Bài viết sẽ giới thiệu một số khái niệm về mô hình hóa trong dạy học toán, các bước cơ bản của phương pháp mô hình hóa xuất phát từ một bài toán thực tế. Ngoài ra, dựa trên một số ví dụ minh họa cụ thể, bài báo cũng đề xuất một số khuyến nghị nhằm nâng cao hiệu quả học tập các môn Toán cao cấp của sinh viên.
An Giang University Journal of Science – 2019, Vol 22 (1), 59 – 66 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP MƠ HÌNH HĨA TRONG GIẢNG DẠY MƠN TỐN CAO CẤP CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH KINH TẾ Phạm Mỹ Hạnh1 Trường Đại học An Giang Thông tin chung: Ngày nhận bài: 09/08/2018 Ngày nhận kết bình duyệt: 19/09/2018 Ngày chấp nhận đăng: 02/2019 Title: Applying mathematical modelin g and simulation method in teaching advanced mathematics for economic students Keywords: Modelling, modelling methods, teaching advanced mathematics Từ khóa: Mơ hình hóa, phương pháp mơ hình hóa, giảng dạy tốn cao cấp ABSTRACT Teaching mathematics for economic students by using mathematical modelling and simulation of some practical situations will improve the quality of teaching as well as the student modelling knowledge This article represents some definitions and basic steps of mathematical modelling and simulation Moreover, it also gives some examples of mathematical modelling to clarify the steps as well as to improve the students’ learning skills when studying advanced mathematics TÓM TẮT Dạy học mơn Tốn cao cấp cho sinh viên chun ngành Kinh tế thơng qua tốn thực tế phương pháp mơ hình hóa góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, phát triển lực mơ hình hóa sinh viên Bài báo giới thiệu số khái niệm mơ hình hóa dạy học toán, bước phương pháp mơ hình hóa xuất phát từ tốn thực tế Ngồi ra, dựa số ví dụ minh họa cụ thể, báo đề xuất số khuyến nghị nhằm nâng cao hiệu học tập mơn Tốn cao cấp sinh viên GIỚI THIỆU Mơ hình vật thay mang đầy đủ tính chất vật thực tế Qua nghiên cứu mơ hình, ta nắm vững thuộc tính đối tượng cần nghiên cứu mà khơng cần phải tiếp xúc với vật thật Theo Kai Velten (2009), mơ hình tốt mơ hình đơn giản đáp ứng đầy đủ mục tiêu cần khảo sát, nói cách khác có đủ phức tạp để hiểu rõ cách hoạt động hệ thống giải tình có vấn đề đặt Lê Thị Hoài Châu (2014) nhận định rằng, để sử dụng kiến thức kỹ toán vào việc giải vấn đề thực tiễn, người ta phải trải qua bước q trình mơ hình hóa tốn học Hiện nay, mơ hình tốn học có nhiều ứng dụng vật lý ngành Khoa học Tự nhiên khác Tuy nhiên, ứng dụng khoa học tự nhiên, mơ hình tốn học thường sử dụng ngành Kinh tế hay Khoa học Xã hội Kai Velten (2009) cho rằng, mơ hình tốn học ba thành phần (S, Q, M) hay (System, Question, Mathematical statements); S hệ thống, Q câu hỏi hay vấn đề đặt hệ thống M tập hợp mệnh đề tốn học dùng để tìm lời giải cho Q 59 An Giang University Journal of Science – 2019, Vol 22 (1), 59 – 66 Ngày nay, trước yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo phát huy tính tích cực người học, giảng viên cần đổi phương pháp giảng dạy Trong năm gần đây, phương pháp dạy học thông qua việc nghiên cứu tìm hiểu mơ hình áp dụng rộng rãi đạt nhiều kết khả quan Theo Nguyễn Danh Nam (2015), mơ hình sử dụng dạy học Tốn mơ hình trừu tượng sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả hệ thống Những mơ hình tốn học thường có dạng hàm số, đồ thị, phương trình, biểu đồ, mơ hình ảo thiết kế từ chương trình máy vi tính nhóm kiến thức tốn học phương pháp giảng dạy hiệu quả, phát huy tính tích cực người học, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo, đáp ứng yêu cầu chuẩn đầu sinh viên nói chung sinh viên chuyên ngành Kinh tế, Trường Đại học An Giang nói riêng CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC MINH HỌA 2.1 Các quy trình phương pháp mơ hình hóa Theo Lê Thị Hồi Châu (2014), q trình mơ hình hóa tóm tắt qua bốn bước sau: Qua q trình giảng dạy, khảo sát kết học tập năm gần sinh viên chuyên ngành Kinh tế Trường Đại học An Giang, bắt đầu học mơn Tốn cao cấp sinh viên thường gặp nhiều khó khăn việc nắm vững kiến thức tốn Bên cạnh đó, em khơng hiểu rõ áp dụng kiến thức học với ngành học hay yêu cầu thực tiễn công việc tương lai Vì thế, việc sử dụng mơ hình toán dựa toán thực tế dạy học giúp sinh viên hiểu rõ mối quan hệ toán học với vấn đề thực tiễn sản xuất Qua q trình tìm tòi lời giải cho tốn thực tế dựa mơ hình toán, sinh viên tự nâng cao khả tư linh hoạt giải tình có vấn đề ngày yêu thích, sáng tạo học tập Do đó, vận dụng tốt phương pháp mơ hình hóa thơng qua tốn thực tế cho Bước 1: Xây dựng mơ hình mơ thực tiễn vấn đề Trong bước cần xác định liệu đầu vào yêu cầu cần đạt được, hay liệu đầu vấn đề thực tiễn Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề xét, với lưu ý với vấn đề xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác Bước 3: Sử dụng cơng cụ tốn học để giải tốn hình thành bước Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết thu bước Nếu kết không phù hợp phải thực lại quy trình Bốn bước có mối quan hệ mật thiết với thể qua sơ đồ Hình 60 An Giang University Journal of Science – 2019, Vol 22 (1), 59 – 66 Hình Các bước quy trình mơ hình hóa Trong bước 1, giảng viên cần xác định tình có vấn đề thực tế có liệu đầu vào phù hợp với mục đích hoạt động giảng dạy, học tập Ngồi ra, giảng viên cần giúp người học xác định rõ liệu đầu vào kết đầu cần đạt Bước 2, giảng viên tổ chức cho người học xây dựng mơ hình tốn, cụ thể thiết lập hệ thống phương trình tốn, hay chương trình mơ máy vi tính, dựa liệu đầu vào, đặt yêu cầu phải xác định rõ mối quan hệ liệu có kết cần đạt hình đạt hiệu tốt đáp ứng với mục tiêu giảng dạy Ngồi ra, người học chủ động việc xây dựng mơ hình tốn xuất phát từ tình có vấn đề thực tế đề xuất lời giải, giảng viên đóng vai trò hỗ trợ việc đánh giá mơ hình kết tìm so với liệu đầu vào 2.2 Tổ chức hoạt động dạy học cụ thể Theo chương trình khung khối ngành Kinh tế Trường Đại học An Giang, sinh viên năm tiếp cận hai mơn Tốn cao cấp B1, tín chỉ, tương ứng với 45 tiết lý thuyết Toán cao cấp B2 với tín tương ứng với 30 tiết lý thuyết Mơn Tốn cao cấp B1 gồm kiến thức giải tích như: Giới hạn hàm số, Phép tính vi phân hàm biến, Phép tính vi phân hàm nhiều biến, Phương trình vi phân Lý thuyết chuỗi Học phần Toán cao cấp B2 gồm kiến thức chủ yếu đại số tuyến tính như: Ma trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Phép biến đổi tuyến tính, Chéo hóa ma trận Với thời gian lớp khối lượng kiến thức nhiều, mơn Tốn cao cấp B1 B2 cung cấp khối kiến thức tương đối khó Vì sinh viên năm hầu hết học sinh tốt nghiệp chương trình trung học phổ thơng, nên nhiều bỡ ngỡ chưa có phương pháp học tập phù hợp bậc Đối với bước 3, người học cần chủ động vận dụng kiến thức tốn học có liên quan đến vấn đề cần giải để tìm lời giải toán giảng viên hỗ trợ cần thiết Bước bước kiểm định lại mơ hình, giảng viên người học nhận định lại phương pháp giải; từ cải tiến mơ hình lời giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng mơ hình Ngồi ra, dựa mơ hình có, giảng viên người học cải tiến xây dựng mơ hình Khi vận dụng phương pháp mơ hình hóa dạy học, tùy vào đối tượng người học cụ thể mà giảng viên vận dụng linh hoạt bước, điều chỉnh kết thực bước cho mô 61 An Giang University Journal of Science – 2019, Vol 22 (1), 59 – 66 đại học Đa số sinh viên gặp khó khăn việc hiểu kiến thức Tốn cao cấp chưa có kỹ vận dụng kiến thức vào việc giải toán, đặc biệt tốn xuất phát từ tình thực tế Do đó, việc xây dựng mơ hình tốn xuất phát từ tình thực tế sản xuất góp phần nâng cao chất lượng hoạt động giảng dạy học tập Khi giảng dạy cho sinh viên khái niệm phép tính vi phân hàm nhiều biến, giảng viên xem xét tình dẫn đến mơ hình tốn học ví dụ Ví dụ Một hãng sản xuất mỹ phẩm độc quyền dự định bán thị trường hai loại sản phẩm nước hoa Qua trình khảo sát nhu cầu thị trường ước lượng giá bán tương ứng, hãng sản xuất có bảng số liệu sau: Q1 50 70 90 100 150 200 250 300 P1 1250 1230 1210 1200 1150 1100 1050 1000 Q2 50 70 90 100 150 200 250 300 P2 1250 1210 1170 1150 1050 950 850 750 Bước 1: Xây dựng mơ hình mơ thực tiễn vấn đề Q1, Q2 số lượng sản phẩm thứ thứ (Đơn vị: Hộp) Dữ liệu đầu vào: Mối quan hệ giá sản phẩm với sản lượng hàm chi phí sản xuất: P1 , P2 giá bán tương ứng sản phẩm thứ thứ (Đơn vị: Trăm ngàn đồng) C = Q12 + 3Q1Q2 + Q22 a) Tìm mối quan hệ số lượng loại sản phẩm với giá bán b) Nếu chi phí sản xuất doanh nghiệp xác định tương ứng theo sản lượng Dữ liệu đầu ra: Xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để hãng sản xuất đạt lợi nhuận tối đa Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học Q1, Q2 i) Tìm mối quan hệ giá thành sản phẩm C = Q12 + 3Q1Q2 + Q22 sản lượng tương ứng, P1 Q1; P2 Q2 Qua bảng số liệu tình đề nêu ra, sinh viên xác định mối quan hệ tuyến tính giá thành sản phẩm sản lượng loại sản phẩm Để giải thích rõ mối quan hệ này, giảng viên yêu cầu sinh viên vẽ biểu đồ minh họa cụ thể Hãy xác định sản lượng tương ứng Q1, Q2 để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa Đối với toán thực tế này, giảng viên giúp sinh viên xây dựng mơ hình tốn sản xuất hai loại sản phẩm, xác định rõ liệu đầu vào yêu cầu kết cần đạt 62 An Giang University Journal of Science – 2019, Vol 22 (1), 59 – 66 1400 1200 1000 800 P1 600 P2 400 200 0 50 100 150 200 250 300 350 Biểu đồ Mối quan hệ sản lượng giá bán Qua Biểu đồ 1, sinh viên có nhận định sau: - iii) Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa tương ứng với tìm cực trị khơng điều kiện hàm lợi nhuận Nếu số lượng sản phẩm tăng giá thành sản phẩm giảm Mối quan hệ giá thành sản lượng xác định hệ phương trình sau: Bước 3: Sinh viên giải tốn tìm cực trị địa phương qua bước tìm điểm dừng kiểm tra điều kiện cực trị điểm dừng Q1 + P1 = 1300 Q2 + 0,5P2 = 675 i) Giải hệ phương trình tìm điểm dừng Tọa độ điểm dừng thỏa hệ phương trình sau: Q = −4Q1 − 3Q2 + 1300 = −3Q1 − 6Q2 + 1350 = = Q2 Do đó, liệu đầu vào bao gồm: Q1 + P1 = 1300 Q2 + 0,5P2 = 675 2 C = Q1 + 3Q1Q2 + Q2 Tìm Q1 = 250, Q2 = 100 Dữ liệu đầu ra: Xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để hãng sản xuất đạt lợi nhuận tối đa ii) Tại điểm dừng Q1 = 250, Q2 = 100 ta có: ii) Xây dựng hàm doanh thu theo nguyên tắc giá thành đơn vị sản phẩm nhân với số sản phẩm: 𝐴= 𝑅 = 𝑃1 𝑄1 + 𝑃2𝑄2 = −𝑄12 − 2𝑄22 + 1300𝑄1 + 1350𝑄2 𝜕2𝜋 𝜕2𝜋 𝜕2𝜋 = −4 ; 𝐵 = = −3 ; 𝐶 = 𝜕𝑄1 𝜕𝑄2 𝜕𝑄12 𝜕𝑄22 = −6 Vì A 0, AC − B nên hàm số lợi nhuận đạt cực đại Q1 = 250, Q2 = 100 Hàm lợi nhuận tính doanh thu trừ chi phí sản xuất: 𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = −2𝑄12 − 3𝑄22 + 1300𝑄1 + 1350𝑄2 − 3𝑄1 𝑄2 Khi = 230000 63 P1 = 1050, P2 = 1150 An Giang University Journal of Science – 2019, Vol 22 (1), 59 – 66 Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết i) Kiểm tra lại số liệu toán cho, giảng viên cho sinh viên kiểm tra số liệu toán, vẽ sơ đồ lập bảng tương ứng với trường hợp sản xuất doanh nghiệp để kiểm tra doanh thu, chi phí lợi nhuận tương ứng Trong bước giảng viên người học đánh giá lại lời giải Kiểm tra tính hợp lý kết tìm với liệu tốn cho, đồng thời phát triển toán cho trường hợp khác Bảng Khảo sát doanh thu, chi phí lợi nhuận doanh nghiệp dựa số sản phẩm giá bán tương ứng Q1 TH Q2 P1 P2 DOANH THU CHI PHÍ LỢI NHUẬN 50 50 1250 1250 125000 12500 112500 70 70 1230 1210 170800 24500 146300 90 90 1210 1170 214200 40500 173700 100 100 1200 1150 235000 50000 185000 150 150 1150 1050 330000 112500 217500 200 200 1100 950 410000 200000 210000 250 250 1050 850 475000 312500 162500 300 300 1000 750 525000 450000 75000 250 100 1050 1150 377500 147500 230000 10 200 90 1100 1170 325300 102100 223200 11 150 70 1150 1210 257200 58900 198300 12 100 50 1200 1250 182500 27500 155000 Khi đó, sinh viên nhận thấy trường hợp 9, doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao Vậy kết mơ hình phù hợp với liệu đầu vào toán thực tế đáp ứng tốt điều kiện đầu 600000 500000 400000 DOANH THU 300000 CHI PHÍ LỢI NHUẬN 200000 100000 0 10 12 14 Biểu đồ Mối quan hệ doanh thu, chi phí lợi nhuận 64 An Giang University Journal of Science – 2019, Vol 22 (1), 59 – 66 Tương ứng với trường hợp khảo sát, Biểu đồ thể mối quan hệ doanh thu, chi phí lợi nhuận Trong trường hợp 8, doanh thu chi phí lớn nhất, nên lợi nhuận thấp Trường hợp 9, doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao Giả sử x, y, z số lượng hamburger, xúc xích pizza mà cửa hàng bán Khi đó, ta có hệ phương trình tuyến tính sau: x − 3z = y − 5z = x + z = 176 ii) Giảng viên mở rộng mơ hình tốn sang tốn cực trị có điều kiện, bổ sung thêm điều kiện biên cho chi phí sản xuất Bước 3: Tìm lời giải cho mơ hình tốn Ngồi ra, hoạt động sản xuất kinh doanh, nhiều trường hợp toán kinh tế thường dẫn đến việc giải hệ phương trình Khi sinh viên học hệ phương trình tuyến tính, nội dung học phần Tốn cao cấp B2, giảng viên tham khảo ví dụ Hendry Pollak sau: Sinh viên dùng phương pháp kiến thức tốn phổ thơng để giải hệ phương trình này, sử dụng phương pháp Cramer để giải hệ tìm x = 132, y = 220, z = 44 Bước 4: Phân tích đánh giá kết lời giải phát triển mơ hình Ví dụ Xét ví dụ Hendry Pollak (1969) trang 92 i) Phân tích đánh giá kết lời giải: Kết cửa hàng bán 132 bánh hamburger, 220 xúc xích 44 bánh pizza A take-away food shop sells hamburgers, sausages and pizzas On one day the number of hamburgers sold was three times the number of pizzas, and the number of sausages sold was five times the number of pizzas The number of hamburgers and pizzas sold was in total 176 How many of each type of food was sold? Kiểm tra kết đáp ứng yêu cầu toán, số bánh hamburger bán gấp lần số bánh pizza số xúc xích bán gấp lần số bán pizza Tổng số bánh hamburger pizza bán ngày 176 Tạm dịch, cửa hàng bán thức ăn mang có bán bánh hamburger, xúc xích pizza Một ngày, số bánh hamburger bán gấp lần số bánh pizza số xúc xích bán gấp lần số bán pizza Tổng số bánh hamburger and pizza bán ngày 176 Hỏi cửa hàng bán loại bao nhiêu? ii) Mở rộng mơ hình: - - Bước 1: Nghiên cứu tình thực tế Dữ liệu đầu vào: Số bánh hamburger bán gấp lần số bánh pizza số xúc xích bán gấp lần số bán pizza Tổng số bánh hamburger and pizza bán ngày 176 Nếu giá bán bánh hamburger, pizza xúc xích tương ứng $10, $20 $5 Hỏi ngày hơm doanh thu cửa hàng đạt bao nhiêu? Để đạt doanh thu $5000 cửa hàng phải bán hamburger, pizza xúc xích Để giải đáp câu hỏi thứ nhất, ta cần thực phép nhân hai ma trận, ma trận thứ số lượng bánh hamburger, xúc xích pizza bán được, ma trận thứ hai giá bán loại sản phẩm Dữ liệu đầu ra: Tìm số lượng bánh hamburger, pizza xúc xích mà cửa hàng bán ngày 132 Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn 10 220 44 = 132 10 + 220 + 44 20 = $3300 20 Vậy doanh thu cửa hàng ngày hôm $3300 65 An Giang University Journal of Science – 2019, Vol 22 (1), 59 – 66 Để cửa hàng đạt doanh thu $5000 tốn có nhiều lời giải, giảng viên cho sinh viên phân chia tình huống, tham khảo trường hợp sau: hợp cụ thể Ngoài ra, giảng viên yêu cầu nhóm sinh viên tự khảo sát nghiên cứu tình thực tế, tham khảo tài liệu chuyên ngành, từ xây dựng mơ hình tốn tình mà sinh viên nghiên cứu Thông qua hoạt động tự học tự nghiên cứu mơ hình tốn dựa số toán thực tế hướng dẫn giảng viên, người học chủ động việc lĩnh hội tri thức vận dụng linh hoạt kiến thức học vào hoạt động thực tiễn Trường hợp 1: Tăng số lượng pizza bán được, giá bán pizza cao số lượng bánh pizza cửa hàng bán thấp Sinh viên đề xuất sách khuyến kích cầu nhằm tăng số lượng sản phẩm bán Trường hợp 2: Tăng số lượng xúc xích bán được, xúc xích có giá thấp có số lượng bán nhiều Ngoài ra, việc khai thác tốt tình mơ hình hóa từ tốn thực tiễn khơng giúp phát triển lực mơ hình hóa sinh viên mà thể mối quan hệ mật thiết kiến thức toán cao cấp lĩnh vực kinh tế nói riêng thực tiễn sống nói chung Bên cạnh ứng dụng lĩnh vực giảng dạy nghiên cứu, việc xây dựng kiểm chứng mơ hình lĩnh vực kinh tế mang tính dự báo góp phần định hướng tốt cho hoạt động sản xuất kinh doanh Trường hợp 3: Tăng giá bán loại sản phẩm Tuy nhiên, trường hợp tăng giá, theo quy luật cung cầu, số lượng sản phẩm bán thấp so với ban đầu, sinh viên cần đề xuất việc tăng giá phù hợp để doanh thu đạt mục tiêu $5000 Trường hợp 4: Giảm giá sản phẩm Trong trường hợp cần xem xét đến chi phí sản xuất, giảng viên bổ sung thêm thơng tin chi phí sản xuất, để đảm bảo cửa hàng đạt doanh thu $5000 TÀI LIỆU THAM KHẢO Kai Velten (2009) Mathematical modelling and simulation WILEY-VCH Verlag, Weinheim Vì tốn mở nên có nhiều đáp án để lựa chọn, giảng viên bổ sung thêm yêu cầu khác nhằm tìm lời giải tối ưu cho trường hợp Lê Thị Hồi Châu (2014) Mơ hình hóa dạy học khái niệm đạo hàm Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm, Thành phố Hồ Chí Minh, 65 Nguyễn Danh Nam (2013) Phương pháp mơ hình hóa dạy học mơn tốn trường phổ thơng Kỷ yếu Hội thảo khoa học Cán trẻ trường đại học sư phạm toàn quốc năm 2013 NXB Đà Nẵng, tr 512 - 516 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Tóm lại, phương pháp mơ hình hóa dựa tốn thực tế giúp sinh viên tìm hiểu thêm số ứng dụng toán cao cấp đời sống ý nghĩa kiến thức toán học Để hoạt động giảng dạy dựa phương pháp mơ hình hóa đạt hiệu giảng viên lẫn người học phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu tài liệu, sâu vào thực tế hoạt động sản xuất kinh doanh Tuy nhiên, với khối lượng kiến thức Toán cao cấp rộng, giảng viên lựa chọn số kiến thức cụ thể để đưa vào mơ hình tốn dựa toán thực tế sản xuất Bên cạnh đó, tình tốn thực tế sử dụng tập nhóm để sinh viên theo nhóm nghiên cứu, đề xuất mơ hình tốn tìm lời giải trường Nguyễn Quốc Hưng (2013) Toán cao cấp C1 số ứng dụng kinh doanh NXB Đại học Quốc Gia TP HCM Trần Trung (2011) Vận dụng mơ hình hóa vào dạy học mơn tốn trường phổ thơng Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Werner Blum, Peter L.Galbraith, Hans-Wolfgang Henn & Mogens Niss (2007) Modelling and Application in mathematics education The 14th ICMI Study Springer 66 ... phương pháp mơ hình hóa dựa tốn thực tế giúp sinh viên tìm hiểu thêm số ứng dụng toán cao cấp đời sống ý nghĩa kiến thức toán học Để hoạt động giảng dạy dựa phương pháp mơ hình hóa đạt hiệu giảng. .. cho tốn thực tế dựa mơ hình tốn, sinh viên tự nâng cao khả tư linh hoạt giải tình có vấn đề ngày u thích, sáng tạo học tập Do đó, vận dụng tốt phương pháp mơ hình hóa thơng qua toán thực tế cho. .. từ cải tiến mơ hình lời giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng mơ hình Ngồi ra, dựa mơ hình có, giảng viên người học cải tiến xây dựng mơ hình Khi vận dụng phương pháp mơ hình hóa dạy học, tùy