bài tập nhập môn toán cao cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA TOÁN NGUYỄN DƯƠNG HOÀNG BÀI TẬP NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP ĐỒNG THÁP -2011 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng BÀI TẬP CHƯƠNG Đề Liệt kê phần tử tập hợp sau: a) A = {x ∈ R|(x − 1)(2x2 + 3x + 1) = 0} b) B = {x ∈ Z|xx = x} c) C = {x ∈ N |x ước 24} ET d) D = {x ∈ N |x2 + 4x − = 0} Đề Viết lại tập hợp sau cách tính chất đặc trưng phần tử ATH S.N a) A = {5, 10, 15, 20, 25} b) B = {−2, −1, 0, 1, 2} 1 c) C = {1, , , , · · · } d) D = {∅} Đề Xét quan hệ tập A B cho đây: a) A = {n ∈ N |n2 < 7}; B = {n ∈ N |n3 < 10} TM b) A = {các đa giác có chu vi 4m}, B = {các hình vuông có diện tích m2 } Đề Cho A = {−2, −1, 0, 3, 4}, B = {−1, 2, 3, 5} a) Xác định tập A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A∆B VIE b) Tìm tất tập A mà tập B Đề Cho A = {−2, −1, 0, 1, 4}, B = {0, 1, 2} Hãy xác định tập sau đây: a) {(x, y) ∈ A × B|x < y} b) {(x, y) ∈ A × B|x2 ≤ y } Đề Liệt kê phần tử tập sau: a) {(a, b) ∈ N |a + b = 8} b) {(a, b) ∈ N |a = − 2b} Đề Cho A = {−2; −1; 0; 1; 2}, B = {0; 1; 2} Hãy xác định tập sau đây: Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng a) {(x, y) ∈ A × B|x < y} b) {(x, y) ∈ A × B|x2 ≤ y } c) {(x.y) ∈ A × B|ylà ước x} d) {(x, y) ∈ A × B|xy = 0} Đề Kí hiệu φ tập rỗng Xác định số tập sau: a) {1; 0; {φ, {1}}} b) {φ; {φ, 1}} Đề Trong số 50 học sinh lớp có 25 học sinh có khiếu Toán, 17 có khiếu Văn, 12 khiếu Văn Toán Tìm số học sinh lớp có khiếu Văn Toán Đề 10 Trong lớp học có 20 em xin bồi dưỡng môn Toán, em xin bồi dưỡng chi môn Văn, 15 em xin bồi dưỡng thêm môn Tiếng Anh, số có em xin bồi dưỡng môn Tiếng Anh; em xin bồi dưỡng thêm môn Văn, Toán, Tiếng Anh, em xin bồi dưỡng Văn Toán, em xin bồi dưỡng thêm Tiếng Anh Toán Hỏi: a) Có học sinh xin bồi dưỡng thêm Văn Tiếng Anh? b) Lớp có học sinh, biết học sinh lớp xin đăng kí học thêm môn Đề 11 Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 30 cán phiên dịch tiếng Anh 25 cán phiên dịch tiếng Pháp, có 12 cán phiên dịch hai thứ tiếng Anh Pháp Hỏi: a) Ban tổ chức huy động tất cán phiên dịch cho hội nghị đó? b) Có cán phiên dịch tiếng Anh? phiên dịch tiếng Pháp? Đề 12 Cho tập X = {2, 3, 4, 5, 6} Trên X xác định quan hệ sau: aS1 b ⇔ a = b aS2 b ⇔ a ≤ b aS3 b ⇔ a < b Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng aS4 b ⇔ a b aS5 b ⇔ a \ b aS6 b ⇔ a, b nguyên tố a) Liệt kê phần tử quan hệ b) Biểu diễn quan hệ mặt phẳng tọa độ Đề 13 Trên tập Z, xét tính chất quan hệ sau đây: ET a) aRb a+b lẻ b) aSb a+b Chẵn ATH S.N Đề 14 Gọi X tập học sinh lớp Trên X xác định quan hệ: aS1 b a B năm sinh, aS2 b a, b giới tính a) Chứng tỏ S1 , S2 quan hệ tương đương b) Xác định tập thương X/S1 X/S2 Đề 15 Gọi X tập hợp điểm mặt phẳng O ∈ X điểm cố định Xét quan hệ ARB O, A, B thẳng hàng a) Chứng tỏ R không quan hệ tương đương X TM b) Chứng tỏ R quan hệ tương đương X ∗ = X \ {0}.Xác định tập thương X ∗ /R Đề 16 Trên tập N , xét quan hệ R sau đây: ∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ N , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1 VIE Chứng minh R quan hệ tương đương N Hãy tập thương Đề 17 Trên tập Z × N ∗ , xét quan hệ R sau đây: ∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ Z × N ∗ , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇔ m1 n2 = m2 n1 Chứng minh R quan hệ tương đương Z × N ∗ Hãy tập thương Đề 18 Trên tập X = R2 xét quan hệ sau (x1 , y1 )S(x2 , y2 ) |y1 | = |y2 | a) Chứng tỏ S quan hệ tương đương X b) Xác định tập thương X/S minh họa mặt phẳng tọa độ Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Đề 19 Kí hiệu X tập điểm mặt phẳng O ∈ X điểm cố định Trên X xét quan hệ M N OM = ON a) Chứng tỏ quan hệ tương đương X b) Xác định lớp tương đương chứa điểm A ∈ X c) Mô tả tập thương X/ Đề 20 Trên R xét quan hệ : aSb a3 ≤ b3 aT b a2 ≤ b2 Chứng tỏ S quan hệ thứ tự toàn phần R T không quan hệ thứ tự R Đề 21 Tìm miền xác định ánh xạ cho biểu thức sau: 2+x 2−x x − 3x − b) f (x) = ln x−1 π c) f (x) = ln(sin ) a) f (x) = (x + 1) Đề 22 Cho ví dụ ánh xạ f : N → N a) Đơn ánh không toàn ánh b) Vừa toàn ánh vừa đơn ánh khác ánh xạ đồng c) Không đơn ánh không toàn ánh Đề 23 Chứng minh f : A → A toàn ánh f ◦ f = f f ánh xạ đồng Đề 24 Cho ánh xạ f : A → B X Y tập A, S T tập B Chứng minh rằng: a) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ) b) f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ) c) f (A \ X) =⊃ f (A) \ f (X) Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Đề 25 Giả sử n số tự nhiên cho trước, f ánh xạ từ tập N đến xác định bởi: n − k k < n n + k k ≥ n f (x) = f có phải đơn ánh, toàn ánh, song ánh không? Đề 26 Cho ánh xạ ET f :R → R x → x2 − 3x + a) b) c) d) ATH S.N Hãy xác định: f (0), f (1), f (−1) f −1 (0), f −1 (1), f −1 (−1) Imf, f ((0; +∞)), f ([2, +∞)) f −1 ([0; +∞), f −1 ((−∞, 0]) Đề 27 Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh ánh xạ sau Trường hợp f song ánh tìm ánh xạ ngược a) VIE b) TM f :R → R x → x5 − f :R → R x → x2 − 3x + c) f :R \ {2} → R 3x − x→ x−2 d) f :[1, +∞) → [−5, ∞) x → x2 − 2x − Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Đề 28 Cho ánh xạ f : X → Y Trên tập X xét quan hệ xSy f (x) = f (y) a) Chứng minh S quan hệ tương đương X b) Mô tả tập thương X/S Chứng tỏ có đơn ánh từ X/S Đề 29 Cho ánh xạ f : A → B Chứng minh rằng: a) f đơn ánh với tập X với g, g : X → A, f ◦ g = f ◦ g kéo theo g = g b) f toàn ánh với tập Y với h, h : B → Y, h ◦ f = h ◦ f kéo theo h = h Đề 30 Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số có chữ số a) Các chữ số không cần khác b) Các chữ số khác c) Số đầu số cuối trùng nhau, khác với số Đề 31 Bảy người (A,B,C,D,E,F,G) lên đoàn tàu có 10 toa Hỏi có cách lên: a) Một cách tùy ý b) Mỗi người toa khác c) A B lên toa, người khác tùy ý Đề 32 Trong liên hoan lớp học, tất người bắt tay người ta đếm tất 1225 bắt tay Hãy tìm số người lớp Đề 33 Có thể vẽ tam giác từ n điểm mặt phẳng, có m điểm nằm đường thẳng d ba điểm không nằm đường thẳng d không thẳng hàng Đề 34 Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có cách chọn người trực lớp a) Một cách tùy ý b) Có nữ c) Có nữ d) Có nhiều hai nữ Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Đề 35 Trên đường tròn cho n điểm A1 , A2 , · · · , An Hỏi lấy điểm làm đỉnh thì: a) Xác định tam giác b) Xác định tứ giác lồi c) Xác định đa giác lồi ET Đề 36 Có cách phân phối đồ vật khác vào hộp khác cho hộp thứ chứa đồ vật, hộp thứ hai chứa đồ vật hộp thứ ba chứa đồ vật ATH S.N Đề 37 Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ta ghi số tự nhiên thỏ mãn điều kiện sau đây: a) Có chữ số số chẵn b) Có chữ số khác c) Có chữ số chia hết cho VIE TM d) Có chữ số đồng thời chữ số hàng lớn chữ số hàng liền trước Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng BÀI TẬP CHƯƠNG Đề Viết phủ định mệnh đề sau: a) a b không âm b) a b không âm c) Phương trình (1) phương trình (2) có nghiệm d) Phương trình (1) phương trình (2) có nghiệm Đề Các mệnh đề sau, mệnh đề đúng: a) Nếu người Mỹ lên vũ trụ người Việt Nam lên vũ trụ b) Nếu băng Bắc Cực châu lục không c) Nếu chạch đẻ đa, sáo đẻ nước ta lấy Đề Viết mệnh đề sau dạng kí hiệu: a) Nếu nước độc lập mà dân không hưởng hạnh phúc độc lập ý nghĩa gì? (Hồ Chí Minh) b) Đường khó, không khó ngăn sông cách núi mà khó lòng người ngại núi e sông (Nguyễn Bá Học) c) Nó gầy làm việc nhiều, bệnh Đề Kiểm tra lô hàng Kí hiệu pi mệnh đề lô hàng i đạt yêu cầu (i = 1, 2, 3) Sử dụng p1 , p2 , p3 phép toán, biểu diễn mệnh đề: a) Lô hàng đạt yêu cầu b) Không lô hàng đạt yêu cầu c) Có lô hàng đạt yêu cầu d) Có không lô hàng đạt yêu cầu Đề Chứng minh đẳng thức sau theo cách lập bảng chân trị biến đổi đồng a) p ⇒ (q ⇒ r) = q ⇒ (p ⇒ r) b) p ⇒ (q ⇒ r) = p ∧ q ⇒ r c) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) = p ⇒ q ∧ r Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng d) ((p ∧ q) ∨ (p ∧ q)) ∧ p = Đề Chứng minh công thức sau đúng, sau viết chúng dạng luật a) p ∧ (p ∨ q) ⇒ q b) (p ⇒) ∧ (p ⇒ q) ⇒ q c) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q) ⇒ p ET Đề Tìm miền hàm mệnh đề xác định R số thực a) 2x + > 3x c) 3x2 + 5x + 10 > d) x2 + 3x + ≤ ATH S.N b) 5x2 − 4x − ≤ Đề Tìm miền hàm mệnh đề xác định N số tự nhiên a) n chia hết cho b) n ước 15 c) n chia hết cho TM d) n(2n2 − 3n + 1) = Đề Tìm miền hàm mệnh đề hai biến xác định R số thực Biểu diễn chúng mặt phẳng tọa độ b) xy ≥ c) x ≤ y VIE a) x = y d) |x + y| = Đề 10 Cho hai hàm mệnh đề xác định R: P (x) : x − ≥ 0; Q(x) : x2 − 7x + 10 ≤ Hãy tìm miền hàm mệnh đề: P (x) ∧ Q(x); P (x) ∨ Q(x), P (x) ⇒ Q(x); P (x) ⇔ Q(x) 10 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Đề 11 Cho hai hàm mệnh đề xác định R: P (x, y) : x + y = 2; Q(x, y) : 2x + y = Hãy tìm miền hàm mệnh đề: P (x, y) ∧ Q(x, y); P (x, y) ∨ Q(x, y), P (x, y) ⇒ Q(x, y); P (x, y) ⇔ Q(x, y) Biểu diễn mặt phẳng tọa độ Đề 12 Dùng lượng từ ∃ ∀ để biểu diễn mệnh đề đây, sau thiết lập mệnh đề phủ định chúng a) Một số học sinh không hiểu b) Có ớt không cay c) Tất chất khí không dẫn điện Đề 13 Bạn chứng tỏ kết luận sau sai: 1) Có số tự nhiên mà số chẵn nhỏ 2) Mọi người đàn ông có người đàn bà vợ người 3) Mỗi tháng có ba ngày chủ nhật ngày lẻ Đề 14 Cho trước mệnh đề: 1) Trẻ sơ sinh chưa có tư logic 2) Chúng ta không dám coi thường người chinh phục cá sấu 3) Chúng ta coi thường những người chưa có tư logic Đề 15 Diễn đạt ngôn ngữ thông thường xác định tính sai mệnh đề: 1) ∀x∈R (|x| > 0) 2) ∃x∈R (|x| ≤ 0) 3) ∃x∈R ∀y∈R (x + y) = 4) ∀x∈R ∃y∈R (x + y) = Đề 16 Rút gọn công thức 1) A = x ∨ y ⇒ (x ⇒ z) 2) B = (x ⇔ y) ∨ x 3) C = x ⇒ y ∨ (x ⇒ y) 11 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 4) D = (xy ∨ xy)z ∨ (xy ∨ xy).z Đề 17 Ba tên Cam, Quýt Cuội bị tố cáo tham gia vào vụ cướp nhà băng Bọn chúng lẫn trốn xe riêng Trong điều tra: • Tên Cam khai bọn chúng TOYOTA màu xanh • Tên Quýt khai MERCESDES màu đen ET • Riêng tên Cuội cam đoan chún bỏ chạy FORD màu xanh ATH S.N Giả sử rằng, lời khai tên đúng: màu xe, nhãn hiệu Oto Hỏi Oto màu gì? hãng xe nào? Đề 18 Sau làm kiểm tra, đường nhà Bạn An nói: Mình điểm 10 Bạn Bình khẳng định Còn bạn Cúc vẻ không tự tin: không đạt điểm 10 Sau thầy giáo trả bài: Một bạn đạt điểm 6, bạn đạt điểm 10 So với dự kiến ban đầu có hai bạn trả lời đúng, người sai Hỏi điểm kiểm tra bạn TM Đề 19 Bốn đội bóng A, B, C, D tham gia vào thi đấu để xếp hạng • Một người dự đoán: B hạng nhì, C hạng ba VIE • Người thứ hai dự đoán: A hạng nhì, C hạng tư • Người thứ ba dự đoán: B hạng nhất, D hạng nhì Kết cho thấy người có phần phần sai Vậy kết xếp hạng Đề 20 Trong phòng có 100 người quen với 67 người khác Chứng minh phòng phải có người đôi quen Đề 21 Một gia đình có người: bố, mẹ, em gái, anh trai chị gái Những buổi xem hát vào tối thứ tuân theo quy luật sau: a) Nếu bố mẹ, hai chị,em gái 12 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng b) Hai chị em gái không đồng thời c) Anh trai em gái hoặc không Hỏi, tuân theo quy tắc gia đình xem hát trường hợp sau: TH1: Mẹ không anh trai TH2: Bố hai chị em Đề 22 Một giải bóng đá có n đội tham dự, đội thi đấu vòng tròn mọt lượt Trong trận, đội thắng hai điểm Đội hòa điểm đội thua không điểm Các đội có số điểm xếp hạng theo số phụ Khi kết thúc giải, đội vô địch điểm, đội xếp thứ nhì điểm, đội xếp thứ ba điểm Các đội lại có số điểm khác nhau, cho biết số đội tham dự giải số điểm đội lại (có giải thích rõ) Đề 23 Sau thời gian dài xa cách, hai người bạn cũ gặp lại Một hai người thông báo có người trai tích tuổi chúng 36; tổng tuổi chúng số cửa sổ nhà cạnh chỗ họ gặp Người bạn lúng túng tiếp luôn: Đứa trai đầu tóc màu Sau đó, người thứ hai đọc số tuổi đám trẻ cách xác Hỏi tuổi đứa trẻ Đề 24 Cho định lý: "Nếu đường thẳng c mặt phẳng cắt đường thẳng a cắt đường thẳng b hai đường thẳng a b song song với nhau" 1) Viết cấu trúc logic định lí cho 2) Sử dụng hình thức phản đảo, chứng minh định lí cho Đề 25 Có tất 105 học sinh làm đề kiểm tra Đề kiểm tra gồm toán Đại số, toán Hình học toán Lượng giác Biết rằng: 70 em giải toán đại số; 59 em giải toán hình học 62 em giải toán Lượng giác; 90 em làm toán Đại số Hình học; 89 em giải toán Hình học Lượng giác; 91 em học sinh giải toán Đại số Lượng giác; em không làm toán 13 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Hỏi có em học sinh giải ba toán đề kiểm tra.(20 em) Đề 26 Có 10 người họp Mỗi người quen với người khác Chứng tỏ rằng, cần xếp người vào bàn tròn gồm chỗ ngồi xếp cho người ngồi hai quen ATH S.N ET Đề 27 Hãy nêu ví dụ suy luận toán học sống có vận dụng quy tắc suy luận sau: p ⇒ q, q p ⇒ q), p b) a) q p p ∨ q, p p ⇒ q, q ⇒ r d) c) p⇒r q Đề 28 Chứng minh số tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Đề 29 Chứng minh tam giác có nhiều góc tù Hãy nêu quy tắc suy luận sử dụng chứng minh Đề 30 Chứng minh với n ∈ N ∗ n(n + 1) TM 1) + + · · · + n = 2) 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + + · · · + n)2 = [ VIE 1 n + + ··· + = 1.2 2.3 n(n + 1) n(n + 1) 4) (1 + a)n ≥ + na (a > −1) 3) 14 n(n + 1) ] [...]... gồm 1 bài toán Đại số, 1 bài toán Hình học và 1 bài toán Lượng giác Biết rằng: 70 em giải được bài toán đại số; 59 em giải được bài toán hình học và 62 em giải được bài toán Lượng giác; 90 em làm được bài toán Đại số hoặc Hình học; 89 em giải được bài toán Hình học hoặc Lượng giác; 91 em học sinh giải được bài toán Đại số hoặc Lượng giác; còn 6 em không làm được bài toán nào 13 Nhập môn toán cao cấp. .. các mệnh đề: 1) ∀x∈R (|x| > 0) 2) ∃x∈R (|x| ≤ 0) 3) ∃x∈R ∀y∈R (x + y) = 1 4) ∀x∈R ∃y∈R (x + y) = 1 Đề 16 Rút gọn công thức 1) A = x ∨ y ⇒ (x ⇒ z) 2) B = (x ⇔ y) ∨ x 3) C = x ⇒ y ∨ (x ⇒ y) 11 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng 4) D = (xy ∨ xy)z ∨ (xy ∨ xy).z Đề 17 Ba tên Cam, Quýt và Cuội bị tố cáo đã tham gia vào một vụ cướp nhà băng Bọn chúng lẫn trốn bằng xe riêng Trong cuộc điều tra: •... 5 người: bố, mẹ, em gái, một anh trai và một chị gái Những buổi đi xem hát vào tối thứ 7 bao giờ cũng tuân theo quy luật sau: a) Nếu bố đi thì mẹ, ít nhất một trong hai chị,em gái cùng đi 12 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng b) Hai chị em gái không đồng thời cùng đi c) Anh trai và em gái hoặc cùng đi hoặc không cùng đi Hỏi, tuân theo quy tắc trên thì những ai trong gia đình đi xem hát trong.. .Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Đề 11 Cho hai hàm mệnh đề xác định trên R: P (x, y) : x + y = 2; Q(x, y) : 2x + y = 3 Hãy tìm miền đúng của các hàm mệnh đề: P (x, y) ∧ Q(x, y); P (x, y) ∨ Q(x, y), P... chiếc Oto đó màu gì? của hãng xe nào? Đề 18 Sau khi làm bài kiểm tra, trên đường về nhà Bạn An nói: Mình được điểm 10 Bạn Bình khẳng định mình được 6 Còn bạn Cúc vẻ không tự tin: mình không đạt điểm 10 Sau khi thầy giáo trả bài: Một trong 3 bạn đạt điểm 6, một bạn đạt điểm 10 So với dự kiến ban đầu thì có hai bạn trả lời đúng, một người sai Hỏi điểm bài kiểm tra của mỗi bạn TM Đề 19 Bốn đội bóng A, B,... Dương Hoàng Hỏi có bao nhiêu em học sinh giải được cả ba bài toán của đề kiểm tra.(20 em) Đề 26 Có 10 người đi họp Mỗi người quen với ít nhất là 5 người khác Chứng tỏ rằng, nếu cần sắp xếp 4 người vào một bàn tròn gồm 4 chỗ ngồi thì có thể xếp sao cho người nào cũng ngồi giữa hai quen của mình ATH S.N ET Đề 27 Hãy nêu những ví dụ suy luận trong toán học hoặc trong cuộc sống có vận dụng những quy tắc... ⇒ Q(x, y); P (x, y) ⇔ Q(x, y) Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Đề 12 Dùng lượng từ ∃ hoặc ∀ để biểu diễn các mệnh đề dưới đây, sau đó thiết lập mệnh đề phủ định của chúng a) Một số học sinh không hiểu bài b) Có quả ớt không cay c) Tất cả chất khí đều không dẫn điện Đề 13 Bạn hãy chứng tỏ những kết luận sau đây là sai: 1) Có một số tự nhiên mà mọi số chẵn đều nhỏ hơn nó 2) Mọi người đàn ông đều có một .. .Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng BÀI TẬP CHƯƠNG Đề Liệt kê phần tử tập hợp sau: a) A = {x ∈ R|(x − 1)(2x2 + 3x + 1) = 0} b)... tra gồm toán Đại số, toán Hình học toán Lượng giác Biết rằng: 70 em giải toán đại số; 59 em giải toán hình học 62 em giải toán Lượng giác; 90 em làm toán Đại số Hình học; 89 em giải toán Hình... Hình học Lượng giác; 91 em học sinh giải toán Đại số Lượng giác; em không làm toán 13 Nhập môn toán cao cấp TS Nguyễn Dương Hoàng Hỏi có em học sinh giải ba toán đề kiểm tra.(20 em) Đề 26 Có 10 người