0

Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông

110 1,564 8
  • Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 10/10/2015, 15:51

MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho HS. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và MHH các vấn đề trong cuộc sống. Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho HS. Liên hệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn. Để thực hiện được mục tiêu đó, người GV dạy toán cần có năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn”. Thuật ngữ “toán học hóa” có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn. Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử. MHH trong dạy học toán là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Sử dụng phương pháp này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS. Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó đòi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán. Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn. Ở Việt Nam, chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng phương pháp MHH trong dạy học toán. Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫn chưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Vì vậy, kết quả của đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng dụng cũng như làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông. Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng phương pháp MHH trong việc dạy học Toán góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠMPHAN THỊ THU HIỀNVẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓATRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƢỜNGTRUNG HỌC PHỔ THÔNGLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤCTHÁI NGUYÊN, 20151 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠMPHAN THỊ THU HIỀNVẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓATRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƢỜNGTRUNG HỌC PHỔ THÔNGChuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn ToánMã số: 60.14.01.11LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤCNgƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Danh NamTHÁI NGUYÊN, 20152 LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quảnghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nàokhác.Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015Xác nhận của GV hƣớng dẫn luận vănTác giả luận vănTS. Nguyễn Danh NamPhan Thị Thu HiềnXác nhận của Trƣởng khoa chuyên môn3 LỜI CẢM ƠNEm xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Danh Nam, người thầyđã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn.Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạoTrường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thận lợi cho emtrong suốt quá trình học tập và làm luận văn.Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, các em HS khối10 Trường THPT Ngô Quyền và Trường THPT Dương Tự Minh – TP. TháiNguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực nghiệmsư phạm.Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi những khiếmkhuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.Tác giảPhan Thị Thu Hiền4 MỤC LỤCTrangTrang phụ bìaLời cam đoan ............................................................................................................... 3Lời cảm ơn .................................................................................................................. 4Mục lục ........................................................................................................................ 5Danh mục các cụm từ viết tắt ...................................................................................... 7MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 8Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................. 121.1. Mô hình và phương pháp mô hình hóa ......................................................... 121.1.1. Khái niệm mô hình ................................................................................... 121.1.2. Ứng dụng của toán học trong thực tiễn .................................................... 151.1.3. Phương pháp mô hình hóa ....................................................................... 181.2. Quy trình mô hình hóa .................................................................................. 201.3. Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán .......................... 251.4. Thực trạng vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn Toánở trường THPT ..................................................................................................... 361.5. Kết luận chương 1 ......................................................................................... 47Chƣơng 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONGDẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 .................................................................................. 482.1. Nguyên tắc thiết kế mô hình toán học ........................................................... 482.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề hàm số ............................................ 502.2.1. Mô hình hàm số bậc nhất ......................................................................... 502.2.2. Mô hình hàm số bậc hai. .......................................................................... 562.3. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phương trình và bất phương trình .. 622.4. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa Đại số lớp 10 ................................. 672.4.1. Hệ thống bài tập chủ đề "Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai" ............... 692.4.2. Hệ thống bài tập chủ đề "Phương trình và bất phương trình".................. 772.5. Kết luận chương 2 ......................................................................................... 885 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................. 893.1. Mục đích thực nghiệm................................................................................... 893.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................... 893.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 903.3.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................ 903.3.2. Tiến trình thực nghiệm ............................................................................. 903.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ...................................................................... 913.4.1. Đánh giá về mặt định tính ........................................................................ 913.4.2. Đánh giá về mặt định lượng ..................................................................... 933.5. Kết luận chương 3 ......................................................................................... 95KẾT LUẬN ............................................................................................................97TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 98PHỤ LỤC .............................................................................................................. 1016 DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮTViết tắtViết đầy đủTNThực nghiệmĐCĐối chứngGVGiáo viênHSHọc sinhSGKSách giáo khoaTHPTTrung học phổ thôngMHHMô hình hóaCNTTCông nghệ thông tinGQVĐGiải quyết vấn đềtr.Trang7 MỞ ĐẦU1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀIToán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rấtnhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đờisống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học,góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để theo kịpsự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo nhữngcon người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng những thành tựu củaToán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. Mối liênhệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ vàhình thành tri thức toán học cho HS. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu vàvận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng vàMHH các vấn đề trong cuộc sống.Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thôngđóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho HS. Liênhệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn. Đểthực hiện được mục tiêu đó, người GV dạy toán cần có năng lực vận dụng nhữngkhái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán họctrong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn đượccoi là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn”. Thuật ngữ “toán họchóa” có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sốnghàng ngày về dạng biểu diễn toán học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn làtổng hợp của năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lựcchuyển đổi thông tin giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hìnhtoán học của tình huống thực tiễn.Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hìnhvẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hìnhảo trên máy tính điện tử. MHH trong dạy học toán là phương pháp giúp HS tìm hiểu,khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán họcvới sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Sử dụng phương pháp này trong giảng dạy8 sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câuhỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thíchcác hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ họctập ngay từ đầu cho HS.Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễnvới các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó đòi hỏi HS cần vậndụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, kháiquát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán củaHS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập mônToán. Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũngnhư trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thườngxuyên. Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tậptrung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bàitập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số THPT để HS học vàrèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy học Toán ở trườngphổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng củatoán học vào thực tiễn. Ở Việt Nam, chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng phương phápMHH trong dạy học toán. Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nayvẫn chưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Vì vậy, kếtquả của đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứngdụng cũng như làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn trongchương trình môn Toán ở trường phổ thông.Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:“Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trunghọc phổ thông”.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨUMục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng phương pháp MHH trong việcdạy học Toán góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp HSrèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nộidung thực tiễn.9 3. ĐỐI TƢỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT và quátrình sử dụng các kiến thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn.3.2. Đối tƣợng nghiên cứu: Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán, quy trìnhMHH, hệ thống bài tập MHH.3.3. Phạm vi nghiên cứu: Lớp 10 ở trường THPT.4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌCNếu thiết kế được hệ thống các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn, vậndụng phương pháp MHH để tổ chức các hoạt động học tập thì sẽ hình thành và pháttriển năng lực MHH toán học cho HS, góp phần đổi mới phương pháp dạy học mônToán theo định hướng phát triển năng lực cho HS ở trường THPT.5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU5.1. Nghiên cứu đặc điểm của phương pháp MHH vận dụng trong các tình huốngdạy học điển hình trong chương trình toán THPT.5.2. Nghiên cứu đặc điểm của chương trình SGK Đại số lớp 10 theo định hướngphát triển năng lực cho HS.5.3. Xây dựng được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn vận dụng phươngpháp MHH để sử dụng trong dạy Toán ở trường THPT.5.4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính khảthi, hiệu quả của việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ởtrường THPT.6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và ngoàinước về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát, điều tra thực trạng về việc vận dụngphương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường THPT qua các hình thức: sửdụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật kí ghi chép, phỏng vấn trực tiếp GV ởtrường THPT.6.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn trực tiếp nhóm HS.10 6.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trườngTHPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu được đềxuất.6.5. Phương pháp sử dụng thống kê toán học trong xử lí số liệu thực nghiệm.7. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN7.1. Những đóng góp về mặt lý luận- Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng phương phápMHH để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.- Đề xuất được những quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số tìnhhuống MHH trong dạy học Toán và xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thựctiễn và đưa ra được những gợi ý, những chỉ dẫn về vận dụng phương pháp MHH đểgiải quyết hệ thống bài tập đó.7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Đại số lớp 10 ở trường THPT, tăngcường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán ở trườngTHPT.- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trongquá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT.- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đềcó liên quan trong luận văn, trong đó có việc định hướng đổi mới chương trình SGKmôn Toán sau 2015.11 Chƣơng 1CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1. MÔ HÌNH VÀ PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA1.1.1. Khái niệm mô hìnhCó nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số định nghĩa:- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với một hệ thống S các đặctrưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc chọn để bắt chước A theo những đặctrưng đó [13, tr.107].- Mô hình là một “vật” hay “hệ thống” đóng vai trò đại diện hoặc vật thay thếcho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu [17, tr.175].- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiệnbằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu [18, tr.347].Tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc)nhằm hướng tới mục đích nhất định nào đó.Như vậy, mô hình có một số đặc trưng sau đây:- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình phảibảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do conngười quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Môhình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấutrúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này chophép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Vì thế mô hình baogiờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển vàchưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khíacạnh mà chúng ta quan tâm tới. Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơngiản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sửdụng nhiều phương tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên môhình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những hiệntượng có thể xảy ra trong thực tiễn.- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó rađời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình12 trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lạinhững thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lítưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con ngườisáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm chophương pháp MHH có tính chất cách mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình xâydựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực.- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản ánhđến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vậthiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên để lắpráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải làmột việc đơn giản.- Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình khôngphải là cái bất biến. Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏiphải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụthể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trướcđó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn cóvai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn.- Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán họcđể mô tả hiện thực khách quan. Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán họckhác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về“chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệsố lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác [7], [13].Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấyđược các đặc điểm đặc trưng của các vật thể thực tế (Mason & Davis ,1991). Thôngqua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà khôngcần đến vật thật. Tuy nhiên, điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế môhình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó (Swetz & Hatler, 1991; Verschaffel,2002). Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học đểmô tả về một hệ thống nào đó. Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong cácngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ Vật lý, Sinh học, và Kĩ13 thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế, Xã hội học và Khoahọc chính trị).Ví dụ 1.1. (Mô hình gia tăng dân số của Maithus) Giả sử tỷ lệ người sinhra là b và tỷ lệ người chết là d; b và d đều là những hằng số, thì tỷ lệ gia tăng dân sốlà r  b  d cũng là một hằng số. Giả sử thời kỳ đầu ( t  0 ) dân số làsố tại thời điểm t làN t  N 0 .ertN0, thì dâncũng chính là nói dân số tăng theo cấp số nhân. Sosánh với những số liệu về dân số đã thống kê được trước thế kỷ 19 thì sự gia tăngdân số ở một số vùng châu Á tương đối phù hợp với mô hình của Maithus, nhưngđa số trường hợp lại đi rất xa mô hình này. Vì thế, mô hình này không hoàn toànphù hợp với tình hình thực tế. Bởi vì nó đã không tính đến việc cùng với sự gia tăngcủa dân số thì môi trường, nguồn tài nguyên thiên nhiên,… chỉ hạn chế trong mộtgiới hạn. Dân số quá đông dẫn tới sự thiếu hụt lương thực, chỗ ở chật hẹp, ô nhiễmmôi trường nghiêm trọng và các vấn đề khác nữa, từ đó dẫn tới sự giảm của tỷ lệsinh và sự tăng lên của tỷ lệ chết [4].Ví dụ 1.2. (Mô hình mô tả hành vi của khách hàng) Khách hàng mongmuốn mua nhiều nhất các mặt hàng với số tiền hiện có. Trong mô hình này, ta xemxét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng đượcđánh nhãn 1, 2, ..., n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả thiết rằng khách hàng cómột hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho số lượng) vớimỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả thiết là kháchhàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cựcđại U(x1, x2,..., xn). Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trởthành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là:nm ax U x1 ; x 2 ; ...; x n  thỏa mãn: p i .xi  Mvài 1x i  0  i  { 1 ,2 ,...,n }. Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung,đặc biệt dùng để chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế.Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn củakhách hàng vẫn là vấn đề tranh cãi [4].Ví dụ 1.3. (Mô hình chuyển động của chất lỏng) Phương trình chuyển độngcủa chất lỏng không nén được biểu diễn bằng hệ phương trình Navier-Stokes nhưsau:14 ururur ururV p2r  V . V   v VturTrong đó v là hệ số nhớt động, V là tốc độ của các phần tử chất lỏng, p là ápsuất của môi trường và  là mật độ của dòng chất lỏng. Kết hợp với phương trìnhliên tục dành cho chất lỏng không nén như sau:Và điều kiện biên:mặt vật thể,urUuururVs  Uur .V0uurTrong đó V s là tốc độ của hạt chất lỏng trên bềlà điều kiện biên [4].Tóm lại, trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụngcó thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểutượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử (Van Den Heuvel & Panhuizen, 2003;Van De Walle, 2004 ). MHH trong dạy học toán là phương pháp giúp HS tìm hiểu,khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán họcvới sự hỗ trợ của các phần mềm toán học. Sử dụng phương pháp này trong giảngdạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trảlời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giảithích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơhọc tập ngay từ đầu cho HS [7].1.1.2. Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn1.1.2.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễnToán học là môn học có tính trừu tượng cao. Theo [3, tr.35] tính trừu tượngcủa toán học và của môn Toán trong nhà trường phổ thông do chính đối tượng củatoán học quy định. Theo Ăng – ghen, “Đối tượng của toán học thuần túy là nhữnghình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan”. Hìnhdạng không gian có thể hiểu không phải chỉ trong không gian thực tế ba chiều màcòn cả trong những không gian trừu tượng khác nữa như không gian có số chiều làn hoặc vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục, … Quan hệ số lượngkhông chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp các số mà được hiểu như những phép toánvà tính chất của chúng trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loạitùy ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép biến hình,…15 Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ chelấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Theo [4, tr.62] thì liên hệ vớithực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng thực hiệnnguyên lí giáo dục. Cụ thể là:- Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hìnhhọc xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nile(Ai Cập),…- Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: Khái niệm véctơ phản ánh những đạilượng đặc trưng không phải chỉ bởi bằng số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vậntốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình cùng hình dạng nhưng khácnhau về độ lớn,… Trong Toán học có những chứng minh thuận, chứng minh đảo thìtrong cuộc sống ta thường khuyên nhau: “nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”,“sống phải có trước có sau”,…- Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo khoảngcách không tới được, đạo hàm ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân để tínhthể tích, diện tích, …1.1.2.2. Toán học có ứng dụng thực tiễnToán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng trongkhông gian của thế giới khách quan. Toán học có vai trò rất quan trọng và được ứngdụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ,kinh tế, y học, vật lý, thiên văn học, quân sự,…Ví dụ 1.4. (Trong quân sự) Pháo là một loại vũ khí không thể thiếu trongchiến tranh, nó cơ động, có sức sát thương lớn và tầm hoạt động lên tới hàng chụcki-lô-mét. Lần sử dụng pháo với đạn đẩy bằng thuốc nổ trên chiến trường đã đượcghi lại lần đầu là vào ngày 28 tháng 1 năm 1132 khi tướng Hàn Thế Trung của NamTống dùng thang mây và hoả pháo để đánh thành Kiến Châu (nay là Kiến Âu). Loạivũ khí nhỏ thô sơ này đã du nhập vào vùng Trung Đông rồi đến châu Âu vào thế kỷthứ 13. Trải qua nhiều thế kỷ, các nhà khoa học kỹ thuật đã không ngừng cải tiếncác khẩu pháo cả về tầm bắn, tính chính xác lẫn sức công phá. Với sự phát triển củaToán học, người ta đã viết được phương trình bay của viên đạn sau khi ra khỏi nòng16 pháo:y  gx22 v 0 .c o s 22 ta n   x trong đó v 0 là vận tốc khi viên đạn ra khỏ nòngpháo và  là góc mà nòng pháo tạo với phương nằm ngang.Ví dụ 1.5. (Trong thiên văn) Đã từ rất lâu, các nhà khoa học đã phát hiện racác hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo nhất định, và các nhàthiên vãn tin rằng quỹ đạo các hành tinh là một hình tròn hoàn hảo. Những tính toánchi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao Hỏa lần đầu tiên cho Kép-lê thấy quỹđạo của nó phải là hình elíp thì mới phù hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suyluận tương tự cho các hành tinh khác quay quanh Mặt trời cũng phải có quỹ đạohình elíp. Ba định luật Kép-lê (1609 - 1619) và kết quả phân tích dữ liệu quan sátcủa ông là một thách thức lớn cho mô hình địa tâm của A-rít-tốt và Ptô-lê-mê đãđược chấp thuận từ rất lâu, và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Cô-péch-ních (mặcdù quỹ đạo elíp theo Kép-lê khác với các quỹ đạo tròn theo Cô-péch-ních), bằngchứng tỏ Trái đất quay quanh Mặt trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo làbiến đổi, và quỹ đạo có đường elíp hơn là đường tròn.Ví dụ 1.6. (Trong hội họa – kiến trúc) Tờ báo mà bạn đọc, màn hình vi tính,thẻ tín dụng, cánh hoa, lá cây, toà nhà cao ốc – tất cả mọi thứ đều được tạo lập dựatrên một nguyên tắc, một tỷ lệ, một giá trị cân đối. Dường như vũ trụ đang tiết lộvới chúng ta về một mật mã ẩn chứa trong mọi khía cạnh của tự nhiên – một mật mãđộc đáo và mang đầy tính nghệ thuật: đó là con số của tỷ lệ vàng – một tỉ lệ hoànhảo. Trong một cuộc thực nghiệm gần đây nghiên cứu một số cá thể từ các dân tộckhác nhau đã cho thấy rằng: trong số những số đo khác nhau của hình chữ nhật, thìhầu hết mọi người đều đồng ý với một con số cân đối nhất. Con số hoàn hảo nhấtđược hình thành khi tỷ lệ giữa cạnh lớn hơn với cạnh nhỏ hơn xấp xỉ 1,618 – trongtoán học con số này được gọi là “vàng”. Tỷ lệ các cạnh hình chữ nhật này có mặttrong hàng ngàn công trình kiến trúc trên khắp thế giới, cũng như là trong các hộpdiêm, danh thiếp, những cuốn sách, và hàng trăm vật dụng hàng ngày khác, đơngiản bởi vì con người cảm thấy nó phù hợp. Kim tự tháp Giza, kim tự tháp Cheops,trụ sở Liên Hiệp Quốc tại New York, và nhà thờ Đức Bà Paris là những dẫn chứngđiển hình cho việc ứng dụng tỷ lệ vàng. Trên thực tế, đền thờ Panthenon có rấtnhiều chi tiết ứng dụng tỷ lệ này.17 Đền Parthenon (Athens)Nàng Mona LisaCác thí dụ từ hình chữ nhật cho tới hình xoắn ốc tuân theo tỷ lệ vàng (hìnhtạo thành bằng cách nối các đỉnh của các hình chữ nhật vẽ theo tỷ lệ vàng đặt chồnglên nhau) có thể tìm thấy ở khắp mọi nơi: sừng của con cừu, khoáng vật, xoáy nước,cơn lốc, vân tay, cánh hoa hồng, những đài hoa đồng tâm của cây súp-lơ hay hoahướng dương, chim muông, côn trùng, cá, dải ngân hà, hay một số dải thiên hà khácnhư dải M51 ngay cạnh dải ngân hà của chúng ta… thậm chí cả con ốc sên. Mộtcon ốc thật đẹp và thật hoàn hảo như ốc Anh Vũ chắc chắn phải có sự kết hợp thậttài tình với tỷ lệ vàng. Rất nhiều loài cây cũng thể hiện mối liên hệ với tỷ lệ vàngtrong độ dày giữa giữa cành thấp với cành cao.Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong sự pháttriển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lựclượng sản xuất. Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng Toánhọc vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng những công cụ Toán họcthích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưabiết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắpxếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra [4].1.1.3. Phƣơng pháp mô hình hóaPhương pháp MHH trong dạy học Toán ở trường phổ thông được chú trọngnghiên cứu khoảng một thập kỉ gần đây (Blum, Galbraith, Henn & Niss, 2002).Phương pháp này giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn bằng phương pháp toánhọc, từ đó hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. MHH là một quá trình khépkín (English, 2007), bắt đầu từ việc chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đềtoán học, sử dụng toán học để hiểu, đánh giá, chọn lọc và cải tiến mô hình cho phù18 hợp với thực tiễn. Hoạt động MHH gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đềcủa thế giới bên ngoài (Zbiek & Conner, 2006; Stillman, 2009). Nó giúp HS pháttriển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao (Tanner & Jones, 2002;McClure & Sircar, 2008). GV nên phát triển các loại bài tập gắn với hoạt độngMHH như: các bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinhtại địa phương, phân tích các tin tức trên báo chí, số liệu trong SGK hoặc trên mạnginternet [7].Đối với cấp tiểu học, phương pháp MHH thường được sử dụng để giải quyếtlớp các bài toán có lời văn. Mô hình thường là được biểu diễn dưới dạng biểu tượngnhư hình chữ nhật, hình thang, hình tròn,… Tuy nhiên, hoạt động MHH không thểhiện một cách rõ ràng ở bậc tiểu học. Van de Walle (2004) cho rằng mô hình diễn tảcác khái niệm toán học và mối quan hệ giữa các khái niệm đó có thể là đồ vật, bứctranh hay hình vẽ cụ thể giống như việc sử dụng các khối hình chữ nhật để biểu diễncác phân số bằng nhau. Quá trình MHH đòi hỏi hoạt động nhóm, hợp tác và thảoluận để có thể tập hợp, liên kết các lập luận của thành viên trong nhóm [13].Đối với cấp trung học, HS tiếp cận với khối lượng tri thức lớn hơn, các chủđề rộng hơn. Bài tập toán thường được chia thành ba loại: sử dụng mối quan hệgiữa các bộ môn Toán học, giải quyết các vấn đề thực tiễn dưới dạng các vấn đềtoán học thuần túy và giải quyết các vấn đề thực tiễn phải sử dụng các kiến thứctoán học. HS cần phải linh hoạt trong việc giải hai dạng bài toán đầu tiên, đó là bàitoán ứng dụng toán học. Từ đó, chuẩn bị cho việc tiếp cận dạng bài toán thứ ba làgiải toán thực tế thông qua mô phỏng và MHH [13].Chúng ta cần làm rõ dạy học MHH và dạy học bằng MHH. Để nâng caonăng lực hiểu biết toán cho HS, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựngmô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra. Đối với cácnhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không chophép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không mang đến lời giải tối ưu chomột lớp các trường hợp đặc biệt nào đó. Việc tìm ra mô hình mới của họ thườngdẫn đến một phát minh mới (một khái niệm, một định lý mới). Song đối với GV thìmô hình ấy đã tồn tại. Điều đó dẫn đến chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theohai tiến trình (trình bày theo [1]):19 - Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hayđịnh lý, công thức).- Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xâydựng mô hình toán học: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn; Xây dựng mô hình toánhọc; Câu trả lời cho bài toán thực tiễn; Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằngcách nêu định nghĩa hay định lý, công thức; Vận dụng vào giải các bài toán thựctiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp.Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học MHH, tiết kiệm được thời giannhưng lại làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làmmất nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên HS sẽkhông lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợpvới tri thức vừa đưa vào. Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng đượcmô hình toán học phù hợp hay không?Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, chophép khắc phục khiếm khuyết này. Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từquá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hayphương tiện giải quyết vấn đề. Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH.Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng MHH vàdạy học MHH là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho HS.Như vậy, để đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải tính đến vấn đềMHH trong dạy học.1.2. QUY TRÌNH MÔ HÌNH HÓAMHH các tình huống thực tiễn trong dạy học toán có thể sử dụng các công cụvà ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật ngữ, phương trình, bảng biểu,biểu tượng, đồ thị, kí hiệu,… Vì thế nó cần tuân theo quy trình gồm 4 giai đoạnchính sau đây (trình bày theo Swetz và Hartzler, 1991):1. Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và pháthiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó.2. Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngônngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng.20 3. Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp đểMHH bài toán và phân tích mô hình.4. Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa rakết luận.Quá trình GQVĐ và MHH có những đặc điểm tương tự nhau giúp rèn luyệncho HS những kĩ năng toán học cần thiết. Do đó, chúng hỗ trợ và bổ sung cho nhau.Quy trình này được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả các tình huống nảysinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấnđề trong thực tiễn (English, 2007). Có thể minh họa quy trình trên bằng sơ đồ khépkín dưới đây:Tình huốngthực tiễnQuan sát, hiểu vàxây dựng môhìnhPhântíchÁp dụngKết luận,Thông báoMô hìnhtoán họcHiểu và thông dịchKết luậntoán họcHình 1.1: Quy trình mô hình hóa khép kínĐể vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV cầngiúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình MHHcác bài toán:- Bƣớc 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xậy dựng các giả thuyết đểđơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toánhọc.- Bƣớc 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán họcthích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa.- Bƣớc 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tìnhhuống trong thực tiễn (bài toán ban đầu).21 - Bƣớc 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế củamô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phươngpháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng.Tóm lại, tuân theo quy trình và các bước cụ thể trên, HS cần xuất phát từ tìnhhuống thực tiễn, diễn đạt vấn đề thực tiễn trên bằng lời (lập giả thuyết, công thức,phương trình,…); sau đó sử dụng công cụ toán học để giải bài toán và hiểu ý nghĩacủa lời giải bài toán đối với thực tiễn. Cuối cùng, HS xem xét lại mô hình (hoặcchấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả) và tìmhiểu những hạn chế và khó khăn có thể gặp phải khi áp dụng kết quả của bài toánvào tình huống thực tiễn.Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theo mộtcơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên dễhiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông [13]. Cơ chế điều chỉnh này thể hiện mốiliên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:Hình 1.2: Cơ chế điều chỉnh quá trình MHHTừ cơ chế điều chỉnh quá trình MHH, chúng tôi đề xuất các bước tổ chứchoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:- Bƣớc 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóavấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.- Bƣớc 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.- Bƣớc 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toánhọc mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó.22 - Bƣớc 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán.- Bƣớc 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán họctrong hoàn cảnh thực tế.- Bƣớc 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lývà tối ưu của mô hình đã xây dựng.- Bƣớc 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựngmô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.Hình 1.3: Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóaCNTT có thể giúp làm thu hẹp khoảng cách trong nhận thức của HS về quátrình MHH. Các phần mềm toán học (như phần mềm tính toán đại số, phần mềmhình học động, phần mềm thống kê), bảng tính điện tử hay thậm chí cả máy tính bỏtúi sẽ giúp HS tạo ra mô hình để tìm hiểu, khám phá thuộc tính của các khái niệm,đối tượng toán học trong chương trình toán ở trường phổ thông và ở trường đại học(Beare, 1996; Ferrucci & Carter, 2003; Chua & Wu, 2005). Đối với cùng một vậtthật, mỗi HS có thể tạo ra những mô hình khác nhau với sự hỗ trợ của CNTT. Đâylà nhân tố giúp tổ chức các hoạt động MHH theo nhóm phong phú và hiệu quả hơn.Đặc biệt, với sự xuất hiện của các thiết bị học tập di động như điện thoại di động,máy tính bỏ túi, PDA với các chức năng hỗ trợ quá trình MHH sẽ giúp HS học tậptheo nhóm dựa trên các tình huống thực tiễn.1.2.1. Giai đoạn 1: Toán học hóaToán học đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường, trong lao động sản xuất vàtrong nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán học hóa các vấn đềthực tiễn. Theo Hans Freudenthal: “Toán học hóa dẫn thế giới của cuộc sống về thế23 giới của các kí hiệu…” [29, tr.41]. Ông cũng cho rằng: “Tiên đề hóa, công thức hóa,sơ đồ hóa được xem là tiền đề của thuật ngữ „toán học hóa‟, trong đó tiên đề hóa làthuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong ngữ cảnh của toán học‟‟. Thuật ngữ “toánhọc hóa” thường được dùng trong các cuộc thảo luận của các nhà khoa học trướckhi đưa ra trong các văn bản chính thức. Bởi vậy, thuật ngữ này ra đời một cách tựnhiên và khó xác định được ai đã sử dụng nó lần đầu tiên và xuất hiện từ thời điểmnào. Trong [13], [27], tuy không giải nghĩa thuật ngữ này một cách tường minhnhưng khi bàn đến quá trình toán học hóa thì trọng tâm nhất mà tác giả đề cập đếnlà việc xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tế. Trong [13, tr.97], tácgiả cho rằng: “Khả năng xây dựng mô hình toán học của một tình huống thực tế,được coi là cơ sở của việc toán học hóa các tình huống thực tế”. Từ đó có thể hiểuquá trình toán học hóa vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó về dạng toán học.Đối với HS THPT, hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế diễn ra khi HSđối mặt với các tình huống thực tiễn có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống cá nhân.Các em HS phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học phổ thôngđể giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Tuy nhiên, việcvận dụng này lại mang tính chất gián tiếp. Cụ thể là trước tình huống đối mặt trongcuộc sống, các em phải liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặtra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình.1.2.2. Giai đoạn 2: Giải bài toánSử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải bài toán, baogồm cả sự hỗ trợ của CNTT. Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp vàcông cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toánhọc. Ở giai đoạn này CNTT sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phứctạp và đưa ra đáp số của bài toán.1.2.3. Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toánHiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán banđầu). Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần nhận ranhững hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huốngthực tiễn.24 1.2.4. Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tếXem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũngnhư lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng,đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng. Đây là giai đoạn đòi hỏi HS cóhiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấnđề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán họcđã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hìnhcũng như lời giải của bài toán.1.3. VAI TRÕ CỦA PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌCMÔN TOÁNMHH là phương pháp xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễnđạt và mô tả các bài toán thực tiễn. Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáodục toán học đã nhận ra được tầm quan trọng của phương pháp MHH trong quátrình dạy học toán ở trường phổ thông (Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999;Martinez-Luacles, 2005; Carrejo & Marshall, 2007). Phương pháp này giúp HS làmquen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toánthực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phùhợp. Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Lesh &Zawojewski (2007) khẳng định rằng MHH toán học giúp HS phát triển sự thônghiểu các khái niệm và quá trình toán học. Quá trình MHH giúp HS hệ thống hóa cáckhái niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ýtưởng đó. Những mô hình này được thể hiện rõ ràng hơn với sự trợ giúp của CNTTnhư: biểu diễn đồ thị, biểu đồ; tìm mối quan hệ; dự đoán; toán học hóa, môphỏng,… (Lesh, Yoon & Zawojewski, 2007). Hơn nữa, thông qua MHH, HS đượckhuyến khích tham gia các hoạt động “hệ thống các khái niệm toán học” giúp cácem có được cái nhìn hệ thống hơn về lập luận và chứng minh toán học dưới cácdạng ngôn ngữ nói, kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình (Lesh & Doerr,2003) (theo [7]).Qua các nghiên cứu, các nhà toán học cũng như các nhà giáo dục toán học đãnhận ra được tầm quan trọng của MHH trong quá trình dạy học toán ở trường phổthông (Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez-Luacles, 2005; Carrejo &25 Marshall, 2007). Phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển nhiều kĩnăng toán học, đồng thời nó cũng đòi hỏi nhiều kĩ năng, kiến thức và kinh nghiệmtừ GV hơn là phương pháp dạy học GQVĐ (Martinez-Luacles, 2005).GQVĐ cũng là một trong những kĩ năng quan trọng của cuộc sống. Nó liênquan đến các hoạt động như phân tích, tổng hợp, thông hiểu, lập luận, dự đoán,đánh giá và đối chiếu thực tế. Đó là mục tiêu tổng quát và một thành tố cơ bản trongchương trình môn Toán ở nhiều nước trên thế giới. Quá trình GQVĐ thường đượcxác định tương ứng với từng đối tượng HS và tập trung vào quy trình thực hiện(Zawojewski, 2007). Trong khi đó, quá trình MHH yêu cầu hiểu các dữ liệu banđầu, hợp tác nhóm để thiết kế mô hình, nắm được những hạn chế và cải tiến môhình. Cả hai quá trình MHH và GQVĐ đều hỗ trợ HS giải toán, phát triển tư duy vàđiều khiển quá trình nhận thức [7].1.3.1. Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toánGV có thể sử dụng mô hình để tạo ra các tình huống gợi vấn đề trong quátrình dạy học toán. Từ đó, tăng cường mối quan hệ giữa các hoạt động MHH và cáchoạt động toán học, phân tích quá trình nhận thức xảy ra trong quá trình MHH vàhiểu quá trình này. Xu hướng của giáo dục toán học phổ thông hiện nay là tăngcường tính ứng dụng của toán học, trong đó chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyếtcác bài toán thực tiễn (Gravemijer, 1994; NCTM, 2000; Lowrie & Logan, 2006;Gainsburg, 2008).Ví dụ 1.7. (Thiết kế một chiếc cầu qua sông) Hai thành phố A và B nằm ở haiphía của một dòng sông. Hãy chọn một địa điểm xây dựng một chiếc cầu bắc quacon sông sao cho quãng đường đi giữa hai thành phố là nhỏ nhất? (giả sử hai bờsông song song với nhau và cầu nằm vuông góc với bờ sông).* Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV hướng dẫn HS dựng hai đường thẳng l1và l2 song song biểu diễn cho hai bờ sông. Sau đó, dựng hai điểm A và B biểu diễncho hai thành phố. Dựng điểm D bất kì trên đường thẳng l1, sau đó dựng đườngthẳng đi qua D và vuông góc với l1, cắt l2 tại điểm E. Cuối cùng, dựng các đoạnthẳng AD, DE, EB. Tổng độ dài đường gấp khúc ADEB chính là quãng đường đi từthành phố A đến thành phố B.26 * Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Đây cũng là giai đoạn tạo tình huống có vấnđề. GV hướng dẫn HS đo tổng khoảng cách (AD + DE + EB) và di chuyển điểm Dtrên đường thẳng l1 cho đến khi thấy tổng trên nhỏ nhất thì dừng lại và quan sát. GVđặt câu hỏi nêu vấn đề: “Khi tổng trên đạt giá trị nhỏ nhất thì hai đường thẳng ADvà EB có quan hệ với nhau như thế nào?”.Hình 1.4: Điểm D bất kì và điểm D khi (AD + DE+ EB) nhỏ nhất* Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Sau khi hướng dẫn HS trả lời được câu hỏi trên,nghĩa là tổng (AD + DE + EB) nhỏ nhất khi AD // EB, GV hướng dẫn HS giải bàitoán trên sử dụng phép tịnh tiến theo véc tơ 𝐸𝐷 . Thật vậy, gọi 𝐵′ = 𝑇𝐸𝐷 (𝐵), G =AB’  l1 và H là giao điểm của đường thẳng đi qua G vuông góc với l1 và đườngthẳng l2. Ta có:𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐵′ + 𝐵𝐵′ = 𝐴𝐵′ + 𝐵𝐵′ ≤ 𝐴𝐷 + 𝐷𝐵′ + 𝐵𝐵′= 𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐵 ⇒ 𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵 ≤ 𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐵.Hình 1.5: Hoạt động mô hình hóa xác định vị trí chiếc cầuDựa trên lời giải của bài toán, GV hướng dẫn HS hiểu và thông dịch bài toán.Để xác định vị trí xây chiếc cầu, trước tiên các em phải xác định điểm B’ là ảnh của27 điểm B qua phép tịnh tiến theo véc tơ 𝐸𝐷 , sau đó xác định vị trí xây cầu G chính làgiao điểm của AB’ và đường thẳng l1.* Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Ở bước này, GV cần làm rõ khả năng ứng dụnglời giải của bài toán vào thực tế: vấn đề giải phóng mặt bằng cho hai đoạn đường từA đến D và từ E đến B, các yêu cầu về mặt địa chất tại địa điểm xây cầu và các yếutố khác. Từ đó, giúp các em thấy rằng cần phải cải tiến các mô hình toán học trướckhi có thể ứng dụng vào thực tiễn.Sau đây là một số ví dụ ứng dụng CNTT để tổ chức các hoạt động MHHtrong dạy học toán ở trường phổ thông:Ví dụ 1.8. (Thiết kế bãi để xe đạp) Có một công viên và một khu đất trốngcạnh nhà ga. Nhằm đảm bảo an toàn trong công viên, thành phố xây dựng đường điriêng dành cho xe đạp và bãi gửi xe tại khu đất trống để hành khách gửi xe trước khiđi bộ đến nhà ga. Hãy thiết kế phương án giải bài toán trên (làm việc theo nhóm)bằng phương pháp MHH:* Giai đoạn 1 (Toán học hóa):- HS hiểu vấn đề và vẽ hình để mô tả tình huống thực tiễn.QDCCông viênF100 m100 mBãi để xe đạpVận tốc đi bộ:1 m/sVận tốc xe đạp:5 m/sKhu đất trốngA150 mBP250 mHình 1.6: Mô tả tình huống thực tiễn- HS lập giả thuyết và thu thập thêm thông tin như: kích thước công viên vàkhoảng đất trống, vận tốc trung bình của người đi bộ và xe đạp, giới hạn vận tốc xeđạp trong công viên, mục đích thiết kế (đường đi ngắn nhất, tiết kiệm thời giannhất,…).- Xác định các khái niệm toán học liên quan trước khi thiết kế mô hình trênmáy tính: khoảng cách, vận tốc và thời gian.28 - Xây dựng mô hình toán học dựa trên các giả thuyết đã đưa ra. Ví dụ nhưthiết kế để thời gian đi là ít nhất thì biểu thức biểu thị thời gian được mô tả như sau:Tổng số thời gian T = Khoảng cách đi trong công viên/vận tốc xe đạp + Khoảngcách đi trong khoảng đất trống/vận tốc đi bộ; công viên và mảnh đất có dạng hìnhchữ nhật; các số liệu về số chiều và vận tốc có thể hướng dẫn HS lấy trên mạnginternet.* Giai đoạn 2 (Giải bài toán):- HS sử dụng các phần mềm hình học động GeoGebra để di chuyển điểm Fđến các vị trí khác nhau và đo khoảng cách, lập bảng quan sát và xác định vị trí củađiểm F sao cho thời gian đi là ngắn nhất.- HS lập biểu thức của khoảng cách như một hàm số theo thời gian dựa vàođịnh lý Pitago như sau: 𝑇 =150 2 + 100−𝑥 25+250 2 +𝑥 21, trong đó x là khoảng cáchQF.Hình 1.7: Mô hình hóa bằng phần mềm GeoGebra* Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): HS cần biết rằng giá trị x biểu thị vị trícủa bãi gửi xe đạp. Trong khi AF biểu thị cho đường đi xe đạp, CF biểu thị chođường đi bộ.* Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):- Sau khi xác định được vị trí bãi để xe đạp, HS cần kiểm tra lại tính khả thicủa việc xây dựng bãi để xe và tìm hiểu các khó khăn khác.- Xem xét lại các giả thuyết: Nếu công viên có dạng hình tròn thì sao? Nếucông viên hay khu đất trống là các đa giác không đều? Có phương pháp nào có thểáp dụng cho tất cả các trường hợp? Giải pháp nào đáp ứng nguyện vọng của ngườidân (thời gian hay khoảng cách?).29 - Suy nghĩ về các phương pháp toán học khác? Sử dụng các phần mềm toánhọc khác để mô tả?- Xét đến tính liên môn trong bài toán này: vật lý, địa lý, giao thông,…Như vậy thông qua các bài toán trên, GV tập cho HS tham gia các hoạt độngMHH trên máy tính để dự đoán, tìm cách GQVĐ và đưa ra ý tưởng chứng minh chobài toán. Từ đó, giúp HS phát triển kĩ năng giao tiếp, tư duy và giải quyết các vấnđề về giao thông trong thực tế cuộc sống [7].1.3.2. Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễnCác hoạt động MHH có thể là chất xúc tác giúp HS hiểu sâu hơn về các ýtưởng toán học, kĩ năng giải quyết vấn đề và phát hiện các yếu tố toán học trongthực tiễn. Sử dụng phương pháp MHH, GV có thể giúp HS thấy được các mô hìnhtoán học như các đường parabôn, hypebôn, côníc được thể hiện trong các hiệntượng trong cuộc sống. Do đó, MHH giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩahơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn (Lesh& English, 2005; Ang, 2009; Dindyal, 2009). Tuy nhiên, để thực hiện được vấn đềnày GV cần phải khắc phục một số khó khăn như: vấn đề lựa chọn tình huống thựctế phù hợp với khả năng nhận thức của HS; trong quá trình thực hiện, phương phápnày đòi hỏi nhiều thời gian hơn các phương pháp truyền thống khác; gặp khó khăntrong quá trình kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của HS [7].Ví dụ 1.9. (Tượng Merlion tại Singapore) GV đưa ra hình ảnh về tượng nhânsư Merlion, biểu tượng du lịch của Singapore. Yêu cầu HS quan sát và dự đoán vềquỹ đạo chuyển động của vòi phun nước xuất phát từ miệng tượng nhân sư. Sau đó,GV hướng dẫn HS sử dụng phần mềm GeoGebra để tìm phương trình quỹ đạochuyển động của vòi phun nước:- Bước 1: Chọn gốc tọa độ trùng với vị trí xuất phát của vòi phun nước. Sauđó, nhập giá trị của tham số m sử dụng chức năng thanh trượt của phần mềmGeoGebra.- Bước 2: Nhập phương trình có dạng 𝑦 = 𝑚𝑥 2 vào trường nhập lệnh.- Bước 3: Di chuyển điểm (thay đổi giá trị m) trên thanh trượt cho đến khi đồthị hàm số dạng 𝑦 = 𝑚𝑥 2 trùng khớp với quỹ đạo của vòi phun nước.30 Hình 1.8: Quỹ đạo của vòi phun nước tượng MerlionThông qua các hoạt động này, HS có thể thấy rằng quỹ đạo chuyển động nóichung của các vòi phun nước là hình parabôn, cụ thể trong ví dụ này là parabôn cóphương trình 𝑦 = −0.1 𝑥 2 . Tương tự là ví dụ về xác định quỹ đạo nước mưa rơidưới đây.Ví dụ 1.10. (Quỹ đạo nước mưa rơi) Sử dụng phần mềm GeoGebra hoặcGeometer‟s Skethpad để tìm hiểu về quỹ đạo của nước mưa rơi từ mái nhà xuốngđất.Hình 1.9: Mô hình hóa quỹ đạo chuyển động của nước mưa rơiNhập bức ảnh nước mưa rơi (HS có thể chụp bằng máy ảnh kỹ thuật số hoặcsưu tầm trên mạng internet) vào giao diện của phần mềm GeoGebra. Dựa trên địnhluật chuyển động của phân tử, ta có thể dự đoán quỹ đạo chuyển động của nó là31 dạng hình parabôn có phương trình 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, trong đó việc chọn gốctọa độ là tùy ý.Để tổ chức hoạt động MHH hiện tượng này, GV yêu cầu các nhóm nhóm sửdụng phần mềm GeoGebra, nhập các tham số a, b, c vào máy tính và thay đổi giá trịcủa chúng để xác định đúng quỹ đạo chuyển động và phương trình biểu diễn hiệntượng nước mưa rơi. Như vậy, dựa vào mô hình trên, HS có thể nhận ra được quỹđạo chuyển động của nước mưa rơi từ mái nhà xuống mặt đất có dạng hình parabôn.Tùy thuộc vào cách chọn gốc tọa độ mà mỗi nhóm sẽ có dạng phương trình biểudiễn khác nhau [7].1.3.3. Hiểu đƣợc ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễnTrong quá trình dạy học toán, GV cần tập trung vào khả năng tạo các mốiquan hệ giữa toán học và thực tiễn cuộc sống nhằm giúp HS thấy được sự phát triểncủa toán học gắn liền với văn hóa và sự tiến bộ của xã hội loài người (Freudenthal,1973). Trong đó, rèn luyện kĩ năng hiểu được ý nghĩa của các số liệu thống kê trongthực tiễn có vai trò quan trọng trong giáo dục toán học hiện nay.Ví dụ 1.11. (Thành tích chạy 100m nam) Khi nghiên cứu về hàm số, các nhàtoán học thường tập trung vào một số dạng hàm số có nhiều ứng dụng nhất trongcuộc sống thực tế, ví dụ như hàm số dạngy kx2, hàm số tuyến tính, hàm số bậchai, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số lôgarít. Trong dạy học ở trường phổthông, GV cần giúp HS hiểu được ý nghĩa của các mô hình toán học trên trong việcdự đoán kết quả của các tình huống cho trước trong thực tế. Ví dụ, khi xét bảngthống kê sau về kỷ lục chạy 100 mét (thời gian tính theo đơn vị giây) của các namvận động viên tại các thế vận hội Ôlympíc mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012:Bảng 1.1: Bảng thành tích chạy 100 m tại các kỳ Ôlympíc (1900 - 2012)19001904190819121920192419281932194811.011.010.810.0810.0610.0810.0310.0310.0319521956196019641968197219761980198410.0410.0510.0210.069.9510.1410.0610.259.9919881992199620002004200820129.929.969.849.879.859.699.6332 Dựa vào các số liệu trên, GV hướng dẫn HS tham gia hoạt động MHH để tìmra phương trình mô tả hiện tượng trên và đưa ra dự đoán về thành tích của vận độngviên nam tại Ôlympíc mùa hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin). Sử dụng phần mềmtoán học để xử lý số liệu và đưa ra được đồ thị hàm số tuyến tính biểu diễn xấp xỉcác giá trị (số giây) theo các năm tổ chức thế vận hội mùa hè như sau:Hình 1.10: Mô hình tuyến tính thành tích của các nam vận động viênKết quả tính toán đưa ra hàm số biểu diễn mối quan hệ tuyến tính của môhình trên: 𝑡 = −0,00726264𝑁 + 24,3287866, trong đó t là thời gian chạy 100mét (tính theo đơn vị giây), N là số năm. Từ mô hình này, GV có thể hướng dẫn HSdự đoán về thành tích của nam vận động viên chạy 100 mét tại Ôlympíc mùa hè2016 tại Rio de Janeiro (Braxin) theo mô hình:𝑡 = −0,00726264.2016 + 24,3287866 ≈ 9,69 (giây)Tóm lại, sử dụng phương pháp MHH trong dạy học toán ở trường phổ thônggiúp HS rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết, đồng thời cho các em thấy đượcnhững ứng dụng trực tiếp của các kiến thức toán học trong thực tiễn. Để thực hiệnđược phương pháp này, người GV cần linh hoạt, sáng tạo trong việc lựa chọn cáctình huống thực tế phù hợp với trình độ nhận thức của HS cũng như hướng dẫn cácem thao tác và tham gia các hoạt động MHH trên máy tính điện tử. Thông qua cáchoạt động này, HS có cơ hội học toán gắn với các tình huống thực tế, rèn luyện vàphát triển năng lực toán học cần thiết cho cuộc sống và tăng cường hứng thú học tậpmôn Toán, từ đó giúp các em học toán một cách có ý nghĩa hơn [7], [13].33 1.3.4. Phát triển các kĩ năng toán họcSử dụng CNTT để hỗ trợ HS thực hiện các hoạt động MHH trong học tậptoán ở trường phổ thông giúp các em rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết vàthấy được ứng dụng trực tiếp của các kiến thức toán học trong thực tiễn. Từ đó, tănghứng thú và niềm say mê học tập môn Toán, giúp các em học toán một cách có ýnghĩa hơn. Để thực hiện tốt ý tưởng này, đòi hỏi người GV cần sáng tạo, lựa chọncác tình huống thực tế phù hợp với trình độ nhận thức của HS, lựa chọn các phầnmềm dạy học hợp lý giúp các em thao tác và MHH trên máy vi tính. Ngoài ra, cáchoạt động MHH còn hỗ trợ rất hiệu quả cho phương pháp dạy học GQVĐ, nó giúptạo các tình huống gợi vấn đề và tham gia trực tiếp vào quá trình giải bài toán. Hơnthế, với sự phát triển của CNTT, các hoạt động MHH sẽ dễ dàng tiếp cận hơn ở nhàtrường phổ thông, giúp HS có cơ hội học toán gắn với các tình huống thực tế, rènluyện và phát triển năng lực toán học cần thiết cho cuộc sống [13].Sử dụng phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển các kĩ năngtoán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiệnvà giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn (Martinez-Luacles, 2005; Mousoulides,Sriraman & Christou, 2007). Phương pháp MHH hỗ trợ GV tổ chức dạy học theophương pháp GQVĐ có hiệu quả hơn và khuyến khích HS học tập, hiểu sâu kiếnthức, rèn luyện các kĩ năng GQVĐ (Mousoulides, Sriraman & Christou, 2007). GVnên sử dụng các dạng bài tập MHH theo nhóm nhỏ nhằm các mục đích sau đây:- Rèn luyện cho HS năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tế.Trong suốt quá trình MHH, HS cần phải phân tích và tổng hợp, trừu tượng hóa vàtổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quynạp,... Quá đó đồng thời rèn luyện cho các em năng lực tư duy lôgíc và tư duy trừutượng.- Rèn luyện khả năng sáng tạo, đó là việc tiếp cận kho tàng tri thức mới, sửdụng những phương pháp và kỹ thuật mới trong phân tích và GQVĐ.- Nâng cao tinh thần hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tincho HS thông qua trao đổi nhóm, sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ quá trình giảiquyết vấn đề, MHH và cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn. Verschaffel vàDe Corte (1997) cho rằng, các bài toán MHH sẽ giúp GV thiết lập các hoạt động34 nhóm mới trong lớp học nhằm tạo ra sự xung đột về kiến thức và thúc đẩy quá trìnhhợp tác ở mức độ cao.- Tăng cường tính liên môn trong học tập: địa lý, khoa học, lịch sử, môitrường,… Ví dụ như thông qua hoạt động MHH toán học giúp HS hiểu được đồ thịcủa hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 mô tả về sự tốc độ sinh trưởng của thực vật.Theo nghiên cứu của Biembengut và Hein (2007), MHH như một phươngpháp dạy học cung cấp cho HS một số kĩ năng: tích hợp toán học với các kiến thứckhác, quan tâm đến ứng dụng toán học, cải tiến việc nắm bắt các khái niệm toánhọc, khả năng sử dụng công nghệ thông tin; khả năng làm việc theo nhóm, địnhhướng nghiên cứu, khả năng thông báo nghiên cứu. Một số nghiên cứu gần đâycũng đặt ra nhiều câu hỏi nghiên cứu liên quan đến vận dụng MHH trong dạy họctoán ở trường phổ thông như: Làm thế nào để thiết kế các hoạt động MHH có ýnghĩa đối với HS? (Lesh và Caylor, 2003; 2007); Thiết kế các hoạt động MHH nhưthế nào? Những khó khăn trong việc thực hiện các giai đoạn MHH trong dạy họckhác nhau là gì? (Blum, Niss và các đồng nghiệp, 2006); Cấu trúc nhận thức liênquan đến năng lực MHH và những kĩ năng nhận thức nào liên quan đến giai đoạnnào của chu trình MHH? (Boromeo Ferri, 2006) [7].Các bài toán MHH có đặc điểm là yêu cầu HS toán học hóa các tình huống,thường là các tình huống thực tiễn. Toán học hóa là thành phần quan trọng của bàitoán MHH vì nó dựa trên các ý tưởng toán học quan trọng giúp HS có thể đào sâuvà phát triển sự thông hiểu toán học (Lesh, 2000). GV nên lựa chọn các tình huốngthực tiễn đòi hỏi việc thu thập các số liệu, hình ảnh hay hiện tượng nào đó. Thôngqua đó thực hiện các hoạt động MHH, đưa ra kết luận và dự đoán về tính khả thicủa mô hình. Thảo luận nhóm là biện pháp tốt nhất giúp HS làm quen và biếnnhững vấn đề toán học trong SGK thành những vấn đề trong cuộc sống, tranh luậnvề những ưu điểm và nhược điểm của các mô hình đã thiết kế,…. Verschaffel và DeCorte (1997) cho rằng, các bài toán MHH sẽ giúp GV thiết lập các hoạt động nhómmới trong lớp học nhằm tạo ra sự xung đột về kiến thức và thúc đẩy quá trình hợptác. Các hoạt động MHH này sẽ tạo cơ hội cho HS hiểu được tình huống thực tiễntheo các cách khác nhau để từ đó chia sẻ kế hoạch, tranh luận, đưa ra quyết định vàcông bố kết quả (Anderson, 2005).35 Tóm lại, vai trò của phương pháp MHH là nhằm truyền đạt nội dung kiếnthức theo cách tích cực, tạo động cơ học tập, tăng cường tính liên môn và tính khoahọc trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông [7].1.4. THỰC TRẠNG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONGDẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG THPT1.4.1. Về bài toán có tính thực tiễn trong SGK môn Toán THPTNhư đã trình bày ở trên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, phản ánh thựctiễn và có ứng dụng to lớn vào thực tiễn. Từ đó, ta có thể thấy mối quan hệ mật thiếtgiữa Toán học và thực tiễn. Việc liên hệ Toán học với thực tiễn trong chương trìnhvà SGK trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 chưa được quan tâmmột cách đúng mức và thường xuyên. Về vấn đề này tác giả Trần Thúc Trình(1998) cho rằng: “Đáng tiếc là hiện nay trong các SGK và bài tập còn quá ít các bàitoán thực tế. Điều này cần phải nhanh chóng được khắc phục”. Trong các SGK mônToán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ chú ý tập trung làm rõ nhữngvấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học nhưng cũng chưa đáp ứng được sovới yêu cầu; số lượng các vấn đề lí thuyết, các ví dụ, bài tập Toán có nội dung liênmôn và thực tế trong các SGK Đại số và Giải tích ở bậc THPT để HS học và rènluyện còn rất ít. Cụ thể:1) Đối với SGK trước đây, rất ít thấy các bài tập và các vấn đề toán học gắnliền với thực tiễn. Chẳng hạn, trong cuốn Đại số và Giải tích 11 (1999) chỉ tìm thấy:bài tập 8, 9, 10 (tr.10-11); ví dụ (tr.95); bài tập 7 (tr.96) và ví dụ 4 (tr.99).2) Sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 (chỉnh lí hợp nhất năm 2000):- Đại số và Giải tích 11: Ở chương I, §1, khi nói đến mở rộng khái niệm góccó đề cập: “Trong thực tiễn còn có những góc lớn hơn 3600. Chẳng hạn bán kínhOM của một bánh xe có thể quay 4/3 vòng, 2 vòng,…” [tr.6]. Cũng trong §1 có bàitập 8 [tr.12] gắn liền với thực tiễn. Trong chương III, §3 có nêu ra một ví dụ về cấpsố cộng gần với thực tiễn [tr.98]. Cũng trong §3, ở phần bài tập có 1 bài “trồng câytheo hình tam giác” ở trang 100. Còn trong §4, có đưa vào một ví dụ về cấp số nhân“phần thưởng của hoàng tử Ấn Độ Xiram cho người phát minh ra trò chơi cờ vua” ởtrang 103.36 - Giải tích 12: Chương I, §1, trang 1 và 2, trước khi đưa ra định nghĩa đạohàm, sách đã đưa vào “bài toán tìm vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển độngthẳng”. Cũng trong §1, ở trang 10 có nêu lên ý nghĩa vật lí của đạo hàm. Còn ởtrang 11 đưa vào một bài tập về vấn đề này. Ở §4, có nêu lên “ý nghĩa cơ học củađạo hàm cấp 2” cùng với một ví dụ (tr.38) và một bài tập (tr.39). Trong bài tập ôntập chương I có một bài liên hệ với thực tiễn ở trang 43. Trong chương II, sách trìnhbày những ứng dụng của đạo hàm. Tuy nhiên cũng chỉ quan tâm đến những ứngdụng thuần túy trong nội bộ toán học. Chỉ có ví dụ 2 được nêu ra ở §3 (tr.62) gắnliền với thực tiễn sản xuất. Trong chương III, lại một lần nữa SGK cũng quan tâmnhiều hơn các ứng dụng trong nội bộ toán mặc dù có hẳn một bài về ứng dụng hìnhhọc và vật lí của tích phân. Cụ thể là chỉ có hai bài toán áp dụng phép tính tích phânđể giải bài tập vật lí 12.3) Còn các SGK mới hiện nay, mặc dù nhiều chủ đề có rất nhiều tiềm năngcó thể đưa vào được những tình huống thực tiễn và thực sự cũng đã có những quantâm nhất định. Tuy nhiên, vấn đề này lại một lần nữa vẫn chưa được làm rõ. Chẳnghạn:- Đại số và Giải tích 11: Trong chương I, từ tr.4 đến tr.41 không có bất cứmột kiến thức nào gắn liền với thực tiễn ngoài toán học.Trong chương II, đây là một chương dạy về toán ứng dụng nên có khá nhiềuvấn đề liên hệ với thực tiễn: §1 có ví dụ 1 (tr.43); ví dụ 2, ví dụ 3 (tr.44); phần hoạtđộng của HS, ví dụ 4 (tr.45); bài tập 3, 4 (tr.46). §2 có ví dụ 1 (tr.46); ví dụ 2(tr.47); ví dụ 3 (tr.49); ví dụ 6, hoạt động của HS (tr.52); bài tập 2,3,5 (tr.54 và 55).§3 có ví dụ 1, 3, 4, 5 (tr.60, 61 và 63); bài tập 1-7 (tr.63 và 64). §5 có ví dụ 1-7(tr.65-71); bài tập 1-7 (tr.74 và 75). Ôn tập chương 2 có các bài tập 5, 6, 7, 9 (tr.76và 77).Trong chương III, có liên hệ dãy số Fibonacci với thực tiễn (trong mục “Bạncó biết”, tr.91). §4, phần hoạt động của HS (tr.98); ví dụ 3 (tr.100); bài tập 5, 6(tr.104); bài tập 12 (tr.108).Trong chương IV, §1, có hoạt động của HS (tr.117); bài đọc thêm (tr.120).§2 có bài tập 7 (tr.133 và 134); §4 không có kiến thức nào được liên hệ với thựctiễn. Ôn tập chương IV có bài tập 3 (tr.141 và tr.142).37 Trong chương V, ngay §1, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã đưavào “bài toán tìm vận tốc tức thời” và “bài toán tìm cường độ tức thời”. Ngoài racòn có bài tập 7 (tr.157). §5 có nêu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng một vídụ. Ôn tập chương V, có bài tập 8 (tr.177). Phần ôn tập cuối năm, có bài tập 4, 6, 7(tr.179).- Đại số và Giải tích 11 (nâng cao):Trong chương I, có bài đọc thêm (tr.15); mục “Em có biết” (tr.18). §2 có bàitập 17 (tr.29); bài 24, 25 phần luyện tập (tr.31 và 32). §3 có bài tập 31 phần câu hỏivà bài tập (tr.41); bài tập 37 phần luyện tập (tr.46).Trong chương II, đây là một chương dạy về toán ứng dụng nên có khá nhiềuvấn đề liên hệ với thực tiễn: §1 có ví dụ 1, 2, 3, 4, 5 (tr.51-54 ); bài tập 1, 3 phầncâu hỏi và bài tập (tr.54); bài đọc thêm (tr.55). §2 có ví dụ 1, 2, 4 (tr.56-58); ví dụ 7(tr.61); bài tập 5 - 8 phần câu hỏi và bài tập (tr.62); bài tập 9, 11, 13, 15 phần luyệntập (tr.63-64). §4, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (8 ví dụ); phần bài tậpcó 2 bài (tr.75 và 76); trong phần luyện tập có 3 bài (tr.76). §5, tất cả các ví dụ đềugắn liền với thực tiễn (7 ví dụ); phần câu hỏi và bài tập có 4 bài đều gần với thựctiễn (tr.83); phần luyện tập có các bài 41, 42 (tr.85). §6, tất cả các ví dụ đều gắn liềnvới thực tiễn (6 ví dụ); phần câu hỏi và bài tập có tất cả 7 bài liên hệ với thực tiễn(tr.90- 91); phần luyện tập có bài 50 và 51 (tr.92). Phần câu hỏi và bài tập ôn tậpchương II có bài 57 (tr.93); bài 59, 62, 63, 67 (tr.94-95).Trong chương III, có bài đọc thêm ở tr.107. §3, ví dụ 3 và hoạt động 5(tr.113). Trong phần câu hỏi và bài tập không có bài nào gắn liền với thực tiễnngoài toán học. §4, trước khi định nghĩa cấp số nhân có đưa vào một bài toán về“gửi tiền tiết kiệm” (tr.115); hoạt động 3 (tr.119); trong phần câu hỏi và bài tập cóbài 35 (tr.121). Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3 có một bài gắn với thực tiễncuộc sống ở tr.124.Trong chương IV, không có bất cứ một vấn đề nào liên hệ với thực tiễnngoài toán học.Trong chương V, ngay §1, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã đưavào “ví dụ mở đầu”; tr.188 có nêu “ý nghĩa cơ học của đạo hàm”. Ngoài ra còn cóbài tập 6 (phần câu hỏi và bài tập, tr.192). §3, phần luyện tập có bài 37 (tr.212). §5,38 có đưa vào ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng với một ví dụ; phần câu hỏi vàbài tập có một bài (bài 44, tr.219). Phần câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm có 2 bài(tr.224).- Đại số 10: Số gần đúng có hoạt động 1 (tr.19); Hàm số bậc nhất và bậc haicó ví dụ 1 (tr.32), ví dụ 2 (tr.33), đường parabôn (Bài đọc thêm); Phương trình, hệphương trình: Phương trình Đi-ô-phăng (Bài đọc thêm); các bài tập 3-4-6 (tr.69),bài tập 6 (tr.70), bài tập 8-9-13 (tr.71); Bất đẳng thức, bất phương trình: Bài toánkinh tế, phương pháp tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên miền đa giác (Bàiđọc thêm); các bài tập 3 (tr.99), bài tập 4 (tr.106); Thống kê có các bài tập thựchành dành cho nhóm HS (tr.131) và bài tập 6 (tr.159).- Đại số 10 (Nâng cao): Trong phần mệnh đề và tập hợp có lồng ghép cáckiến thức xã hội, suy luận toán học; Số gần đúng có hoạt động 1 (tr.24), các bài tập47-48-49 (tr.29); Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai có ví dụ 1 (tr.35), bài tập 2(tr.44), bài tập 25 (tr.54), bài tập 37 (tr.60), bài tập 38 (tr.61), một số hình ảnhđường parabôn trong thực tế trong mục “Em có biết” (tr.62); Phương trình, hệphương trình có các bài tập từ 38-44 (tr.97); Bất đẳng thức, bất phương trình có bàitập 15 (tr.112), bài toán kinh tế (tr.131), phương pháp tìm cực trị của biểu thức dạngP(x, y) = ax + by trên miền đa giác lồi (Bài đọc thêm), bài tập 48 (tr.135); Thống kêcó các ví dụ thực hành (tr.159).Như vậy có thể thấy rằng, quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt quá trình dạy học ởtrường phổ thông cần gắn với các vấn đề thực tiễn được nhấn mạnh trong chươngtrình SGK môn Toán. Tuy nhiên, việc quán triệt quan điểm này chưa thực sự toàndiện và cân đối. Thực tế thì SGK môn Toán hiện nay đã có những thay đổi lớn vềnội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với thực tiễn đã có đượcnhững quan tâm nhất định. Điều này được thể hiện ở việc SGK mới đã đưa thêmvào phần toán học ứng dụng (xác suất) và đây cũng là điều đáng nói nhất của SGKToán mới. Ngoài ra, theo chúng tôi ở các nội dung khác, tính thực tiễn ngoài toánhọc vẫn chưa được quan tâm đúng mức, thường chỉ dừng lại ở mức giới thiệu làchính, ít bài tập. Một lần nữa vai trò công cụ của môn Toán vẫn chưa được làm rõ.39 1.4.2. Thực trạng dạy học môn Toán theo hƣớng tăng cƣờng liên hệ với thực tiễnThông qua phiếu điều tra dành cho HS (xem phần phụ lục 1), chúng tôi đã tiếnhành điều tra 223 HS ở lớp 10 trường THPT Dương Tự Minh, trường THPT Ngô Quyền(TP. Thái Nguyên ) và trường THPT Đồng Hỷ (Huyện Đồng Hỷ - Tỉnh Thái Nguyên ).Đối với mỗi câu hỏi trong phiếu HS sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ýcủa bản thân. Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏivà kết quả thu được như sau:(1) Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những ứng dụng thực tếcủa những kiến thức Toán học:Hình 1.11(2) Thống kê của HS về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụngtrong thực tiễn của toán học:Hình 1.12Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số HS đều muốn biết nhữngứng dụng của toán học vào thực tiễn, nhưng ngược lại thì hầu hết các em đều khôngthường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học. ViệcHS không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán40 học có thể do các nguyên nhân sau:- Toán là môn học trừu tượng, để nắm được một vấn đề các em phải dànhmột lượng thời gian không nhỏ, điều này dẫn tới việc các em ít quan tâm tới các vấnđề khác của toán học.- Các em chưa biết tìm hiểu bằng cách nào và ở đâu.- Do tính ỳ của HS, luôn trông chờ vào GV hay còn do phương pháp dạy họccủa GV ảnh hưởng đến cách học của HS.(3) Thống kê đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối liênhệ toán học với thực tiễn của GV:Hình 1.13Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy GV đã có những sự quan tâm nhất địnhđến việc giảng giải về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, nhưng sự quan tâm nàycòn dừng lại ở cấp độ thấp, mức độ chưa thường xuyên.(4) Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các môn họckhác:Hình 1.1441 (5) Thống kê ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học:Hình 1.15Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số HS đều đánh giá mônToán là môn học quan trọng không chỉ với các môn học khác mà còn trong cả đờisống.(6) Thống kê ý kiến của HS về mức độ khô khan của môn Toán:Hình 1.16Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số HS đều đánh giá môn Toán làmôn học khô khan. Đặc biệt, thông qua phỏng vấn HS, ta thống kê được một số khókhăn các em gặp phải trong quá trình học môn Toán như sau:- Khó hiểu, nhiều công thức phải ghi nhớ, không thực tế, nhiều lý thuyết.- Dễ nản lòng bởi các bài toán khó, khó kiềm chế khi thua bạn bè, lớp ồn khótập trung.- Môn hình học không gian rất khó tưởng tượng, nhưng lại rất ít mô hình trựcquan.- Không thấy có ứng dụng gì trong thực tế, không áp dụng được gì cho cuộcsống hàng ngày.42 - Chương trình học quá nặng, khô khan, khó tiếp thu.- GV ít đổi mới phương pháp, vẫn thiên về dạy lý thuyết và giải bài tập.- Học nhiều kiến thức khó mà lại ít áp dụng vào trong cuộc sống.- Học không thực tiễn, quá nhiều và thừa thãi, tốn nhiều thời gian học vô ích,không có sự đầu tư vào các hoạt động ngoại khóa, chương trình dạy lỗi thời, khôngcó hứng thú.- Vì không thấy mối liên hệ với thực tiễn nên thấy môn Toán rất khó và cũngkhông muốn học nhiều.Trên đây là những tâm sự về khó khăn các em gặp phải trong quá trình họcmôn Toán. Khó khăn này không chỉ dừng lại ở mức độ trừu tượng của toán học, hayở sự quá tải của chương trình, mà nó còn bao gồm cả nhu cầu muốn được biết mốiliên hệ giữa Toán học và thực tiễn không được thỏa mãn. Để giải quyết khó khănnày, các em HS đã đưa ra một vài mong muốn của mình trong quá trình học mônToán như sau: Được ứng dụng những gì mình học vào thực tế cuộc sống; Đượcgiảng về mối quan hệ giữa lí thuyết và ứng dụng kĩ càng hơn; Có nhiều ví dụ sinhđộng hơn từ thực tế, có thêm nhiều liên hệ với thực tiễn; Giảm bớt kiến thức, thêmbài tập thực tế; Có thêm nhiều hình vẽ, mô hình, ứng dụng trong các giờ học; Môitrường học tập thật sự tập trung, im lặng.Thông qua điều tra ta cũng thấy được nhu cầu muốn biết mối liên hệ giữatoán học và thực tiễn của HS là rất lớn. Việc không được thỏa mãn nhu cầu nàycũng là một rào cản để các em có sự yêu thích với môn Toán.Thông qua phiếu điều tra dành cho GV (xem phần phụ lục 2), chúng tôi đã tiếnhành trao đổi, điều tra 21 GV dạy toán thuộc các trường THPT Dương Tự Minh, trườngTHPT Ngô Quyền (TP. Thái Nguyên) và trường THPT Đồng Hỷ (Huyện Đồng Hỷ - TỉnhThái Nguyên) về việc hiểu biết và khai thác ứng dụng thực tế vào dạy học môn Toán. Đốivới mỗi câu hỏi được hỏi ý kiến GV được sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độđồng ý của bản thân. Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗicâu hỏi và kết quả thu được thể hiện theo các biểu đồ dưới đây:(7) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên quan tâm đến vệc dạy họctheo hướng tăng cường mối liên hệ toán học và thực tiễn:43 Hình 1.17Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy các GV đều quan tâm đến việc dạy học theohướng tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn. Có nhiều GV thường xuyên quantâm tới vấn việc này.(8) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu về những ứngdụng thực tế của toán học trong cuộc sống:Hình 1.18Dựa vào thống kê trên ta có thể thấy để có thể dạy học theo hướng tăng cườngToán học với thực tiễn các GV đã chú trọng tới việc tự tìm hiểu về những ứng dụng thực tếcủa toán học trong cuộc sống. Sự tìm hiểu này đã được diễn ra thường xuyên và sâu sắc,nhưng vẫn có nhiều GV chưa chú ý tới vấn đề này (21,24% chưa thường xuyên tìm hiểu).(9) Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc đưa những tình huống thựctiễn vào dạy học toán học:Hình 1.1944 (10) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên đưa tình huống thực tiễnvào dạy học môn Toán:Hình 1.20Dựa vào hai biểu đồ trên ta thấy hầu hết các GV đều nhận định việc đưa đã đưanhững tình huống thực tiễn vào dạy học toán học là quan trọng. GV cũng đã chú ý đếnviệc đưa tình huống thực tiễn vào dạy Toán, nhưng việc này diễn ra chưa thường xuyên.(11) Thống kê về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải quyết những tìnhhuống thực tế ngoài SGK:Hình 1.21Dựa vào các hình trên ta thấy có đến 50% GV không thường xuyên cho HS giảiquyết những tình huống thực tế ngoài SGK. Điều này có thể lý giải do việc tự tìm hiểu vềnhững ứng dụng thực tế của Toán học trong cuộc sống.(12) Thống kê về tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội dung thựctiễn vào kiểm tra môn Toán:Hình 1.2245 Dựa vào các biểu đồ trên, ta thấy hầu hết các GV đều đồng ý với quan điểm về việctăng thêm câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán. Dưới đây là bảng thốngkê về ý kiến của GV về việc đưa tình huống thực tiễn vào giảng dạy môn Toán.Bảng 1.2: Bảng thống kê về ý kiến của GV trong dạy học ToánThuận lợiKhó khăn1. Cơ sở vật chất tốt, HS giỏi.1. Hình thức đánh giá thi cử có vận2. Ban giám hiệu quan tâm, tạo điềudụng vào tình huống thực tiễn rất ít.kiện cho nghiên cứu.2. Việc chọn nội dung, những câu hỏi,3. Có giờ ngoại khóa và có thời gian tổtình huống thực tiễn là khó.chức hoạt động cho HS.3. Nội dung kiến thức không có nhiều4. GV có nhu cầu đưa thực tiễn vàoví dụ, mô hình thực tiễn.giảng dạy.4. Khả năng liên hệ kiến thức Toán học5. Có sự hỗ trợ của máy tính và cácvào thực tiễn còn nhiều hạn chế.phần mềm hỗ trợ dạy học.5. Bản thân trong quá trình đào tạo tạicác trường sư phạm ít khi được họctập một cách có hệ thống về phươngpháp khai thác, vận dụng kiến thứctoán học vào thực tế.Về việc tìm hiểu ứng dụng Toán học trong thực tế: Hầu hết những GV trên có quantâm đến việc khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán và điều này được thểhiện ở hai cấp độ như sau:- Một số ít GV quan tâm và chủ động tìm hiểu để ứng dụng toán học vào thực tế.- Số GV còn lại quan tâm nhưng không chủ động tìm hiểu mà chủ yếu sử dụng cácbài tập trong SGK, sách bài tập.Về khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán: Qua trao đổi với nhữngGV trên thì 100% các thầy cô đều cho rằng nếu tăng cường khai thác các tình huống thựctế vào dạy học thì có thể làm cho HS tích cực hơn trong việc học môn Toán. Tuy nhiênviệc tìm hiểu, khai thác các tình huống thực tế vào dạy học hiện nay của GV còn gặp nhiềukhó khăn và hạn chế (xem bảng 1.2).Về năng lực MHH bài toán thực tiễn: Hầu hết GV đều đánh giá cao những hoạtđộng MHH trong dạy học môn Toán. Tuy nhiên, năng lực MHH của cả GV và HS còn46 nhiều hạn chế. Hầu hết HS đều không giải quyết trọn vẹn các bài tập MHH, đặc biệt lànăng lực thành lập và biểu diễn các mô hình toán học nhằm làm sáng tỏ các vấn đề trongthực tiễn cuộc sống. Chính vì vậy, những kết quả nghiên cứu của luận văn sẽ góp phầnkhắc phục những khó khăn và hạn chế nói trên, góp phần đưa ý tưởng toán học gắn liềnvới thực tiễn vào trong lớp học toán ở nhà trường.1.5. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1Chương 1 đã trình bày khá cụ thể và làm rõ được khái niệm mô hình toánhọc, phương pháp MHH, cũng như vai trò quan trọng của phương pháp MHH đểgiải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn. Đồng thời, luận văn cũng chỉ ra rằng,việc rèn luyện cho HS năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là vấn đềcó tính nguyên tắc và là một nhiệm vụ của giáo dục toán học ở nước ta. Luận văncũng đề cập đến vấn đề liên quan tới chương trình và SGK trung học của Việt Nam,đặc biệt là mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn. Đây sẽ là cơ sở quan trọng để tácgiả đề xuất xây dựng một số mô hình toán học được trình bày trong chương 2.47 Chƣơng 2THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓATRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 102.1. NGUYÊN TẮC THIẾT KẾ MÔ HÌNH TOÁN HỌC2.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán họcCác mô hình được thiết kế phải đảm bảo tính khoa học, tính chính xác củatoán học và mô tả được các tình huống trong thực tiễn. HS sử dụng các phươngpháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với thực tế để điều chỉnh môhình toán học cho phù hợp.2.1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễnToán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng trongkhông gian của thế giới khách quan. Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễncũng như trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiếtyếu để phát triển lực lượng sản xuất. Việc vận dụng toán học vào thực tiễn thực chấtlà vận dụng toán học vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng những côngcụ toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm mộtphần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay đểbiến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra.2.1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đềHS phân tích những cái đã cho, những mối quan hệ ràng buộc, và mục tiêu.Lập giả thuyết, lập kế hoạch tìm kiếm lời giải hơn là thử ngay kết quả của nó. Xétcác bài toán tương tự, cố gắng đơn giản hóa bài toán ban đầu để có thể tìm hiểu sâuvà dễ dàng đi tìm kết quả. Kiểm soát và đánh giá quá trình và thay đổi giả thuyếtnếu thấy cần thiết. Phụ thuộc vào ngữ cảnh tình huống thực tế, thay đổi biểu thứcđại số, thay đổi biểu diễn của mô hình, giải thích tương ứng giữa các phương trình,mô tả bằng lời, bảng biểu, đồ thị hoặc biểu đồ, sơ đồ của những đặc trưng, tính chấtquan trọng, mối quan hệ, biểu diễn số liệu, xu hướng. Phụ thuộc vào các đối tượnghoặc hình ảnh cụ thể để giải bài toán. Kiểm tra câu trả lời sử dụng các phương phápkhác nhau, hiểu được ưu thế của từng phương pháp. Thông qua MHH, HS đượcphát triển các kĩ năng GQVĐ, đặc biệt là những vấn đề trong thực tiễn.48 2.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sứcTính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực tiễnđược hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được). Điều nàyphụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chương trình, SGK, kế hoạch dạy học và quỹ thờigian thực hiện, trình độ nhận thức chung của HS, khả năng và trình độ thực hiện củaGV, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các tình huống,... Vìvậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập MHH cần phải được tinh lọc một cáchthận trọng, vừa mức về số lượng và mức độ.Các hoạt động và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễđến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc HS tự mình giải quyết được một bài toáncó ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiêndễ làm cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình tổ chức hoạtđộng tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập MHH,GV cần chú ý đến các các cấp độ sau đây:- Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viếtbất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.- Cấp độ 1: HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và đơngiản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào.- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua cấutrúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học.- Cấp độ 3: HS có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch nóthành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thếgiới toán học.- Cấp độ 4: HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, làmviệc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.- Cấp độ 5: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệmlời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho.Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp, vừasức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHHvấn đề thực tiễn trong dạy học môn Toán.49 2.2. THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA CHỦ ĐỀ HÀM SỐĐể xây dựng những hoạt động MHH có ý nghĩa và phù hợp đối với HS,chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:- Bắt đầu với một tình huống thực tế, tình huống đó phải thích hợp với đốitượng HS và chứa đựng nội dung toán học các em đã được học.- Dự kiến những kiến thức, kĩ năng toán học mà HS cần sử dụng để thiết lậpmô hình toán học và giải bài toán.- Làm cho tình huống rõ ràng hơn, tạo mối liên kết giữa tình huống thực tếvà toán học bằng cách:+ Đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa vấn đề.+ Đưa ra các giả thiết phù hợp.+ Nhận ra các biến trong tình huống để biểu diễn các đặc điểm cần thiết.+ Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống, nhữngdữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống.+ Mô tả chi tiết tình huống.+ Câu hỏi được đặt ra một cách rõ ràng.- Đối chiếu mô hình với thực tế và rút ra kết luận cần thiết.2.2.1. Mô hình hàm số bậc nhấtBài toán 2.1: Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìnđồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo. Mộthành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Khiđó, y là một hàm số của đối số x, xác định với mọi x ≥ 0.a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn[0; 10] và khoảng (10; +∞).b) Tính f(8), f(10) và f(18).c) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và lập bảng biến thiên của nó.* Mục tiêu hoạt động:- Tìm mối liên hệ giữa số tiền phải trả y nghìn đồng và quãng đường đi đượcx kilômét (biểu diễn y theo x).- Sau khi tìm được mối liên hệ giữa x và y, tính số tiền hành khách phải trảkhi đi những quãng đường nhất định.50 - Thiết lập mô hình hàm số bậc nhất biểu diễn mối liên hệ trên.- Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét về ý nghĩa của tình huống trong thực tiễn.* Tiến trình hoạt động:GV chia lớp thành các nhóm, khoảng 6 đến 8 HS một nhóm. Tổ chức chonhóm HS giải quyết bài toán trên theo 4 giai đoạn của quá trình MHH như sau:- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Các nhóm nhận nhiệm vụ, tìm hiểu phươngpháp biểu diễn y theo x. HS trao đổi, thảo luận tìm ra y là một hàm số của đối số x,xác định với mọi x ≥ 0 và phác thảo vị trí của các điểm thuộc đồ thị hàm số.- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm thảo luận biểu diễn hàm số y theo x,với mọi x ≥ 0 như sau:Khi 0  x 10, tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên, số tiền phảitrả là y = 6x.Khi x ≥ 10, số tiền phải trả là y = 6.10 + (x - 10).2,5 = 2,5x + 35.6 xVậy ta có hàm số bậc nhất sau: y = f(x) =  2 , 5 x  35nếu0  x  10x  10Nhóm HS vẽ đồ thị hàm số trên và quan sát:Hình 2.1: Mô hình tình huống tính giá cước taxi- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Sau khi giải xong vấn đề HS biết đượcrằng y là hàm số bậc nhất của đối số x và được biểu diễn dưới dạng6 xy = f(x) =  2 , 5 x  3551nếu0  x  10x  10 Để vẽ được đồ thị hàm số y = f(x), HS cần vẽ đồ thị hàm số y = 6x lấy phầnđồ thị ứng với 0 ≤ x ≤ 10 và vẽ đồ thị hàm số y = 2,5x + 35 lấy phần đồ thị ứng vớix ≥ 10 (Hình 2.1).Hình 2.2: Bài làm của HS lớp thực nghiệm- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Sau khi tìm ra dạng biểu diễn của hàm y,GV yêu cầu các nhóm tính số tiền mà hành khách phải trả khi đi những quãngđường tương ứng với x = 8, x = 10, x = 18, … Các nhóm thảo luận và đưa ra câu trảlời như sau:Với x = 8 < 10 nên f(8) = 6.8 = 48.Với x = 10 nên f(10) = 6.10 = 60.Với x = 18 > 10 nên f(18) = 2,5.18 + 35 = 80.Hình 2.3: Bài làm của HS lớp thực nghiệmNhóm HS đưa ra nhận xét: Khi hành khách muốn đi quãng đường xác địnhthì sẽ tính được trước số tiền phải trả. Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến. Do vậy,càng đi xa thì số tiền hành khách phải trả sẽ tăng dần.* Phân tích kết quả hoạt động:Kết quả cho thấy, hơn 70% các nhóm HS hoàn thành tốt nhiệm vụ GV đưara, HS nắm chắc phương pháp lập hàm số bậc nhất, kĩ năng vẽ và đọc hiểu đồ thị52 hàm số bậc nhất tương đối tốt. Đối với mô hình hàm số bậc nhất, phần lớn HS đạtđược kĩ năng MHH ở cấp độ 4 và cấp độ 5.Bài toán 2.2. (Nhịp tim tối đa): Vì lý do sức khỏe, con người nên hạn chếnhững nỗ lực của mình, ví dụ như trong thể thao để không vượt quá tần số nhịp timnhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỉ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tốiđa và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức dưới đây:Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 220 – tuổiNghiên cứu gần đây cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một chút.Công thức mới như sau:Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 208 – (0.7 x tuổi)a) Hoàn thiện bảng dưới đây về nhịp tim tối đa được khuyến cáo:Tuổi (theo năm)Nhịp tim tối đa được khuyếncáo cũ (công thức cũ)Nhịp tim tối đa được khuyếncáo mới (công thức mới)91215182124211208205202199196201,7.......197,5195,4.......191,2b) Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và giátrị đó là bao nhiêu?c) Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo trongbảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số này theotuổi.d) Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là80% của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết và rút gọncông thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi.e) Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như thếnào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng.* Mục tiêu hoạt động:- Hoàn thiện bảng nhịp tim tối đa được khuyến cáo dựa vào hàm số đã cho.- Xác định độ tuổi mà công thức cũ và công thức mới cho cùng một giá trị vàtìm giá trị đó.53 - Tìm công thức thể hiện hiệu số hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo.- Viết và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theotuổi.- Qua hoạt động này, HS được rèn luyện các kĩ năng sau:+ Kĩ năng thiết lập hàm số và biểu diễn bội.+ Kĩ năng rút gọn biểu thức toán học.+ Kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.+ Kĩ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị hàm số.* Tiến trình hoạt động:GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho nhóm giải quyết bài toántheo các giai đoạn sau:- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Bài toán cung cấp thông tin thực tế về sứckhỏe con người. Để làm được bài toán này, HS cần phải chuyển được những thôngtin đã cho trong đề bài thành những phương trình đại số (hay hàm số), biết vận dụngcác kĩ năng đại số để giải quyết lần lượt các vấn đề đặt ra. GV yêu cầu các nhómthảo luận, suy nghĩ trả lời các câu hỏi trong bài toán.+ Câu (a) chỉ yêu cầu HS kĩ năng tính toán đơn giản để điền số liệu vào bảngcho trước.+ Câu (b) yêu cầu HS phải biết cách biểu diễn nhịp tim tối đa được khuyếncáo theo hai công thức cũ và mới.+ Câu (c), (d) yêu cầu HS có kĩ năng rút gọn biểu thức 220 – x – (208 – 0,7x)và 0,8.(208 – 0,7x).- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Biểu diễn nhịp tim tối đa được khuyến cáotheo hai công thức cũ và mới lần lượt là hai hàm số f(x) = 220 – x và g(x) = 208 –0,7x với y thể hiện nhịp tim tối đa trong mỗi phút và x đại diện cho tuổi tính theonăm.GV yêu cầu nhóm HS biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọađộ để biết được công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổinhư thế nào?54 Hình 2.4: Mô hình nhịp tim tối đa được khuyến cáoNhóm HS quan sát mô hình trên và đưa ra nhận xét: Khi x > 40 ta có đồ thịhàm f(x) = 220 – x nằm phía dưới đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x và khi x < 40 thì đồthị hàm f(x) = 220 – x nằm phía trên đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x.Vì hai hàm số có hệ số góc khác nhau nên đồ thị của chúng cắt nhau tại mộtđiểm. GV hướng dẫn HS xác định điểm này bằng cách giải phương trình 220 – x =208 – 0,7x để suy ra nghiệm của phương trình là x = 40 và y = 180.Tiếp theo, HS rút gọn biểu thức 220 – x – (208 – 0,7x) và 0,8.(208 – 0,7x), tacó: 220 – x – (208 – 0,7x) = 12 – 0,3x và 0,8.(208 – 0,7x) = 166,4 – 0,56x.- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Bài toán cho biết thông tin thực tế về sứckhỏe con người để từ đó con người biết cách chăm sóc cơ thể, giữ gìn sức khỏe vàcó chế độ luyện tập thể dục phù hợp với tình trạng sức khỏe bản thân. Nhóm HS cầnrút ra nhận xét: Ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim được khuyến cáo ở công thức mới caohơn công thức ban đầu và thấp hơn công thức ban đầu với lứa tuổi dưới 40.Hình 2.5: Bài làm của HS lớp thực nghiệm55 - Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): GV cho HS các nhóm tiến hành đo nhịptim các thành viên trong nhóm bằng máy đo nhịp tim điện tử thông qua một trò chơivận động. Sau đó yêu cầu HS các nhóm đo nhịp tim rồi lấy kết quả trung bình cácthành viên trong nhóm. So sánh kết quả của các nhóm, áp dụng vào công thức đonhịp tim và nhận xét về mức độ hoạt động đã phù hợp với nhịp tim được khuyếncáo hay chưa. Đưa ra khuyến cáo đối với các thành viên trong gia đình về nhịp timcủa mỗi người (nhiệm vụ giao về nhà).* Phân tích kết quả hoạt động:Các nhóm HS đã biết chuyển những thông tin đã cho trong bảng biểu thànhphương trình đại số (hay hàm số), HS biết thao tác với các biểu thức đại số để giảiquyết vấn đề đặt ra ban đầu. Kết quả cho thấy, hơn 60% số HS đạt được kĩ năngMHH ở cấp độ 3 và cấp độ 4, các em rất hào hứng với trò chơi vận động và đo nhịptim các thành viên trong nhóm bằng máy đo điện tử.Tóm lại, bài toán trên minh họa cho ứng dụng của toán học trong việc giảiquyết những vấn đề có liên quan đến chất lượng cuộc sống của con người. HS phảikết hợp nhiều kĩ năng đã học: kĩ năng thiết lập hàm số, kĩ năng rút gọn biểu thứctoán học, kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, kĩ năng vẽ và đọc hiểu biểudiễn của đồ thị hàm số, kĩ năng vận dụng kiến thức toán học phổ thông giải quyếtcác vấn đề nảy sinh trong thực tiễn,…2.2.2. Mô hình hàm số bậc haiBài toán 2.3. (Bài toán bóng đá): Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạtđến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cungparabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây),kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiếtrằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m.a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thịtrùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phầnnghìn).56 c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác đếnhàng phần trăm)?Hình 2.6: Mô hình bài toán bóng đá* Mục tiêu hoạt động:- Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thịtrùng với quỹ đạo của quả bóng rơi.- Tìm độ cao lớn nhất của quả bóng và tính thời gian quả bóng chạm đất.- Thấy được một số hình ảnh trong thực tiễn có quỹ đạo chuyển động là mộtphần đồ thị của hàm số bậc hai.- Qua hoạt động này, HS được rèn luyện các kĩ năng sau đây:+ Thiết lập và biểu diễn đồ thị của hàm số bậc hai.+ Kĩ năng đọc đồ thị của hàm số bậc hai (xác định được giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất).+ Kĩ năng mô tả những tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học.* Tiến trình hoạt động:GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho nhóm giải quyết bài toántheo các giai đoạn sau:- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV hướng dẫn nhóm HS phân tích và hiểuđược vấn đề thực tiễn như sau:+ Quỹ đạo của quả bóng là một cung parabôn trong mặt phẳng với hệ tọa độOth, vì vậy hàm số biểu thị độ cao h theo thời gian t là một hàm số bậc hai và cóphần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng.+ Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabôn.+ Khoảng thời gian từ khi quả bóng được đá lên đến khi chạm đất (tức làtung độ của đồ thị hàm số bằng 0).57 - Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Giả sử h = f(t) = at 2 + bt + c. GV cần hướngdẫn nhóm HS tìm các hệ số a, b và c. Các nhóm HS thảo luận và tìm các hệ số a,b,cnhư sau:Quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m nghĩa là: f(0) = c = 1,2.Sau đó 1 giây nó đạt độ cao 8,5 m nên: f(1) = a + b + 1,2 = 8,5.Sau khi đá 2 giây quả bóng ở độ cao 6 m, nghĩa là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6.HS thu gọn các hệ thức trên rút ra hệ phương trình bậc nhất: a  b  7 ,3 2 a  b  2 ,4.Giải hệ phương trình HS thu được kết quả sau: a = –4,9; b = 12,2. Vậy hàmsố cần tìm là: f(t) = –4,9t2 + 12,2t +1,2.Hình 2.7: Bài làm của HS lớp thực nghiệmTiếp theo HS tìm độ cao lớn nhất của quả bóng:Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabôn, cụ thể là:y= 'a= 43 , 09 4 ,9 8 , 794HS Giải phương trình bậc hai –4,9t2+ 12,2t + 1,2 = 0 được hai nghiệm gầnđúng là t1 = –0,09 (loại vì giá trị âm) và t2 = 2,58. Như vậy, quả bóng chạm đất saugần 2,58 giây.Hình 2.8: Bài làm của HS lớp thực nghiệm58 - Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Sau khi giải bài toán và tìm đượcnghiệm, GV hướng dẫn HS đưa ra nhận xét: Quỹ đạo chuyển động của quả bóng làmột cung parabôn trong mặt phẳng. Ta có thể xác định được vị trí của quả bóng (cảvề độ cao so với mặt đất lẫn khoảng cách so với vị trí quả bóng được đá lên) ở mộtthời điểm bất kỳ trong quá trình chuyển động và sau bao lâu thì quả bóng chạm đất(tung độ của đỉnh đồ thị hàm số bằng 0).- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Việc xác định được quỹ đạo của chuyểnđộng không chỉ giúp HS xác định được vị trí của quả bóng tại một thời điểm bất kỳ,mà còn giúp HS dự kiến được thời gian quả bóng rơi xuống đất, cũng như tính đượckhoảng cách từ vị trí đá đến vị trí quả bóng rơi xuống. GV yêu cầu nhóm HS tìmcác chuyển động khác có quỹ đạo là một phần của parabôn, ví dụ như: quỹ đạo củanước rơi, quỹ đạo của vòi phun nước, đường đi của quả bóng rổ, đường đi của đạnđại bác,... Nhiệm vụ về nhà của các em là sưu tập hình ảnh các chuyển động có quỹđạo là đường parabôn (đồ thị của hàm số bậc hai).* Phân tích kết quả hoạt động:Ngoài ra, thông qua hoạt động MHH, GV có thể phân tích cho HS hiểu rõthêm các vấn đề sau: Trong thực tế, chuyển động của quả bóng còn phụ thuộc vàorất nhiều yếu tố như: nhiệt độ môi trường, sức cản của không khí, vận tốc gió,… Dovậy, không phải lúc nào quả bóng cũng chuyển động theo quỹ đạo hình parabôn mànó sẽ có một sai số nào đó. Trong những trường hợp không đòi hỏi sự chính xácquá cao thì ta có thể bỏ qua các yếu tố của môi trường và coi chuyển động của quảbóng là một phần của đường parabôn. Kết quả cho thấy, trên 80% số HS có thể đạtđược kĩ năng MHH ở cấp độ 3. Đặc biệt, nhóm HS nam rất hứng thú với bài toánnày và đã đưa ra đáp số trước nhóm HS nữ vì nó có liên quan đến chủ đề bóng đá –một trong những sở trường của các em HS nam.Bài toán 2.4. (Bài toán về cổng Ac-xơ): Khi du lịch đến thành phố Xanh-Lui(Hoa Kì), ta sẽ thấy một cái cổng lớn đó là cổng Ác-xơ. Giả sử ta lập một hệ tọa độOxy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ởvị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10; 43).a) Tìm hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Ác-xơ.b) Tính chiều cao của cổng (tính từ đỉnh cao nhất trên cổng đến mặt đất, làm59 tròn kết quả đến hàng đơn vị).Hình 2.9: Cổng Ác-xơ* Mục tiêu hoạt động:- Thiết lập hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Ác-xơ (đườngparabôn).- Tính chiều cao của cổng (xác định tung độ đỉnh của parabôn trên).- Qua hoạt động này, GV có thể rèn cho HS những kĩ năng sau đây:+ Thiết lập và biểu diễn đồ thị của hàm số bậc hai.+ Đọc đồ thị hàm số bậc hai và nhận dạng được một số tình huống, hình ảnhtrong thực tiễn có biểu diễn là đường parabôn.* Tiến trình hoạt động:- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV chia lớp thành các nhóm HS và yêu cầucác nhóm quan sát hình ảnh cổng Ác-xơ. Các nhóm thảo luận và đưa ra dự đoánrằng hình dạng cổng giống như một phần của đường parabôn.Sau đó GV yêu cầu các nhóm tìm dạng biểu diễn của parabôn đó. Các nhómthảo luận để đưa ra cách xác định phương trình biểu diễn.- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS dựa theo quan sát và các dữkiện đề bài đưa ra để tìm dạng biểu diễn của parabôn là một hàm số bậc hai.Nhóm HS thảo luận và đưa ra hàm số cần tìm có dạng f(x) = ax 2 + bx + cthỏa mãn điều kiện: f(0) = c và f(10) = 100a + 10b = 43; f(162) = 1622a + 162b + 0hay có phương trình 162a + b = 0. Từ đó suy ra: a–0,028; b4,583.Tiếp theo, nhóm HS kết luận rằng: Hàm số cần tìm là f(x) = ax 2 + bx trongđó a–0,028; b4,583.60 Sau đó, nhóm HS vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và tìm chiều cao của cổngdựa vào đồ thị của hàm số như sau:Hình 2.10: Đường parabôn biểu diễn hình dạng cổng Ác-xơCuối cung, nhóm HS quan sát đồ thị vừa vẽ và rút ra kết luận: Chiều cao củacổng bằng tung độ của đỉnh parabôn, do đó:h = f(162/2) = f(81)188 (phút)Hình 2.11: Bài làm của HS lớp thực nghiệm- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Khi dự đoán về hình dạng của cổng Ácxơ, dựa theo số liệu thực tế và các kiến thức đã được học thì HS có thể dễ dàng tìmra được hàm số bậc hai có đồ thị là đường parabôn. Nhóm HS biểu diễn đồ thị củahàm số trên và nhận xét về quỹ đạo chuyển động của quả bóng, về thời điểm quảbóng có độ cao lớn nhất, thời gian quả bóng chạm đất,...- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Trên thực tế có rất nhiều công trình đượcthiết kế có hình dạng tương tự như cổng Ác-xơ. Vì vậy, việc thiết kế và thi công cáccông trình sẽ được tính toán một cách cẩn thận vừa đảm bảo được chất lượng công61 trình lại mang lại tính thẩm mĩ cao. GV yêu cầu HS đưa ra một số hình ảnh trênthực tế có hình dạng tương tự như hình dạng cổng Ác-xơ như: hình ảnh vòi phunnước, nhịp cầu, quỹ đạo chuyển động ném của vật,... GV hướng dẫn HS sử dụngphần mềm hình học động để xác định phương trình đường parabôn biểu diễn hìnhảnh các hiện tượng trong thực tiễn.Hình 2.12: Một số hình ảnh thực tế có hình dạng parabôn* Phân tích kết quả hoạt động:Các nhóm HS đã thảo luận và tìm ra kết quả của bài toán. Khoảng 72% sốHS hoàn thành nhiệm vụ và hiểu rõ bài toán. Nói cách khác, số HS này có thể thiếtlập công thức biểu diễn hàm số, vẽ và đọc đồ thị của hàm số, so sánh với các tìnhhuống khác. Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết HS đều đạt được kĩ năng môhình hóa ở cấp độ 4 và rất hứng thú với dạng bài tập sưu tầm hình ảnh parabôntrong thực tiễn và thiết lập phương trình biểu diễn bằng sử dụng các phần mềm hìnhhọc động (như GeoGebra, Geometry Cabri, Geometer‟s Sketchpad,...).2.3. THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNHVÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNHTrong cuộc sống, đôi khi ta phải so sánh giữa nhiều phương án khác nhau đểchọn ra phương án tối ưu chẳng hạn như lựa chọn giữa các mạng điện thoại, giáthuê xe của các hãng taxi khác nhau hoặc trong kinh doanh người ta luôn hướng đếnchi phí sản xuất thấp, lợi nhuận cao nhất. Phương trình, bất phương trình, hệphương trình và hệ bất phương trình sẽ hữu ích trong một số trường hợp để giảiquyết các vấn đề thực tế tương tự.Bài toán 2.5. (Bài toán máy bơm nước): Một gia đình muốn mua một chiếcmáy bơm. Có hai loại với cùng lưu lượng bơm được trong một giờ; loại thứ nhất giá62 1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng máy bơm loại thứnhất thì mỗi giờ tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại thứhai thì chỉ phải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm. Theo bạn gia đình này nên chọnmua loại máy nào để đạt hiệu quả kinh tế cao?* Mục tiêu hoạt động:Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao nhất. Nhưvậy, ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy nghĩa là chi phí cầnchi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó. Do vậy, trong hoạt độngnày, HS có thể được rèn luyện những kĩ năng sau đây:- Thiết lập phương trình và hệ phương trình hàm số bậc nhất.- Biểu diễn và xác định miền nghiệm của hệ phương trình.- Liên hệ toán học với các vấn đề về kinh tế và tối ưu toán học.* Tiến trình hoạt động:GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài toántheo các giai đoạn sau:- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Kí hiệu f(x) và g(x) lần lượt là số tiền (tínhbằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứ hai trongx giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm).GV yêu cầu nhóm HS biểu diễn f(x) và g(x) dưới dạng các biểu thức của x vàvẽ đồ thị của hai hàm số y = f(x) và hàm số y = g(x) trên cùng hệ trục tọa độ.- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS thực hiện nhiệm vụ do GV đưara. Nhóm HS thảo luận và đưa ra nhận xét sau: Trong x giờ số tiền phải trả khi sửdụng máy thứ nhất là: f(x) =1500 + 1,2x (nghìn đồng). Số tiền phải chi trả cho máythứ hai trong x giờ là: g(x) = 2000 + x (nghìn đồng).Sau khi thảo luận HS thấy được rằng chi phí trả cho hai máy sử dụng là nhưnhau sau khoảng thời gian x0 là nghiệm của phương trình f(x) = g(x). Từ đó, GVyêu cầu nhóm HS giải phương trình: f(x) = g(x).HS các nhóm nhận nhiệm vụ giải phương trình: f(x) = g(x).1500 + 1,2x = 2000 + x0,2x = 500x = 2500 (giờ).Tiếp theo, HS vẽ đồ thị của hai hàm số f(x) và g(x) trên cùng hệ trục tọa độ:63 Hình 2.13: Bài làm của HS lớp thực nghiệm- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Quan sát đồ thị HS thấy rằng ngay saukhi sử dụng 2500 giờ tức là nếu mỗi ngày dùng 4 tiếng tương đương với khoảngthời gian là không quá hai năm thì máy thứ hai chi phí sẽ thấp hơn rất nhiều nênchọn mua máy thứ hai thì hiệu quả kinh tế sẽ cao hơn.- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): GV hướng dẫn nhóm HS phân tích bàitoán trong các trường hợp sau:+ Trường hợp 1: Nếu thời gian sử dụng máy ít hơn hai năm thì mua máy thứnhất sẽ tiết kiệm hơn.+ Trường hợp 2: Nếu thời gian sử dụng nhiều hơn hoặc bằng hai năm thì nênmua máy thứ hai.Tuy nhiên, trong thực tế một máy bơm có thể sử dụng được thời gian khádài. Do vậy, trong trường hợp này gia đình đó nên mua máy thứ hai.* Phân tích kết quả hoạt động:Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn toán học hóa bài toán. Tuy nhiên, vớisự hướng dẫn của GV, nhóm HS đã giải quyết được vấn đề đó và đối chiếu bài toánvới thực tế. Kết quả thực nghiệm cho thấy, gần 80% số HS chỉ đạt được kĩ năngMHH ở cấp độ 2, điều này chứng tỏ HS còn gặp nhiều lúng túng khi gặp các bàitoán về tối ưu toán học.Bài toán 2.6. (Bài toán vitamin): Một nhà khoa học nghiên cứu về tác độngphối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:64 (i) Mỗi người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitaminA và không quá 500 đơn vị vitamin B.(ii) Mỗi người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.(iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitaminB không ít hơn12số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vịvitamin A.Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày.a) Gọi c (đồng) là số tiền vitamin mà bạn phải trả mỗi ngày. Hãy viết phươngtrình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin Alà 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.b) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện (i), (ii), và (iii) thành mộthệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình đó.c) Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thoả mãn các điều kiện trênđể số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnhcủa miền nghiệm (S).* Mục tiêu hoạt động:Tính được số tiền phải bỏ ra ít nhất để mua vitamin A và vitamin B mà vẫnđảm bảo cung cấp đủ lượng vitamin cần thiết cho cơ thể. Thông qua hoạt động này,GV rèn luyện cho HS một số kĩ năng sau đây:- Thiết lập phương trình và hệ phương trình hàm số bậc nhất.- Kĩ năng giải hệ phương trình và đối chiếu kết quả với thực tế.- Kĩ năng sống (biết tính toán và lựa chọn các loại thức ăn phù hợp bổ sungcác loại vitamin cần thiết cho các thành viên trong gia đình).* Tiến trình hoạt động:GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho nhóm giải quyết bài toántheo các giai đoạn sau:- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV hướng dẫn HS viết phương trình biểu diễnc dưới dạng một biểu thức của x và y. Nhóm HS cần phải chuyển được những thôngtin đã cho từ các điều kiện (i), (ii) và (iii) thành những phương trình đại số (hay hàmsố), biết vận dụng thao tác trên các biểu thức đại số để giải quyết các vấn đề đã đặtra trong thực tiễn.65 - Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS thảo luận về việc viết phươngtrình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y như sau: c = 9x + 7,5y (đồng).Nhóm HS chuyển những thông tin đã cho từ các điều kiện (i), (ii) và (iii)thành những phương trình đại số (hay hàm số) như sau:Theo (i) có: x ≤ 600 và y ≤ 500;Theo (ii) có: 400 ≤ x + y ≤ 1000;Theo (iii) có:1x ≤ y ≤ 3x.2Nhóm HS rút ra hệ bất phương trình sau:x y  4001 x 2600500 x  y  1000 y  3xGV hướng dẫn nhóm HS rút ra nhận xét sau: Để xác định miền nghiệm (S)của hệ bất phương trình trên ta vẽ các đường thẳng sau đây trên cùng một hệ trụctọa độ:x = 600; y = 500; y =1x; y = 3x; y = –x + 400; y = –x + 10002Nhóm HS thực hiện nhiệm vụ vẽ các đường thẳng trên và xác định miềnnghiệm (S) của hệ bất phương trình:Hình 2.14: Minh họa miền nghiệm của bài toán Vitamin66 Nhóm HS kết luận miền nghiệm (S) chính là miền trong lục giác ABCDEF(Hình 2.14). Xác định tọa độ các đỉnh của hình lục giác, trong đó tọa độ các điểmlần lượt là A(100; 300), B(166,67; 500), C(500; 500), D(600; 400), E(600; 300),F(266,67; 133,33).Từ ý (a), (b) và vì c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miềnnghiệm (S) nên HS rút ra c = 9x + 7,5y nhỏ nhất khi x = 100 và y = 300 và giá trịđó là c = 9.100 + 7,5.300 = 3150.- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Mỗi người phải trả ít nhất 3150 đồng cho100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để đảm bảo cung cấp đủ lượngvitamin A và B cho cơ thể hàng ngày.- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Ngoài việc tính toán được lượng vitamin Avà B ta cũng có thể tính được rất nhiều loại vitamin và các chất dinh dưỡng kháccần thiết cho cơ thể. So sánh kết quả bài toán với lượng vitamin được sử dụng tronggia đình mình và đưa ra giải pháp khắc phục nhằm đảm bảo sức khỏe cho cả giađình.* Phân tích kết quả hoạt động:Vì nội dung bài toán đã toán học hóa vấn đề cho nên các nhóm HS đã vậndụng tốt quy trình MHH để giải bài toán trên. Trên 70% số HS đạt được kĩ năngMHH ở cấp độ 4 và đều có đối chiếu với thực tế bản thân. Thông qua hoạt độngnày, GV giảng dạy Toán có thể tích hợp các kiến thức về giáo dục sức khỏe vàhướng dẫn HS sử dụng mô hình toán học để mô tả những tình huống thực tiễn, cũngnhư đối chiếu với thực tế để rút ra bài học cho bản thân.2.4. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH HÓA ĐẠI SỐ LỚP 10Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, HS thường gặp khó khăn sau đâykhi giải quyết các bài tập MHH:- MHH bao gồm việc chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiềuvì vậy kiến thức toán và kiến thức thực tế đều cần thiết. Tuy nhiên, HS thường thiếukiến thức thực tế liên quan đến tình huống cũng như kinh nghiệm để tạo ra các môhình thực tế.67 - HS mất nhiều thời gian trong việc hiểu tình huống, thiết lập các giả thiết,nhận ra các biến phù hợp, thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin vềtình huống.- Tình huống thực tế có thể được xây dựng lại theo những cách khác nhautùy thuộc vào kinh nghiệm của chính HS, đôi khi các em tạo ra một tình huống giảtưởng xung quanh vấn đề được đặt ra hoặc thoát khỏi môi trường “thực nghiệm”toán học.- Các tình huống MHH được đặt trong môi trường thực tế thường phức tạpvà có phương án giải quyết “mở” do đó có nhiều cách khác nhau để tiếp cận và cóthể có nhiều kết quả khác nhau. Vì vậy, GV khó dự đoán trước các cách giải quyếtcủa HS cũng như khó hướng dẫn các em trong quá trình MHH.Tóm lại, các tình huống MHH làm cho việc học toán của HS trở nên tháchthức hơn so với các nhiệm vụ toán học thông thường – dễ nắm bắt, thường có quytắc, thuật toán. Điều này về cơ bản có thể giải thích được bởi sự phức tạp vốn cócủa các nhiệm vụ MHH. Các khó khăn tập trung chủ yếu ở bước chuyển từ “tìnhhuống thực tế” đến “mô hình toán học”. Do đó, để hạn chế những khó khăn trên,GV cần đưa ra một mô hình thực tế thay vì một tình huống thực tế và HS phảichuyển đổi tình huống từ thực tế vào môi trường toán, giải quyết vấn đề toán học,đưa ra kết quả giải bài toán và giải thích kết quả trong ngữ cảnh thực tế ban đầu.Điều này giúp HS tiếp cận hoạt động MHH trong giờ học toán mà vẫn đảm bảo:(i) Phát triển năng lực vận dụng toán học trong giải quyết các bài toán thựctiễn;(ii) Đưa toán học ra khỏi phạm vi lớp học;(iii) Sử dụng ngữ cảnh thực tế là một thành phần then chốt trong quá trìnhMHH;(iv) Thực hiện chuyển đổi từ môi trường thực tế sang môi trường toán vàngược lại.Từ đó, chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập MHH nội dung Đại số lớp 10dựa theo các tiêu chí sau đây:- Các bài tập đều là những tình huống toán học hóa, chứa đựng các yếu tốcủa thực tiễn và có thể sử dụng quá trình toán học hóa để giải quyết.68 - Kiến thức toán học được sử dụng để giải quyết vấn đề của bài tập thuộcchương trình Đại số lớp 10.- Các bài tập được phân loại ở các mức độ khác nhau, phù hợp với từng đốitượng HS.- Mục tiêu của mỗi tình huống cần tập trung vào phát triển một số kĩ năngtoán học cho HS.2.4.1. Hệ thống bài tập chủ đề “Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai”Bài tập 2.1. Biểu đồ trong Hình 2.15 biểu thị sản lượng vịt, gà và ngan laiqua 5 năm của một trang trại. Coi y = f(x), y = g(x) và y = h(x) tương ứng là cáchàm số biểu thì sự phụ thuộc số vịt, số gà và số ngan lai qua thời gian x.a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã nêu.b) Tìm các giá trị f(2002), g(1999), h(2000) và nêu ý nghĩa của chúng.c) Tính hiệu h(2002) – h(1999) và nêu ý nghĩa của nó.Hình 2.15: Biểu đồ sản lượng gà, vịt và ngan lai qua các nămMục tiêu: Thông qua bài tập này, GV có thể đánh giá được các kĩ năng sauđây của HS:- Kĩ năng tìm tập xác định của hàm số.- Kĩ năng đọc và hiểu ý nghĩa số liệu biểu diễn trên biểu đồ.- Kĩ năng vận dụng kiến thức toán học trong giải quyết bài toán thực tiễn.Lời giải:a) Tập xác định của ba hàm số y = f(x), y = g(x) và y = h(x) là:D = 1998;1999 ; 2000 ; 2001 ; 200269 b) f(2002) = 620000 (con); g(1999) = 380000 (con); h(2000) = 100000(con). Năm 2002 sản lượng của trang trại là 620000 con vịt, năm 1999 sản lượng là380000 con gà, năm 2000 sản lượng là 100000 con ngan lai.Hình 2.16: Bài làm của HS lớp thực nghiệmc) h(2002) – h(1999) = 210000 – 30000 = 180000 (con). Năm 2002 sảnlượng ngan lai của trang trại tăng 180000 con so với năm 1999.Hình 2.17: Bài làm của HS lớp thực nghiệmBài tập 2.2. Một lớp học muốn thuê một hướng dẫn viên cho chuyến thămquan, có 2 công ty đã được liên hệ để lấy các thông tin về giá. Công ty A có phídịch vụ ban đầu là 375 USD cộng với 0,5 USD cho mỗi km hướng dẫn. Công ty Bcó phí dịch vụ ban đầu là 250 USD cộng với 0,75 USD cho mỗi km hướng dẫn.a) Lớp học nên chọn công ty nào để thuê hướng dẫn viên nếu biết rằngchuyến đi sẽ đến một địa điểm nào đó với tổng khoảng cách đi lại là 400 km, 600km?b) Vậy nếu đi với khoảng cách là bao nhiêu thì chọn công ty A có lợi hơn?Mục tiêu: Chọn công ty nào để thuê hướng dẫn viên với chi phí thấp hơn khiđi những quãng đường xác định. Qua bài toán, GV có thể đánh giá các kĩ năng sauđây của HS:70 - Kĩ năng thiết lập hàm số bậc nhất.- Kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất.- Kĩ năng vận dụng toán học giải quyết các bài toán thực tiễn.Lời giải: Gọi x là số ki-lô-mét lớp đó đi trong ngày (x > 0). Khi đó số tiềnphải trả cho công ty A là 375 + 0,5x, số tiền phải trả cho công ty B là 250 + 0,75x.a) Nếu x = 400 thì số tiền phải trả cho công ty A là 575 USD, số tiền phải trảcho công ty B là 550 USD. Vậy chọn công ty B sẽ có lợi hơn.Nếu x = 600 thì số tiền phải trả cho công ty A là 675 USD, số tiền phải trảcho công ty B là 700 USD. Vậy chọn công ty A sẽ có lợi hơn.Hình 2.18: Bài làm của HS lớp thực nghiệmb) Việc chọn công ty A sẽ có lợi hơn nếu số tiền phải trả cho công ty A nhỏhơn số tiền phải trả cho công ty B tức là: 375 + 0,5x < 250 + 0,75x. Giải bấtphương trình trên ta có x < 500. Vậy thuê hãng A sẽ có lợi hơn nếu mỗi ngày đidưới 500 km.Bài toán sẽ khó hơn nếu GV đặt câu hỏi là lớp học nên chọn công ty nào nếutổng quãng đường sẽ từ 400 đến 600 km. Gác lại một số yếu tố hư cấu thì một tìnhhuống như trên hoàn toàn có thể xảy ra. Bài toán có thể giải bằng phương pháp đạisố hoặc bằng đồ thị hoặc sự kết hợp của cả hai. Tùy theo nội dung cần củng cố màGV có thể lựa chọn giải quyết bài toán theo cách nào. Ví dụ như khi HS học về hàmsố bậc nhất thì có thể giải toán toán trên bằng cách vẽ đồ thị hàm số để rèn luyện kĩnăng biểu diễn cũng như đọc hiểu thông tin từ đồ thị hàm số.Bài tập 2.3. Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập internet như sau:- Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 2000 đồng.- Hình thức B: Thuê bao hàng tháng 350.000 đồng và số giờ truy cập khônghạn chế.- Hình thức C: Thuê bao hàng tháng 45.000 đồng và mỗi giờ truy cập phảitrả 500 đồng.71 a) Em hãy cho biết hình thức nào phải trả ít tiền hơn nếu tổng hợp truy cậphàng ngày trong tháng (30 ngày) lần lượt là 45h; 300h; 360h?b) Hãy viết p(x), q(x), u(x) theo thứ tự là số tiền phải trả hàng tháng theo mỗihình thức A, B, C trong đó x là số giờ truy cập internet.Mục tiêu: Chọn hình thức truy cập internet nào để chi phí thấp nhất. Qua bàitoán này, GV có thể rèn luyện cho HS một số kĩ năng sau đây:- Kĩ năng biểu diễn số liệu (dạng bảng).- Kĩ năng thiết lập hàm số bậc nhất.- Kĩ năng vận dụng kiến thức toán học trong giải quyết các vấn đề thực tiễn.Lời giải. a) Lập bảng và điền vào bảng sau để thống kê kết quả:Số giờ truy cập tháng45hSố tiền phải trả300h360hHình thức AHình thức BHình thức Cb) Hình thức A là: p(x) = 2000x (đồng); hình thức B là: q(x) = 350000(đồng); và hình thức C là: u(x) = 500x + 40000 (đồng).Bài tập 2.4. (Bài toán tàu vũ trụ): Khi một con tàu vũ trụ được phóng lênMặt trăng, trước hết nó bay vòng quanh Trái đất. Sau đó, đến một thời điểm thíchhợp, động cơ bắt đầu hoạt động đưa con tàu bay theo quỹ đạo là một nhánh parabônlên Mặt trăng (trong hệ tọa độ Oxy, x và y tính bằng đơn vị nghìn kilômét). Biếtrằng khi động cơ bắt đầu hoạt động, tức là khi x = 0 thì y = –7. Sau đó, ta có y = –4khi x = 10 và y = 5 khi x = 20.Hình 2.19: Qũy đạo chuyển động của tàu vũ trụ72 a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabôn nói trên.b) Theo lịch trình, để đến được Mặt Trăng, con tàu phải đi qua điểm có tọađộ (100; y) với y = 294 ± 1,5. Hỏi điều kiện đó có được thỏa mãn hay không?Mục tiêu: Bài toán yêu cầu HS xác định hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánhparabôn nói trên và xác định điểm nào đó có thuộc đồ thị chứa nhánh parabôn haykhông. Qua đó, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:- Kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.- Kĩ năng xây dựng mô hình toán học.- Kĩ năng vận dụng kiến thức toán học trong giải quyết các vấn đề thực tiễn.Lời giải: a) Ta cần tìm hàm số dạng f(x) = ax 2 + bx + c thỏa mãn điều kiệnlà f(0) = c = –7; f(10) = 100a + 10b – 7 = –4; f(20) = 400a + 20b – 7 = 5.Từ đó suy ra a = 0,03; b = 0. Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 0,03x 2 – 7.Hình 2.20: Bài làm của HS lớp thực nghiệmb)Theo điều kiện khi x = 100 thì y = 294294 – 1,5y 1, 5, tức là:294 + 1,5 hay y  (292,5; 295,5)Ta thấy f(100) = 293 thỏa mãn điều kiện đó.Hình 2.21: Bài làm của HS lớp thực nghiệmBài tập 2.5. Dưới đây là bảng số liệu và mô hình biểu diễn mối tương quangiữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà trong một ngày của 12 HS.73 Thời gian123456789101112Điểm số605565657780838075907268a) Hãy biểu diễn số liệu trong bảng trên hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc. Từđó, xấp xỉ mô hình hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.b) Quan sát hai mô hình hàm số bậc nhất (đường thẳng) và mô hình hàm sốbậc hai (parabôn), hãy cho biết mô hình nào biểu diễn số liệu trong bảng tốt hơn?c) Từ mô hình đã chọn ở trên, hãy rút ra bài học cần thiết về số giờ học trongmột ngày để đạt hiệu quả học tập cao nhất.Mục tiêu: Biết được khoảng thời gian thích hợp nhất để học tập ở nhà để đạtđược hiệu quả học tập cao nhất. Qua bài toán này, GV có thể đánh giá các kĩ năngsau đây của HS:- Kĩ năng biểu diễn số liệu thống kê.- Kĩ năng xây dựng mô hình toán học.- Kĩ năng đọc và hiểu ý nghĩa thực tế của mô hình toán học.Lời giải:a) Số liệu trong bảng được biểu diễn như sau:Hình 2.22: Mối tương quan giữa thời gian học ở nhà và điểm sốb) Quan sát biểu diễn trên, ta thấy mô hình hàm số bậc hai biểu diễn tốt hơnmô hình hàm số bậc nhất.c) Từ đồ thị hàm số bậc hai cho ta biết rằng cần sắp xếp thời gian học tập ởnhà cho hợp lý (không quá ít mà cũng không quá nhiều). Thời gian tốt nhất làkhoảng 07 tiếng/ngày (đỉnh của parabôn).74 Bài tập 2.6. (Thành tích chạy 100m nam): Quan sát bảng thống kê dưới đâyvề kỷ lục chạy 100 mét (thời gian tính theo đơn vị giây) của các nam vận động viêntại các thế vận hội Ôlympíc mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012:19001904190819121920192419281932194811.011.010.810.0810.0610.0810.0310.0310.0319521956196019641968197219761980198410.0410.0510.0210.069.9510.1410.0610.259.9919881992199620002004200820129.929.969.849.879.859.699.63a) Dựa vào bảng số liệu trên, hãy biểu diễn thành tích của nam vận động viênnam trên hệ trục tọa độ.b) Xác định mô hình biểu diễn tốt nhất cho thành tích trên và đưa ra dự đoáncho thành tích của nam vận động viên chạy cự ly 100 m tại Ôlympíc mùa hè 2016tại Rio de Janeiro (Braxin).Mục tiêu: Dự đoán thành tích của nam vận động viên tại Ôlympíc mùa hè2016 tại Rio de Janeiro (Braxin). Qua bài toán, GV có thể đánh giá các kĩ năng sauđây của HS:- Kĩ năng biểu diễn số liệu thống kê.- Kĩ năng xây dựng và so sánh các mô hình toán học.- Kĩ năng đọc và hiểu xu hướng của mô hình toán học.Lời giải: a) Dựa vào các số liệu trên, sử dụng phần mềm toán học để xử lý sốliệu và đưa ra được đồ thị hàm số tuyến tính biểu diễn xấp xỉ các giá trị (số giây)theo các năm tổ chức thế vận hội mùa hè như sau:b) Kết quả tính toán đưa ra hàm số biểu diễn mối quan hệ tuyến tính của môhình trên: 𝑡 = −0,00726264𝑁 + 24,3287866, trong đó t là thời gian chạy 100 mét(tính theo đơn vị giây), N là số năm. Từ mô hình này, ta có thể dự đoán về thànhtích của nam vận động viên chạy 100 mét tại Ôlympíc mùa hè 2016 tại Rio deJaneiro (Braxin) theo công thức:𝑡 = −0,00726264.2016 + 24,3287866 ≈ 9,69 (giây)75 Hình 2.23: Mô hình tuyến tính thành tích của các nam vận động viênNhư vậy, để tăng cường toán học hóa các tình huống thực tiễn sử dụng môhình, GV có thể hướng dẫn HS điều tra các số liệu thực tế, tích hợp các kiến thức vềmôi trường, địa lý, kinh tế,…. Ví dụ như yêu cầu HS phân tích số lượng của mộtloài động vật nào đó có nguy cơ tuyệt chủng trong khoảng thời gian 10 năm gần đâyđể từ đó xây dựng mô hình dự đoán về khả năng và thời gian tuyệt chủng của loàiđồng vật này hoặc yêu cầu HS phân tích số lượng xe hơi bán ra tại Việt Nam trong05 năm gần đây để xây dựng mô hình dự đoán về tốc độ tăng trưởng về số lượng xehơi để từ đó đề xuất các giải pháp về giao thông và thuế.Bài tập 2.7. (Cầu dây cáp treo): Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng đườngparabôn ACB như Hình 2.24. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trêntrục AA’ và BB’ với độ cao 30m. Chiều dài nhịp A’B’ = 200m. Độ cao ngắn nhấtcủa dây truyền trên nền cầu là OC = 5m. Xác định chiều dài các dây cáp treo (thanhthẳng đứng nối nền cầu với dây truyền)?yA (100; 30)BCM1M2O 5m y1M3y2y3 30mA’B’200mHình 2.24: Mô hình cầu dây cáp treo76x Mục tiêu: Bài toán yêu cầu xác định chiều dài các dây cáp treo. Qua đó, GVcó thể đánh giá được các kĩ năng sau đây của HS:- Kĩ năng xây dựng hàm số bậc hai.- Kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.- Kĩ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị hàm số bậc hai.Lời giải: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của parabôn, trục Ox nằm trênnền cầu. Khi đó ta có tọa độ các điểm A(100; 30), C(0; 5). Từ đó, ta tìm đượcphương trình của parabôn có dạng y = ax2 + bx + c. Parabôn này có đỉnh là C và điqua A nên ta có hệ phương trình sau:b 0 2a a .0  b .0  c  52a . 100  b . 100  c  30Từ đó suy ra parabôn có phương trình y =1a 400b  0c  51x2 + 5.400Bài toán đưa về việc xác định chiều dài các dây cáp treo, có nghĩa là tínhtung độ của các điểm M1, M2, M3 thuộc parabôn. Ta dễ dàng tính được tung độ cácđiểm có các hoành độ x1 = 25, x2 = 50, x3 = 75 lần lượt là y1 = 6,56 (m), y2 = 11,25(m), y3 = 19,06 (m). Đó chính là độ dài các dây cáp treo cần tính.2.4.2. Hệ thống bài tập chủ đề “Phƣơng trình và bất phƣơng trình”Bài tập 2.8. Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãihàng hoá (sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng.Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, loại B giá 3 triệu đồng.Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằngxe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấnhàng.Mục tiêu: Xác định xem thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển làthấp nhất. Qua đó, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:- Kĩ năng thiết lập và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.- Kĩ năng giải các bài toán tối ưu và ứng dụng trong thực tiễn.77 Lời giải: Trước hết ta cần phải tính số xe loại A, loại B cần dùng sao cho chiphí là thấp nhất. Nếu chỉ sử dụng một loại xe thì không đáp ứng yêu cầu. Thật vậy,nếu dùng cả 9 xe B thì chở được 90 người và vận chuyển được 13,5 tấn hàng. Nhưvậy sẽ thừa 50 người và thiếu 4,5 tấn. Nếu dùng cả 10 xe A chở được 200 người và6 tấn hàng như vậy sẽ hiếu 60 người và thừa 3 tấn hàng. Do vậy, ta phải thuê hailoại xe.Gọi x, y lần lược là số xe loại A, B cần dùng. Theo đề bài thì cần tìm x, y saocho A(x, y) = 4x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:20x+10y  140 2x+1y  14 0 ,6 x + 1 ,5 y  92x+15y  30 II0x100x10 0  y  90y9Để giải bài toán này ta lần lượt giải hai bài toán nhỏ dưới đây:a) Xác định tập (S) các điểm có có toạ độ (x, y) thoả mãn hệ bất phươngtrình (II) trên.b) Khi (x, y) lấy giá trị trên (S) tìm giá trị nhỏ nhất T(x, y) = 4x + 3y.Việc giải bài toán (a) rất đơn giản. Miền nghiệm (S) của hệ II được biểu diễnbởi tứ giác ABCD kể cả biên như hình vẽ:BC10864AD2O5B1015Hình 2.25: Minh họa miền nghiệm của hệ bất phương trình (II)Giải bài toán (b) nghĩa là tìm tất cả các điểm M(x, y) thuộc tứ giác ABCD saocho A(x, y) nhỏ nhất. Ta biết rằng A(x, y) nhỏ nhất đạt tại các giá trị biên của tứ giácABCD, nên ta cần tìm các toạ độ các đỉnh.Điểm A(x, y) là nghiệm hệ:78  2 x + y= 1 4 x=5  A (5, 4 ) 2 x + 5 y= 3 0 y= 4Điểm B(x, y) là nghiệm hệ:x=10 x=10  B (1 0 , 2 ) 2 x + 5 y= 3 0 y= 2Điểm C(x, y) là nghiệm hệ: x=10 C (1 0 , 9 )y=9Điểm D(x, y) là nghiệm hệ:5 2 x + 5 y= 1 45 x= 2  D ( ,9)y= 92 y= 9Tính giá trị T(x, y) tại các điểm biên:T(A) = 4.5 + 3.4 = 32 (triệu đồng)T(B) = 4.10 + 3.2 = 46 (triệu đồng)T(C) = 4.10 + 3.9 = 67 (triệu đồng)T(D) = 4.5+ 3.9 = 37 (triệu đồng)2Vậy T(A) = 32 triệu đồng là nhỏ nhất. Do đó, ít tốn tiền vận chuyển nhất nênphương án chọn là 5 xe A và 4 xe B.Bài tập 2.9. Trong một cuộc thi về “bữa ăn dinh dưỡng”, ban tổ chức yêucầu để đảm bảo lượng dinh dưỡng hằng ngày thì mỗi gia đình cần ít nhất 900 đơnvị prôtêin và 400 đơn vị lipít trong thức ăn hằng ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơnvị prôtêin và 200 đơn vị lipít, mỗi kg thịt heo chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vịlipít. Biết rằng mẹ chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt heo. Mỗi kg thịtbò giá 100.000đ, mỗi kg thịt heo giá 70.000đ. Phần thắng sẽ thuộc về gia đình nàotrong khẩu phần thức ăn đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất.Mục tiêu: Tính toán khẩu phần thức ăn đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phíbỏ ra là ít nhất. GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:- Kĩ năng lập và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn từ tình huống thựctiễn.79 - Kĩ năng mô hình hóa và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trìnhbậc nhất hai ẩn.- Kĩ năng hiểu và rút ra ý nghĩa thực tiễn từ mô hình toán học.Lời giải: Xác định lượng thịt heo và thịt bò cần mua để vừa đảm bảo dinhdưỡng vừa ít tốn nhất. Rõ ràng đối với trường hợp này nếu ta chỉ mua một loại thịtthì không đáp ứng yêu cầu. GV hướng dẫn HS phân tích bài toán như sau:- Nếu chỉ mua thịt heo thì ta mua được tối đa 1,1 kg. Khi đó chi phí bỏ ra là:1,1 x 70.000 = 77000đ. Với lượng thịt trên thì cung cấp 1,1 x 600 = 660 đơn vịprôtêin và 1,1 x 400 = 440 đơn vị lipít. Như vậy, lượng lipít thừa mà lượng prôtêinthì thiếu.- Nếu chỉ mua thịt bò thì rõ ràng chi phí sẽ rất cao.Do vậy, ta phải mua hai loại thịt. Vì thế, ta có thể trình bày lời giải của bàitoán như sau: Gọi x, y lần lượt là khối lượng thịt bò và thịt heo mà mẹ mua. Bàitoán đặt ra là tìm x, y để T = 100.000x + 70.000y đạt giá trị nhỏ nhất.Ta có điều kiện của bài toán là: 800 2000 0 x  600 y  900x  400 y  400x  1, 6y  1 ,1 8 x  6 y  9 (1 ) x  2 y  2(2)  0  x  1, 6 ( 3 ) 0  y  1 ,1 ( 4 )1.2AB10.80.6D0.40.2C-1.5-1-0.50.511.5-0.2-0.4-0.6-0.8Hình 2.26: Minh họa miền nghiệm của hệ bất phương trình80 Miền giới hạn chính là tứ giác ABCD với tọa độ các điểm là: A(0,3; 1,1),B(1,6; 1,1), C(1,6; 0,2), D(0,6; 0,7). Ta tính được:T(A) = 107.000đT(B) = 237.000đT(C) = 174.000đT(D) = 109.000đVậy Tmin = 107.000đ khi mẹ mua 0.3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt heo. Do vậy,để thắng trong cuộc thi này mẹ ngoài tay nghề nấu nướng thì mẹ nên mua 0,3 kgthịt bò và 1,1 kg thịt heo.Bài tập 2.10. Giám đốc công ty X vừa khánh thành ngôi nhà của mình, diệntích mảnh đất làm nhà là 600m2, phải dùng 95m lưới sắt để làm rào chắn. Bây giờông ta muốn trồng cây xanh và hoa để ngôi nhà thêm đẹp. Theo ý ông dọc theongôi nhà là trồng cây tùng, trước và sau ngôi nhà trồng loại cây vạn tuế. Khoảngcách mỗi cây cảnh phải đảm bảo kỹ thuật. Nếu bạn nhận nhiệm vụ này bạn sẽ làmnhư thế nào (biết cổng ra vào dài 5m), khu vườn ngôi nhà có dạng hình chữ nhật.Mục tiêu: Qua bài toán, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:- Kĩ năng phân tích và giải quyết vấn đề.- Kĩ năng lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.Lời giải: Cần tính số cây cảnh để trồng trong khu vườn. Do vậy, chúng tacần quan tâm đến khoảng cách của mỗi loại cây cảnh, chiều dài, chiều rộng của khuvườn. Do đó, GV hướng dẫn HS phân tích theo các phương án sau:- Phương án 1: Người trồng cây không cần tính toán mà mua số cây mộtcách tuỳ tiện và trồng theo đúng khoảng cách kỹ thuật của cây cảnh, nếu thiếu câythì mua thêm, nếu thừa cây thì trả lại nơi bán. Ta thấy rằng với cách làm việc nhưthế này thì anh ta sẽ rất vất vả và sẽ tốn thêm chi phí vận chuyển trong trường hợpmua thêm hoặc trả lại cây cảnh nếu ngôi nhà ở xa nơi bán cây cảnh.- Phương án 2: Người này tính toán số cây có thể trồng trước khi mua. Dovậy anh ta quan tâm đến chiều dài, chiều rộng của khu vườn. Nếu gọi x là chiều dàicủa khu vườn, y là chiều rộng của khu vườn. Ta có:81 95+5 50 x + y=2xy  600Theo định lý Vi-ét thì x, y là nghiệm của phương trình sau:X2 50 X  600  0 X  30 x=30 1   y= 2 0 X 2  2 0Giả sử khoảng cách đảm bảo kỹ thuật khi trồng cây tùng là 2m. Như vậy,dọc theo ngôi nhà ta có thể trồng tối đa là2.30 30(cây). Nếu cây cảnh trúc cũng2có khoảng cách kỹ thuật là 2m thì chiều rộng ngôi nhà sẽ trồng 20/2 = 10 số câytrồng phía trước. Số cây trồng trước nhà không được trồng ở cổng. Do vậy, nếucổng ở giữa thì khoảng đất còn lại là 15m. Theo tính toán sẽ trồng tối đa là 8 cây.Do vậy, nếu trồng 30 cây tùng thì chỉ trồng được 10 + 8 – 4 = 14 cây vạntuế, còn nếu trồng 18 cây vạn tuế thì trồng được 26 cây tùng.Bài tập 2.11. Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam. Vì khi bán chị bánhàng quên ghi chép vào sổ để chủ cửa hàng kiểm tra. Chiều ngày thứ 3 người chủbuộc chị phải nộp sổ để theo dõi nhưng chị không biết rõ ba ngày qua đã bán đượcnhững gì. Chỉ nhớ rằng ngày thứ nhất bán được 5.160.000đ, ngày thứ hai bán được6.080.000đ, ngày thứ ba bán được 4.920.000đ. Vậy bạn có cách nào giúp chị ấykhông?Mục tiêu: Phải tìm được số hàng bán từng ngày. Do vậy, phải tính đượcngày thứ nhất bán được bao nhiêu áo sơ mi, quần âu nam, tương tự các ngày sau.Qua bài toán này, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:- Kĩ năng phân tích tình huống thực tế và toán học hóa.- Kĩ năng thiết lập và giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.Lời giải: GV có thể hướng dẫn nhóm HS phân tích tình huống theo cácphương án sau đây:- Phương án 1: Chị ấy đếm số quần áo còn lại rồi so sánh với số quần áo khinhập vào sau đó chia đều cho ba ngày. Cách tính này rất nhanh, chính xác nhưngkhó có thể thuyết phục được bà chủ.82 - Phương án 2: Tính số hàng bán từng ngày. Khi hỏi chị bán hàng cho biếtthêm thông tin: ngày thứ ba bán được 15 quần âu nam, tổng số áo và quần bán đượctrong ba ngày lần lược là 52 và 60. Từ giả thuyết ta gọi x1, x2, x3 lần lượt là số áo sơmi bán ở ngày thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Gọi y1, y2, y3 lần lược là số quần âu nambán ở ngày thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Theo đề ta có:8 0 .0 0 0 x  2 0 0 .0 0 0 y  5 1 6 0 .0 0118 0 .0 0 0 x  2 0 0 .0 0 0 y  6 .0 8 0 .0 0 0228 0 .0 0 0 x  2 0 0 .0 0 0 y  4 .9 2 0 .0 0 033x  x  x  52123y  y  y  60123y3  15 8 x  20 y  516118 x  20 y  608228 x  20 y  49233x  x  x  52123y  y  y  60123y3  15 x  12, x  16, x  24 123 y  2 1, y  2 4 , y  1 523 1Như vậy, ngày thứ nhất chị ấy bán được 12 áo sơ mi, 21 quần âu nam; ngàythứ hai bán được 16 áo sơ mi và 24 quần âu nam; ngày thứ ba bán được 24 áo sơ mivà 15 quần âu nam. Điều này hoàn toàn hợp lý.Bài tập 2.12. Trong một xưởng cơ khí có những thanh sắt dài 7,4m. Ngườichủ muốn các thợ của mình cắt mỗi thanh sắt thành các đoạn dài 0,7m và 0,5m đểtiện sử dụng. Bây giờ người chủ muốn có 1000 đoạn 0,7m và 2000 đoạn 0,5m. Bạnhãy ước lượng xem cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4m để làm?Mục tiêu: Cắt đủ số đoạn theo yêu cầu và phải dùng thanh sắt 7,4m ít nhất.Do vậy, nhiệm vụ của HS là cần tìm cách cắt theo yêu cầu và chọn cách cắt tiếtkiệm nhất. Qua bài toán này, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:- Kĩ năng mô hình hóa toán học.- Kĩ năng thiết lập và giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.Lời giải: GV phân tích cho HS thấy rằng muốn tiết kiệm vật liệu thì cần phảicắt mỗi thanh 7,4 m thành a đoạn 0,7m, b đoạn 0,5m không dư. Tức là ta cần giảiphương trình:83 7 4  7 a  5b  7 a 0  a  10b 74  7a 15  a 1  2a5VàbZ5thì (1 + 2a) M5 . Ta có:74  5b 0  b  14Và0  1  2a  21 .Vì 1 + 2a là số lẻ nên ta suy ra:0, 7 a  0, 5b  7 , 4; a , b  Z 7 a  5b  7 4 1  2a  5a  2  b  121  2 a  1 5 a  7  b  5Vậy ta có hai cách cắt một thanh 7,4m tiết kiệm: Cắt thành 2 đoạn 0,7m và12 đoạn 0,5m; cắt thành 7 đoạn 0,7m và 5 đoạn 0,5m. Tiếp theo, GV hướng dẫn HSchọn cách tiết kiệm nhất trong hai cách trên.Gọi x thanh cắt theo kiểu thứ nhất, y thanh cắt theo kiểu thứ hai. Như vậy sốđoạn 0,7m là2x  7 y. Số đoạn 0,5m là12 x  5 y. Để có 1000 đoạn 0,7m và 2000đoạn 0,5m nên x, y là nghiệm hệ phương trình sau: 2 x  7 y  1000 x  121 1 2 x  5 y  2 0 0 0 y  108Vậy đã cắt được2 x  7 y  998đoạn 0,7m và 1 2 x 5 y  1992đoạn 0,5m.Ta chỉ cần cắt thêm một thanh theo kiểu thứ nhất. Như vậy, ta đã dùng tất cả121  108  1  230thanh 7,4m. Bây giờ GV hướng dẫn HS chỉ ra rằng cách cắtnày là tiết kiệm nhất.Thật vậy, ta thấy tổng số độ dài của 1000 đoạn 0,7m và 2000 đoạn 0,5m là:0 , 7 .1 0 0 0  0 , 5 .2 0 0 0  1 7 0 0 mVậy phải dùng ít nhất1700 : 7, 4  230thanh. Tóm lại, ta chỉ cần cắt 122thanh theo kiểu thứ nhất, 108 thanh theo kiểu thứ hai.Bài tập 2.13. Một hãng taxi định giá tiền thuê xe đi mỗi km là 6000đ cho10km đầu tiên và 2500đ cho các km tiếp theo, hoặc 4000đ cho mỗi km trên cảquãng đường. Vậy một khách hàng muốn đi x km thì phải chọn phương án nào?84 Mục tiêu: Người thuê xe cần chọn 1 trong 2 cách đi trên sao cho tiết kiệmnhất. Qua đó, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:- Kĩ năng thiết lập và giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.- Kĩ năng vận dụng toán học vào giải quyết các tình huống trong thực tiễn.Lời giải: Ta thấy nếu quãng đường khách hàng đi x ≤ 10km thì chọn cáchthứ hai để trả tiền sẽ tiết kiệm hơn và tiết kiệm đượcNếux  10  x  10  y,y 0đồng.. Theo cách thứ nhất số tiền khách phải trả là:T1  1 0 .6 0 0 0  y .2 5 0 0  6 0 0 0 0  2 5 0 0 yphải trả là:( 6  4 ).1 0 0 0 x  2 0 0 0 x. Theo cách thứ hai số tiền hành kháchT 2  (1 0  y ) .4 0 0 0  4 0 0 0 0  4 0 0 0 y.Ta xét:T  T  20000  1500 y  012 1500 y  20000 y  1 3, 3Vậy nếu đoạn đường hành khách đi lớn hơn 13,3 km thì nên chọn cách thứnhất sẽ đỡ tốn kém hơn.Bài tập 2.14. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại Icần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lãi 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loạiII cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lãi 30000 đồng. Xưởng có 200kgnguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để cómức lời cao nhất?Mục tiêu: GV hướng dẫn HS giải quyết tình huống “sản xuất mỗi loại sảnphẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?”. Qua đó, đánh giá HS một số kĩ năng sauđây:- Kĩ năng thiết lập và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.- Kĩ năng biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.- Kĩ năng vận dụng toán học vào giải quyết các tình huống trong thực tiễn.Lời giải: GV hướng dẫn HS phân tích bài toán và thấy rằng thực chất của bàitoán này là phải tìmx  0,y  0, thoả mãn hệ phương trình sau: 2 x  4 y  200 30 x  13 y  120085 sao cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất. Điều này có nghĩa là tìm x, ythoả mãn hệ phương trình sao cho 4x + 3y đạt giá trị lớn nhất.yCF504080IBDO A 20 40E x100Hình 2.27: Minh họa miền nghiệm của hệ bất phương trìnhTrên Hình 2.27, ta ký hiệu C(0; 50), D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80). Điểm I làgiao điểm của CE và DF. Dễ thấy toạ độ của I là (20; 40). Miền nghiệm của hệ bấtphương trình là miền tứ giác OCID (kể cả biên).Với mỗi L xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) sao cho 4x + 3y = L,những điểm M như thế nằm trên đường thẳng AB với A(L/4; 0), B(0; L/3). Hệ sốgóc của đường thẳng AB là -4/3. Cho L lớn dần lớn lên thì đường thẳng AB sẽ “tịnhtiến dần lên” phía trên. Nhìn vào Hình 2.27 ta nhận thấy rằng: Trong những đườngthẳng có hệ số góc -4/3, thì đường thẳng đi qua I là đường thẳng ở vị trí “cao nhất”đang còn có điểm chung với tứ giác OCID. Chưa đạt tới vị trí này thì L chưa phải làlớn nhất. Vượt quá “ngưỡng” này thì toạ độ của mọi điểm trên đường thẳng sẽkhông còn thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc nữa. Từ đó, ta dễ dàng đi đến kết luậnlà khi x = 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất.Bài tập 2.15. Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hànghóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Mộtchiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệuFORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗiloại để chi phí thấp nhất?Mục tiêu: Giúp HS vận dụng toán học để giải quyết tình huống thuê xe vậnchuyển với chi phí thấp nhất. Qua đó, GV sẽ đánh giá được các kĩ năng sau đây của86 HS hoặc nhóm HS:- Kĩ năng thiết lập và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.- Kĩ năng mô hình hóa và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.- Kĩ năng vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn.y14BA96IOC7 10x15Hình 2.28: Minh họa miền nghiệm của hệ bất phương trìnhLời giải: Trước hết ta hãy đặt bài toán thành hệ bất phương trình. Gọi x, y lầnlượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê. Từ bài toán ban đầu, GVhướng dẫn HS thiết lập được hệ bất phương trình sau: 0  x  100  y  9 20 x  10 y  140 0 , 6 x  1,5 y  9 0  x  100  y  9  2 x  y  14 2 x  5 y  30(*)Tổng chi phí T(x, y) = 4x + 3y (triệu đồng). Thực chất của bài toán này là tìmx, y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) sao cho T(x, y) nhỏ nhất. Bước tiếp theo là tatìm miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm là miền tứ giác lồi IABC.Ta cần xác định toạ độ (x, y) của một điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể cảbiên) sao cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu. Xét họ đường thẳng cho bởi phươngtrình: 4x + 3y = T. Khi T tăng đường thẳng này tịnh tiến song song lên phía trên.Khi T giảm, đường thẳng này tịnh tiến song song xuống phía dưới. Giá trị nhỏ nhấtcủa T đạt được tại đỉnh I của tứ giác IABC là giao điểm của hai đường thẳng cóphương trình 2x + 5y = 30 và 2x + y = 14. Toạ độ của điểm I là (xI = 5; yI = 4). Nhưvậy, ta cần thuê 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận tải làthấp nhất.87 2.5. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2Chương 2 trình bày một số nguyên tắc thiết kế hoạt động MHH. Từ đó thiếtkế một số tình huống thực tiễn cho chương trình Đại số lớp 10 và xây dựng hệthống bài tập MHH. Các mô hình được thiết kế với tiêu chí bám sát chương trìnhSGK, có liên quan đến các vấn đề thực tiễn và đều có thể tổ chức dạy học ở trên lớphọc truyền thống. Các bài tập trong chương này được xây dựng dựa trên các cấp độkhác nhau của kĩ năng mô hình hóa toán học. Luận văn trình bày những ý tưởng sưphạm, một số phân tích nghiên cứu trường hợp và đánh giá độ tin cậy của hệ thốngbài tập đã thiết kế.88 Chƣơng 3THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆMThực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết khoa học củaluận văn, tính khả thi và tính hiệu quả của một số mô hình toán học và hệ thống bài tậpMHH trong chương trình môn Đại số lớp 10 ở trường THPT. Từ đó, đưa ra những đềxuất cho việc đổi mới chương trình SGK phổ thông sau 2015.3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆMThực nghiệm sử dụng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được tiến hànhtrong việc dạy học các tiết học ngoại khóa ở chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai;chương 3: Phương trình và hệ phương trình; chương 4: Bất đẳng thức và bấtphương trình.Căn cứ vào nội dung cũng như mục đích, yêu cầu cụ thể của mỗi bài dạy,trên cơ sở tôn trọng chương trình và SGK hiện hành, chúng tôi xác định một cáchtương đối cụ thể thời điểm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạytrong chương trình.Nội dung chủ yếu của mỗi tiết học dựa theo SGK Đại số lớp 10, được sắpxếp theo nguyên tắc thiết kế như sau:- Xác định những kiến thức nền tảng và những kĩ năng cơ bản của HS cầnđạt được sau quá trình MHH;- Lựa chọn những thời điểm thích hợp trong quá trình giảng dạy, những nộidung kiến thức có liên quan để đưa vào các bài toán có nội dung thực tiễn;- Hướng dẫn nhóm HS hoạt động hoặc hoạt động cá nhân để MHH tìnhhuống thực tiễn.- Xác định quỹ thời gian cho phép để đưa vào các bài toán có nội dung thựctiễn vào chương trình giảng dạy;- Đưa vào những bài toán với số lượng và mức độ phù hợp với bài dạy, quỹthời gian thực hiện, phù hợp với trình độ nhận thức chung của HS với độ khó tăngdần, theo những quan điểm, những gợi ý về phương pháp MHH các bài toán có nộidung thực tiễn đã được trình bày trong chương 2.89 3.3. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệmĐược sự đồng ý của Ban Giám hiệu Trường THPT Ngô Quyền và TrườngTHPT Dương Tự Minh, chúng tôi đã đề xuất chọn cặp lớp 10A1, lớp 10A5 (TrườngTHPT Ngô Quyền) và cặp lớp 10A1, lớp 10A3 (Trường THPT Dương Tự Minh)làm thực nghiệm, đối chứng thể hiện cho các kết quả của luận văn.3.3.2. Tiến trình thực nghiệm* Thời gian thực nghiệm:- Đợt 1: Từ tháng 10 đến tháng 11 năm 2014 tại Trường THPT Ngô Quyền.- Đợt 2: Từ tháng 2 đến tháng 4 năm 2015 tại Trường THPT Dương TựMinh, TP. Thái Nguyên.* Công tác chuẩn bị: Để tiến hành thực nghiệm có hiệu quả, chúng tôi đã tiếnhành nghiên cứu kỹ nội dung, chương trình, SGK, tài liệu bồi dưỡng GV,... và khảosát tình hình thực tế việc dạy học ứng dụng Toán học vào thực tiễn cho HS THPT.Tài liệu thực nghiệm được đưa ra tham khảo ý kiến nhiều GV có kinh nghiệm.* Tài liệu thực nghiệm: Gồm các bài tập, tình huống MHH có nội dung thựctiễn mà chúng tôi đã lựa chọn, sắp xếp, hệ thống hóa, bổ sung theo ý tưởng của đềtài, được biên soạn thành các giáo án thực nghiệm.3.4. PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM3.4.1. Phân tích định tínhTheo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thấy rằng: nhìn chung đasố HS học tập tích cực, sôi nổi hơn, thích thú với những bài toán có nội dung thựctiễn. Sự hấp dẫn của các bài toán có nội dung thực tiễn cũng chính là ở chỗ gắn cáckiến thức toán học với các ứng dụng thực tế đa dạng và sinh động của nó trong họctập cũng như trong đời sống, lao động và sản xuất. Các tiềm năng ứng dụng và ýnghĩa to lớn của những bài toán có nội dung thực tiễn được gợi mở và dần dần đượccủng cố bằng hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn đa dạng, phong phú. Điềuđó kích thích hứng thú của cả thầy lẫn trò trong thời gian thực nghiệm. Nhận địnhchung cho rằng, điều khó khăn nhất cần và có thể vượt qua - nếu ý tưởng này đượctriển khai về sau - là lựa chọn được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn thích90 hợp cho mỗi tiết học, để cùng một lúc đạt được nhiều mục đích dạy học như đề tàiđã đặt ra.Bài học ngoại khóa thứ nhất được thực hiện ở hai lớp 10A1 và 10A5 TrườngTHPT Ngô Quyền, mỗi lớp thực nghiệm dạy ba tiết. Bài được dạy ở một lớp ban Avà một lớp ban D cho ta phần nào kết quả khách quan về nhu cầu muốn biết về ứngdụng của Toán học trong cuộc sống. Kết quả điều tra ý kiến HS về giờ dạy đượccho trong bảng dưới đây (đánh giá theo thang điểm 10 về mức độ đồng ý):Bảng 3.1: Bảng thống kê ý kiến của HS (Trường THPT Ngô Quyền)HS cho điểm123(điểm trung bình)Nội dungTTEm thấy giờ học rất hấp dẫnCách giảng bài của GV đã thu hút đượcemNội dung bài học đã được cải biến vàrất hấp dẫnLớp 10A1Lớp 10A57,827,958,018,127,968,097,377,687,587,268,128,027,838,058,118,048,368,49Em đã bị cuốn hút vào bài học, chủ4động tìm tòi và giải quyết vấn đề củamình56789Em đã nắm được các kiến thức của bàihọcEm đã học thêm được nhiều điều mớiNhững câu hỏi, mẩu chuyện, hình ảnhđã phù hợp với nội dung bài họcEm đã thấy một phần mối liên hệ củaToán học và thực tiễnEm mong muốn có nhiều giờ học nhưthế nàyThông qua kết quả thể hiện ở bảng 3.1 cho thấy đa số HS được hỏi ý kiếnđều thích và muốn học các tiết học có những nội dung có liên quan đến những91 những ứng dụng của Toán học trong thực tế (ngay cả khi chưa hiểu hết những nộidung trong bài).Tuy nhiên, hầu hết HS cho là mình đã hiểu bài, nhưng thông qua kết quảhoạt động cho thấy các nhóm đều không đạt được mục đích bài học.Nguyên nhân dẫn tới việc HS chưa hoàn thành mục tiêu bài học:- GV giảng dạy còn yếu kém về nghiệp vụ sư phạm, chưa huy động được tấtcả HS cùng tham gia nhiệm vụ, dẫn tới việc còn nhiều HS làm việc riêng: làm bàitập tiếng Anh, nói chuyện, vẽ,…- Thời gian dạy một tiết ngắn, chưa đủ để HS hoạt động (HS chỉ có thời gianhoạt động là 20 phút), các thành viên trong nhóm chưa có sự phối hợp ăn ý, chưa cónhiều sự hợp tác trong hoạt động.- HS tính toán còn nhầm lẫn, chưa có thói quen phân tích vấn đề thực tiễn.- Đây là bài học ngoại khóa nên một số HS không muốn tham gia hoạt động.Bài học ngoại khóa tiếp theo được thực hiện ở hai lớp 10A1 và 10A3Trường THPT Dương Tự Minh, mỗi lớp thực nghiệm dạy ba tiết. Kết quả đánh giácủa HS về mức độ đồng ý (theo thang điểm 10).Bảng 3.2: Bảng thống kê ý kiến của HS (Trường THPT Dương Tự Minh)HS cho điểm12345(điểm trung bình)Nội dungSTTEm thấy giờ học rất hấp dẫnCách giảng bài của GV đã thu hút đượcemNội dung bài học đã được cải biến và rấthấp dẫnEm đã bị cuốn hút vào bài học, chủ độngtìm tòi và giải quyết vấn đề của mìnhEm đã nắm được các kiến thức của bàihọcLớp 10A1Lớp 10A38,177,158,548,069,349,118,728,149,459,166Em đã học thêm được nhiều điều mới8,197,927Những câu hỏi, mẩu chuyện, hình ảnh đã8,967,1292 phù hợp với nội dung bài họcEm đã thấy một phần mối liên hệ của8Toán học và thực tiễnEm mong muốn có nhiều giờ học như9thế này8,147,739,188,833.4.2. Phân tích định lƣợngViệc phân tích định lượng dựa vào kết quả kiểm tra trong đợt thực nghiệmtại hai lớp TN và ĐC, nhằm minh họa và bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi, hiệuquả của việc MHH các bài toán có nội dung thực tiễn. Số liệu thực nghiệm đượcchúng tôi thu thập, xử lí, đánh giá, và được thể hiện qua các bảng thống kê sau:Bảng 3.3: Kết quả đầu ra của hai lớp TN 10A1 và ĐC 10A5Lớp TN 10A1Điểm sốTần số xuấthiệnLớp ĐC 10A5Tổng điểmĐiểm sốTần số xuấthiệnTổng điểm100100200224339326431247285630584069546127271284774983248216921890010001000Tổng số38 (HS)231 (Điểm)Tổng số40 (HS)215 (Điểm)Điểm trungbình6.08Điểm trungbình5.38Phương saimẫu2.34Phương saimẫu2.19Độ lệchchuẩn1.53Độ lệchchuẩn1.4893 Qua bảng trên ta thấy điểm trung bình của lớp TN cao hơn hẳn các lớp lớpĐC. Để khẳng định lại điều đó chúng tôi tiến hành kiểm định giả thuyết H0 là chấtlượng đầu ra của hai lớp là tương đương với đối thuyết là:  0 . 05X1  X2, mức ý nghĩa.Ta có 𝜃𝑡𝑛 =6.08−5.38= 2.05 > 1.96 = 𝜃𝑏 , ta bác bỏ giả thuyết H0, có2.34 2.19+3840nghĩa là kết quả đầu ra của lớp TN cao hơn hẳn lớp ĐC.Bảng 3.4: Kết quả đầu ra của hai lớp TN 10A1 và ĐC 10A3Lớp TN 10A1Lớp ĐC 10A3Điểm sốTần sốxuất hiệnTổng điểmĐiểm sốTần sốxuất hiệnTổng điểm1001002002243393412462446245945511556636653074287214821680090090010001000Tổng30 (HS)158 (Điểm)Tổng30 (HS)139 (Điểm)Điểm trungbình5.27Điểm trungbình4.63Phương saimẫu1.93Phương saimẫu1.69Độ lệchchuẩnĐộ lệch1.391.3chuẩnNhìn vào bảng trên ta thấy rằng điểm trung bình của bài kiểm tra đầu ra củalớp TN cao hơn hẳn điểm trung bình của lớp ĐC. Để khẳng định lại điều trên chúngtôi tiến hành kiểm định giả thuyết H0 là chất lượng đầu ra của hai lớp là tươngđương với đối thuyết làX1  X2, mức ý nghĩa 94 0 . 05. Ta có: 𝜃𝑡𝑛 =5.27−4.631.93 1.69+3030= 2.1 > 1.96 = 𝜃𝑏 , ta bác bỏ giả thuyết H0, tức là chấtlượng đầu ra của lớp TN cao hơn hẳn lớp ĐC.Bảng 3.5: Tỉ lệ phần trăm về năng lực mô hình hóa của HSTỉ lệĐề kiểmtraĐề 1Đề 2Cấp độCấp độCấp độCấp độCấp độCấp độ012345TN 10A17,9%13,2%13,2%39,5%21%5,2%ĐC 10A55%15%22,5%35%20%2,5%TN 10A13,3%10%16,7%43,3%20%6,7%ĐC 10A36,7%13,3%23,3%36,7%16,7%3,3%(%)LớpCăn cứ vào kết quả bài kiểm tra trước thực nghiệm, có thể bước đầu thấyđược năng lực MHH các bài tập thực tiễn của các em còn hạn chế, thể hiện ở cáccấp độ cao còn thấp. Tuy nhiên, có thể thấy là kết quả của lớp TN cao hơn lớp ĐC ởnhững cấp độ 4 và 5. Vì vậy, có thể khẳng định hiệu quả của phương pháp dạy họctrong việc phát triển năng lực MHH cho HS.Thông qua kết quả thể hiện ở bảng 3.1, bảng 3.2, bảng 3.3, bảng 3.4 và bảng3.5 và thông qua kết quả hoạt động của HS, GV đánh giá giờ dạy thực nghiệm làthành công, đa số HS hào hứng tham gia các hoạt động, trình bày được ý tưởng,nắm được nội dung bài học và áp dụng được vào giải quyết các tình huống thựctiễn.3.5. KẾT LUẬN CHƢƠNG 3Từ kết quả thực nghiệm sư phạm chúng tôi nhận thấy rằng:- Việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy trên cơ sở dựavào những mô hình, những gợi ý về phương pháp dạy học đã góp phần rèn luyệncho HS năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn.- Sự “cài đặt” một cách khéo léo các bài toán có nội dung thực tiễn - trên cơsở những mô hình đã trình bày trong chương 2 - làm cho GV thực hiện việc giảngdạy khá tự nhiên, không miễn cưỡng và không có những khó khăn lớn về mặt thờigian.95 - Số lượng và mức độ các bài toán có nội dung thực tiễn được lựa chọn vàcân nhắc thận trọng, được đưa vào giảng dạy một cách phù hợp, có chú ý nâng caodần tính tích cực và độc lập của HS, nên HS tiếp thu tốt, tích cực tham gia luyện tậpvà đạt kết quả tốt.Phương pháp MHH các bài toán có nội dung thực tiễn đã trình bày ở chương2, trên cơ sở kế thừa và phát huy những kinh nghiệm dạy học tiên tiến, được chuyểngiao cho GV thực nghiệm một cách thuận lợi và được vận dụng một cách sinh động,không gặp phải những trở ngại gì lớn và các mục đích dạy học được thực hiện mộtcách toàn diện, vững chắc.96 KẾT LUẬNLuận văn đã thu được những kết quả chính sau đây:1. Đã làm rõ được cơ sở lí luận về phương pháp MHH và quy trình MHHtrong dạy học môn Toán và sự cần thiết phải thường xuyên đưa các tình huống thựctiễn vào trong quá trình giảng dạy môn Toán.2. Tìm hiểu thực trạng về việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy họcToán ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Thái Nguyên.3. Đề xuất được một số mô hình toán học liên quan đến chương trình toánĐại số lớp 10 và tiến trình tổ chức thực hiện.4. Xây dựng được hệ thống bài tập MHH có nội dung thực tiễn liên quan đếnchương trình Đại số lớp 10.5. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa cho tính khả thi và hiệu quảcủa các mô hình toán học đã được thiết kế trong dạy học môn Toán.Hướng nghiên cứu của đề tài:1. Tiếp tục thực nghiệm các mô hình toán học đã đề xuất ở phạm vi lớn hơn.2. Tiếp tục xây dựng các mô hình toán học khác lên quan đến chương trìnhToán phổ thông.3. Nghiên cứu thêm về các hình thức tổ chức dạy học theo hướng tích cựchóa HS để giúp HS có thể chủ động hoàn thành các công việc cá nhân cũng nhưhoạt động nhóm, đặc biệt là các hoạt động trải nghiệm sáng tạo cho HS phổ thôngtrong học tập và nghiên cứu toán học.Như vậy, về cơ bản có thể khẳng định mục đích nghiên cứu của luận văn đãđược thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học đãnêu ra là có thể chấp nhận được.97 TÀI LIỆU THAM KHẢOTiếng Việt.[1]. Nguyễn Văn Bảo (2005). Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vậndụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục. Trường Đại học Vinh.[2]. Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010). Dạy học mô hình hóa hàm số thông qua bàitoán tính diện tích trong môi trường tích hợp mềm Cabri II. Luận văn Thạc sĩKhoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.[3]. Nguyễn Bá Kim (2002). Phương pháp dạy học môn Toán. NXB Đại học SưPhạm.[4]. Nguyễn Hữu Hải (2014). Hướng dẫn học sinh trung học xây dựng mô hìnhtoán học của một số tình huốn thực tiễn. Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục,Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.[5]. Cai Việt Long (2012). Dạy học Toán ở trường trung học phổ thông theo địnhhướng phát triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn. Luận văn Thạc sĩKhoa học Giáo dục, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội.[6]. Nguyễn Kỳ (1995). Phương pháp dạy học tích cực. NXB Giáo dục.[7]. Nguyễn Danh Nam (2013). Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ởtrường phổ thông. Kỷ yếu Hội thảo khoa học “Cán bộ trẻ các trường đại học sưphạm toàn quốc”, Nhà xuất bản Đà Nẵng, tr.512-516.[8]. Nguyễn Danh Nam, Đào Thị Liễu (2013). Bồi dưỡng năng lực toán học hóatình huống thực tiễn cho học sinh thông qua dạy học chủ đề xác suất - thống kê.Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt 08/2013, tr.104-106.[9]. Nguyễn Danh Nam, Mã Thị Hiềm (2014). Sử dụng biểu diễn bội trong dạyhọc khái niệm hàm số. Tạp chí Thiết bị Giáo dục, số 109, tr.22-25.[10]. Nguyễn Danh Nam, Nguyễn Đức Thành (2015). Vận dụng PISA đánh giáchất lượng học tập môn Toán ở các trường phổ thông. Tạp chí Giáo dục, số 353,tr.42-44.[11]. Trần Thanh Nga (2011). Khai thác những tư tưởng, bài toán của PISA vàodạy học môn Toán (bậc trung học) theo hướng tăng cường liên hệ Toán học với98 thực tiễn. Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HàNội.[12]. Lê Thị Thanh Phương (2008). Tăng cường vận dụng các bài toán có nộidung thực tiễn vào dạy môn Toán Đại số nâng cao 10 - THPT. Luận văn Thạc sĩKhoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên.[13]. Trần Trung, Đặng Xuân Cương, Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam(2011). Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học môn Toán ở trường phổthông. NXB Giáo dục Việt Nam.[14]. Trần Trung (2011). Vận dụng MHH vào dạy học môn Toán ở trường phổthông. Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, số 06, tr.104-108.Tiếng Anh.[15]. Blum, Niss (1991). Applied mathematical problem solving, modeling,applications and links to other subjects. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 36-38.[16]. Blum, Galbraith, Henn & Niss (2007). Modelling and applications inmathematics education. The 14th ICMI Study. Springer.[17]. Blum, Ferry (2009). Mathematical Modelling: Can it be taught and learnt?Journal of Mathematical Modelling and Application. 1(1), 45-58.[18]. Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009). Experimentelle Mathematik.Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg.[19]. Dirk Ifenthaler, Pablo Pirnay-Dummer & Michael Spector (2008),Understanding models for learning and instruction. Springer-Verlag, Heidelberg.[20]. Berinderjeet Kaur, Jaguthsing Dindyal (2010). Mathematical applicationsand modelling. World Scientific Publishing, Singapore.[21]. Myint Swe Khine, Issa M. Saleh (2011). Models and modeling: Cognitivetools for scientific enquiry. Springer-Verlag, London.[22]. Richard Lesh, Peter L. Galbraith, Christopher R Haines & Andrew Hurford(2010). Modeling students’ mathematical modeling competencies. ICTMA 13,Springer-Verlag, Heidelberg.[23]. Peter Lancaster (1976). Mathematics: Models of the real world. EnglewoodCliffs, New Jersey, USA.99 [24]. Kaiser-Messmer (1991). Application-oriented mathematics teaching: asurvey of the theoretical debate. In: Niss, Blum, Huntley (Ed.), Chichester: EllisHorwood.[25]. Matos, Carreira (1996). The quest for meaning in students‟ mathematicalmodelling activity. Proceedings of the PME 20, 3, 345-352.[26]. Danh Nam Nguyen, Trung Tran (2013). Recommendations for mathematicscurriculum development in Vietnam. Proceedings of the 6th InternationalConference on Educational Reform, 26-32.[27]. Kai Velten (2009). Mathematical modelling and simulation. WILEY-VCHVerlag, Weinheim.[28]. Warwick, J. (2007). Some Reflections on the Teaching of MathematicalModelling, The Mathematicals Educator. 17(1), 32-41.100 PHỤ LỤCPHỤ LỤC 1: PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊNCâu hỏi 1: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăngcường liên hệ toán học với thực tiễn trong dạy học môn Toán.Không cần thiếtCần thiếtRất cần thiếtCâu hỏi 2: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc tìmhiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức toán họcở trường phổ thông.Chưa bao giờThỉnh thoảngThường xuyênCâu hỏi 3: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việcthiết kế các hoạt động giúp HS hiểu những ứng dụng của Toán học trong giải quyếtcác tình huống nảy sinh từ thực tiễn.Chưa bao giờThỉnh thoảngThường xuyênCâu hỏi 4: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc sửdụng công nghệ thông tin giúp HS hiểu những mô hình của toán học trong thực tiễn.Chưa bao giờThỉnh thoảngThường xuyênCâu hỏi 5: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việcthiết kế các bài tập, bài kiểm tra theo hướng vận dụng mô hình toán học để giảiquyết các bài toán nảy sinh từ thực tiễn.Chưa bao giờThỉnh thoảngThường xuyênCâu hỏi 6: Các thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của mô hình hóatoán học trong dạy học Toán ở trường phổ thông?Không quan trọngQuan trọngRất quan trọngCâu hỏi 7: Theo các thầy (cô), hoạt động mô hình hóa giúp phát triển ở HSnhững kĩ năng nào sau đây?Giải quyết vấn đềLàm việc theo nhómThực hiện dự ánVận dụng toán học trong thực tiễnSử dụng ngôn ngữ toán họcVận dụng công nghệ thông tinCác kĩ năng khác: ........................................101 Câu hỏi 8: Theo các thầy (cô), những chủ đề toán học nào dưới đây có thểsử dụng phương pháp mô hình hóa trong thiết kế các hoạt động dạy học?Hàm sốPhương trình, bất phương trìnhĐa thứcHệ phương trình, hệ bất phương trìnhXác suất – thống kêHình họcDiện tích, thể tíchHệ thức lượng trong tam giácGiới hạnĐạo hàm, vi phân, tích phânBất đẳng thứcGiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtCác chủ đề khác: ................................Câu hỏi 9: Theo các thầy (cô), người GV cần có những hiểu biết gì để có thểvận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán?Kiến thức khoa học toán họcKiến thức về các vấn đề thực tiễnKiến thức toán học phổ thôngVận dụng toán học trong thực tiễnPhương pháp dạy họcCông nghệ thông tinThiết kế mô hình toán họcTổ chức hoạt động ngoại khóaKiến thức khác: ...................................Câu hỏi 10: Theo các thầy (cô), năng lực mô hình hóa gồm có những thànhtố nào dưới đây?Phân tích tình huống thực tiễnĐơn giản hóa giả thuyếtXác định biến, tham số bài toánXây dựng bài toánLựa chọn mô hình toán họcThiết lập mô hìnhLiên hệ mô hình với thực tiễnCải tiến mô hìnhNhững thành tố khác: ................................Câu hỏi 11: Theo các thầy (cô), có cần thiết tổ chức bồi dưỡng cho GV nănglực vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán?Không cần thiếtCần thiếtRất cần thiếtCâu hỏi 12: Các thầy (cô) cho biết những khó khăn và thách thức gặp phảitrong quá trình tổ chức hoạt động mô hình hóa ở trường phổ thông?Câu hỏi 13: Theo các thầy (cô), làm thế nào để có thể vận dụng phươngpháp mô hình hóa trong lớp học Toán?102 Câu hỏi 14: Các thầy (cô) thường làm gì để giúp HS giải quyết các bài toánmang tính thực tiễn được trình bày trong SGK môn Toán?Câu hỏi 15: Các thầy (cô) hãy liệt kê một số mô hình toán học có thể sửdụng trong dạy học Toán ở trường phổ thông?Câu hỏi 16: Các thầy (cô) có đề xuất thay đổi nội dung gì trong chương trìnhSGK môn Toán hiện hành?Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy (cô)!103 PHỤ LỤC 2: ĐỀ KIỂM TRA TRƢỚC THỰC NGHIỆMBài toán 1. Hãy xét vấn đề thực tế sau: Người ta đang dự định thiết kế kẻvạch làn đường dành cho người đi bộ ngang qua đường dành cho xe buýt. Giả sửrằng đường dành cho xe buýt là đường một chiều.Hãy khoanh tròn vào những giả thuyết được cho là quan trọng trong suốt quátrình thiết kế và đưa ra quyết định về việc kẻ vạch làn đường dành cho người đi bộ.A. Thiết kế nút ấn xin qua đường dành cho người đi bộ.B. Thời gian giữa hai chuyến xe buýt liền nhau là 02 phút.C. Người đi bộ đi qua đường với một tốc độ không thay đổi.D. Chiều rộng và chiều dài của làn đường dành cho người đi bộ.E. Số lượng người đi qua đường trong một khoảng thời gian xác định.Bài toán 2. Dưới đây là bảng thống kê sau về thành tích chạy 100 mét củacác nam vận động viên đạt huy chương vàng tại các thế vận hội Ôlympíc mùa hè từnăm 1900 đến năm 2012:NămThành tích (giây) NămThành tích (giây) NămThành tích (giây)190011.0195210.0419889.92190411.0195610.0519929.96190810.8196010.0219969.84191210.08196410.0620009.87192010.0619689.9520049.85192410.08197210.1420089.69192810.03197610.0620129.63193210.03198010.252016194810.0319849.992020a) Nhận xét gì về thành tích của các vận động viên qua các năm? Hãy thiếtlập mô hình toán học biểu diễn tốt nhất cho thành tích của các vận động viên.b) Dự đoán thành tích của vận động viên đạt huy chương vàng tại Ôlympícmùa hè 2016 được tổ chức tại thành phố Rio de Janeiro (Braxin).104 Bài toán 3. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồirơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabôn trong mặt phẳngvới tọa độ là (0; t.h), trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng đượcđá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từđộ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây nó đạt độ cao 8,5 m và sau 2 giây sau khi đá lên, nó ởđộ cao 6 m.a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thịtrùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phầnnghìn).c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác đếnhàng phần trăm).Bài toán 4. Dưới đây là bảng số liệu và mô hình biểu diễn mối tương quangiữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà trong một ngày của 12 HS.Thời gian123456789101112Điểm số605565657780838075907268a) Quan sát hai mô hình hàm số bậc nhất (đường thẳng) và mô hình hàm sốbậc hai (parabôn), hãy cho biết mô hình nào biểu diễn số liệu trong bảng tốt hơn?b) Từ mô hình đã chọn ở trên, hãy rút ra bài học cần thiết về số giờ học trongmột ngày để đạt hiệu quả học tập cao nhất.Bài toán 5. Có nhiều hồ nước ở Úc bị cạn trong phần lớn thời gian của năm,nó chỉ có nước trong một thời gian nhất định sau những trận mưa rào. Hồ Eyre ởphía nam nước Úc là một ví dụ cho hiện tượng này. Vấn đề đặt ra là hãy tínhkhoảng thời gian mà hồ bị cạn hết nước mỗi khi hồ được chứa đầy nước?105 PHỤ LỤC 3: ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆMBài 1. Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đốivới 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo. Một hành kháchthuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Khi đó, y là mộthàm số của đối số x, xác định với mọi x ≥ 0.a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn[0; 10] và khoảng (10; +∞).b) Tính f(8), f(10) và f(18).c) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và lập bảng biến thiên của nó.Bài 2. (Bài toán bóng đá). Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độcao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trongmặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quảbóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóngđược đá từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đálên, nó ở độ cao 6 m.a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thịtrùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phầnnghìn).c) Sau bao lâu thi quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác đếnhàng phần trăm)?Bài 3. (Bài toán về cổng Ac-xơ). Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i (Mỹ),ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabôn hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổngAc-xơ. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc tọa độ O106 (x, y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổngcó tọa độ là (10; 43).a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabôn nói trên.b) Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất,làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).Bài 4. (Bài toán tàu vũ trụ). Khi một con tàu vũ trụ được phóng lên MặtTrăng, trước hết nó bay vòng quanh Trái Đất. Sau đó, đến một thời điểm thích hợp,động cơ bắt đầu hoạt động đưa con tàu bay theo quỹ đạo là một nhánh parabôn lênMặt Trăng (trong hệ tọa độ Oxy, x và y tính bằng nghìn kilômét). Biết rằng khi độngcơ bắt đầu hoạt động, tức là khi x = 0 thì y = -7. Sau đó, y = - 4 khi x = 10 và y = 5khi x = 20.a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabôn nói trên.b) Theo lịch trình, để đến được Mặt Trăng, con tàu phải đi qua điểm có tọađộ (100; y) với y = 294 ± 1,5. Hỏi điều kiện đó có được thỏa mãn hay không?Bài 5. Hình dưới đây biểu thị sản lượng vịt, gà và ngan lai qua 5 năm củamột trang trại. Nếu coi y = f(x), y = g(x) và y = h(x) tương ứng là các hàm số biểuthị sự phụ thuộc số vịt, số gà và số ngan lai qua thời gian x, hãy:107 a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã nêu.b) Tìm các giá trị f(2002), g(1999), h(2000) và nêu ý nghĩa của chúng.c) Tính hiệu h(2002) – h(1999) và nêu ý nghĩa của nó.Bài 6. Vì lý do sức khỏe, con người nên hạn chế những nỗ lực của mình, ví dụnhư trong thể thao để không vượt quá tần số nhịp tim nhất định. Trong nhiều nămqua mối quan hệ giữa tỉ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối đa và độ tuổi của một ngườiđược mô tả bởi công thức dưới đây:Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 220 – tuổiNghiên cứu gần đây cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một chút.Công thức mới như sau:Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 208 – (0.7 x tuổi)a) Hoàn thiện bảng dưới đây về nhịp tim tối đa được khuyến cáo:Tuổi (theo năm)Nhịp tim tối đa được khuyếncáo cũ (công thức cũ)Nhịp tim tối đa được khuyếncáo mới (công thức mới)91215182124211208205202199196201,7.......197,5195,4.......191,2b) Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và giátrị đó là bao nhiêu?c) Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo trongbảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số này theotuổi.108 d) Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là80% của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết và rút gọncông thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi.e) Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như thếnào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng.Bài 7. Một lớp học muốn thuê một hướng dẫn viên cho chuyến thăm quan,có 2 công ty đã được liên hệ để lấy các thông tin về giá. Công ty A có phí dịch vụban đầu là 375 USD cộng với 0,5 USD cho mỗi km hướng dẫn. Công ty B có phídịch vụ ban đầu là 250 USD cộng với 0,75 USD cho mỗi km hướng dẫn.a) Lớp học nên chọn công ty nào để thuê hướng dẫn viên nếu biết rằngchuyến đi sẽ đến một địa điểm nào đó với tổng khoảng cách đi lại là 400 km, 600km?b) Vậy nếu đi với khoảng cách là bao nhiêu thì chọn công ty A có lợi hơn?Bài 8. Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập mạng internet như sau:- Hình thức A: mỗi tiếng truy cập giá 2000 đồng.- Hình thức B: thuê bao hàng tháng 350000 đồng và số tiếng truy cập khônghạn chế.- Hình thức C: thuê bao hàng tháng 45000 đồng và mỗi tiếng truy cập phảitrả 500 đồng.a) Em hãy cho biết hình thức nào phải trả ít tiền hơn nếu tổng hợp truy cậphàng ngày trong tháng (30 ngày) lần lượt là 1,5 tiếng; 10 tiếng; 12 tiếng?b) Hãy viết p(x), q(x), u(x) theo thứ tự là số tiền phải trả hàng tháng theo mỗihình thức A, B, C trong đó x là số giờ truy cập internet.Bài 9. (Bài toán máy bơm nước). Một gia đình muốn mua một chiếc máybơm. Có hai loại với cùng lưu lượng bơm được trong một giờ; loại thứ nhất giá 1,5triệu đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng máy bơm loại thứnhất thì mỗi giờ tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại thứhai thì chỉ phải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm. Kí hiệu f(x) và g(x) lần lượt là sốtiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứhai trong x giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm).a) Hãy biểu diễn f(x) và g(x) duới dạng các biểu thức của x.109 b) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng tọađộ.c) Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ấy. Hãy phân tích ý nghĩa kinh tếcủa giao điểm đó.Bài 10. (Bài toán Vitamin). Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phốihợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:(i) Mỗi người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitaminA và không quá 500 đơn vị vitamin B.(ii) Mỗi người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.(iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitaminB không ít hơn 1/2 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vịvitamin A.Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày.a) Gọi c (đồng) là số tiền vitamin mà bạn phải trả mỗi ngày. Hãy viết phươngtrình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin Alà 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.b) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện (i), (ii), và (iii) thành mộthệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình đó.c) Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thoả mãn các điều kiện trênđể số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnhcủa miền nghiệm (S).Họ và tên HS: ……………………………..…….…Lớp: ……………….Xin cảm ơn sự hợp tác của các em!110 [...]... lại, vai trò của phương pháp MHH là nhằm truyền đạt nội dung kiến thức theo cách tích cực, tạo động cơ học tập, tăng cường tính liên môn và tính khoa học trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông [7] 1.4 THỰC TRẠNG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG THPT 1.4.1 Về bài toán có tính thực tiễn trong SGK môn Toán THPT Như đã trình bày ở trên, Toán học có nguồn gốc... toán học hiện nay Ví dụ 1.11 (Thành tích chạy 100 m nam) Khi nghiên cứu về hàm số, các nhà toán học thường tập trung vào một số dạng hàm số có nhiều ứng dụng nhất trong cuộc sống thực tế, ví dụ như hàm số dạng y  k x 2 , hàm số tuyến tính, hàm số bậc hai, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số lôgarít Trong dạy học ở trường phổ thông, GV cần giúp HS hiểu được ý nghĩa của các mô hình toán học trên trong. .. mô hình đã xây dựng Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán 1.3 VAI TRÕ CỦA PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN MHH là phương. .. và bối cảnh áp dụng của mô hình đó (Swetz & Hatler, 1991; Verschaffel, 2002) Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ Vật lý, Sinh học, và Kĩ 13 thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế, Xã hội học và Khoa học chính trị)... thiết kế một số tình huống MHH trong dạy học Toán và xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn và đưa ra được những gợi ý, những chỉ dẫn về vận dụng phương pháp MHH để giải quyết hệ thống bài tập đó 7.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn - Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Đại số lớp 10 ở trường THPT, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán ở trường THPT -... hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn - Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả hiện thực khách quan Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính... luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT - Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề có liên quan trong luận văn, trong đó có việc định hướng đổi mới chương trình SGK môn Toán sau 2015 11 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 MÔ HÌNH VÀ PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA 1.1.1 Khái niệm mô hình Có nhiều quan... của nam vận động viên chạy 100 mét tại Ôlympíc mùa hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin) theo mô hình: 𝑡 = −0,00726264.2016 + 24,3287866 ≈ 9,69 (giây) Tóm lại, sử dụng phương pháp MHH trong dạy học toán ở trường phổ thông giúp HS rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết, đồng thời cho các em thấy được những ứng dụng trực tiếp của các kiến thức toán học trong thực tiễn Để thực hiện được phương pháp này,... lực toán học cần thiết cho cuộc sống [13] Sử dụng phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển các kĩ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn (Martinez-Luacles, 2005; Mousoulides, Sriraman & Christou, 2007) Phương pháp MHH hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp GQVĐ có hiệu quả hơn và khuyến khích HS học tập,... dân số ở một số vùng châu Á tương đối phù hợp với mô hình của Maithus, nhưng đa số trường hợp lại đi rất xa mô hình này Vì thế, mô hình này không hoàn toàn phù hợp với tình hình thực tế Bởi vì nó đã không tính đến việc cùng với sự gia tăng của dân số thì môi trường, nguồn tài nguyên thiên nhiên,… chỉ hạn chế trong một giới hạn Dân số quá đông dẫn tới sự thiếu hụt lương thực, chỗ ở chật hẹp, ô nhiễm môi ... 1.1.3 Phương pháp mô hình hóa 18 1.2 Quy trình mô hình hóa 20 1.3 Vai trò phương pháp mô hình hóa dạy học Toán 25 1.4 Thực trạng vận dụng phương pháp mô hình hóa dạy học môn...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHAN THỊ THU HIỀN VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận PPDH môn Toán Mã số: ... pháp mô hình hóa dạy học Đại số lớp 10 trường trung học phổ thông MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu luận văn vận dụng phương pháp MHH việc dạy học Toán góp phần nâng cao hiệu dạy học môn Toán
- Xem thêm -

Xem thêm: Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông, Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông, Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông

Từ khóa liên quan