d) Hệ phương trình có nghiệm, có nghiệm  x1 , x2 , , xn    0,0, ,0 Nghiệm gọi nghiệm tầm thường Ví dụ Các hệ sau hệ hệ nhất, Crammer  x1 2x  a) 2x1 3x  5x  3x  x3  6x   x1 2x  b) 2x1 3x  5x  3x  x3  6x  2x1 3x 3x 5x  c)   x1  x 5x1 8x 4x 6x x3 10x 2x1 3x 3x 5x  d)   x1  x 5x1 8x 4x 6x x3 10x 6 8 3  14 0 0 0 0  x 2y 5z  4t   e)  3y  z  3t  4x 2y 4z  t   2x 4y 5z   f)  x 2y z  2x 4y 7z   Tính chất Hệ phương trình tuyến tính có khả xảy ra: Hoặc có vô số nghiệm có nghiệm  0,0, ,0 Định lý 2.1 Một hệ phương trình tuyến tính có khả sau xảy ra: có nghiệm nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm Ẩn tự do, ẩn sở 3.1 Ẩn tự Ẩn tự ẩn mà giá trị nhận số thực tùy ý thuộc  Trong tính tóan người ta thường kí hiệu x     ( x ẩn tự do) 3.2 Ẩn sở Ẩn sở hay gọi ẩn phụ thuộc ẩn mà giá trị nhận phụ thuộc vào hay nhiều ẩn tự Định lí Cronecker – Capelli Hệ phương trình (2.3) có nghiệm hạng ma trận A hạng ma trận bổ sung A , nghĩa   r  A  r A Định lý 2.2 Giả sử A dạng ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính A X  B     r A  r  A r A  r  A   Hơn a) Nếu r  A   r  A   hệ vô nghiệm b) Nếu r  A  r  A  n , n số ẩn số, hệ có nghiệm c) Nếu r  A   r  A   r  n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n  r tham số §2 Giải hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý 2.3 Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương hai ma trận mở rộng chúng tương đương nhau, nghĩa biến đổi từ ma trận thành ma trận qua số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp theo dòng Dựa vào định lý 3.2, ta có phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính sau: Xét hệ phương trình tuyến tính A X  B ma trận mở rộng A  Dùng phép biến đổi sơ cấp theo dòng biến đổi ma trận A dạng ma  trận đơn giản (ma trận tam giác ma trận bậc thang theo dòng), kí hiệu A   Giải hệ phương trình tương ứng với ma trận mở rộng A Ví dụ Giải hệ phương trình 3x1  x2   x1  x2 4 x  x   x3   x3   x3  Giải: Ma trận A hệ 3    A   1 1  1     5   Nên ma trận mở rộng A   1 1   1    Ta có  5  1 1  d 3d  1 1   1 1    d1  d2   d32  d11   d3  d    1 1       1    1   1   1   5   0 11 22           1 1    Do A   1   0 11 22      Hệ phương trình ứng với ma trận mở rộng A  x1  x  x3     x2  x3   11x3  22  Giải hệ thật dễ dàng Từ phương trình cuối, ta x3  Thế x3 vào phương trình thứ hai, ta x2  Thế x2 , x3 vào phương trình đầu ta x1  1 Ví dụ Giải hệ phương trình sau 2 x1  x2  x3   a)  x1  x2  x3   x  x  x  3  x   d)  2 x    x       f ) 3x1    3x     y  x1  x2  x3   b) 2 x1  3x2  3x3  5 x  x  x  10    y  3z   2y  z   x1  x2  3x3   c) 2 x1  3x2  3x3  5 x  x  x    y z 3    e) 3x 5 y 9 z  2     x 3 y 3z   3x  6x  x  x  5  x  8x  5x  8x   x  12 x  x  x  15 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  x  2y  z     a ) 2 x  y  z      x  2y  z    x1  x2    c) 2 x1  x2     3x1  x2  x  y  z     b) 2 x  y  5z     3x  my  (m 1) z    x3  x4   x3  3x4   x3  x4  1    Đối với câu a ta có ma trận mở rộng A ma trận hệ số A=A= 2  Từ   1 -1 1  1  1     d  d  2d1    0 0  d  d3 0 2 Vậy hệ phương trình ta có A= 2         d3  d3  d1     1 -1  0 2 0 0  viết lại sau  x 2 y  z     z  0, x  y  Ta nhận xét có phương trình   2 z    đến hai ẩn Vậy phải có ẩn tự Chọn y ẩn tự nên ta đặt y      x   Nghiệm tổng quát hệ phương trình (, , 0) Từ nghiệm tổng quát ta tìm nghiệm riêng cho hệ phương trình gán cho  giá trị cụ thể, chẳng hạn với    (2, 2, 0) nghiệm riêng hệ Câu b, c làm tương tự Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  x  y  z t u      3x 2 y  z t 3u    a)  y 2 z 2t 6u    x 4 y 3z 3t u         x  y z t u      x  y  z t 2u  b)   3x 3 y 3z 3t 4u      4 x 5 y 5 z 5t 7u  3 Phương pháp Cramer Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn n phương trình  a11 x1  a12 x2 a x  a x  21 22      an1 x1  an x2   a1n xn  b1   a2 n xn  b2       ann xn    bn Đặt  a11 a12 a1n    a21 a22 a2 n   A          a1n an ann   b1    b B 2     bn  Với j  1, , n ta gọi A j ma trận có từ ma trận A cách thay cột j A ma trận cột B  a11 a12   a21 a22 Aj   a31 a32     a  n1 an  b1 b2 b3  bn  a1n   a2 n  a3n     ann  Cột j Định lý 2.4 Nếu  x1 , x2 , , xn  nghiệm hệ phương trình tuyến tính A X  B A x j  Aj , j  1, 2, , n (2.5) Định lý 2.5 Xét hệ phương trình tuyến tính A X  B Khi i) Nếu A  hệ phương trình có nghiệm  x1 , x2 , , xn  , với xj  Aj A (2.6) ii) Nếu A  tồn j  1, 2, , n cho A j  hệ phương trình vô nghiệm iii) Nếu A  A j  0, j  1, 2, , n hệ phương trình nghiệm (nghĩa vô nghiệm có vô số nghiệm) Trong trường hợp (iii), muốn biết hệ phương trình vô nghiệm hay có vô số nghiệm ta phải dùng phương pháp Gauss-Jordan để giải Ví dụ Giải hệ phương trình sau 2 x1  3x2   x1  x2 3x  x   x3  1  x3  x3   1 Giải: Ta có 3 A1 1  23  2 1 Vậy hệ cho có nghiệm nhất, theo công thức (3.6), ta tính 1 3 A1  1 1 1 1  23 , 2 3 1 A2   46 , A3  1 2 1  69 1 Vậy x A1 23   1, A 23 x2  A2 46 A 69   , x3    A 23 A 23 Chú thích: Phương pháp giải hệ phương trình cách áp dụng định lý gọi phương pháp Cramer Phương pháp đặc biệt hiệu giải biện luận hệ phương trình trường hợp số ẩn số phương trình Tuy nhiên, phương pháp Cramer mang ý nghĩa mặt lý thuyết nhiều mặt hực hành, muốn giải n phương trình tuyến tính n ẩn, ta phải tính  n  1 định thức cấp n Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình sau  x1  a) 2 x1  mx    x2  m   x2    x2  x3  m   x3  m  1 x3 mx1  x2      x1 mx2 b)   x1  x2   2        x3 1  x3 m mx3  m Phương pháp Gauss phương pháp Gauss-Jordan 4.1 Phương pháp Gauss Dựa vào định lý 3.5 định lý 3.6, có thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính A X  B Bước Lập ma trận bổ sung A : A   A B Bước Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận A đưa ma trận A dạng bậc thang dòng Bước Căn vào hạng ma trận A ma trận A để kết luận số nghiệm hệ phương trình  Nếu r  A  r  A hệ vô nghiệm  Nếu r  A  r  A  n hệ có nghệm  Nếu r  A   r  A   r  n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n  r tham số Ví dụ Giải hệ phương trình phương pháp Gauss  x1  3x2   x1  x2 2 x  11x   x3  3x3  12 x3  x4  x4  25 x4  x5  x5  22 x5    Giải   d d 1 1   d32  21d1   A   2 4    5 2 11 4   11 12 25 22   11      1 1      5 2 11 4  0 0 0   d3  d Ta thấy r  A  5    5  r A  5  15  0 Vậy r  A   r  A   nên hệ vô nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x1  x2  a) 2 x1  x2 5 x  x   x3  x3  x3  3x4  x4  x4  x  y  z t u 7     3x 2 y  z t 3u  2    b)  y 2 z 2t 6u  23   x 4 y 3z 3t u  12          2 x  y z t u      x  y  z t 2u  c)   3x 3 y 3z 3t 4u      4 x 5 y 5 z 5t 7u  2 x 2 y  z t u 1     x 2 y z t 2u 1 d)   x 10 y 5 z 5t 7u 1     2 x 14 y 7 z 7t 11u  1 4.2 Phương pháp Gauss-Jordan Định nghĩa Nếu ma trận cuối thu thuật toán Gauss-Jordan có dạng  A ' B ' A ' gọi ma trận rút gọn theo dòng bậc A (hay nói tắt ma trận rút gọn), kí hiệu RA Mục đích phương pháp để việc tính ẩn theo tham số dễ dàng hơn, ta biến đổi ma trận A dạng bậc thang dòng rút gọn Phương pháp minh họa cụ thể ví dụ (b) bên Ví dụ Cho hệ phương trình  x1  x2   x1  x2 3x  x   x3  3x3  x3  9   25 Ta có ma trận mở rộng hệ phương trình  9    A   1   6 1 25    Ma trận cuối thu thuật toán Gauss-Jordan 1 0    A   3   0 1     Do ma trận thu gọn theo dòng bậc 1 0   RA    0 1   Nhận xét: Trong trình biến đổi sơ cấp dòng ma trận bổ sung A , ta cần lưu ý điểm sau:  Nếu thấy xuất dòng không xóa bỏ dòng  Nếu thấy xuất hai dòng tỉ lệ với xóa dòng  Nếu thấy xuất dòng dạng  0 a  , a  K \ 0 (Tức dòng có phần tử khác không cột tự do) kết luận hệ vô nghiệm ma không cần biến đổi tiếp Ví dụ 10 (ví dụ tổng hợp phương pháp) Giải hệ phương trình sau  x1  x2  a) 2 x1  x2  x  2x   x3  2  x3  3x3    3x2  x3  x4  13  x2  x2   x3 x3  x4  x4   14 13  3x2  2x3  x4   x1  x2 2 x  3x  c)   x1  x2 3x1  x2  3x3  x3  x3  22  12  34  x3   x1  x2  d)  x1  x2 x  x   3x3  x3  x4  3x4  1   x3  x4  2 x1 4 x  b)  6 x1 2 x1 Giải 1 a) Ta có det  A  2  18  , Hệ hệ Cramer, ta tính nghiệm theo công thức (3.6) 2 1 det  A1   2  18 , 2 2 det  A2   2  36 , 3 1 2 det  A3    18 2 Do nghiệm hệ x1  1, x2  2, x3  1 10  Q D1  70  P1  2P2  6P3 ; QS1  P1    Q D2  76  3P1  P2  4P3 ; QS2  P2  Q  70  2P  3P  2P ; Q  3P  S3  D3 1) Hãy xác định giá cân ba mặt hàng 2) Các mặt hàng thay lẫn hay phụ thuộc nhau? Ví dụ Xét thị trường có mặt hàng, ta gọi mặt hàng thứ 1, mặt hàng thứ 2, mặt hàng thứ Người ta nghiên cứu thấy hàm cung cầu mặt hàng phụ thuộc vào giá chúng sau:  Q D1  2P1  P2  P3  8; QS1  P2  4P1  P3   Q D2  P1  P3  2P2  10; QS2  P1  4P2  P3   Q  4P  P  P  5; Q   P  P  4P  1 S3  D3 Hãy tìm điểm cân thị trường Ví dụ Xét thị trường có mặt hàng, ta gọi mặt hàng thứ 1, mặt hàng thứ 2, mặt hàng thứ Người ta nghiên cứu thấy hàm cung cầu mặt hàng phụ thuộc vào giá chúng sau: Q D1  9P1  P2  P3  210; QS1  11P1  2P2  P3  20   Q D2  P1  6P2  135; QS2  2P1  19P2  P3  50  Q  2P  4P  220; Q  2P  P  11P  10 S3  D3 1) Tìm điểm cân thị trường 2) Tìm điểm cân thị trường với điều kiện bổ sung: - Lọai hàng thứ nhập thểm 96 (đơn vị); lọai hàng thứ hai xuất 70 (đơn vị); lọai hàng thứ ba nhập thêm 57 (đơn vị) 4.2 Mô hình Input- Output Leontief Trong mô hình ta quy ước số khái niệm chung a) Mỗi ngành sản xuất mặt hàng Ví dụ Ngành thép sản xuất thép Ngành điện sản xuất điện … 2) Mỗi ngành kinh tế sử dụng tỷ lệ cố định đầu vào( hay cách kết hợp cố định yếu tố đầu vào) cho sản xuất đầu Ví dụ Để sản xuất đơn vị sản phẩm đầu ngành cần: 0.4 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a11 14 0.1 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a21 0.2 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a31 Để sản xuất đơn vị sản phẩm đầu ngành cần: 0.2 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a12 0.3 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a22 0.2 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a32 Để sản xuất đơn vị sản phẩm đầu ngành cần: 0.1 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a13 0.4 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a23 0.3 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành a33 Các thông tin biểu diễn dạng ma trận gọi ma trận hệ số đầu vào  a11 a12  0.4 0.2 0.1     A   0.1 0.3 0.4  hay A   a 21 a 22  0.2 0.2 0.3  a    31 a 32 a13   a 23  a 33  Với aij có nghĩa cần lượng hàng hóa thứ i có giá trị aij (đơn vị tiền tệ) để sản xuất đơn vị sản phẩm đầu ngành j Tổng quát Đầu    a11 a12 A   a 21 a 22   a  n1 a n n   a13 a1n  a 23 a 2n  Đầu vào   a nn  n  x1  Gọi X=  x   (x1; x ; x ) tổng sản lượng đầu ngành x   3  y1    Y=  y   (y1; y ; y3 ) tổng nguyên liệu đầu vào ngành y   3 Để sản xuất x1 đơn vị đầu ngành 1, x2 đơn vị đầu ngành 2, x3 đơn vị đầu ngành tổng nguyên liệu lấy từ: Ngành 1: 0.4x1  0.2x  0.1x  y1 Ngành 2: 0.1x1  0.3x  0.4x  y 15 Ngành 3: 0.2x1  0.2x  0.4x  y3 A.X=Y Ví dụ Quay lại Ví dụ ta có yêu cầu sau: 1) Tìm tổng nguyên liệu đầu vào ngành để sản xuất 10 đơn vị đầu ngành * Trường hợp X YD  X  AX+D  (I  A)X  D X  (I  A) 1 D Một số câu hỏi liên quan đến (I-A)-1 1) Ý nghĩa kinh tế (I-A)-1 Ví dụ Quay lại Ví dụ ta có yêu cầu sau: 2) Tìm mức sản lượng ngành cho sau trừ nguyên liệu đầu vào dư để đáp ứng cho yêu cầu khách hàng( gọi ngành kinh tế mở) D= (40;110;40) Ví dụ 10 Trong mô hình Input-Output Leontief, cho ma trận hệ số đầu vào  0.3 0.4 0.1  A   0.2 0.3 0.2   0.2 0.1 0.4    1) Tìm lượng đơn vị đầu vào ngành để sản xuất 10 đơn vị đầu ngành 2) Tìm lượng đơn vị đầu ngành sản xuất từ 10 đơn vị đầu vào ngành 3) Tìm mức sản lượng ngành, cho sau trừ nguyên liệu đầu vào dư để đáp ứng cho yêu cầu ngành kinh tế mở D=(200;300;200) Ví dụ 11 Xét kinh tế có ngành, ngành sản xuất điện ngành sản xuất gas Giả sủ đơn vị đầu ngành điện cần số đơn vị đầu vào : 0.3 điện; 0.1 gas; 1.0 nước Giả sử đơn vị đầu gas cần số đơn vị đầu vào là: 0.2 điện; 0.4 gas; 1.2 nước 1) Hãy tìm phương trình ma trận liên quan X Y biết X=(x1; x2; x3) số đơn vị đầu ngành 16 Y=(y1; y2; y3) số đơn vị đầu vào ngành 2) Cho biết giá đơn vị nguyên liệu đầu vào điện, gas nước 8, 4, Hãy tìm tổng chi phí để sản xuất 1000 đơn vị đầu ngành 3) Cho biết nhu cầu ngành kinh tế mở D=(40;80) Hãy tìm mức sản lượng ngành để đáp ứng nhu cầu ngành ngành kinh tế mở Tìm lượng đơn vị đầu vào ngành nước Câu hỏi phụ: Trong Ví dụ cho biết ma trận (I-A)-1 có ý nghĩa ? Với I  A 1  41 16 15      15 40 25  Giả sử nhu cầu ngành mở ngành tăng 20    16 16 40  thêm đơn vị, nghĩa D=(41;110; 40) Kết luận: Các số liệu cột j ma trận (I-A)-1 cho ta lượng đơn vị phải sản xuất thêm ngành nhu cầu ngành mở tăng thêm đơn vị * Trường hợp Khi nhu cầu ngành kinh tế mở thay đổi theo chiều hướng tăng thêm lượng D nhu cầu đầu ngành thay đổi X  (I  A) 1 D Ví dụ 10: Quay lại ví dụ ta có yêu cầu tiếp sau: 3) Nếu nhu cầu ngành mở ngành tăng thêm đơn vị ngành phải sản xuất thêm đơn vị? 4) Nếu nhu cầu ngành mở ngành giảm đơn vị, ngành tăng đơn vị, ngành tăng đơn vị mức sản lượng ngành phải tăng hay giảm bao nhiêu? 4.3 Mô hình trao đổi Leontief Giả sử kinh tế quốc dân chi thành nhiều ngành; ví dụ ngành sản xuất, ngành giao thông, ngành giải trí, ngành dịch vụ Giả sử biết tổng đầu năm ngành kinh tế Ta gọi tổng đầu tính tiền (ví dụ: đơn vị tỉ đồng) ngành giá ngành Kết Leontief đưa ra: Tồn giá cân tổng đầu tất ngành cho ngành có số thu số chi Ví dụ 11: giả sử kinh tế có ngành than, điện thép Giả sử đầu ngành phân phối cho ngành theo tỉ lệ sau: 17 - Ngành than phân phối cho ngành than 0%, cho ngành 60%, cho ngành thép 40% - Ngành điện phân phối cho ngành than 40%, cho ngành điện 10%, cho ngành thép 50% - Ngành thép phân phối cho ngành than 60%, cho ngành điện 20%, cho ngành thép 20% Gọi giá ngành P1, P2, P3 Tìm giá cân Giải Tổng chi phí ngành than 0.4 P2  0.6 P3  P1 (1) Tổng chi phí ngành điện 0.6 P1  0.1P2  0.2 P3  P2 (2) Tổng chi phí ngành thép 0.4 P1  0.5P2  0.2 P3  P3 (3) Từ (1) , (2), (3) ta có hệ phương trình tuyến tính sau:  10 P1 4 P2 6 P3      6 P1 9 P2 2 P3    4 P1 5P2 9 P3       Ta giải hệ sau:  10 4 6         2 3  7  d  d  6d 1 7   2  6 2 d1  d1 6 2 d1  d1  d3 6 2       d  d  4d 0 33 28   4 5   3 1   4 5   4 5      0 33 28 Dòng 2, tỉ lệ với nên ta bỏ dòng ( dòng 3) Hệ phương trình viết lại sau:  P1 7 P2     33P2   5P3 0 28P3   P3  33; P2  28; P1  31 Nghiệm tổng quát hệ (31, 28,33) Với   giá cân (31, 28, 33) Vậy thu chi ngành cân đối đầu than định giá 31 tỉ đồng, điện 28 tỉ đồng thép 33 tỉ đồng 18 Bài tập Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss Gauss-Jordan 2 x1  x2  a) 3x1  x2 5 x  x   x3  x3  3x3  10  1,  2 x1  x2  b) 3x1  x2 3x  x   x3  x3  x3   11,  11  x1  x2  c) 2 x1  x2 3x  x   x3  x3   17 ,  x3  x3  14 2 x1  d) 4 x1  x2  x  4x   10    3x3 Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer  x1  x2  a) 2 x1  x2 4 x  x   x1  c)  x1  x2 2 x  x   x3  1  x3  x3  4 ,  2  x3   x3  7 ,  5 x1  x2  b)  3x1  x2  7x  4x   x1   d)  3x1   x   Giải phương trình sau  x1   a)  x1  4x   x2  x3  2 x2  x3    x2  x1  x2  b) 5 x1  x2 3x  x  x3 5,  x3  31  x3  29 ,  x3  10  x1  x2 3x  x  c)  x  x   x1  x2  x3  3x4   x3  x3  3x3  x4  x4  x4  4 ,  6  4  x2  x1  3x3  x3  x4  3x4    x2  3x2  x3  x3  x4  x4   5 x2  x  e)  3x1  x2 4 x1  3x2  3x3  x4  5  x3  3x4  x4  4 ,  12   x1 2 x  d)  3x1 4 x1  3x3 19 ,  x3  10  x3  3x3  12 ,  x2  x3  x2  x3  m x2  mx3   x1  x2  f)  x1  x2 x  2x   x1 2 x  g)   x1  x1   x3     x3 x3  x4  x4 x4  1,  x2  3x3  1  x2  x2  x2  x3  x3  3x3    ,     x4 x4  x1  x2 2 x  x  h)   x1  x2 3x1  x1  x1  x2 x  x  i)  x  x  9 x1  x2 x3 x3   x5 x5   ,  x3  x4  x5   x3  x4    3x3  x3    3x4 x4 x4  x5  3x5  x5     x3  16 x4  x5  25 x5 Giải biện luận hệ phương trình sau mx1  x2  a)  x1  mx2 x   x2  x3   x3  1,  mx3 mx1  x2  b)  x1  mx2 x   x2   x3   x3   mx3 m  m2 Tìm a để hệ phương trình sau vô nghiệm, có nghiệm có vô số nghiệm  x  y  3z  a  ax  y  z   x  ay  z  a  Tính hạng ma trận sau:  10   18   a)  10 18 40 17     17  1 1  1 1 1   d)  1 1    1 1 1  11   1  b)  11 56     1 6  2 e) 2 4 5 5 20 2 1 2 c)   2   2 2 1  1 f)  1 1  1 1 3 4   5 1 1 1  1  1 5 4  1 1 Biện luận theo tham số thực  hạng ma trận sau: 1 5  10   a)   11 13 16    10 16 22 26   2 1 b)  3  5  1   1 c)  1   1 1 2 d)  3   12 1 1 1 1 1  1  8 1 0  4 1  5   1 2  3   5   Với giá trị    hạng ma trận sau  1  a)   2   6 3 3 1  b)        12   1  c)  12     15   10  Xét xem hệ phương trình tuyến tính thực sau có phải hệ Cramer hay không giải chúng  x1  x2  x3   a) 3x1  x2  x3  11 3x  x  x  11   x1  x2  x3  1  b) 2 x1  x2  x3  4 4 x  x  x  2   3x1  x2  x3   c)  x1  x2  3x3  7 x  10 x  x  2   x1  x2  x3  31  d) 5 x1  x2  x3  29  3x  x  x  10     x  x  3x  x   x  x  3x  x  4   e)  x1  x2  x3  3x4  24 f) 3x1  3x2  3x3  x4  3x  x  x  x   3x  x  x  x  4   2 x1  3x2  x3  x4  8  3x1  x2  3x3  x4  10 Giải biện luận hệ phương trình thực sau theo tham số m   mx1  x2  x3  1,  a)  x1  mx2  x3  m,   x1  x2  mx3  m ,  m  3 x  y  z  m,  b) mx   m  1 y  z  2m,  3  m  1 x  my   m  3 z  3,  3m  1 x  2my   3m  1 z  1,  c) 2mx  2my   3m  1 z  m,   m  1 x   m  1 y   m  1 z  m ,  x  my  m z  1,  d)  x  y  z  2,  x  y  z  3,  21  x  y  z  2t  m,  e)  x  y  z  t  2m  1,  x  y  z  t   m,   x  y  z  t  m,  f) 2 x  y  z  2t  2m  1, 3x  y  z  3t  1,   x  y  z  2t  0, 2 x  y  z  t  3,  g)  3x  z  t  3, 5 x  y  m, 2 x  y  z  2t  3u  3,  x  y  z  t  u  1,  h)  3x  y  z  3t  4u  6, 5 x  z  5t  7u   m, 2 x  y  z  t  1,  x  y  z  4t  2,  k)   x  y  z  11t  m, 4 x  y  z  16t  m  1, 2 x  y  z  2t  4,  x  y  z  2t  3,  l)  2 x  y  z  t  3,  x  y  z  t  m, 11 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss-Jordan phương pháp Gauss so sánh công thức nghiệm  x  y  z  t  7, 3x  y  z  t  3u  2,  a)  b) y  z  t  u  23,  5 x  y  3z  3t  u  12, 2 x  y  z  t  u  1,  x  y  z  t  2u  0,   3x  y  3z  3t  4u  2, 4 x  y  z  5t  7u  2 x  y  z  t  u  1,  x  y  z  t  2u  1,  c)  d) 4 x  10 y  z  5t  7u  1, 2 x  14 y  z  7t  11u  1, 3x  y  z  t  u  1, 2 x  y  z  3t  5u  2,    x  y  z  5t  7u  3, 3x  y  z  5t  8u  3, 12 Giải hệ phương trình tuyến tính ứng với hệ cho 11 13 Biện luận theo tham số thực  hạng ma trận sau: 1 5  10   a)   11 13 16    10 16 22 26   2 1 b)  3  5  1   1 c)  1   1 1 2 d)  3   12 1 1 1 1 1  1  22 8  4 1  5  1  1 2  3   5    1   1 f)  1   1 1  1 17 10   e)  4 3    3   1 1 1 1 1  1  14 Với giá trị  hạng ma trận  1 2   2   12   16 24   3 15 Định  để hạng ma trận sau nhỏ 3   1  2 4 10  17   3 1 16 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer 2 x  y  3z  x  y  z    a) 3x  y  z  4 b) 2 x  y  z  21 4 x  y  z  7 x  y  z    4 x1  3x2  x3  x4   c) 8 x1  x2  3x3  x4  12 3x  3x  x  x    x1  x2  x3  x4   d) 2 x1  x2  3x3  x4  3  x  x  3x  x  3  23 17 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss Gauss-Jordan 3x1  x2  x3  x4  2 x  3x  x  x  3  a)  x  x  x     x1  x2  x3  x4  22  x1  x2  x3  x4  x5  15  x  x  3x  x  x  35  b)  x1  3x2  x3  10 x4  15 x5  70  x  x  10 x  20 x  35 x  126   x1  x2  15 x3  35 x4  70 x5  210 2 x1  x2  3x3  x4   x  3x  x  x   c)   x1  x2  x3  x4  5 x1  18 x2  x3  x4  12 4 x1  3x2  x3  x4  3x  x  x  3x   d)  x  x  x   5 x1  3x2  x3  x4  18 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số thực m   3mx   3m   y   m   z  m   a)  2m  1 x   4m  1 y  2mz  m   4mx   5m   y   2m   z   2m  1 x  my   m  1 z  m   b)  m   x   m  1 y   m   z  m   2m  1 x   m  1 y   2m  1 z  m  5m  1 x  2my   4m  1 z   m  c)  4m  1 x   m  1 y   4m  1 z  1  2  3m  1 x  2my   5m   z   m  3m  1 x  2my   3m  1 z   d) 2mx  2my   3m  1 z  m   m  1 x   m  1 y   m  1 z  m 24  x  y  z  2t  m  e)  x  y  z  t  2m   x  y  z  t  m  x  y  z  t  m  f) 2 x  y  z  2t  2m  3 x  y  z  3t    x  y  z  2t  2 x  y  z  t   g)  3x  z  t  5 x  y  m 2 x  y  z  2t  3u  x  y  z  t  u   h)  3x  y  z  3t  4u  5 x  z  5t  7u   m 2 x  y  z  t   x  y  z  4t   i)   x  y  z  11t  m 4 x  y  z  16t  m  2 x  y  z  2t   x  y  z  2t   k)  2 x  y  z  t   x  y  z  t  m 19 Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 2 x1  x2  x3   a) 3x1  x2  x3  ; 4 x  x  x   2 x1  x2  x3  x4   b) 4 x1  x2  x3  x4  2 x  x  x  x   3x1  x2  x3  x4  x5  6 x  x  x  x  x   c)  ; 3x1  x2  x3  x4  11x5  6 x1  x2  x3  x4  13x5  6 x1  x2  3x3  x4  x5  3x  1x  x  x  3x   d)  6 x1  x2  x3  20 x4  3x5  9 x1  3x2  x3  x4  15 x5  6 x1  x2  x3  x4  x5  4 x  x  x  x  x   e)  1x1  x2  3x3  x4  14 x5  3x1  x2  x3  x4  x5  25 Ứng Dụng Cho phương trình cung, cầu loại hàng hóa sau P  QD  125 8P  QS  45 a Hãy xác định giá cân lượng cân b Hãy xác định giá cân lượng cân Nhà nước đánh thuế 2,5 đồng/mỗi đơn vị sản phẩm Hãy cho biết người mua hay người bán phải trả thuế Cho phương trình cung, cầu loại hàng hóa sau P  2QD  144 P  3QS  136 a Hãy xác định giá cân lượng cân b Hãy xác định giá cân lượng cân Nhà nước đánh thuế 11 đồng/mỗi đơn vị sản phẩm cho biết người mua hay người bán phải trả thuế Cho phương trình cung, cầu loại hàng hóa sau P  QD  102 5P  QS  a Hãy xác định giá cân lượng cân b Hãy xác định giá cân lượng cân Nhà nước đánh thuế đồng/mỗi đơn vị sản phẩm cho biết người mua hay người bán phải trả thuế Cho hàm cung, hàm cầu hai mặt hàng sau QD1  410  5P1  P2 QD2  295  P1  3P2 ; QS1  3P1  60 QS2  P2  120 a Hãy xác định giá cân hai mặt hàng b Các mặt hàng thay lẫn hay phụ thuộc ? 26 a) Một hệ có ma trận hệ số cấp  có phần tử trụ Hỏi hệ có tương thích (có nghiệm) hay không ? Tại ? b) Một hệ có ma trận hệ số mở rộng cấp  , cột thứ cột chứa phần tử trụ Hỏi hệ có tương thích không ? Tại ? c) Một hệ có ma trận hệ số mà dòng có phần tử trụ Hệ có tương thích không ? Tại ? Giả sử kinh tế có ngành : lương thực dịch vụ Mỗi năm, ngành lương thực bán 80% đầu cho ngành dịch vụ giữ phần lại; ngành dịch vụ bán 70% đầu cho ngành lương thực giữ phần lại Hãy tìm giá cân ngành Xét kinh tế có ngành : hóa chất, lượng luyện kim Giả sử ngành hóa chất bán 30% đầu cho ngành lượng, 50% cho ngành luyện kim giữ phần lại; ngành lượng bán 80% đầu cho ngành hóa chất, 10% cho ngành luyện kim giữ phần lại; ngành luyện kim bán 40% cho ngành hóa chất, 40% cho ngành lượng giữ phần lại Hãy tìm giá cân ngành Giả sử kinh tế có ngành : hàng hóa dịch vụ Một đơn vị đầu ngành hàng hóa cần 0,2 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành hàng hóa 0,5 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành dịch vụ Một đơn vị đầu ngành dịch vụ cần 0,4 đơn vị nguyên liệu đầu vào ngành hàng hóa 0,3 đơn vị đầu vào ngành dịch vụ Nhu cầu ngành mở 20 đơn vị hàng hóa 30 đơn vị dịch vụ.Hãy tìm mức sản lượng cuẩ ngành Một kinh tế có ngành : công nghiệp, nông nghiệp dịch vụ Mỗi đơn vị đầu ngành công nghiệp cần 0,1 đơn vị đầu vào ngành công nghiệp; 0,3 đơn vị đầu vào ngành nông nghiệp 0.3 ngành dịch vụ Mõi đơn vị đầu ngành nông nghiệp cần 0,2 đơn vị đầu vào ngành nông nghiệp; 0,6 đơn vị đầu vào ngành công nghiệp 0,1 đơn vị đầu vào ngành dịch vụ Một đơn vị đầu ngành dịch vụ cần 0,1 đơn vị đầu vào ngành dịch vụ, 0,6 đơn vị đầu vào ngành nông nghiệp a Hãy lập ma trận hệ số đầu vào b Tìm mức sản lượng ngành biết nhu cầu ngành mở D   0;18;0  c Tìm lượng đơn vị đầu vào ngành để sản xuất 100 đơn vị đầu ngành nông nghiệp d Tìm mức sản lượng ngành biết nhu cầu ngành mở D  18;0;0  e So sánh mức sản lượng câu b câu d Hãy giải thích điều dựa vào ma trận hệ số đầu vào 27 10 Tìm mức sản lượng ngành biết ma trận hệ số đầu vào nhu cầu ngành mở sau :  0,1 0,  18  A , D     0,5 0,   11   0,5  11 Cho ma trận hệ số đầu vào A     0, 0,  a Tìm mức sản lượng ngành biết nhu cầu ngành mở D  1;0  b Tìm mức sản lượng ngành biết nhu cầu ngành mở D   50;30  c Tìm mức sản lượng ngành biết nhu cầu ngành mở D   51;30   0, 0,  12 Cho ma trận hệ số đầu vào A   0,3 0,1 0,3  nhu cầu ngành mở  0,1 0,    D   40;60;80  Hãy tìm mức sản lượng ngành 13 Xét kinh tế có ngành Mỗi đơn vị đầu ngành X cần 0,7 đơn vị đầu vào L 0,2 đơn vị đầu vào K Mỗi đơn vị đầu ngành Y cần 0,3 đơn vị đầu vào L 0,8 đơn vị đầu vào K a Hãy tìm tổng lượng đầu vào L K để sản xuất 45 đơn vị đầu X 54 đơn vị đầu Y b Với 160 đơn vị đầu vào L 140 đơn vị đầu vào K, sản xuất đơn vị đầu X đơn vị đầu Y ? 14 Xét kinh tế có ngành : điện gas Giả sử đơn vị đầu điện cần 0,2 đơn vị đầu vào điện 0,4 đơn vị đầu vào gas đơn vị đầu vào nước Giả sử đơn vị đầu gas cần 0,3 đơn vị đầu vào điện, 0,2 đơn vị đầu vào gas 1,1 đơn vị đầu vào nước Gọi X   x1 , x2  mức sản lượng ngành điện ngành gas; Y   y1 ; y2 ; y3  tổng đơn vị đầu vào ngành điện, gas, nước a Hãy tìm phương trình ma trận liên quan X,Y b Hãy tìm tổng chi phí để sản xuất 100 đơn vị điện 100 đơn vị gas Biết giá đơn vị điện, gas nước tương ứng 8,6 c Hãy tìm mức sản lượng ngành điện gas biết ngành mở cần 500 đơn vị đầu ngành Khi đó, lượng đơn vị đầu vào ngành nước ? 28 [...]... 4 x 2  1  2 x3  1  2 x3  4 x3  4 ,  2  2 x3   2 x3  7 ,  5 x1  x2  b)  3x1  2 x2  7x  4x 2  1  2 x1   d)  3x1   x   1 2 4 3 Giải các phương trình sau  2 x1   a)  x1  4x   1 x2  2 x3  2 x2  2 x3    4 x2  x1  2 x2  b) 5 x1  x2 3x  x 2  1 x3 5, 4  4 x3  31  2 x3  29 ,  x3  10  x1  x2 3x  x  2 c)  1 2 x  3 x 2  1  x1  2 x2  2 x3... 3x3  2 x4  x4  x4  4 ,  6  4  2 x2  x1  3x3  2 x3  4 x4  3x4    2 x2  3x2  x3  2 x3  2 x4  x4  1  5 x2  x  e)  1 3x1  2 x2 4 x1  3x2  3x3  4 x4  5  2 x3  3x4  5 x4  4 ,  12  5  x1 2 x  d)  1 3x1 4 x1  3x3 19 1 5 1 ,  2 x3  10  x3  3x3  12 ,  4 x2  2 x3  2 x2  2 x3  m 4 x2  mx3  2 4  x1  2 x2  f)  x1  2 x2 x  2x 2  1  x1 2 x ... chúng  2 x1  x2  x3  4  a) 3x1  4 x2  2 x3  11 3x  2 x  4 x  11 2 3  1  x1  x2  2 x3  1  b) 2 x1  x2  2 x3  4 4 x  x  4 x  2 3  1 2  3x1  4 x2  x3  7  c)  x1  2 x2  3x3  0 7 x  10 x  5 x  2 2 3  1  x1  2 x2  4 x3  31  d) 5 x1  x2  2 x3  29  3x  x  x  10  1 2 3    x  2 x  3x  2 x  6  2 x  x  3x  2 x  4 2 3 4 3 4  1  1 2 e)  2 x1... 2 x2 5 x  4 x 2  1  2 x3  2 x3  3x3  10  1,  4 2 x1  x2  b) 3x1  4 x2 3x  2 x 2  1  x3  2 x3  4 x3  4  11,  11  x1  2 x2  c) 2 x1  x2 3x  2 x 2  1  x3  4 x3  7  17 ,  2 x3  2 x3  14 2 x1  d) 4 x1  2 x2  x  4x 2  1  10  5  4  3x3 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer  x1  x2  a) 2 x1  x2 4 x  x 2  1  x1  c)  x1  2 x2 2 x... x3  x4  5 x4 x4  1,  5 x2  3x3  1  x2  x2  2 x2  2 x3  x3  3x3    1 , 3 1     x4 x4  x1  2 x2 2 x  x  2 h)  1  x1  7 x2 3x1  x1  x1  2 x2 x  x  2 i)  1 2 x  3 x 2  1 9 x1  9 x2 x3 x3   x5 x5  0  0 ,  5 x3  5 x4  5 x5  0  2 x3  x4   0  3x3  4 x3    3x4 x4 5 x4  2 x5  3x5  2 x5     6 x3  16 x4  2 x5  25 x5 0 2 7 4 Giải và biện luận các... 1 1 1  2 1 11 2   1 0 4 1  b)  11 4 56 5     2 1 5 6  2 1 2 1 2 1 e) 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 5 5 6 7 5 5 20 2 0 1 2 c)   3 2   5 2 2 1  1 f)  1 1  1 3 1 2 3 5 4   8 5 1 1 1 3 1 1  1 4 1  1 1 5 2 3 4  1 1 1 7 Biện luận theo tham số thực  hạng của các ma trận sau: 1 2 3 4 5  4 6 8 9 10   a)   5 8 11 13 16    10 16 22 26   2 1 b) ... Gauss-Jordan 3x1  2 x2  5 x3  x4  3 2 x  3x  x  5 x  3  2 3 4 a)  1 x  2 x  4 x   3 2 4  1  x1  x2  4 x3  9 x4  22  x1  x2  x3  x4  x5  15  x  2 x  3x  4 x  5 x  35 2 3 4 5  1 b)  x1  3x2  6 x3  10 x4  15 x5  70  x  4 x  10 x  20 x  35 x  126 2 3 4  1  x1  5 x2  15 x3  35 x4  70 x5  21 0 2 x1  7 x2  3x3  x4  5  x  3x  5 x  2 x  3  2 3 4 c) ... z  2t  3  k)  2 x  2 y  2 z  t  3  x  y  2 z  t  m 19 Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: 2 x1  x2  4 x3  0  a) 3x1  5 x2  7 x3  0 ; 4 x  5 x  6 x  0 2 3  1 2 x1  x2  5 x3  7 x4  0  b) 4 x1  2 x2  7 x3  5 x4  0 2 x  x  x  5 x  0 4  1 2 3 3x1  2 x2  5 x3  2 x4  7 x5  0 6 x  4 x  7 x  4 x  5 x  0  2 3 4 5 c)  1 ; 3x1  2 x2 ... e)  2 x1  x2  2 x3  3x4  24 f) 3x1  3x2  3x3  2 x4  6 3x  2 x  x  2 x  4  3x  x  x  2 x  6 2 3 4 4  1  1 2 3  2 x1  3x2  2 x3  x4  8  3x1  x2  3x3  x4  6 10 Giải và biện luận các hệ phương trình thực sau đây theo tham số m   mx1  x2  x3  1,  a)  x1  mx2  x3  m,  2  x1  x2  mx3  m ,  m  3 x  y  2 z  m,  b) mx   m  1 y  z  2m,  3  m... 3m  1 x  2my   3m  1 z  1,  c) 2mx  2my   3m  1 z  m,  2  m  1 x   m  1 y  2  m  1 z  m ,  x  my  m 2 z  1,  d)  x  2 y  4 z  2,  x  3 y  9 z  3,  21  x  2 y  z  2t  m,  e)  x  y  z  t  2m  1,  x  7 y  5 z  t   m,   x  2 y  z  t  m,  f) 2 x  5 y  2 z  2t  2m  1, 3x  7 y  3 z  3t  1,   x  y  2 z  2t  0, 2 x  y  z