Bài toán 2.3. (Bài toán bóng đá): Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m.
a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.
b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn).
57
c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?
Hình 2.6: Mô hình bài toán bóng đá * Mục tiêu hoạt động:
- Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng rơi.
- Tìm độ cao lớn nhất của quả bóng và tính thời gian quả bóng chạm đất. - Thấy được một số hình ảnh trong thực tiễn có quỹ đạo chuyển động là một phần đồ thị của hàm số bậc hai.
- Qua hoạt động này, HS được rèn luyện các kĩ năng sau đây: + Thiết lập và biểu diễn đồ thị của hàm số bậc hai.
+ Kĩ năng đọc đồ thị của hàm số bậc hai (xác định được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất).
+ Kĩ năng mô tả những tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học.
* Tiến trình hoạt động:
GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho nhóm giải quyết bài toán theo các giai đoạn sau:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV hướng dẫn nhóm HS phân tích và hiểu được vấn đề thực tiễn như sau:
+ Quỹ đạo của quả bóng là một cung parabôn trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oth, vì vậy hàm số biểu thị độ cao h theo thời gian t là một hàm số bậc hai và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng.
+ Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabôn.
+ Khoảng thời gian từ khi quả bóng được đá lên đến khi chạm đất (tức là tung độ của đồ thị hàm số bằng 0).
58
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Giả sử h = f(t) = at2
+ bt + c. GV cần hướng dẫn nhóm HS tìm các hệ số a, b và c. Các nhóm HS thảo luận và tìm các hệ số a,b,c như sau:
Quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m nghĩa là: f(0) = c = 1,2. Sau đó 1 giây nó đạt độ cao 8,5 m nên: f(1) = a + b + 1,2 = 8,5.
Sau khi đá 2 giây quả bóng ở độ cao 6 m, nghĩa là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6. HS thu gọn các hệ thức trên rút ra hệ phương trình bậc nhất:
4 , 2 2 3 , 7 b a b a . Giải hệ phương trình HS thu được kết quả sau: a = –4,9; b = 12,2. Vậy hàm số cần tìm là: f(t) = –4,9t2 + 12,2t +1,2.
Hình 2.7: Bài làm của HS lớp thực nghiệm
Tiếp theo HS tìm độ cao lớn nhất của quả bóng:
Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabôn, cụ thể là:
y = a ' = 8,794 9 , 4 09 , 43
HS Giải phương trình bậc hai –4,9t2+ 12,2t + 1,2 = 0 được hai nghiệm gần đúng là t1 = –0,09 (loại vì giá trị âm) và t2 = 2,58. Như vậy, quả bóng chạm đất sau gần 2,58 giây.
59
- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Sau khi giải bài toán và tìm được nghiệm, GV hướng dẫn HS đưa ra nhận xét: Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một cung parabôn trong mặt phẳng. Ta có thể xác định được vị trí của quả bóng (cả về độ cao so với mặt đất lẫn khoảng cách so với vị trí quả bóng được đá lên) ở một thời điểm bất kỳ trong quá trình chuyển động và sau bao lâu thì quả bóng chạm đất (tung độ của đỉnh đồ thị hàm số bằng 0).
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Việc xác định được quỹ đạo của chuyển động không chỉ giúp HS xác định được vị trí của quả bóng tại một thời điểm bất kỳ, mà còn giúp HS dự kiến được thời gian quả bóng rơi xuống đất, cũng như tính được khoảng cách từ vị trí đá đến vị trí quả bóng rơi xuống. GV yêu cầu nhóm HS tìm các chuyển động khác có quỹ đạo là một phần của parabôn, ví dụ như: quỹ đạo của nước rơi, quỹ đạo của vòi phun nước, đường đi của quả bóng rổ, đường đi của đạn đại bác,... Nhiệm vụ về nhà của các em là sưu tập hình ảnh các chuyển động có quỹ đạo là đường parabôn (đồ thị của hàm số bậc hai).
* Phân tích kết quả hoạt động:
Ngoài ra, thông qua hoạt động MHH, GV có thể phân tích cho HS hiểu rõ thêm các vấn đề sau: Trong thực tế, chuyển động của quả bóng còn phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố như: nhiệt độ môi trường, sức cản của không khí, vận tốc gió,… Do vậy, không phải lúc nào quả bóng cũng chuyển động theo quỹ đạo hình parabôn mà nó sẽ có một sai số nào đó. Trong những trường hợp không đòi hỏi sự chính xác quá cao thì ta có thể bỏ qua các yếu tố của môi trường và coi chuyển động của quả bóng là một phần của đường parabôn. Kết quả cho thấy, trên 80% số HS có thể đạt được kĩ năng MHH ở cấp độ 3. Đặc biệt, nhóm HS nam rất hứng thú với bài toán này và đã đưa ra đáp số trước nhóm HS nữ vì nó có liên quan đến chủ đề bóng đá – một trong những sở trường của các em HS nam.
Bài toán 2.4. (Bài toán về cổng Ac-xơ): Khi du lịch đến thành phố Xanh-Lui (Hoa Kì), ta sẽ thấy một cái cổng lớn đó là cổng Ác-xơ. Giả sử ta lập một hệ tọa độ
Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10; 43).
a) Tìm hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Ác-xơ.
60 tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hình 2.9: Cổng Ác-xơ * Mục tiêu hoạt động:
- Thiết lập hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Ác-xơ (đường parabôn).
- Tính chiều cao của cổng (xác định tung độ đỉnh của parabôn trên). - Qua hoạt động này, GV có thể rèn cho HS những kĩ năng sau đây: + Thiết lập và biểu diễn đồ thị của hàm số bậc hai.
+ Đọc đồ thị hàm số bậc hai và nhận dạng được một số tình huống, hình ảnh trong thực tiễn có biểu diễn là đường parabôn.
* Tiến trình hoạt động:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV chia lớp thành các nhóm HS và yêu cầu các nhóm quan sát hình ảnh cổng Ác-xơ. Các nhóm thảo luận và đưa ra dự đoán rằng hình dạng cổng giống như một phần của đường parabôn.
Sau đó GV yêu cầu các nhóm tìm dạng biểu diễn của parabôn đó. Các nhóm thảo luận để đưa ra cách xác định phương trình biểu diễn.
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS dựa theo quan sát và các dữ kiện đề bài đưa ra để tìm dạng biểu diễn của parabôn là một hàm số bậc hai.
Nhóm HS thảo luận và đưa ra hàm số cần tìm có dạng f(x) = ax2
+ bx + c
thỏa mãn điều kiện: f(0) = c và f(10) = 100a + 10b = 43; f(162) = 1622a + 162b + 0 hay có phương trình 162a + b = 0. Từ đó suy ra: a –0,028; b 4,583.
Tiếp theo, nhóm HS kết luận rằng: Hàm số cần tìm là f(x) = ax2
+ bx trong đó a –0,028; b 4,583.
61
Sau đó, nhóm HS vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và tìm chiều cao của cổng dựa vào đồ thị của hàm số như sau:
Hình 2.10: Đường parabôn biểu diễn hình dạng cổng Ác-xơ
Cuối cung, nhóm HS quan sát đồ thị vừa vẽ và rút ra kết luận: Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabôn, do đó:
h = f(162/2) = f(81) 188 (phút)
Hình 2.11: Bài làm của HS lớp thực nghiệm
- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Khi dự đoán về hình dạng của cổng Ác- xơ, dựa theo số liệu thực tế và các kiến thức đã được học thì HS có thể dễ dàng tìm ra được hàm số bậc hai có đồ thị là đường parabôn. Nhóm HS biểu diễn đồ thị của hàm số trên và nhận xét về quỹ đạo chuyển động của quả bóng, về thời điểm quả bóng có độ cao lớn nhất, thời gian quả bóng chạm đất,...
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Trên thực tế có rất nhiều công trình được thiết kế có hình dạng tương tự như cổng Ác-xơ. Vì vậy, việc thiết kế và thi công các công trình sẽ được tính toán một cách cẩn thận vừa đảm bảo được chất lượng công
62
trình lại mang lại tính thẩm mĩ cao. GV yêu cầu HS đưa ra một số hình ảnh trên thực tế có hình dạng tương tự như hình dạng cổng Ác-xơ như: hình ảnh vòi phun nước, nhịp cầu, quỹ đạo chuyển động ném của vật,... GV hướng dẫn HS sử dụng phần mềm hình học động để xác định phương trình đường parabôn biểu diễn hình ảnh các hiện tượng trong thực tiễn.
Hình 2.12: Một số hình ảnh thực tế có hình dạng parabôn * Phân tích kết quả hoạt động:
Các nhóm HS đã thảo luận và tìm ra kết quả của bài toán. Khoảng 72% số HS hoàn thành nhiệm vụ và hiểu rõ bài toán. Nói cách khác, số HS này có thể thiết lập công thức biểu diễn hàm số, vẽ và đọc đồ thị của hàm số, so sánh với các tình huống khác. Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết HS đều đạt được kĩ năng mô hình hóa ở cấp độ 4 và rất hứng thú với dạng bài tập sưu tầm hình ảnh parabôn trong thực tiễn và thiết lập phương trình biểu diễn bằng sử dụng các phần mềm hình học động (như GeoGebra, Geometry Cabri, Geometer‟s Sketchpad,...).
2.3. THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Trong cuộc sống, đôi khi ta phải so sánh giữa nhiều phương án khác nhau để chọn ra phương án tối ưu chẳng hạn như lựa chọn giữa các mạng điện thoại, giá thuê xe của các hãng taxi khác nhau hoặc trong kinh doanh người ta luôn hướng đến chi phí sản xuất thấp, lợi nhuận cao nhất. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình sẽ hữu ích trong một số trường hợp để giải quyết các vấn đề thực tế tương tự.
Bài toán 2.5. (Bài toán máy bơm nước): Một gia đình muốn mua một chiếc máy bơm. Có hai loại với cùng lưu lượng bơm được trong một giờ; loại thứ nhất giá
63
1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại thứ hai thì chỉ phải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm. Theo bạn gia đình này nên chọn mua loại máy nào để đạt hiệu quả kinh tế cao?
* Mục tiêu hoạt động:
Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao nhất. Như vậy, ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy nghĩa là chi phí cần chi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó. Do vậy, trong hoạt động này, HS có thể được rèn luyện những kĩ năng sau đây:
- Thiết lập phương trình và hệ phương trình hàm số bậc nhất. - Biểu diễn và xác định miền nghiệm của hệ phương trình. - Liên hệ toán học với các vấn đề về kinh tế và tối ưu toán học.
* Tiến trình hoạt động:
GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài toán theo các giai đoạn sau:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Kí hiệu f(x) và g(x) lần lượt là số tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứ hai trong
x giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm).
GV yêu cầu nhóm HS biểu diễn f(x) và g(x) dưới dạng các biểu thức của x và vẽ đồ thị của hai hàm số y = f(x) và hàm số y = g(x) trên cùng hệ trục tọa độ.
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS thực hiện nhiệm vụ do GV đưa ra. Nhóm HS thảo luận và đưa ra nhận xét sau: Trong x giờ số tiền phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là: f(x) =1500 + 1,2x (nghìn đồng). Số tiền phải chi trả cho máy thứ hai trong x giờ là: g(x) = 2000 + x (nghìn đồng).
Sau khi thảo luận HS thấy được rằng chi phí trả cho hai máy sử dụng là như nhau sau khoảng thời gian x0 là nghiệm của phương trình f(x) = g(x). Từ đó, GV yêu cầu nhóm HS giải phương trình: f(x) = g(x).
HS các nhóm nhận nhiệm vụ giải phương trình: f(x) = g(x). 1500 + 1,2x = 2000 + x 0,2x = 500 x = 2500 (giờ).
64
Hình 2.13: Bài làm của HS lớp thực nghiệm
- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Quan sát đồ thị HS thấy rằng ngay sau khi sử dụng 2500 giờ tức là nếu mỗi ngày dùng 4 tiếng tương đương với khoảng thời gian là không quá hai năm thì máy thứ hai chi phí sẽ thấp hơn rất nhiều nên chọn mua máy thứ hai thì hiệu quả kinh tế sẽ cao hơn.
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): GV hướng dẫn nhóm HS phân tích bài toán trong các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Nếu thời gian sử dụng máy ít hơn hai năm thì mua máy thứ nhất sẽ tiết kiệm hơn.
+ Trường hợp 2: Nếu thời gian sử dụng nhiều hơn hoặc bằng hai năm thì nên mua máy thứ hai.
Tuy nhiên, trong thực tế một máy bơm có thể sử dụng được thời gian khá dài. Do vậy, trong trường hợp này gia đình đó nên mua máy thứ hai.
* Phân tích kết quả hoạt động:
Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn toán học hóa bài toán. Tuy nhiên, với sự hướng dẫn của GV, nhóm HS đã giải quyết được vấn đề đó và đối chiếu bài toán với thực tế. Kết quả thực nghiệm cho thấy, gần 80% số HS chỉ đạt được kĩ năng MHH ở cấp độ 2, điều này chứng tỏ HS còn gặp nhiều lúng túng khi gặp các bài toán về tối ưu toán học.
Bài toán 2.6. (Bài toán vitamin): Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:
65
(i) Mỗi người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.
(ii) Mỗi người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. (iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn 1
2 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.
Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày. a) Gọi c (đồng) là số tiền vitamin mà bạn phải trả mỗi ngày. Hãy viết phương trình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.
b) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện (i), (ii), và (iii) thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình đó.
c) Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thoả mãn các điều kiện trên để số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm (S).
* Mục tiêu hoạt động:
Tính được số tiền phải bỏ ra ít nhất để mua vitamin A và vitamin B mà vẫn đảm bảo cung cấp đủ lượng vitamin cần thiết cho cơ thể. Thông qua hoạt động này, GV rèn luyện cho HS một số kĩ năng sau đây: