Bài giảng nhập môn toán cao cấp của thầy Nguyễn Dương Hoàng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA TOÁN NGUYỄN DƯƠNG HOÀNG BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP ĐỒNG THÁP -2011 Mục lục I LÍ THUYẾT TẬP HỢP 3 §1 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Tập hợp- Phần tử- Biểu diễn tập hợp . . . . . . . . . 3 1.2 Quan hệ bao hàm- Tập con . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Các phép toán về tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 5 §2 QUAN HỆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 Tích Đề các . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Quan hệ 2 ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 §3 ÁNH XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.4 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.5 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.6 Nhị thức Niu-tơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II LOGIC 18 §1 LOGIC MỆNH ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Các phép toán về mệnh đề, các kí hiệu quan hệ . . . 19 1.3 Lượng từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Các công thức tương đương . . . . . . . . . . . . . . 21 1 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 1.6 Các công thức tương đương logic cơ bản . . . . . . . 22 1.7 Các công thức tương đương khác . . . . . . . . . . . 23 1.8 Luật logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.9 Hệ quả logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.10 Các bài toán giải bằng công cụ logic mệnh đề . . . . 24 1.11 Ứng dụng của logic mệnh đề trong các hệ thống tìm tin tự động hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §2 VỊ TỪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Hàm mệnh đề một biến . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Hàm mệnh đề hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 §3 CÁC PHÉP TOÁN LOGIC TRÊN CÁC HÀM MỆNH ĐỀ . 34 3.1 Phép phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Phép tuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Phép hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Phép kéo theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 Phép tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 §4 ĐẠI SỐ BOOLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1 Sơ lược về đại số Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Hệ đếm nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 2 Chương I LÍ THUYẾT TẬP HỢP Mục tiêu chương: Về Kiến thức: Sinh viên cần nằm vững những kiến thức cơ bản về tập hợp, quan hệ, ánh xạ, giải tích tổ hợp. Xác định được mối liên hệ giữa những nội dung kiến thức này. Về kĩ năng: Giải được các bài tập liên quan của các chủ đề kiến thức của chương, bước đầu biết vận dụng trong đời sống thực tế. Về thái độ : Nghiêm túc, có tinh thần hợp tác trong học tập §1 KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.1 Tập hợp- Phần tử- Biểu diễn tập hợp 1.1.1. Khái niệm về tập hợp và phần tử Tất cả những đối tượng xác định nào đó hợp lại tạo thành một tập hợp, mỗi đối tượng là một phần tử của tập hợp Ví dụ 1: Tập hợp những người Việt Nam trên thế giới tạo thành tập hợp người Việt Nam. Mỗi người Việt Nam là một phần tử của tập hợp đó. Ví dụ 2: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian tạo thành tập hợp các điểm trong không gian. Mỗi điểm là một phần tử của tập hợp đó. 1.1.2. Khái niệm thuộc và kí hiệu ∈ Nếu a là phần tử của tập hợp E ta nói " a thuộc E" và viết a ∈ E Nếu a không là phần tử của tập hợp E ta nói " a không thuộc E" và viết a∈E Ví dụ 3: 4 ∈ N; 3∈ tập số chẵn. 1.1.3. Cách mô tả tập hợp 3 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 1. Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp Ví dụ 4: A = {x, y, z, t} 2. Nêu ra các tính chất đặc trưng của các phần tử tạo thành tập hợp. Nếu tập hợp E gồm các phần tử x có tính chất P ta viết: E = {x|xcó tính chất P} Ví dụ 5: P = {các số chẵn} Tập các số chẵn có thể mô tả như sau: P = {m|m = 2k, k ∈ Z} 1.1.4. Một số tập hợp số thường gặp Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, ···} Tập hợp N ∗ = {1, 2, 3, ···} = N\{0} Tập hợp các số nguyên Z = {··· , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ···} Tập hợp các số hữu tỉ Q = { p q |q = 0, p ∈ Z, q ∈ Z} Tập hợp các số thực: R = {các số thực} 1.1.5. Tập rỗng Định nghĩa 1: Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào Kí hiệu là ∅ Ví dụ: {x ∈ R|x 2 + 1 = 0} = ∅ Định nghĩa 2: Ta nói tập hợp A bằng tập hợp B nếu A và B trùng nhau, nghĩa là mọi phần tử của A cũng là phần tử của B và ngược lại 1.2 Quan hệ bao hàm- Tập con Định nghĩa 3: Nếu mọi phần tử của A cũng là phần tử của B, thì ta nói: • A bao hàm trong B • B bao hàm A • A là tập con của B ta viết A ⊂ B hay B ⊃ A ∅ là tập con của mọi tập hợp 4 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 1.3 Các phép toán về tập hợp 1.3.1. Phép hợp Định nghĩa 4: Hợp của 2 tập hợp A và B là tập hợp tạo thành bởi tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Kí hiệu A ∪B 1.3.2. Phép Giao Định nghĩa 5: Phép giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Kí hiệu A ∩B Định nghĩa 6: A ∩B = ∅ ta nói A và B rời nhau. 1.3.3. Tính chất • A ∪ B = B ∪A • A ∩ B = B ∩A • A ∪ A = A • A ∩ A = A • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) • (A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) • (A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 1.3.4. Hiệu của hai tập hợp Định nghĩa 7 : Hiệu của hai tập hợp A và B là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Kí hiệu: A\B = {x ∈ A ∧ x∈B} 1.3.5. Tập bù Định nghĩa 8 : Xét tập E và A là tập con của E, nghĩa là A ⊂ E. Lúc đó E\A gọi là tập bù của A trong E. 1.3.6. Định luật De Morgan 5 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Với mọi A ⊂ E, B ⊂ E ta có A ∪B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B 1.3.7. Hiệu đối xứng Cho hai tập A và B. Ta gọi hiệu đối xứng của A và B là tập gồm các phần tử chỉ thuộc A hoặc chỉ thuộc B, không thuộc đồng thời cả A và B, kí hiệu là A  B. Ta có A B = (A \ B) ∪ (B \ A). CHÚ Ý: Người ta thường minh họa mỗi tâp bởi một đường cong kín, mỗi phần tử của nó được biểu diễn bởi một dấu gạch chéo hoặc dấu chấm, gọi là mô tả theo " lược đồ Venn’. Chẳng hạn Tập A có các phần Tử là a,b,c được minh họa như sau. VD: a/Cho A = {0, 1, 2, 4, 5}, B = {0, 3, 5, 6} A ∪B = {0, 1, 2, 4, 5, 6} A \B = {1, 2, 4} B \ A = {3, 6} A B = {1, 2, 3, 4, 6} Các tập này có thể xác định theo lươc đồ Venn như trong hình dưới. b/Cho A = {x ∈ N|xcó chữ số tận cùng bên phải là 0}. 6 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng B = {x ∈ N|xcó chữa số tận cùng bên phải là 5}. Khi đó A ∪B = {x ∈ N|x . . .5}. c/ Cho A = {x ∈ N|x . . .2}vàB = {x ∈ N|x . . .3}. Khi đó A ∩B = {x ∈ N|x . . .2vàx . . .3} = {x ∈ N|x . . .6}. 1.3.8. Mở rộng các phép toán tập hợp • A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = (A 1 ∪ A 2 ) ∪A 3 n  i=1 A i = A 1 ∪ A 2 ∪ ··· ∪ A n = (A 1 ∪ A 2 ∪ ··· ∪ A n−1 ) ∪A n • A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 = (A 1 ∩ A 2 ) ∩A 3 n  i=1 A i = A 1 ∩ A 2 ∩ ··· ∩ A n = (A 1 ∩ A 2 ∩ ··· ∩ A n−1 ) ∩A n Cho tập X và các tập A 1 , A 2 , ··· , A n . Mở rộng tính chất (iii) của định lí 1 ta có: X ∩( n  i=1 A i ) = n  i=1 (X ∩A i ) X ∪( n  i=1 A i ) = n  i=1 (X ∪A i ) Mở rộng tính chất (iv) ta có: X \( n  i=1 A i ) = n  i=1 (X \A i ) X \( n  i=1 A i ) = n  i=1 (X \A i ) 1.3.9. Tập hợp các tập con của một tập hợp Cho X là một tập. Nếu coi mỗi tập con của X là một phần tử thì ta có tập ℘(X) có các phần tử là các tập con của X. Như vậy: ℘(X) = {A|A ⊂ X} Ví dụ: a) X = Ø thì ℘(Ø) = {Ø}; ℘({Ø}) = {Ø  {Ø}} b) X = {a, b} thì ℘(X) = {Ø}; {a}; {b}, {X} 7 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng §2 QUAN HỆ 2.1 Tích Đề các 2.1.1. Tích hai tập hợp Định nghĩa 9 : Tích Đề các của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các cặp (a,b), a trước b sau, được tạo nên do lấy a ∈ A, b ∈ B một cách bất kì. Kí hiệu A ×B 2.1.2. Tích ba tập hợp A 1 × A 2 × A 3 2.1.3. Tích n tập hợp Kí hiệu A 1 × A 2 × ···A n 2.2 Quan hệ 2 ngôi 2.2.1. Định nghĩa và ví dụ Ta gọi một quan hệ m- ngôi trên tập X là một tập con S của lũy thừa Đề-các X m . Nếu S là quan hệ m-ngôi trên X thì khi (a 1 , a 2 , ··· , a m ) ∈ S ta nói a 1 , a 2 , ··· , a m có S-quan hệ với nhau. Quan hệ 2- ngôi được gọi vắn tắt là quan hệ. Như vậy quan hệ 2-ngôi S trên X là một tập con S ⊂ X 2 Ví dụ: a) X là tập các công dân nước Việt Nam. S là tập tất cả các bộ ba (x,y,z) trong đó x là chồng của y, z là con của x và y. Khi đó S ⊂ X 3 là một quan hệ 3 ngôi trên X. b) X là tập sinh viên của một lớp, S là tập các cặp (x,y) trong đó x, y cùng tuổi, S ⊂ X 2 là quan hệ trên X. 2.2.2. Tính chất của quan hệ 2-ngôi Cho quan hệ S trên X. Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có S quan hệ với y và viết x S y. 1) Quan hệ S gọi là có tính phản xạ nếu với mọi x ∈ X ta có xSx. 2) Quan hệ S gọi là có tính đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X, xSy thì ySx. 8 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 3) Quan hệ S gọi là có tính chất phản đối xứng hay phản xứng nếu với mọi x, y ∈ X, xSy và ySx thì x=y. 4) Quan hệ S gọi là có tính bắc cầu nếu với mọi x, y ∈ X, xSy và ySz thì xSz. Ví dụ: a) Trong một lớp học, quan hệ xSy nếu x, y cùng tuổi có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. b) Trong tập số tự nhiên N, quan hệ xSy nếu x ≤ y có các tính chất phản xạ, phản xứng, bắc cầu. c) Trong tập các tam giác, quan hệ "đồng dạng" có các tính chất phản xạ, đối xứng,bắc cầu. 2.3 Quan hệ tương đương 2.3.1. Định nghĩa Một quan hệ S trên tập X gọi là quan hệ tương đương nếu S có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Kí hiệu xSy là x ∼ y (đọc x tương đương y) 2.3.2. Lớp tương đương Cho tập X và quan hệ ∼ là quan hệ tương đương trên X. Với mọi x ∈ X, tập [x] = {y ∈ X|y ∼ x} gọi là lớp tương đương chứa x. Định lý 1: Các lớp tương đương khác rỗng, hoặc bằng nhau, hoặc rời nhau. Chứng minh: Xét lớp tương đương bất kì [x], Vì x ∼ x nên x ∈ [x], tức là [x] = φ. Để chứng minh phần còn lại ta giả sử hai lớp [x] và [y] có [x] ∩[y] = φ, ta cần chứng minh [x]=[y]. Chọn z ∈ [x] ∩ [y]. Bởi z ∈ [x] nên x ∼ z, z ∈ [y] nên z ∼ y. Từ đó t ∈ [x] ⇔ t ∼ x ⇔ t ∼ z ⇔ t ∼ y ⇔ t ∈ [y] Vậy [x] = [y] Chú ý: Từ định lí 1 suy ra rằng y ∈ [x] khi và chỉ khi [x] = [y] và x ∼ y khi và chỉ khi [x] = [y]. Các lớp tương đương chia X thành các tập con rời nhau (một cách chia như vậy gọi là một phân hoạch trên tập X). Tập hợp mà mỗi phần tử là 9 [...]... chất phản đối xứng và bắc cầu Đề 7 Trong số 50 học sinh của lớp có 25 học sinh có năng khiếu Toán, 17 có năng khiếu Văn, 12 không có năng khiếu cả Văn và Toán Tìm số học sinh của lớp có năng khiếu cả Văn và Toán Đề 8 Trên tập Z, xét tính chất của các quan hệ sau đây: 15 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng a) aRb nếu a+b lẻ b) aSb nếu a+b Chẵn Đề 9 Gọi X là tập các học sinh trong một lớp Trên... có hai tài liệu sau: 1) Một bài biết tay nhan đề "Áp dụng kĩ thuật tính toán vào giảng dạy trong hệ thống đào tạo cán bộ thư viện bậc đại học" 28 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 2) Một luận văn với chủ đề "Hướng cơ bản ứng dụng kĩ thuật tính toán trong công tác thư viện" Các tài liệu này được xử lí đánh chỉ số thành các mẫu tìm Thể thức so sánh tự động mẫu tìm của các tài liệu đã nêu ra... chỉ khi P (a1 , a2 , a3 ) = 1 Định nghĩa 3: Phép toán n - nguyên xác định trên tập M là một ánh xạ đơn trị α từ tập hợp Đecac bậc n của tập hợp M vào tập hợp M: α : Mn → M Với n=1,2,3 phép toán n - nguyên gọi là đơn nguyên, nhị nguyên, tam nguyên Với định nghĩa trên, nếu α là một phép toán n - nguyên trên tập M thì 31 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng với mỗi một hệ thống có thứ tự (a1 , a2... là tương đương logic nếu chúng nhận cùng một giá trị chân lí với mọi hệ thống giá trị của các biến mệnh đề sơ cấp Kí hiệu F=G Chẳng hạn: Nếu F = ((xy) ⇒ z) và G = (x ⇒ (y ⇒ z)) thì F=G 21 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Thuật toán đơn giản nhất để nhận biết sự tương đương logic của hai công thức F và G là lập bảng chân lí x y z xy y ⇒ z ((xy) ⇒ z) (x ⇒ (y ⇒ z)) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0... của logic mệnh đề: - Tìm xem bài toán được tạo thành từ những mệnh đề nào - Diễn đạt các điều kiện (đã cho và phải tìm) trong vài toán bằng ngôn ngữ của logic mệnh đề Bước 2 Phân tích mối liên hệ giữa điều kiện đã cho với kết luận của bài toán bằng ngôn ngữ của logic mệnh đề Bước 3 : Dùng các phương pháp suy luận logic dẫn dắt từ các điều kiện đã cho tới kết luận của bài toán 2 Các ví dụ minh họa: Ví... Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan thứ tư Tuấn: Singapor nhất và Inđônêxia nhì 24 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Kết quả mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội Hõi mỗi đội đã đoạt giải mấy? Giải: Kí hiệu các mệnh đề: - d1 , d2 là hai dự đoán của Dũng - q1 , q2 là hai dự đoán của Quang - t1 , t2 là hai dự đoán của Tuấn Có hai khả năng: - Nếu G(d1 ) = 1 thì g(t1 ) = 0 Suy ra G(t2 ) = 1 Điều... dạy cho giáo viên Nội dung của đoạn báo cáo có thể tóm tắt bằng ngôn ngữ của logic mệnh đề như sau: h ⇒ s (1) v ⇒ s (2) g ⇒ v (3) g ⇒ t (4) Từ (2) và (3) suy ra s ⇒ v (2’) và v ⇒ g (3’) Từ (1), (2’), (3’), (4) và phép suy luận bắc cầu ta suy ra h ⇒ t tức là 25 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng "Học sinh muốn học tập tốt thì nhà trường phải có đủ tài liệu phục vụ giảng dạy cho giáo viên" Ví... ngữ pháp ta có một mệnh đề toán học Nói cách khác mệnh đề toán học là một câu có tính chất hoặc đúng, hoặc là sai mà không thể vừa đúng lại vừa sai Như vậy có thể xem mệnh đề toán học là một đại lượng nhận mọt trong hai giá trị, hoặc là đúng, hoặc là sai • Mệnh đề đúng có giá trị chân lý là 1 • Mệnh đề sai có giá trị chân lý là 0 18 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng √ Ví dụ: Mệnh đề ” 2 là... toán logic cho ứng với hai mệnh đề sơ cấp x và y một mẹnh đề mới, kí hiệu là x ∨ y, được xác định bằng bảng chân lí: x 1 1 0 0 y x∨y 1 1 0 1 1 1 0 0 19 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Viết dưới dạng phương trình ta có: 1 ∨ 1 = 1, 1 ∨ 0 = 1, 0 ∨ 1 = 1, 0 ∧ 0 = 0 1.2.4 Phép kéo theo (nếu thi Phép kéo theo là một phép toán logic cho ứng với hai mệnh đề sơ cấp x và y một mệnh đề mới, kí hiệu... định của quá trình suy luận Nó đòi hỏi, trong khi xem xét một đối tượng, phải luôn suy nghĩ trong phạm vi (ngoại diên) của đối tượng đó Không được đồng nhất các khái niệm có nội hàm và ngoại diên khác với khái niệm đang xem xét 1.8.2 Luật bài trung (Dựa vào công thức x ∧ x = 1) Theo luật bài trung, một sự vật hoặc là tồn tại, hoặc là không tồn tại, hoặc là đúng hoặc là sai 23 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn . TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA TOÁN NGUYỄN DƯƠNG HOÀNG BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP ĐỒNG THÁP -2011 Mục lục I LÍ THUYẾT TẬP HỢP 3 §1 KHÁI NIỆM VỀ TẬP. viết A ⊂ B hay B ⊃ A ∅ là tập con của mọi tập hợp 4 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 1.3 Các phép toán về tập hợp 1.3.1. Phép hợp Định nghĩa 4: Hợp của 2 tập hợp A và B là tập hợp tạo. Cách mô tả tập hợp 3 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 1. Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp Ví dụ 4: A = {x, y, z, t} 2. Nêu ra các tính chất đặc trưng của các phần tử tạo thành