Bài toán 2.1: Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Khi đó, y là một hàm số của đối số x, xác định với mọi x ≥ 0.
a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [0; 10] và khoảng (10; +∞).
b) Tính f(8), f(10) và f(18).
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và lập bảng biến thiên của nó.
* Mục tiêu hoạt động:
- Tìm mối liên hệ giữa số tiền phải trả y nghìn đồng và quãng đường đi được
x kilômét (biểu diễn y theo x).
- Sau khi tìm được mối liên hệ giữa x và y, tính số tiền hành khách phải trả khi đi những quãng đường nhất định.
51
- Thiết lập mô hình hàm số bậc nhất biểu diễn mối liên hệ trên.
- Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét về ý nghĩa của tình huống trong thực tiễn.
* Tiến trình hoạt động:
GV chia lớp thành các nhóm, khoảng 6 đến 8 HS một nhóm. Tổ chức cho nhóm HS giải quyết bài toán trên theo 4 giai đoạn của quá trình MHH như sau:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Các nhóm nhận nhiệm vụ, tìm hiểu phương pháp biểu diễn y theo x. HS trao đổi, thảo luận tìm ra y là một hàm số của đối số x, xác định với mọi x ≥ 0 và phác thảo vị trí của các điểm thuộc đồ thị hàm số.
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm thảo luận biểu diễn hàm số y theo x, với mọi x ≥ 0 như sau:
Khi 0 x 10 , tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên, số tiền phải trả là y = 6x.
Khi x ≥ 10, số tiền phải trả là y = 6.10 + (x - 10).2,5 = 2,5x + 35.
Vậy ta có hàm số bậc nhất sau: y = f(x) = 35 5 , 2 6 x x nếu 10 10 0 x x Nhóm HS vẽ đồ thị hàm số trên và quan sát:
Hình 2.1: Mô hình tình huống tính giá cước taxi
- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Sau khi giải xong vấn đề HS biết được rằng y là hàm số bậc nhất của đối số x và được biểu diễn dưới dạng
y = f(x) = 35 5 , 2 6 x x nếu 10 10 0 x x
52
Đểvẽ được đồ thị hàm số y = f(x), HS cần vẽ đồ thị hàm số y = 6x lấy phần đồ thị ứng với 0 ≤ x ≤ 10 và vẽ đồ thị hàm số y = 2,5x + 35 lấy phần đồ thị ứng với
x ≥ 10 (Hình 2.1).
Hình 2.2: Bài làm của HS lớp thực nghiệm
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Sau khi tìm ra dạng biểu diễn của hàm y, GV yêu cầu các nhóm tính số tiền mà hành khách phải trả khi đi những quãng đường tương ứng với x = 8, x = 10, x = 18, … Các nhóm thảo luận và đưa ra câu trả lời như sau:
Với x = 8 < 10 nên f(8) = 6.8 = 48. Với x = 10 nên f(10) = 6.10 = 60.
Với x = 18 > 10 nên f(18) = 2,5.18 + 35 = 80.
Hình 2.3: Bài làm của HS lớp thực nghiệm
Nhóm HS đưa ra nhận xét: Khi hành khách muốn đi quãng đường xác định thì sẽ tính được trước số tiền phải trả. Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến. Do vậy, càng đi xa thì số tiền hành khách phải trả sẽ tăng dần.
* Phân tích kết quả hoạt động:
Kết quả cho thấy, hơn 70% các nhóm HS hoàn thành tốt nhiệm vụ GV đưa ra, HS nắm chắc phương pháp lập hàm số bậc nhất, kĩ năng vẽ và đọc hiểu đồ thị
53
hàm số bậc nhất tương đối tốt. Đối với mô hình hàm số bậc nhất, phần lớn HS đạt được kĩ năng MHH ở cấp độ 4 và cấp độ 5.
Bài toán 2.2. (Nhịp tim tối đa): Vì lý do sức khỏe, con người nên hạn chế những nỗ lực của mình, ví dụ như trong thể thao để không vượt quá tần số nhịp tim nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỉ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối đa và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức dưới đây:
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 220 – tuổi
Nghiên cứu gần đây cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một chút. Công thức mới như sau:
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 208 – (0.7 x tuổi)
a)Hoàn thiện bảng dưới đây về nhịp tim tối đa được khuyến cáo:
Tuổi (theo năm) 9 12 15 18 21 24
Nhịp tim tối đa được khuyến
cáo cũ (công thức cũ) 211 208 205 202 199 196 Nhịp tim tối đa được khuyến
cáo mới (công thức mới) 201,7 ... 197,5 195,4 ... 191,2 b) Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và giá trị đó là bao nhiêu?
c) Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo trong bảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số này theo tuổi.
d) Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là 80% của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi.
e) Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như thế nào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng.
* Mục tiêu hoạt động:
- Hoàn thiện bảng nhịp tim tối đa được khuyến cáo dựa vào hàm số đã cho. - Xác định độ tuổi mà công thức cũ và công thức mới cho cùng một giá trị và tìm giá trị đó.
54
- Tìm công thức thể hiện hiệu số hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo.
- Viết và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi.
- Qua hoạt động này, HS được rèn luyện các kĩ năng sau: + Kĩ năng thiết lập hàm số và biểu diễn bội.
+ Kĩ năng rút gọn biểu thức toán học.
+ Kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Kĩ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị hàm số.
* Tiến trình hoạt động:
GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho nhóm giải quyết bài toán theo các giai đoạn sau:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Bài toán cung cấp thông tin thực tế về sức khỏe con người. Để làm được bài toán này, HS cần phải chuyển được những thông tin đã cho trong đề bài thành những phương trình đại số (hay hàm số), biết vận dụng các kĩ năng đại số để giải quyết lần lượt các vấn đề đặt ra. GV yêu cầu các nhóm thảo luận, suy nghĩ trả lời các câu hỏi trong bài toán.
+ Câu (a) chỉ yêu cầu HS kĩ năng tính toán đơn giản để điền số liệu vào bảng cho trước.
+ Câu (b) yêu cầu HS phải biết cách biểu diễn nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo hai công thức cũ và mới.
+ Câu (c), (d) yêu cầu HS có kĩ năng rút gọn biểu thức 220 – x – (208 – 0,7x) và 0,8.(208 – 0,7x).
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Biểu diễn nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo hai công thức cũ và mới lần lượt là hai hàm số f(x) = 220 – x và g(x) = 208 – 0,7x với y thể hiện nhịp tim tối đa trong mỗi phút và x đại diện cho tuổi tính theo năm.
GV yêu cầu nhóm HS biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ để biết được công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như thế nào?
55
Hình 2.4: Mô hình nhịp tim tối đa được khuyến cáo
Nhóm HS quan sát mô hình trên và đưa ra nhận xét: Khi x > 40 ta có đồ thị hàm f(x) = 220 – x nằm phía dưới đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x và khi x < 40 thì đồ thị hàm f(x) = 220 – x nằm phía trên đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x.
Vì hai hàm số có hệ số góc khác nhau nên đồ thị của chúng cắt nhau tại một điểm. GV hướng dẫn HS xác định điểm này bằng cách giải phương trình 220 – x = 208 – 0,7x để suy ra nghiệm của phương trình là x = 40 và y = 180.
Tiếp theo, HS rút gọn biểu thức 220 – x – (208 – 0,7x) và 0,8.(208 – 0,7x), ta có: 220 – x – (208 – 0,7x) = 12 – 0,3x và 0,8.(208 – 0,7x) = 166,4 – 0,56x.
- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Bài toán cho biết thông tin thực tế về sức khỏe con người để từ đó con người biết cách chăm sóc cơ thể, giữ gìn sức khỏe và có chế độ luyện tập thể dục phù hợp với tình trạng sức khỏe bản thân. Nhóm HS cần rút ra nhận xét: Ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim được khuyến cáo ở công thức mới cao hơn công thức ban đầu và thấp hơn công thức ban đầu với lứa tuổi dưới 40.
56
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): GV cho HS các nhóm tiến hành đo nhịp tim các thành viên trong nhóm bằng máy đo nhịp tim điện tử thông qua một trò chơi vận động. Sau đó yêu cầu HS các nhóm đo nhịp tim rồi lấy kết quả trung bình các thành viên trong nhóm. So sánh kết quả của các nhóm, áp dụng vào công thức đo nhịp tim và nhận xét về mức độ hoạt động đã phù hợp với nhịp tim được khuyến cáo hay chưa. Đưa ra khuyến cáo đối với các thành viên trong gia đình về nhịp tim của mỗi người (nhiệm vụ giao về nhà).
* Phân tích kết quả hoạt động:
Các nhóm HS đã biết chuyển những thông tin đã cho trong bảng biểu thành phương trình đại số (hay hàm số), HS biết thao tác với các biểu thức đại số để giải quyết vấn đề đặt ra ban đầu. Kết quả cho thấy, hơn 60% số HS đạt được kĩ năng MHH ở cấp độ 3 và cấp độ 4, các em rất hào hứng với trò chơi vận động và đo nhịp tim các thành viên trong nhóm bằng máy đo điện tử.
Tóm lại, bài toán trên minh họa cho ứng dụng của toán học trong việc giải quyết những vấn đề có liên quan đến chất lượng cuộc sống của con người. HS phải kết hợp nhiều kĩ năng đã học: kĩ năng thiết lập hàm số, kĩ năng rút gọn biểu thức toán học, kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, kĩ năng vẽ và đọc hiểu biểu diễn của đồ thị hàm số, kĩ năng vận dụng kiến thức toán học phổ thông giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn,…