Lý thuyết và giải bài tập chương 2 toán cao cấp

Cho biết tổng doanh thu củ một nhà sản xuất độc quyền tại mỗi mức sản lượng Q là TR 500Q 4Q2.. Hãy tính hệ số co giãn theo giá của cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất đó tại mức giá

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

41 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

x

  2

2

 

1

1

x

x





42 Chứng minh rằng nếu hàm số ( ) f x liên tục trong khoảng (a;b) và trong

khoảng đó nó chỉ có một điểm cực trị duy nhất x0thì điểm cực trị địa phương 0

x đồng thời là điểm cực trị toàn cục của nó, tức là f x( )0 là GTLN (GTNN) của ( )

43 Chứng minh rằng nếu hàm số ( ) f x có đạo hàm cấp hai f x''( )> 0 [ f x''( )< 0] trong khoảng (a;b) thì nó không thể có nhiều hơn một điểm dừng trong khoảng

đó và điểm dừng duy nhất (nếu có) là điểm mà tại đó ( ) f x đạt GTLN (GTNN).

44 Chọn x để hàm số

4 9 1

y

 

 đạt giá trị nhỏ nhất trong khoảng (0;1).

45 Chọn x để hàm số y   (1 x x )3  2 đạt giá trị lớn nhất trong khoảng

  ; 

46 Xác định các khoảng lồi lõm và điểm uốn của hàm số:

a y x)  4 12x3 48x2 50

b y) ln(1x2)

ln

c y

x



d y e)  arctgx

47 Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q  15.3 L Hãy tính MPP L khi L  8 và khi L  1000 và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.

48 Lập hàm chi phí cận biên và hàm chi phí bình quân, cho biết hàm chi phí:

2

a TC  Q  Q

49 Cho biết hàm doanh thu:

TC200Q 3Q2

Hãy lập hàm doanh thu cận biên và hàm cầu với sản phẩm.

50 Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất độc quyền, với giá p

tính bằng USD:

Q  500 0,2  p

Hãy tính MR tại mức sản lượng Q 90và giải thích ý nghĩa.

51 Cho biết hàm cầu đối với một lượng hàng hóa như sau:

Q3200 0,5 p2

a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mức giá p  80

b) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá p  20, p  50và giải thích

ý nghĩa

52. Cho hàm cầu tuyến tính:

( , 0)

Gọi ε là hệ số co giãn của cầu theo giá, hãy chứng minh rằng ε  khi 1 2

a

p

b



1

a p b

 

, 1    khi ε 0 2

p

b b.

53. Cho biết tổng doanh thu củ một nhà sản xuất độc quyền tại mỗi mức sản lượng

Q là TR 500Q 4Q2 Hãy tính hệ số co giãn theo giá của cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất đó tại mức giá p 300 và giải thích ý nghĩa.

54. Tính hệ số co giãn của cung theo giá tại mỗi mức giá p trong trường hợp hàm cung tuyến tính: Q a bp a b   ( ,  0)

55.Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:

1

Hãy chọn mức sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận đố tối đa).

56. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất , cho biết hàm doanh thu

và hàm chi phí như sau:

a) TR 4000Q 33Q2, TC 2Q3 3Q2 400Q 5000

b) TR4350Q 13Q2,TC Q3  5,5Q2 150Q675

57. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu cận biên và hàm chi phí cận biên như sau:

5900 20

MR   Q ; MC 6Q2  8Q140

58. Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược

1400 7,5

a) Tính hệ số co giãn cảu cầu theo giá ở mỗi mức giá p;

b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên

2

3 12 140

59. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh với giá $20 Cho biết hàm sản xuất Q3 L2 và giá thuê lao động là $40 Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa

60. Một nhà sản xuất độc quyền tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm cầu

  750

D p   p Cho biết hàm sản xuất Q6 L và giá thuê lao động là $14 Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa

Chương 3: HÀM SỐ CÓ NHIỀU BIẾN SỐ

1. Cho hàm số:

 ,  3 2 3 2 2

f x y x  y  xy

Hãy tính các giá trị f(0,1), f(1,2), f(a,b), f(b,a), f(a,2a).

2. Cho hàm số:

Tính các giá trị f(0, 0, 0), f(1, -1, 1), f(3, 2, -2), f(a, 2a, 3a).

3. Tìm MXĐ của hàm số:

a) u  ln  xy 

b)

x y u

x y







c)

2 2

u arcos

4

y

4. Tìm MXĐ của các hàm số:

a)

xyz u

x y z



 

1

ln 1

u



5. Hãy viết phương trình đường mức đi qua điểm A 0,1 của hàm số:

2 2

u







6. Hãy viết mặt phẳng mức đi qua điểm A 1,1,1  của hàm số:

u x y z   

7. Lập hàm hợp của các hàm số sau:

w u v ,u sinx siny sinz  ,v  cosx cosy cosz  

8. Tìm biểu thức hàm số f x y  , , cho biết:

9. Một công ty cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất Q 3 K L

với K, Q, L được tính hằng ngày

a) Hãy viết phương trình đồng lượng ứng với mức sản lượng Q=200

b) Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng này của công ty theo K và L, cho biết giá sản phẩm trên thị trường là $4, giá tư bản là$15, giá lao động là $8 và mỗi ngày công ty phải trả $50 chi phí khác

10.Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất

1 5

3 6

40

Q  K L và tiêu thị sản phẩm trên thị trường có hàm cầu D p    350 3  p Hẫy lập hàm số biểu diễn tổng doanh thu theo K và L

11.Một công ty độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp(Q là ượng sản phẩm i):

a) Lượng chi phí mà công ty phải bỏ ra để sản xuất 4 đơn vị sản phẩm 1 và 2 đơn

vị sản phẩ 2 là bao nhiêu?

b) Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm 1 là D p1 1  320 5  p1, hàm cầu đối với sản phẩm 2 là D p2 2  150 2  p2 Hãy lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của cong ty theo Q1, Q2

12.Giả sử người tiêu dung có hàm lợi ích như sau:

4

U xy y, trong đó x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B.

a) Viết phương trình dường bàng quang, cho biết một trong những túi hàng thuộc đường bang quang đó là  x  4, y  3 

b) Hãy cho biết hai túi hàng  x  4, y  3 và  x  5, y  2 , túi nào được ưa chuộng hơn?

c) Giả sử người tiêu dung đang có 8 hàng hóa A, 3 hàng háo B và có người đè nghị đổi cho chị ta một số hàng hóa A để lấy hàng hóa B Hỏi người đó dổi ít nhất bao nhiêu hàng hóa A thì chị ta mới bằng lòng đổi?

13.Tìm giới hạn của các dãy điểm:

a)

3 2 1

, 1

n

n M

n n





2 2

sin 1 3

n

M



14 Sử dụng định nghĩa, hãy tính giới hạn:

3 2 2

1

lim

x y



 

 



15 Chứng minh rằng hàm số

3

f x y

xy

+

=

không có giới hạn khi x ® 0, y ® 0.

16 Cho hàm số

+ , khi + 0

3 + 4 ,

0, khi 0

f x y

ïï

=í

Hãy tính các giới hạn:

0

lim , , limlim , , limlim ,

y

®

17. Chứng minh rằng hàm số

2 2

2

2 2

f x y



có limlim limlim 00 0 0

y x x o y  

, nhưng giới hạn bội 00

lim ( )

x y

f xy



 không tồn tại.

18. Chứng minh rằng hàm số

có giới hạn bội 00

lim ( )

x y

f xy



 , trong khi các giới hạn lặp

limlim ( , )

  , limlim ( , )0 0

không tồn tại.

19. Xét tính liên tục của hàm số f(x,y) tại điểm (0,0 ):

a. f ( x , y )={ x2y2

x2

+y2khi x2+y2≠ 0

0 khi x= y=0

b. f ( x , y )={x2xy+y2khi x

2

+y2≠ 0

0 khi x= y=0

20. Cho hàm số:

f ( x , y )={x2+xy +3 y2

x + y khi x

2

+y2>0

0 khi x= y=0

Hãy tính f x'0,0 , f y'0,0 .

21. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

a) u x y y x  2  2

b) u   5 x y y2  2  7 3

c)

u

x y

u e  

e) u arctg y

x



f)

u



22.Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

b) u x 3 yz2 3xy x z  c)

2 2 2



23.Sử dụng quy tắc tính đạo hàm hợp hãy tính z t x, zt y

cho biết:

2 3

z u   v , u  y sin x , v x  cos y

24.Cho f(u) là một hàm số khả vi và

2 2 y.f ( )

25. Hãy tính ' 2 

y

2

f x  y ,xy và f x  2 y , xy2  '

y

 

f x, y  xy

26. Chứng minh rằng hàm số u f x   2  y2 , với f là hàm số khả vi, thỏa mãn phương trình:

y

y x

27. Chứng minh rằng hàm số u sinx f siny sinx      , với f là hàm số khả vi, thỏa mãn phương trình:

cos x cos y cos x.cosy

28. Cho hàm số f x,y    xy2 Hãy tính  f 1,1   và df 1,1  

a)  x 0,1 và y 0,2   b)   và y 2 x 5  

29. Lập biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số:

a)

3x 4y

u

2x y





x y u

x y







c) u arctg xy   

d)

x y

u arctg

1 xy







30. Lập biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số:

a)

2 3 4

x y

u

z

31. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và lập biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số:

a) u x  4  y4  4x y2 2 b) u ln x y   2

c)

2x 3y

u

x 2y





y

u arctg

x



32. Cho hàm số:

 

xy x y

khi x y #0

0 khi x y 0







Hãy tính ''  

xy

f 0,0 , ''  

yx

f 0,0

33. Chứng minh rằng hàm số u ln   x  a 2   y b  2 thỏa mãn phương trình:

0

34. Lập ma trận Hess và viết biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số

3 2 4

u x y z 

35. Tìm df 1,1,1 và   2  

d f 1,1,1 , cho biết  

1 z

x

f x,y,z

y

 

 

 

36. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: Q  123 K 2 L .

a Hãy tính MPPK và MPPL tại điểm (K = 125, L=100 ) và giải thích ý nghĩa

b Chứng tỏ rằng MPPK giảm khi K tăng và L không đổi

c Chứng tỏ rằng MPPL giảm khi L tăng và K không đổi

37. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng U x y 0,4 0,7, trong đó x là lượng hàng

hóa A và y là lượng hàng hóa B

a Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa Hàm lợi ích này có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?

b Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B không đổi thì lợi ích cận biên tăng bao nhiêu %?

38. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như sau:

Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm

39.Cho biết hàm cầu đối với 1 mặt hàng như sau:

35 0,4 0,15 0,12

Trong đó Q, p là lượng cầu và giá của hàng hóa đó; m là thu nhập; ps là giá cả hàng hóa thay thế Hãy lập hàm số biểu diễn:

a Hệ số co dãn của cầu theo giá p

b Hệ số co dãn của cầu theo thu nhập

c Hệ số co dãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế

40. Hãy chứng tỏ các hàm số sau là hàm thuần nhất và cho biết bậc thuần nhất của chúng:

a f x y  ,  3 2 x  3 y

b f x y ,  2x y3y x

c f x y z , ,  x3 x y y z z2  2  3

4

, ,  x  y  z

f x y z

xyz

41.Hãy kiểm tra công thức Ơle đối với các hàm thuẩn nhất sau:

a u2x2 3xy 5y2



x u

42. Chứng minh rằng nếu hàm khả vi f( x,y) là hàm thuần nhất bậc s thì các hàm số

 

x

f x y và f x y y' ,  là hàm thuần nhất bậc s-1

43.Hãy đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản xuất

a Q20K L0,4 0,3 b. Q5K L0,6 0,8

c Q  12 K L3 2

44. Hãy tính đạo hàm y x'  của hàm số y = y( x) cho dưới dạng hàm ẩn:

a x y y x a3  3  4 b. ( x2  y2 2)  a x2( 2  y2) 0 

c xe ye e y  x  xy 0

d

ar

 

y ctg x

x y ae ( a > 0)

45. Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số y= y( x) xác định bởi phương trình:

  

46.Tính đạo hàm riêng của hàm số z = z( x, y) xác định bởi phương trình:

a

c x3 3xyz a 3 d. e xyz z 0

47. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm ẩn z = z(x, y) , xác định bởi phương trình:

48. Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình:

 y   xy z   

Hãy tính z , xx'' ''

xy

z , ''

yy

z khi x = 1, y = -2, z = 1.

49. Lập các biểu thức dz, d2z của hàm số z = z(x, y) xác định bởi phương trình:

  

xyz x y z

50. Hệ phương trình:

3

36







y

xác định 2 hàm số y = y(x), z = z(x) Hãy tính y ,x' '

x

z

51. Hệ phương trình:

0 1







xu yv

yu xv

xác định 2 hàm số u = u(x,y), v = v(x, y) Hãy tính





u

x ,





u

y ,





v

x ,





v

y

52 Hệ phương trình:

sinv x cosv







u

u

xác định 2 hàm số u = u(x,y), v = v(x, y) Hãy tính





u

x ,





u

y ,





v

x ,





v

y

Chương 5: PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN

1. Sử dụng bảng tích phân cơ bản và phương pháp khai triển hãy tính các tích phân sau:

a)

1



 x x dx

1

x





c)

 3

3

1 x

dx

x x



e)

2 5

10





x dx

f)

2 2

1

x dx x





g)  cotg 2xdx

cos 2 x.dx sin x cos x



2. Sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân hãy tính các tích phân sau:

a)   2 x  1 9dx b) 31 3  x dx

dx

x



e)

1

x

x

e

dx e







xdx x





x

dx x



3. Tính các tích phân sau:

a) 1 cosx

dx





sinx.dx cos x



c) 1 ln3

dx



d) 1 cosx

dx





e) tgxdx.

f) cos 12

dx



g)  arcsinx 1 3 2

dx

x



1 dx tg

x x



4. Sử dụng phương pháp đổi biến hãy tính các tích phân sau:

a)  x2 31  x dx .

dx x



c) 3

dx



dx

e 



5. Tính các tích phân sau:

dx

x x 



dx



c)

5 2

1

x

dx x





e)

ln

1 ln

xdx







g) sin cos 3x 2xdx h) sin cos 2x 5xdx

6. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần hãy tính các tích phân sau:

a) x sin2x.dx b) x cos 2x.dx2

e) xe dx2 x f) x e dx2 3x

7. Tính các tích phân sau:

a)  xlnx.dx b)  xln x.dx3

c)  ln x.dx2 d)  x ln x 1 dx2   

e) xarctgx.dx f) arcsin x.dx

8. Tính các tích phân sau:

x.dx

sin x



xcosx.dx sin x



c) cos ln x dx  d) sin ln x dx 

9 Tính các tích phân sau:

a)

x

e dx

2

2

2

x

x e

dx

x 

arcsin x

dx x



ln 1

1

x

dx x







f)  1 22

xarctgx

dx x





x 3/2 2

1

actg

xe

dx x



 h)   ex  cos x dx 2

10 Tính các tích phân sau:

a)

2

x

dx

x 



b)

2

dx x

 





dx



d) 2

1

x

dx



 



e) 2

x

dx





f)

2 2

dx

 



g)

3 2

1

x

dx





h)

3

2 1

x dx



11 Tính các tích phân sau:

a)  sin3 cos x x dx b)  cos cos 2 cos3 x x x dx c)

sin cos x x dx

e)

sin cos x x dx

12 Tính các tích phân sau:

a) 5 3cos

dx x





b)

2 sin

2 cos

x dx x







c)

1 cos

1 cos

x dx x







d)

3

sin cos

x dx x



e)

3

cos

1 sin

x dx x





f)

3 4

cos sin

x dx x



13. Sử dụng quy tắc Lopitan, hãy tính các giới hạn:

a)

2 4 0

y 1

x

t dt

 

b)

2

2 4 0

1

x

c)

0

2 4 3

1

x

y t dt

d)

0

2 4 sinx

1

y t dt

14. Sử dụng quy tắc Lopitan, hãy tính các giới hạn:

0

3 0

ln 1

lim

x

x

t dt x







b)

sinx

0 0

lim

sint.

tgx x

x

tgt dt dt

 





15. Xác định khoảng cách tăng, giảm và các điểm cực trị của hàm số:

a) f(x) =

  2 3

2 0

1

x t t

dt t





b) f(x) =

2

2 3

4

x dt

t





16. Sử dụng công thức Newton-Leibnitz, hãy tính các tích phân:

a)

1

0

1

1 2 dx

x





b)

4

cos2 x.dx

o

π



c)

2

3 0

sin 2 x.cos xdx

π

1

10 2

0

2 3



17.Tính các tính phân:

a)

1

01

x

dx x





29 3 2

2 3

3

( 2)

x

dx x





c)

4

3 2

0



d)

ln 2

0

1.

x



e)

13

3

0

1

1  2 x  1 dx



f)

/2

0 2cos 3

dx x







g)

2 2 0

a



h)

2 2 2 0

a



18.Tính các tích phân:

a)0

sin

2

x





b)

1 2 0

x

x e dx



c)

1

0

ln( 1).



d)

2 1

( ln )

e

x x dx



e)

1

0

x

e dx



f)

3

0

.

xarctgx dx



1

2

0 ( 1)

x xe

dx

x 



h)

2 2

2

0( 2)

x

x e dx

x 



19.Tính tích phân:

a)

2

0

1



b) 1 ln

e

e

xdx



c)

0

( ) , ( )

f x dx f x







20.Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn  a a;  Hãy chứng minh:

a)Nếu f(x) là hàm số chẵn thì

0

a





; b) Nếu f(x) là hàm số lẻ thì

a

a

f x dx







.

21.Cho f(x) là hàm liên tục trên R và hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta luôn có:

0

a





.

22.Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thi hàm số

0 ( ) ( )

x

Cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ T.

23.Chứng mình rằng nếu f(x) là hàm liên tục trên a b;  thì

  1

0

b

a

.

24.Giả sử f(x) là hàm liên tục trên đoạn 0;1 , Hãy chứng minh:

a)

(sinx) (cos )



2





c)

2

(sinx) 2 (sinx)







25.Tính các tích phân:

a) 0

x

xe dx







dx



 



c) a ln2

dx





d)

0

2 x

xe dx

 

e) (1 2)(4 2)

dx



   

f) a 4 2 2 1

xdx





26.Tính các tích phân:

a)

1

0

ln

x xdx



b)

2

xdx

x 



c)1 ln

e

dx



d)

7 2

x dx

x 



27.Cho biết hàm đầu tư I  405t3 và quỹ vốn thời điểm t=0 là 90 Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t)

28. Cho biết hàm đầu tư I = 60 t3 và quỹ vốn tại thời điểm t = 1 là 85 Hãy xác định

hàm quỹ vốn K(t)

29. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q:

2

32 18 12

và chi phí cố định: FC = 43 Hãy tìm hàm tổng chi phí và hàm chi phí khả biến.

30 Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q:

0,5

12 Q

và chi phí cố đinh FC = 36 Hãy tìm hàm tổng chi phí.

doanh thu TR(Q) và xác định cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất

mức tiêu dùng thiết yếu (mức tiêu dùng khi Y = 0) là 40 Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y)