Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông

MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho HS. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và MHH các vấn đề trong cuộc sống. Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho HS. Liên hệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn. Để thực hiện được mục tiêu đó, người GV dạy toán cần có năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn”. Thuật ngữ “toán học hóa” có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn. Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử. MHH trong dạy học toán là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Sử dụng phương pháp này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS. Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó đòi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán. Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn. Ở Việt Nam, chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng phương pháp MHH trong dạy học toán. Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫn chưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Vì vậy, kết quả của đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng dụng cũng như làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông. Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng phương pháp MHH trong việc dạy học Toán góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THU HIỀN

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN, 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THU HIỀN

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam

THÁI NGUYÊN, 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Xác nhận của GV hướng dẫn luận văn

TS Nguyễn Danh Nam

Tác giả luận văn

Phan Thị Thu Hiền

Xác nhận của Trưởng khoa chuyên môn

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Danh Nam, người thầy

đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, các em HS khối

10 Trường THPT Ngô Quyền và Trường THPT Dương Tự Minh – TP Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực nghiệm

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cam đoan 3

Lời cảm ơn 4

Mục lục 5

Danh mục các cụm từ viết tắt 7

MỞ ĐẦU 8

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 12

1.1 Mô hình và phương pháp mô hình hóa 12

1.1.1 Khái niệm mô hình 12

1.1.2 Ứng dụng của toán học trong thực tiễn 15

1.1.3 Phương pháp mô hình hóa 18

1.2 Quy trình mô hình hóa 20

1.3 Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán 25

1.4 Thực trạng vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn Toán ở trường THPT 36

1.5 Kết luận chương 1 47

Chương 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 48

2.1 Nguyên tắc thiết kế mô hình toán học 48

2.2 Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề hàm số 50

2.2.1 Mô hình hàm số bậc nhất 50

2.2.2 Mô hình hàm số bậc hai 56

2.3 Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phương trình và bất phương trình 62

2.4 Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa Đại số lớp 10 67

2.4.1 Hệ thống bài tập chủ đề "Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai" 69

2.4.2 Hệ thống bài tập chủ đề "Phương trình và bất phương trình" 77

2.5 Kết luận chương 2 88

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 89

3.1 Mục đích thực nghiệm 89

3.2 Nội dung thực nghiệm 89

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 90

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 90

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 90

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm 91

3.4.1 Đánh giá về mặt định tính 91

3.4.2 Đánh giá về mặt định lượng 93

3.5 Kết luận chương 3 95

KẾT LUẬN 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO 98

PHỤ LỤC 101

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học,

góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn Để theo kịp

sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực Mối liên

hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho HS Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và MHH các vấn đề trong cuộc sống

Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho HS Liên

hệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn Để thực hiện được mục tiêu đó, người GV dạy toán cần có năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn” Thuật ngữ “toán học hóa” có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán học Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hình

vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình

ảo trên máy tính điện tử MHH trong dạy học toán là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học Sử dụng phương pháp này trong giảng dạy

sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?” Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS

Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học Do vậy, nó đòi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của

HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn Ở Việt Nam, chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng phương pháp MHH trong dạy học toán Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫn chưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn Vì vậy, kết quả của đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng dụng cũng như làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông

Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng phương pháp MHH trong việc dạy học Toán góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT và quá

trình sử dụng các kiến thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn

3.2 Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán, quy trình

MHH, hệ thống bài tập MHH

3.3 Phạm vi nghiên cứu: Lớp 10 ở trường THPT

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu thiết kế được hệ thống các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn, vận dụng phương pháp MHH để tổ chức các hoạt động học tập thì sẽ hình thành và phát

triển năng lực MHH toán học cho HS, góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực cho HS ở trường THPT

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu đặc điểm của phương pháp MHH vận dụng trong các tình huống dạy học điển hình trong chương trình toán THPT

5.2 Nghiên cứu đặc điểm của chương trình SGK Đại số lớp 10 theo định hướng phát triển năng lực cho HS

5.3 Xây dựng được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn vận dụng phương pháp MHH để sử dụng trong dạy Toán ở trường THPT

5.4 Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường THPT

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và ngoài

nước về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn

6.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát, điều tra thực trạng về việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường THPT qua các hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật kí ghi chép, phỏng vấn trực tiếp GV ở

trường THPT

6.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn trực tiếp nhóm HS

6.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường

THPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu được đề xuất

6.5 Phương pháp sử dụng thống kê toán học trong xử lí số liệu thực nghiệm

7 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

giải quyết hệ thống bài tập đó

7.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Đại số lớp 10 ở trường THPT, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán ở trường THPT

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT

- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề

có liên quan trong luận văn, trong đó có việc định hướng đổi mới chương trình SGK môn Toán sau 2015

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA

1.1.1 Khái niệm mô hình

Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số định nghĩa:

- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với một hệ thống S các đặc trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc chọn để bắt chước A theo những đặc trưng đó [13, tr.107]

- Mô hình là một “vật” hay “hệ thống” đóng vai trò đại diện hoặc vật thay thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu [17, tr.175]

- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu [18, tr.347]

Tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) nhằm hướng tới mục đích nhất định nào đó

Như vậy, mô hình có một số đặc trưng sau đây:

- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm) Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu) Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn

- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể Trong quá trình

trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn Điều này đã làm cho phương pháp MHH có tính chất cách mạng, có tính phát triển Do đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực

- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản

- Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải là cái bất biến Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước

đó Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn

- Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học

để mô tả hiện thực khách quan Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về

“chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ

số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác[7], [13]

Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của các vật thể thực tế (Mason & Davis ,1991) Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật Tuy nhiên, điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó (Swetz & Hatler, 1991; Verschaffel, 2002) Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để

mô tả về một hệ thống nào đó Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ Vật lý, Sinh học, và Kĩ

thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế, Xã hội học và Khoa học chính trị)

Ví dụ 1.1 (Mô hình gia tăng dân số của Maithus) Giả sử tỷ lệ người sinh

ra là b và tỷ lệ người chết là d; b và d đều là những hằng số, thì tỷ lệ gia tăng dân số

là r  b  d cũng là một hằng số Giả sử thời kỳ đầu (t  0) dân số là N0, thì dân

số tại thời điểm t là 0. r t

t

N  N e cũng chính là nói dân số tăng theo cấp số nhân So sánh với những số liệu về dân số đã thống kê được trước thế kỷ 19 thì sự gia tăng dân số ở một số vùng châu Á tương đối phù hợp với mô hình của Maithus, nhưng

đa số trường hợp lại đi rất xa mô hình này Vì thế, mô hình này không hoàn toàn phù hợp với tình hình thực tế Bởi vì nó đã không tính đến việc cùng với sự gia tăng của dân số thì môi trường, nguồn tài nguyên thiên nhiên,… chỉ hạn chế trong một giới hạn Dân số quá đông dẫn tới sự thiếu hụt lương thực, chỗ ở chật hẹp, ô nhiễm môi trường nghiêm trọng và các vấn đề khác nữa, từ đó dẫn tới sự giảm của tỷ lệ sinh và sự tăng lên của tỷ lệ chết [4]

Ví dụ 1.2 (Mô hình mô tả hành vi của khách hàng) Khách hàng mong

muốn mua nhiều nhất các mặt hàng với số tiền hiện có Trong mô hình này, ta xem

xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng được đánh nhãn 1, 2, , n, mỗi thứ có giá là p1, p2, , p n Giả thiết rằng khách hàng có

một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2, , x n Mô hình còn giả thiết là khách

hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x1, x2, , x n) Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở

thành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là: m a xU x1 ;x2 ; ;x n thỏa mãn:

1

.

n

i i i

x   i Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung,

đặc biệt dùng để chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế

Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của

khách hàng vẫn là vấn đề tranh cãi [4]

Ví dụ 1.3 (Mô hình chuyển động của chất lỏng) Phương trình chuyển động

của chất lỏng không nén được biểu diễn bằng hệ phương trình Navier-Stokes như sau:

2

là điều kiện biên [4]

Tóm lại, trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng

có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử (Van Den Heuvel & Panhuizen, 2003; Van De Walle, 2004 ) MHH trong dạy học toán là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học Sử dụng phương pháp này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?” Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS [7]

1.1.2 Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn

1.1.2.1 Toán học có nguồn gốc thực tiễn

Toán học là môn học có tính trừu tượng cao Theo [3, tr.35] tính trừu tượng của toán học và của môn Toán trong nhà trường phổ thông do chính đối tượng của toán học quy định Theo Ăng – ghen, “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” Hình dạng không gian có thể hiểu không phải chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà còn cả trong những không gian trừu tượng khác nữa như không gian có số chiều là

n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục, … Quan hệ số lượng

không chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp các số mà được hiểu như những phép toán

và tính chất của chúng trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép biến hình,…

Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó Theo [4, tr.62] thì liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng thực hiện nguyên lí giáo dục Cụ thể là:

- Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình

học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nile (Ai Cập),…

- Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: Khái niệm véctơ phản ánh những đại

lượng đặc trưng không phải chỉ bởi bằng số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình cùng hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn,… Trong Toán học có những chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: “nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”,

“sống phải có trước có sau”,…

- Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo khoảng

cách không tới được, đạo hàm ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân để tính thể tích, diện tích, …

1.1.2.2 Toán học có ứng dụng thực tiễn

Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng trong không gian của thế giới khách quan Toán học có vai trò rất quan trọng và được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, vật lý, thiên văn học, quân sự,…

Ví dụ 1.4 (Trong quân sự) Pháo là một loại vũ khí không thể thiếu trong

chiến tranh, nó cơ động, có sức sát thương lớn và tầm hoạt động lên tới hàng chục ki-lô-mét Lần sử dụng pháo với đạn đẩy bằng thuốc nổ trên chiến trường đã được ghi lại lần đầu là vào ngày 28 tháng 1 năm 1132 khi tướng Hàn Thế Trung của Nam Tống dùng thang mây và hoả pháo để đánh thành Kiến Châu (nay là Kiến Âu) Loại

vũ khí nhỏ thô sơ này đã du nhập vào vùng Trung Đông rồi đến châu Âu vào thế kỷ thứ 13 Trải qua nhiều thế kỷ, các nhà khoa học kỹ thuật đã không ngừng cải tiến các khẩu pháo cả về tầm bắn, tính chính xác lẫn sức công phá Với sự phát triển của Toán học, người ta đã viết được phương trình bay của viên đạn sau khi ra khỏi nòng

  trong đó v0 là vận tốc khi viên đạn ra khỏ nòng

pháo và  là góc mà nòng pháo tạo với phương nằm ngang

Ví dụ 1.5 (Trong thiên văn) Đã từ rất lâu, các nhà khoa học đã phát hiện ra

các hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo nhất định, và các nhà thiên vãn tin rằng quỹ đạo các hành tinh là một hình tròn hoàn hảo Những tính toán chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao Hỏa lần đầu tiên cho Kép-lê thấy quỹ đạo của nó phải là hình elíp thì mới phù hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho các hành tinh khác quay quanh Mặt trời cũng phải có quỹ đạo hình elíp Ba định luật Kép-lê (1609 - 1619) và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức lớn cho mô hình địa tâm của A-rít-tốt và Ptô-lê-mê đã được chấp thuận từ rất lâu, và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Cô-péch-ních (mặc

dù quỹ đạo elíp theo Kép-lê khác với các quỹ đạo tròn theo Cô-péch-ních), bằng chứng tỏ Trái đất quay quanh Mặt trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là biến đổi, và quỹ đạo có đường elíp hơn là đường tròn

Ví dụ 1.6 (Trong hội họa – kiến trúc) Tờ báo mà bạn đọc, màn hình vi tính,

thẻ tín dụng, cánh hoa, lá cây, toà nhà cao ốc – tất cả mọi thứ đều được tạo lập dựa trên một nguyên tắc, một tỷ lệ, một giá trị cân đối Dường như vũ trụ đang tiết lộ với chúng ta về một mật mã ẩn chứa trong mọi khía cạnh của tự nhiên – một mật mã độc đáo và mang đầy tính nghệ thuật: đó là con số của tỷ lệ vàng – một tỉ lệ hoàn hảo Trong một cuộc thực nghiệm gần đây nghiên cứu một số cá thể từ các dân tộc khác nhau đã cho thấy rằng: trong số những số đo khác nhau của hình chữ nhật, thì hầu hết mọi người đều đồng ý với một con số cân đối nhất Con số hoàn hảo nhất được hình thành khi tỷ lệ giữa cạnh lớn hơn với cạnh nhỏ hơn xấp xỉ 1,618 – trong toán học con số này được gọi là “vàng” Tỷ lệ các cạnh hình chữ nhật này có mặt trong hàng ngàn công trình kiến trúc trên khắp thế giới, cũng như là trong các hộp diêm, danh thiếp, những cuốn sách, và hàng trăm vật dụng hàng ngày khác, đơn giản bởi vì con người cảm thấy nó phù hợp Kim tự tháp Giza, kim tự tháp Cheops, trụ sở Liên Hiệp Quốc tại New York, và nhà thờ Đức Bà Paris là những dẫn chứng điển hình cho việc ứng dụng tỷ lệ vàng Trên thực tế, đền thờ Panthenon có rất nhiều chi tiết ứng dụng tỷ lệ này

Đền Parthenon (Athens) Nàng Mona Lisa

Các thí dụ từ hình chữ nhật cho tới hình xoắn ốc tuân theo tỷ lệ vàng (hình tạo thành bằng cách nối các đỉnh của các hình chữ nhật vẽ theo tỷ lệ vàng đặt chồng lên nhau) có thể tìm thấy ở khắp mọi nơi: sừng của con cừu, khoáng vật, xoáy nước, cơn lốc, vân tay, cánh hoa hồng, những đài hoa đồng tâm của cây súp-lơ hay hoa hướng dương, chim muông, côn trùng, cá, dải ngân hà, hay một số dải thiên hà khác như dải M51 ngay cạnh dải ngân hà của chúng ta… thậm chí cả con ốc sên Một con ốc thật đẹp và thật hoàn hảo như ốc Anh Vũ chắc chắn phải có sự kết hợp thật tài tình với tỷ lệ vàng Rất nhiều loài cây cũng thể hiện mối liên hệ với tỷ lệ vàng

trong độ dày giữa giữa cành thấp với cành cao

Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng Toán học vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng những công cụ Toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra [4]

1.1.3 Phương pháp mô hình hóa

Phương pháp MHH trong dạy học Toán ở trường phổ thông được chú trọng nghiên cứu khoảng một thập kỉ gần đây (Blum, Galbraith, Henn & Niss, 2002) Phương pháp này giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn bằng phương pháp toán học, từ đó hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học MHH là một quá trình khép kín (English, 2007), bắt đầu từ việc chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đề toán học, sử dụng toán học để hiểu, đánh giá, chọn lọc và cải tiến mô hình cho phù

hợp với thực tiễn Hoạt động MHH gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế giới bên ngoài (Zbiek & Conner, 2006; Stillman, 2009) Nó giúp HS phát triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao (Tanner & Jones, 2002; McClure & Sircar, 2008) GV nên phát triển các loại bài tập gắn với hoạt động MHH như: các bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinh tại địa phương, phân tích các tin tức trên báo chí, số liệu trong SGK hoặc trên mạng internet [7]

Đối với cấp tiểu học, phương pháp MHH thường được sử dụng để giải quyết lớp các bài toán có lời văn Mô hình thường là được biểu diễn dưới dạng biểu tượng như hình chữ nhật, hình thang, hình tròn,… Tuy nhiên, hoạt động MHH không thể hiện một cách rõ ràng ở bậc tiểu học Van de Walle (2004) cho rằng mô hình diễn tả các khái niệm toán học và mối quan hệ giữa các khái niệm đó có thể là đồ vật, bức tranh hay hình vẽ cụ thể giống như việc sử dụng các khối hình chữ nhật để biểu diễn các phân số bằng nhau Quá trình MHH đòi hỏi hoạt động nhóm, hợp tác và thảo luận để có thể tập hợp, liên kết các lập luận của thành viên trong nhóm [13]

Đối với cấp trung học, HS tiếp cận với khối lượng tri thức lớn hơn, các chủ

đề rộng hơn Bài tập toán thường được chia thành ba loại: sử dụng mối quan hệ giữa các bộ môn Toán học, giải quyết các vấn đề thực tiễn dưới dạng các vấn đề toán học thuần túy và giải quyết các vấn đề thực tiễn phải sử dụng các kiến thức toán học HS cần phải linh hoạt trong việc giải hai dạng bài toán đầu tiên, đó là bài

toán ứng dụng toán học Từ đó, chuẩn bị cho việc tiếp cận dạng bài toán thứ ba là giải toán thực tế thông qua mô phỏng và MHH [13]

Chúng ta cần làm rõ dạy học MHH và dạy học bằng MHH Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho HS, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng

mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra Đối với các nhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường hợp đặc biệt nào đó Việc tìm ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một khái niệm, một định lý mới) Song đối với GV thì

mô hình ấy đã tồn tại Điều đó dẫn đến chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình (trình bày theo [1]):

- Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức)

- Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn; Xây dựng mô hình toán học; Câu trả lời cho bài toán thực tiễn; Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức; Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp

Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học MHH, tiết kiệm được thời gian

nhưng lại làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất nghĩa của tri thức Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên HS sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được

mô hình toán học phù hợp hay không?

Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, cho

phép khắc phục khiếm khuyết này Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH

Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng MHH và dạy học MHH là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho HS Như vậy, để đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề MHH trong dạy học

1.2 QUY TRÌNH MÔ HÌNH HÓA

MHH các tình huống thực tiễn trong dạy học toán có thể sử dụng các công cụ

và ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật ngữ, phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu,… Vì thế nó cần tuân theo quy trình gồm 4 giai đoạn chính sau đây (trình bày theo Swetz và Hartzler, 1991):

1 Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát

hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó

2 Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn

ngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng

3 Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để

MHH bài toán và phân tích mô hình

4 Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra

kết luận

Quá trình GQVĐ và MHH có những đặc điểm tương tự nhau giúp rèn luyện cho HS những kĩ năng toán học cần thiết Do đó, chúng hỗ trợ và bổ sung cho nhau Quy trình này được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấn

đề trong thực tiễn (English, 2007) Có thể minh họa quy trình trên bằng sơ đồ khép kín dưới đây:

Hình 1.1: Quy trình mô hình hóa khép kín

Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV cần giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình MHH các bài toán:

- Bước 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xậy dựng các giả thuyết để

đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học

thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa

- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình

huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu)

Áp dụng

Tình huống thực tiễn

Mô hình toán học

Kết luận, Thông báo

Kết luận toán học

Phân tích

Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình

Hiểu và thông dịch

- Bước 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của

mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng

Tóm lại, tuân theo quy trình và các bước cụ thể trên, HS cần xuất phát từ tình huống thực tiễn, diễn đạt vấn đề thực tiễn trên bằng lời (lập giả thuyết, công thức, phương trình,…); sau đó sử dụng công cụ toán học để giải bài toán và hiểu ý nghĩa của lời giải bài toán đối với thực tiễn Cuối cùng, HS xem xét lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả) và tìm hiểu những hạn chế và khó khăn có thể gặp phải khi áp dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tiễn

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theo một

cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông [13] Cơ chế điều chỉnh này thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:

Hình 1.2: Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH

Từ cơ chế điều chỉnh quá trình MHH, chúng tôi đề xuất các bước tổ chức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa

vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra

- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán

học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó

- Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán

- Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học

trong hoàn cảnh thực tế

- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lý

và tối ưu của mô hình đã xây dựng

- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng

mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

Hình 1.3: Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa

CNTT có thể giúp làm thu hẹp khoảng cách trong nhận thức của HS về quá

trình MHH Các phần mềm toán học (như phần mềm tính toán đại số, phần mềm hình học động, phần mềm thống kê), bảng tính điện tử hay thậm chí cả máy tính bỏ túi sẽ giúp HS tạo ra mô hình để tìm hiểu, khám phá thuộc tính của các khái niệm, đối tượng toán học trong chương trình toán ở trường phổ thông và ở trường đại học (Beare, 1996; Ferrucci & Carter, 2003; Chua & Wu, 2005) Đối với cùng một vật thật, mỗi HS có thể tạo ra những mô hình khác nhau với sự hỗ trợ của CNTT Đây

là nhân tố giúp tổ chức các hoạt động MHH theo nhóm phong phú và hiệu quả hơn Đặc biệt, với sự xuất hiện của các thiết bị học tập di động như điện thoại di động, máy tính bỏ túi, PDA với các chức năng hỗ trợ quá trình MHH sẽ giúp HS học tập

theo nhóm dựa trên các tình huống thực tiễn

1.2.1 Giai đoạn 1: Toán học hóa

Toán học đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường, trong lao động sản xuất và trong nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán học hóa các vấn đề thực tiễn Theo Hans Freudenthal: “Toán học hóa dẫn thế giới của cuộc sống về thế

giới của các kí hiệu…” [29, tr.41] Ông cũng cho rằng: “Tiên đề hóa, công thức hóa,

sơ đồ hóa được xem là tiền đề của thuật ngữ „toán học hóa‟, trong đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong ngữ cảnh của toán học‟‟ Thuật ngữ “toán học hóa” thường được dùng trong các cuộc thảo luận của các nhà khoa học trước khi đưa ra trong các văn bản chính thức Bởi vậy, thuật ngữ này ra đời một cách tự nhiên và khó xác định được ai đã sử dụng nó lần đầu tiên và xuất hiện từ thời điểm nào Trong [13], [27], tuy không giải nghĩa thuật ngữ này một cách tường minh nhưng khi bàn đến quá trình toán học hóa thì trọng tâm nhất mà tác giả đề cập đến

là việc xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tế Trong [13, tr.97], tác giả cho rằng: “Khả năng xây dựng mô hình toán học của một tình huống thực tế, được coi là cơ sở của việc toán học hóa các tình huống thực tế” Từ đó có thể hiểu quá trình toán học hóa vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó về dạng toán học

Đối với HS THPT, hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế diễn ra khi HS đối mặt với các tình huống thực tiễn có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống cá nhân Các em HS phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học phổ thông

để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình Tuy nhiên, việc vận dụng này lại mang tính chất gián tiếp Cụ thể là trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, các em phải liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt

ra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình

1.2.2 Giai đoạn 2: Giải bài toán

Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải bài toán, bao gồm cả sự hỗ trợ của CNTT Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học Ở giai đoạn này CNTT sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán

1.2.3 Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán

Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu) Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần nhận ra những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống thực tiễn

1.2.4 Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế

Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn

đề nảy sinh trong cuộc sống Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học

đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán

1.3 VAI TRÕ CỦA PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

MHH là phương pháp xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo dục toán học đã nhận ra được tầm quan trọng của phương pháp MHH trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông (Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez-Luacles, 2005; Carrejo & Marshall, 2007) Phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù

hợp Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học Lesh &

Zawojewski (2007) khẳng định rằng MHH toán học giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình toán học Quá trình MHH giúp HS hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó Những mô hình này được thể hiện rõ ràng hơn với sự trợ giúp của CNTT như: biểu diễn đồ thị, biểu đồ; tìm mối quan hệ; dự đoán; toán học hóa, mô phỏng,… (Lesh, Yoon & Zawojewski, 2007) Hơn nữa, thông qua MHH, HS được khuyến khích tham gia các hoạt động “hệ thống các khái niệm toán học” giúp các

em có được cái nhìn hệ thống hơn về lập luận và chứng minh toán học dưới các dạng ngôn ngữ nói, kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình (Lesh & Doerr, 2003) (theo [7])

Qua các nghiên cứu, các nhà toán học cũng như các nhà giáo dục toán học đã nhận ra được tầm quan trọng của MHH trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông (Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez-Luacles, 2005; Carrejo &

Marshall, 2007) Phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển nhiều kĩ năng toán học, đồng thời nó cũng đòi hỏi nhiều kĩ năng, kiến thức và kinh nghiệm

từ GV hơn là phương pháp dạy học GQVĐ (Martinez-Luacles, 2005)

GQVĐ cũng là một trong những kĩ năng quan trọng của cuộc sống Nó liên quan đến các hoạt động như phân tích, tổng hợp, thông hiểu, lập luận, dự đoán, đánh giá và đối chiếu thực tế Đó là mục tiêu tổng quát và một thành tố cơ bản trong chương trình môn Toán ở nhiều nước trên thế giới Quá trình GQVĐ thường được xác định tương ứng với từng đối tượng HS và tập trung vào quy trình thực hiện (Zawojewski, 2007) Trong khi đó, quá trình MHH yêu cầu hiểu các dữ liệu ban đầu, hợp tác nhóm để thiết kế mô hình, nắm được những hạn chế và cải tiến mô hình Cả hai quá trình MHH và GQVĐ đều hỗ trợ HS giải toán, phát triển tư duy và điều khiển quá trình nhận thức [7]

1.3.1 Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toán

GV có thể sử dụng mô hình để tạo ra các tình huống gợi vấn đề trong quá trình dạy học toán Từ đó, tăng cường mối quan hệ giữa các hoạt động MHH và các hoạt động toán học, phân tích quá trình nhận thức xảy ra trong quá trình MHH và hiểu quá trình này Xu hướng của giáo dục toán học phổ thông hiện nay là tăng cường tính ứng dụng của toán học, trong đó chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán thực tiễn (Gravemijer, 1994; NCTM, 2000; Lowrie & Logan, 2006; Gainsburg, 2008)

Ví dụ 1.7 (Thiết kế một chiếc cầu qua sông) Hai thành phố A và B nằm ở hai

phía của một dòng sông Hãy chọn một địa điểm xây dựng một chiếc cầu bắc qua con sông sao cho quãng đường đi giữa hai thành phố là nhỏ nhất? (giả sử hai bờ sông song song với nhau và cầu nằm vuông góc với bờ sông)

* Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV hướng dẫn HS dựng hai đường thẳng l 1

và l 2 song song biểu diễn cho hai bờ sông Sau đó, dựng hai điểm A và B biểu diễn cho hai thành phố Dựng điểm D bất kì trên đường thẳng l 1, sau đó dựng đường

thẳng đi qua D và vuông góc với l 1 , cắt l 2 tại điểm E Cuối cùng, dựng các đoạn thẳng AD, DE, EB Tổng độ dài đường gấp khúc ADEB chính là quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B

* Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Đây cũng là giai đoạn tạo tình huống có vấn

đề GV hướng dẫn HS đo tổng khoảng cách (AD + DE + EB) và di chuyển điểm D trên đường thẳng l 1 cho đến khi thấy tổng trên nhỏ nhất thì dừng lại và quan sát GV đặt câu hỏi nêu vấn đề: “Khi tổng trên đạt giá trị nhỏ nhất thì hai đường thẳng AD

và EB có quan hệ với nhau như thế nào?”

Hình 1.4: Điểm D bất kì và điểm D khi (AD + DE+ EB) nhỏ nhất

* Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Sau khi hướng dẫn HS trả lời được câu hỏi trên, nghĩa là tổng (AD + DE + EB) nhỏ nhất khi AD // EB, GV hướng dẫn HS giải bài

toán trên sử dụng phép tịnh tiến theo véc tơ 𝐸𝐷 Thật vậy, gọi 𝐵′ = 𝑇𝐸𝐷(𝐵), G = AB’  l 1 và H là giao điểm của đường thẳng đi qua G vuông góc với l 1 và đường thẳng l 2 Ta có:

𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐵′ + 𝐵𝐵′ = 𝐴𝐵′+ 𝐵𝐵′ ≤ 𝐴𝐷 + 𝐷𝐵′+ 𝐵𝐵′

= 𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐵 ⇒ 𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵 ≤ 𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐵

Hình 1.5: Hoạt động mô hình hóa xác định vị trí chiếc cầu

Dựa trên lời giải của bài toán, GV hướng dẫn HS hiểu và thông dịch bài toán

Để xác định vị trí xây chiếc cầu, trước tiên các em phải xác định điểm B’ là ảnh của

điểm B qua phép tịnh tiến theo véc tơ 𝐸𝐷 , sau đó xác định vị trí xây cầu G chính là giao điểm của AB’ và đường thẳng l 1

* Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Ở bước này, GV cần làm rõ khả năng ứng dụng lời giải của bài toán vào thực tế: vấn đề giải phóng mặt bằng cho hai đoạn đường từ

A đến D và từ E đến B, các yêu cầu về mặt địa chất tại địa điểm xây cầu và các yếu

tố khác Từ đó, giúp các em thấy rằng cần phải cải tiến các mô hình toán học trước

khi có thể ứng dụng vào thực tiễn

Sau đây là một số ví dụ ứng dụng CNTT để tổ chức các hoạt động MHH trong dạy học toán ở trường phổ thông:

Ví dụ 1.8 (Thiết kế bãi để xe đạp) Có một công viên và một khu đất trống

cạnh nhà ga Nhằm đảm bảo an toàn trong công viên, thành phố xây dựng đường đi riêng dành cho xe đạp và bãi gửi xe tại khu đất trống để hành khách gửi xe trước khi

đi bộ đến nhà ga Hãy thiết kế phương án giải bài toán trên (làm việc theo nhóm) bằng phương pháp MHH:

* Giai đoạn 1 (Toán học hóa):

- HS hiểu vấn đề và vẽ hình để mô tả tình huống thực tiễn

Hình 1.6: Mô tả tình huống thực tiễn

- HS lập giả thuyết và thu thập thêm thông tin như: kích thước công viên và khoảng đất trống, vận tốc trung bình của người đi bộ và xe đạp, giới hạn vận tốc xe đạp trong công viên, mục đích thiết kế (đường đi ngắn nhất, tiết kiệm thời gian nhất,…)

- Xác định các khái niệm toán học liên quan trước khi thiết kế mô hình trên máy tính: khoảng cách, vận tốc và thời gian

- Xây dựng mô hình toán học dựa trên các giả thuyết đã đưa ra Ví dụ như thiết kế để thời gian đi là ít nhất thì biểu thức biểu thị thời gian được mô tả như sau:

Tổng số thời gian T = Khoảng cách đi trong công viên/vận tốc xe đạp + Khoảng

cách đi trong khoảng đất trống/vận tốc đi bộ; công viên và mảnh đất có dạng hình chữ nhật; các số liệu về số chiều và vận tốc có thể hướng dẫn HS lấy trên mạng internet

* Giai đoạn 2 (Giải bài toán):

- HS sử dụng các phần mềm hình học động GeoGebra để di chuyển điểm F

đến các vị trí khác nhau và đo khoảng cách, lập bảng quan sát và xác định vị trí của

điểm F sao cho thời gian đi là ngắn nhất

- HS lập biểu thức của khoảng cách như một hàm số theo thời gian dựa vào

định lý Pitago như sau: 𝑇 = 1502+ 100−𝑥 2

1 , trong đó x là khoảng cách

QF

Hình 1.7: Mô hình hóa bằng phần mềm GeoGebra

* Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): HS cần biết rằng giá trị x biểu thị vị trí của bãi gửi xe đạp Trong khi AF biểu thị cho đường đi xe đạp, CF biểu thị cho

đường đi bộ

* Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

- Sau khi xác định được vị trí bãi để xe đạp, HS cần kiểm tra lại tính khả thi của việc xây dựng bãi để xe và tìm hiểu các khó khăn khác

- Xem xét lại các giả thuyết: Nếu công viên có dạng hình tròn thì sao? Nếu công viên hay khu đất trống là các đa giác không đều? Có phương pháp nào có thể

áp dụng cho tất cả các trường hợp? Giải pháp nào đáp ứng nguyện vọng của người dân (thời gian hay khoảng cách?)

- Suy nghĩ về các phương pháp toán học khác? Sử dụng các phần mềm toán học khác để mô tả?

- Xét đến tính liên môn trong bài toán này: vật lý, địa lý, giao thông,…

Như vậy thông qua các bài toán trên, GV tập cho HS tham gia các hoạt động MHH trên máy tính để dự đoán, tìm cách GQVĐ và đưa ra ý tưởng chứng minh cho bài toán Từ đó, giúp HS phát triển kĩ năng giao tiếp, tư duy và giải quyết các vấn

đề về giao thông trong thực tế cuộc sống [7]

1.3.2 Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễn

Các hoạt động MHH có thể là chất xúc tác giúp HS hiểu sâu hơn về các ý tưởng toán học, kĩ năng giải quyết vấn đề và phát hiện các yếu tố toán học trong thực tiễn Sử dụng phương pháp MHH, GV có thể giúp HS thấy được các mô hình toán học như các đường parabôn, hypebôn, côníc được thể hiện trong các hiện tượng trong cuộc sống Do đó, MHH giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn (Lesh

& English, 2005; Ang, 2009; Dindyal, 2009) Tuy nhiên, để thực hiện được vấn đề này GV cần phải khắc phục một số khó khăn như: vấn đề lựa chọn tình huống thực

tế phù hợp với khả năng nhận thức của HS; trong quá trình thực hiện, phương pháp này đòi hỏi nhiều thời gian hơn các phương pháp truyền thống khác; gặp khó khăn trong quá trình kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của HS [7]

Ví dụ 1.9 (Tượng Merlion tại Singapore) GV đưa ra hình ảnh về tượng nhân

sư Merlion, biểu tượng du lịch của Singapore Yêu cầu HS quan sát và dự đoán về quỹ đạo chuyển động của vòi phun nước xuất phát từ miệng tượng nhân sư Sau đó,

GV hướng dẫn HS sử dụng phần mềm GeoGebra để tìm phương trình quỹ đạo chuyển động của vòi phun nước:

- Bước 1: Chọn gốc tọa độ trùng với vị trí xuất phát của vòi phun nước Sau

đó, nhập giá trị của tham số m sử dụng chức năng thanh trượt của phần mềm

GeoGebra

- Bước 2: Nhập phương trình có dạng 𝑦 = 𝑚𝑥2 vào trường nhập lệnh

- Bước 3: Di chuyển điểm (thay đổi giá trị m) trên thanh trượt cho đến khi đồ

thị hàm số dạng 𝑦 = 𝑚𝑥2 trùng khớp với quỹ đạo của vòi phun nước

Hình 1.8: Quỹ đạo của vòi phun nước tượng Merlion

Thông qua các hoạt động này, HS có thể thấy rằng quỹ đạo chuyển động nói chung của các vòi phun nước là hình parabôn, cụ thể trong ví dụ này là parabôn có phương trình 𝑦 = −0.1 𝑥2 Tương tự là ví dụ về xác định quỹ đạo nước mưa rơi dưới đây

Ví dụ 1.10 (Quỹ đạo nước mưa rơi) Sử dụng phần mềm GeoGebra hoặc

Geometer‟s Skethpad để tìm hiểu về quỹ đạo của nước mưa rơi từ mái nhà xuống đất

Hình 1.9: Mô hình hóa quỹ đạo chuyển động của nước mưa rơi

Nhập bức ảnh nước mưa rơi (HS có thể chụp bằng máy ảnh kỹ thuật số hoặc sưu tầm trên mạng internet) vào giao diện của phần mềm GeoGebra Dựa trên định luật chuyển động của phân tử, ta có thể dự đoán quỹ đạo chuyển động của nó là

dạng hình parabôn có phương trình 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, trong đó việc chọn gốc tọa độ là tùy ý

Để tổ chức hoạt động MHH hiện tượng này, GV yêu cầu các nhóm nhóm sử

dụng phần mềm GeoGebra, nhập các tham số a, b, c vào máy tính và thay đổi giá trị

của chúng để xác định đúng quỹ đạo chuyển động và phương trình biểu diễn hiện tượng nước mưa rơi Như vậy, dựa vào mô hình trên, HS có thể nhận ra được quỹ đạo chuyển động của nước mưa rơi từ mái nhà xuống mặt đất có dạng hình parabôn Tùy thuộc vào cách chọn gốc tọa độ mà mỗi nhóm sẽ có dạng phương trình biểu diễn khác nhau [7]

1.3.3 Hiểu đƣợc ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễn

Trong quá trình dạy học toán, GV cần tập trung vào khả năng tạo các mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn cuộc sống nhằm giúp HS thấy được sự phát triển của toán học gắn liền với văn hóa và sự tiến bộ của xã hội loài người (Freudenthal, 1973) Trong đó, rèn luyện kĩ năng hiểu được ý nghĩa của các số liệu thống kê trong thực tiễn có vai trò quan trọng trong giáo dục toán học hiện nay

Ví dụ 1.11 (Thành tích chạy 100m nam) Khi nghiên cứu về hàm số, các nhà

toán học thường tập trung vào một số dạng hàm số có nhiều ứng dụng nhất trong cuộc sống thực tế, ví dụ như hàm số dạng 2

x

k

y  , hàm số tuyến tính, hàm số bậc hai, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số lôgarít Trong dạy học ở trường phổ thông, GV cần giúp HS hiểu được ý nghĩa của các mô hình toán học trên trong việc

dự đoán kết quả của các tình huống cho trước trong thực tế Ví dụ, khi xét bảng thống kê sau về kỷ lục chạy 100 mét (thời gian tính theo đơn vị giây) của các nam vận động viên tại các thế vận hội Ôlympíc mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012:

Bảng 1.1: Bảng thành tích chạy 100 m tại các kỳ Ôlympíc (1900 - 2012)

1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1948 11.0 11.0 10.8 10.08 10.06 10.08 10.03 10.03 10.03

1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 10.04 10.05 10.02 10.06 9.95 10.14 10.06 10.25 9.99

1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012

9.92 9.96 9.84 9.87 9.85 9.69 9.63

Dựa vào các số liệu trên, GV hướng dẫn HS tham gia hoạt động MHH để tìm

ra phương trình mô tả hiện tượng trên và đưa ra dự đoán về thành tích của vận động viên nam tại Ôlympíc mùa hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin) Sử dụng phần mềm toán học để xử lý số liệu và đưa ra được đồ thị hàm số tuyến tính biểu diễn xấp xỉ các giá trị (số giây) theo các năm tổ chức thế vận hội mùa hè như sau:

Hình 1.10: Mô hình tuyến tính thành tích của các nam vận động viên

Kết quả tính toán đưa ra hàm số biểu diễn mối quan hệ tuyến tính của mô hình trên: 𝑡 = −0,00726264𝑁 + 24,3287866, trong đó t là thời gian chạy 100 mét (tính theo đơn vị giây), N là số năm Từ mô hình này, GV có thể hướng dẫn HS

dự đoán về thành tích của nam vận động viên chạy 100 mét tại Ôlympíc mùa hè

2016 tại Rio de Janeiro (Braxin) theo mô hình:

𝑡 = −0,00726264.2016 + 24,3287866 ≈ 9,69 (giây) Tóm lại, sử dụng phương pháp MHH trong dạy học toán ở trường phổ thông giúp HS rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết, đồng thời cho các em thấy được những ứng dụng trực tiếp của các kiến thức toán học trong thực tiễn Để thực hiện được phương pháp này, người GV cần linh hoạt, sáng tạo trong việc lựa chọn các tình huống thực tế phù hợp với trình độ nhận thức của HS cũng như hướng dẫn các

em thao tác và tham gia các hoạt động MHH trên máy tính điện tử Thông qua các hoạt động này, HS có cơ hội học toán gắn với các tình huống thực tế, rèn luyện và phát triển năng lực toán học cần thiết cho cuộc sống và tăng cường hứng thú học tập môn Toán, từ đó giúp các em học toán một cách có ý nghĩa hơn [7], [13]

1.3.4 Phát triển các kĩ năng toán học

Sử dụng CNTT để hỗ trợ HS thực hiện các hoạt động MHH trong học tập toán ở trường phổ thông giúp các em rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết và thấy được ứng dụng trực tiếp của các kiến thức toán học trong thực tiễn Từ đó, tăng hứng thú và niềm say mê học tập môn Toán, giúp các em học toán một cách có ý nghĩa hơn Để thực hiện tốt ý tưởng này, đòi hỏi người GV cần sáng tạo, lựa chọn các tình huống thực tế phù hợp với trình độ nhận thức của HS, lựa chọn các phần mềm dạy học hợp lý giúp các em thao tác và MHH trên máy vi tính Ngoài ra, các hoạt động MHH còn hỗ trợ rất hiệu quả cho phương pháp dạy học GQVĐ, nó giúp tạo các tình huống gợi vấn đề và tham gia trực tiếp vào quá trình giải bài toán Hơn thế, với sự phát triển của CNTT, các hoạt động MHH sẽ dễ dàng tiếp cận hơn ở nhà trường phổ thông, giúp HS có cơ hội học toán gắn với các tình huống thực tế, rèn luyện và phát triển năng lực toán học cần thiết cho cuộc sống [13]

Sử dụng phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển các kĩ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện

và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn (Martinez-Luacles, 2005; Mousoulides, Sriraman & Christou, 2007) Phương pháp MHH hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp GQVĐ có hiệu quả hơn và khuyến khích HS học tập, hiểu sâu kiến thức, rèn luyện các kĩ năng GQVĐ (Mousoulides, Sriraman & Christou, 2007) GV nên sử dụng các dạng bài tập MHH theo nhóm nhỏ nhằm các mục đích sau đây:

- Rèn luyện cho HS năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tế Trong suốt quá trình MHH, HS cần phải phân tích và tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp, Quá đó đồng thời rèn luyện cho các em năng lực tư duy lôgíc và tư duy trừu tượng

- Rèn luyện khả năng sáng tạo, đó là việc tiếp cận kho tàng tri thức mới, sử dụng những phương pháp và kỹ thuật mới trong phân tích và GQVĐ

- Nâng cao tinh thần hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS thông qua trao đổi nhóm, sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ quá trình giải quyết vấn đề, MHH và cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn Verschaffel và

De Corte (1997) cho rằng, các bài toán MHH sẽ giúp GV thiết lập các hoạt động

nhóm mới trong lớp học nhằm tạo ra sự xung đột về kiến thức và thúc đẩy quá trình hợp tác ở mức độ cao

- Tăng cường tính liên môn trong học tập: địa lý, khoa học, lịch sử, môi trường,… Ví dụ như thông qua hoạt động MHH toán học giúp HS hiểu được đồ thị của hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 mô tả về sự tốc độ sinh trưởng của thực vật

Theo nghiên cứu của Biembengut và Hein (2007), MHH như một phương pháp dạy học cung cấp cho HS một số kĩ năng: tích hợp toán học với các kiến thức khác, quan tâm đến ứng dụng toán học, cải tiến việc nắm bắt các khái niệm toán học, khả năng sử dụng công nghệ thông tin; khả năng làm việc theo nhóm, định hướng nghiên cứu, khả năng thông báo nghiên cứu Một số nghiên cứu gần đây cũng đặt ra nhiều câu hỏi nghiên cứu liên quan đến vận dụng MHH trong dạy học toán ở trường phổ thông như: Làm thế nào để thiết kế các hoạt động MHH có ý nghĩa đối với HS? (Lesh và Caylor, 2003; 2007); Thiết kế các hoạt động MHH như thế nào? Những khó khăn trong việc thực hiện các giai đoạn MHH trong dạy học khác nhau là gì? (Blum, Niss và các đồng nghiệp, 2006); Cấu trúc nhận thức liên quan đến năng lực MHH và những kĩ năng nhận thức nào liên quan đến giai đoạn nào của chu trình MHH? (Boromeo Ferri, 2006) [7]

Các bài toán MHH có đặc điểm là yêu cầu HS toán học hóa các tình huống, thường là các tình huống thực tiễn Toán học hóa là thành phần quan trọng của bài toán MHH vì nó dựa trên các ý tưởng toán học quan trọng giúp HS có thể đào sâu

và phát triển sự thông hiểu toán học (Lesh, 2000) GV nên lựa chọn các tình huống thực tiễn đòi hỏi việc thu thập các số liệu, hình ảnh hay hiện tượng nào đó Thông qua đó thực hiện các hoạt động MHH, đưa ra kết luận và dự đoán về tính khả thi của mô hình Thảo luận nhóm là biện pháp tốt nhất giúp HS làm quen và biến những vấn đề toán học trong SGK thành những vấn đề trong cuộc sống, tranh luận

về những ưu điểm và nhược điểm của các mô hình đã thiết kế,… Verschaffel và De Corte (1997) cho rằng, các bài toán MHH sẽ giúp GV thiết lập các hoạt động nhóm mới trong lớp học nhằm tạo ra sự xung đột về kiến thức và thúc đẩy quá trình hợp tác Các hoạt động MHH này sẽ tạo cơ hội cho HS hiểu được tình huống thực tiễn theo các cách khác nhau để từ đó chia sẻ kế hoạch, tranh luận, đưa ra quyết định và công bố kết quả (Anderson, 2005)

Tóm lại, vai trò của phương pháp MHH là nhằm truyền đạt nội dung kiến thức theo cách tích cực, tạo động cơ học tập, tăng cường tính liên môn và tính khoa học trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông [7]

1.4 THỰC TRẠNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT

1.4.1 Về bài toán có tính thực tiễn trong SGK môn Toán THPT

Như đã trình bày ở trên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, phản ánh thực tiễn và có ứng dụng to lớn vào thực tiễn Từ đó, ta có thể thấy mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và thực tiễn Việc liên hệ Toán học với thực tiễn trong chương trình

và SGK trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên Về vấn đề này tác giả Trần Thúc Trình (1998) cho rằng: “Đáng tiếc là hiện nay trong các SGK và bài tập còn quá ít các bài toán thực tế Điều này cần phải nhanh chóng được khắc phục” Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học nhưng cũng chưa đáp ứng được so với yêu cầu; số lượng các vấn đề lí thuyết, các ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số và Giải tích ở bậc THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít Cụ thể:

1) Đối với SGK trước đây, rất ít thấy các bài tập và các vấn đề toán học gắn liền với thực tiễn Chẳng hạn, trong cuốn Đại số và Giải tích 11 (1999) chỉ tìm thấy: bài tập 8, 9, 10 (tr.10-11); ví dụ (tr.95); bài tập 7 (tr.96) và ví dụ 4 (tr.99)

2) Sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 (chỉnh lí hợp nhất năm 2000):

- Đại số và Giải tích 11: Ở chương I, §1, khi nói đến mở rộng khái niệm góc

có đề cập: “Trong thực tiễn còn có những góc lớn hơn 3600 Chẳng hạn bán kính

OM của một bánh xe có thể quay 4/3 vòng, 2 vòng,…” [tr.6] Cũng trong §1 có bài

tập 8 [tr.12] gắn liền với thực tiễn Trong chương III, §3 có nêu ra một ví dụ về cấp

số cộng gần với thực tiễn [tr.98] Cũng trong §3, ở phần bài tập có 1 bài “trồng cây theo hình tam giác” ở trang 100 Còn trong §4, có đưa vào một ví dụ về cấp số nhân

“phần thưởng của hoàng tử Ấn Độ Xiram cho người phát minh ra trò chơi cờ vua” ở trang 103

- Giải tích 12: Chương I, §1, trang 1 và 2, trước khi đưa ra định nghĩa đạo

hàm, sách đã đưa vào “bài toán tìm vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động thẳng” Cũng trong §1, ở trang 10 có nêu lên ý nghĩa vật lí của đạo hàm Còn ở trang 11 đưa vào một bài tập về vấn đề này Ở §4, có nêu lên “ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2” cùng với một ví dụ (tr.38) và một bài tập (tr.39) Trong bài tập ôn tập chương I có một bài liên hệ với thực tiễn ở trang 43 Trong chương II, sách trình bày những ứng dụng của đạo hàm Tuy nhiên cũng chỉ quan tâm đến những ứng dụng thuần túy trong nội bộ toán học Chỉ có ví dụ 2 được nêu ra ở §3 (tr.62) gắn liền với thực tiễn sản xuất Trong chương III, lại một lần nữa SGK cũng quan tâm nhiều hơn các ứng dụng trong nội bộ toán mặc dù có hẳn một bài về ứng dụng hình học và vật lí của tích phân Cụ thể là chỉ có hai bài toán áp dụng phép tính tích phân

để giải bài tập vật lí 12

3) Còn các SGK mới hiện nay, mặc dù nhiều chủ đề có rất nhiều tiềm năng

có thể đưa vào được những tình huống thực tiễn và thực sự cũng đã có những quan tâm nhất định Tuy nhiên, vấn đề này lại một lần nữa vẫn chưa được làm rõ Chẳng hạn:

- Đại số và Giải tích 11: Trong chương I, từ tr.4 đến tr.41 không có bất cứ

một kiến thức nào gắn liền với thực tiễn ngoài toán học

Trong chương II, đây là một chương dạy về toán ứng dụng nên có khá nhiều vấn đề liên hệ với thực tiễn: §1 có ví dụ 1 (tr.43); ví dụ 2, ví dụ 3 (tr.44); phần hoạt động của HS, ví dụ 4 (tr.45); bài tập 3, 4 (tr.46) §2 có ví dụ 1 (tr.46); ví dụ 2 (tr.47); ví dụ 3 (tr.49); ví dụ 6, hoạt động của HS (tr.52); bài tập 2,3,5 (tr.54 và 55)

§3 có ví dụ 1, 3, 4, 5 (tr.60, 61 và 63); bài tập 1-7 (tr.63 và 64) §5 có ví dụ 1-7 (tr.65-71); bài tập 1-7 (tr.74 và 75) Ôn tập chương 2 có các bài tập 5, 6, 7, 9 (tr.76

và 77)

Trong chương III, có liên hệ dãy số Fibonacci với thực tiễn (trong mục “Bạn

có biết”, tr.91) §4, phần hoạt động của HS (tr.98); ví dụ 3 (tr.100); bài tập 5, 6 (tr.104); bài tập 12 (tr.108)

Trong chương IV, §1, có hoạt động của HS (tr.117); bài đọc thêm (tr.120)

§2 có bài tập 7 (tr.133 và 134); §4 không có kiến thức nào được liên hệ với thực tiễn Ôn tập chương IV có bài tập 3 (tr.141 và tr.142)

Trong chương V, ngay §1, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã đưa vào “bài toán tìm vận tốc tức thời” và “bài toán tìm cường độ tức thời” Ngoài ra còn có bài tập 7 (tr.157) §5 có nêu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng một ví

dụ Ôn tập chương V, có bài tập 8 (tr.177) Phần ôn tập cuối năm, có bài tập 4, 6, 7 (tr.179)

- Đại số và Giải tích 11 (nâng cao):

Trong chương I, có bài đọc thêm (tr.15); mục “Em có biết” (tr.18) §2 có bài tập 17 (tr.29); bài 24, 25 phần luyện tập (tr.31 và 32) §3 có bài tập 31 phần câu hỏi

và bài tập (tr.41); bài tập 37 phần luyện tập (tr.46)

Trong chương II, đây là một chương dạy về toán ứng dụng nên có khá nhiều vấn đề liên hệ với thực tiễn: §1 có ví dụ 1, 2, 3, 4, 5 (tr.51-54 ); bài tập 1, 3 phần câu hỏi và bài tập (tr.54); bài đọc thêm (tr.55) §2 có ví dụ 1, 2, 4 (tr.56-58); ví dụ 7 (tr.61); bài tập 5 - 8 phần câu hỏi và bài tập (tr.62); bài tập 9, 11, 13, 15 phần luyện tập (tr.63-64) §4, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (8 ví dụ); phần bài tập

có 2 bài (tr.75 và 76); trong phần luyện tập có 3 bài (tr.76) §5, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (7 ví dụ); phần câu hỏi và bài tập có 4 bài đều gần với thực tiễn (tr.83); phần luyện tập có các bài 41, 42 (tr.85) §6, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (6 ví dụ); phần câu hỏi và bài tập có tất cả 7 bài liên hệ với thực tiễn (tr.90- 91); phần luyện tập có bài 50 và 51 (tr.92) Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chương II có bài 57 (tr.93); bài 59, 62, 63, 67 (tr.94-95)

Trong chương III, có bài đọc thêm ở tr.107 §3, ví dụ 3 và hoạt động 5 (tr.113) Trong phần câu hỏi và bài tập không có bài nào gắn liền với thực tiễn ngoài toán học §4, trước khi định nghĩa cấp số nhân có đưa vào một bài toán về

“gửi tiền tiết kiệm” (tr.115); hoạt động 3 (tr.119); trong phần câu hỏi và bài tập có bài 35 (tr.121) Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3 có một bài gắn với thực tiễn cuộc sống ở tr.124

Trong chương IV, không có bất cứ một vấn đề nào liên hệ với thực tiễn ngoài toán học

Trong chương V, ngay §1, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã đưa vào “ví dụ mở đầu”; tr.188 có nêu “ý nghĩa cơ học của đạo hàm” Ngoài ra còn có bài tập 6 (phần câu hỏi và bài tập, tr.192) §3, phần luyện tập có bài 37 (tr.212) §5,

có đưa vào ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng với một ví dụ; phần câu hỏi và bài tập có một bài (bài 44, tr.219) Phần câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm có 2 bài (tr.224)

- Đại số 10: Số gần đúng có hoạt động 1 (tr.19); Hàm số bậc nhất và bậc hai

có ví dụ 1 (tr.32), ví dụ 2 (tr.33), đường parabôn (Bài đọc thêm); Phương trình, hệ phương trình: Phương trình Đi-ô-phăng (Bài đọc thêm); các bài tập 3-4-6 (tr.69), bài tập 6 (tr.70), bài tập 8-9-13 (tr.71); Bất đẳng thức, bất phương trình: Bài toán kinh tế, phương pháp tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên miền đa giác (Bài đọc thêm); các bài tập 3 (tr.99), bài tập 4 (tr.106); Thống kê có các bài tập thực hành dành cho nhóm HS (tr.131) và bài tập 6 (tr.159)

- Đại số 10 (Nâng cao): Trong phần mệnh đề và tập hợp có lồng ghép các

kiến thức xã hội, suy luận toán học; Số gần đúng có hoạt động 1 (tr.24), các bài tập 47-48-49 (tr.29); Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai có ví dụ 1 (tr.35), bài tập 2 (tr.44), bài tập 25 (tr.54), bài tập 37 (tr.60), bài tập 38 (tr.61), một số hình ảnh đường parabôn trong thực tế trong mục “Em có biết” (tr.62); Phương trình, hệ phương trình có các bài tập từ 38-44 (tr.97); Bất đẳng thức, bất phương trình có bài tập 15 (tr.112), bài toán kinh tế (tr.131), phương pháp tìm cực trị của biểu thức dạng P(x, y) = ax + by trên miền đa giác lồi (Bài đọc thêm), bài tập 48 (tr.135); Thống kê

có các ví dụ thực hành (tr.159)

Như vậy có thể thấy rằng, quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt quá trình dạy học ở trường phổ thông cần gắn với các vấn đề thực tiễn được nhấn mạnh trong chương trình SGK môn Toán Tuy nhiên, việc quán triệt quan điểm này chưa thực sự toàn diện và cân đối Thực tế thì SGK môn Toán hiện nay đã có những thay đổi lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với thực tiễn đã có được những quan tâm nhất định Điều này được thể hiện ở việc SGK mới đã đưa thêm vào phần toán học ứng dụng (xác suất) và đây cũng là điều đáng nói nhất của SGK Toán mới Ngoài ra, theo chúng tôi ở các nội dung khác, tính thực tiễn ngoài toán học vẫn chưa được quan tâm đúng mức, thường chỉ dừng lại ở mức giới thiệu là chính, ít bài tập Một lần nữa vai trò công cụ của môn Toán vẫn chưa được làm rõ

1.4.2 Thực trạng dạy học môn Toán theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn

Thông qua phiếu điều tra dành cho HS (xem phần phụ lục 1), chúng tôi đã tiến hành điều tra 223 HS ở lớp 10 trường THPT Dương Tự Minh, trường THPT Ngô Quyền (TP Thái Nguyên ) và trường THPT Đồng Hỷ (Huyện Đồng Hỷ - Tỉnh Thái Nguyên ) Đối với mỗi câu hỏi trong phiếu HS sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi

và kết quả thu được như sau:

(1) Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những ứng dụng thực tế của những kiến thức Toán học:

HS không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán