bài tập toán cao cấp 2 giới hạn và liên tục phép tính vi phan hàm mọt biến và nhiều biến

MATHEDUCARE.COM Bài tập toán cao cấp Tập Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân hàm nhiều biến, Cực trị hàm nhiều biến Tài liệu Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác khơng chấp thuận nhà xuất tác giả MATHEDUCARE.COM ˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆP BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆI NHA MATHEDUCARE.COM Mu.c lu.c a liˆ en tu.c cu’a h` am sˆ o´ Gi´ o.i ha.n v` 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen c´ac `e gi´o.i ha.n y vˆ di.nh l´ `eu 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆ y kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ Bolzano-Weierstrass) `eu 7.1.4 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆ `an v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ y hˆo.i tu kiˆe.n cˆ 7.2 7.3 7.4 Bolzano-Cauchy) Gi´o i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n `e gi´o.i ha.n y co ba’n vˆ 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´ H`am liˆen tu.c `eu biˆe´n Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆ 11 17 25 27 27 41 51 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o.t biˆ e´n 60 - a.o h`am 61 8.1 D - a.o h`am cˆa´p 61 8.1.1 D - a.o h`am cˆa´p cao 62 8.1.2 D 8.2 Vi phˆan 8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 75 75 MATHEDUCARE.COM MU C LU C 8.3 8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao `e h`am kha’ vi Quy t˘a´c l’Hospital y co ba’n vˆ C´ac di.nh l´ Cˆong th´ u.c Taylor `e h`am kha’ vi y co ba’n vˆ 8.3.1 C´ac d i.nh l´ 8.3.2 Khu’ c´ac da.ng vˆo di.nh Quy t˘a´c Lˆopitan (L’Hospitale) 8.3.3 Cˆong th´ u.c Taylor `eu biˆ Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am nhiˆ e´n - a.o h`am riˆeng 9.1 D - a.o h`am riˆeng cˆa´p 9.1.1 D - a.o h`am cu’a h`am ho p 9.1.2 D 9.1.3 H`am kha’ vi - a.o h`am theo hu.´o.ng 9.1.4 D - a.o h`am riˆeng cˆa´p cao 9.1.5 D `eu biˆe´n 9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ 9.2.1 Vi phˆan cˆa´p ´ du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆ `an d´ ung 9.2.2 Ap 9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan 9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao 9.2.5 Cˆong th´ u.c Taylor 9.3 9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n `eu biˆe´n Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 9.3.1 Cu c tri `eu kiˆe.n 9.3.2 Cu c tri c´o diˆ 9.3.3 Gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am 77 84 84 88 96 109 110 110 111 111 112 113 125 126 126 127 127 129 130 145 145 146 147 MATHEDUCARE.COM Chu.o.ng a liˆ en tu.c cu’a Gi´ o.i ha.n v` h` am sˆ o´ 7.1 ay sˆ o´ Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ 7.1.1 C´ ac b` to´ an liˆen quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ o.i ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trˆen `e gi´ c´ ac di.nh l´ y vˆ o.i ha.n 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a `eu kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ trˆen diˆ ay hˆ o.i tu (nguyˆen Bolzano-Weierstrass) 7.1.4 11 l´ y 17 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trˆen `an v` `eu kiˆe.n cˆ diˆ a du’ dˆe’ d˜ ay hˆ o.i tu (nguyˆen l´ y hˆ o.i tu Bolzano-Cauchy) 25 7.2 Gi´ o.i ha.n h` am mˆ o.t biˆ e´n 27 `e gi´ 7.2.1 C´ ac kh´ niˆe.m v` a di.nh l´ o.i ha.n 27 y co ba’n vˆ 7.3 H` am liˆ en tu.c 41 `eu biˆ Gi´ o.i ha.n v` a liˆ en tu.c cu’a h` am nhiˆ e´n 51 7.4 MATHEDUCARE.COM Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 7.1 ay sˆ o´ Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho p N du.o c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n D˜ay sˆo´ thu.`o.ng du.o c viˆe´t du.´o.i da.ng: a1, a2, , an , (7.1) ho˘a.c {an }, d´o an = f (n), n ∈ N du.o c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at cu’a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng d˜ay `an lu.u y Ta cˆ ´ c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay: i) D˜ay (7.1) du.o c go.i l`a bi ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | M; v`a go.i l`a khˆong bi ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M ii) Sˆo´ a du.o c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u: ∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε (7.2) iii) Sˆo´ a khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u: ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n N ⇒ |an − a| ε (7.3) iv) D˜ay c´o gi´o.i ha.n du.o c go.i l`a d˜ay hˆo.i tu., tru.`o.ng ho p ngu.o c la.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k` y v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c` ung b´e nˆe´u lim an = v`a go.i l`a d˜ay n→∞ vˆo c` ung l´o.n nˆe´u ∀ A > 0, ∃ N cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v`a viˆe´t lim an = ∞ `eu kiˆe.n cˆ `an dˆe’ d˜ay hˆo.i tu l`a d˜ay d´o pha’i bi ch˘a.n vi) Diˆ Ch´ u ´y: i) Hˆe th´ u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i: −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε (7.4) MATHEDUCARE.COM 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay Hˆe th´ u.c (7.4) ch´ `eu n˘a`m khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan hˆo.i tu dˆ cˆa.n cu’a diˆe’m a u Nhu vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr` `eu n˘`am ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k` y b´e bao mˆo.t sˆo´ h˜ u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆ nhiˆeu t` uy y ´ cu’a diˆe’m a ´ r˘`ang d˜ay sˆo´ vˆo c` ung l´o.n khˆong hˆo.i tu v`a k´ y hiˆe.u ii) Ta lu.u y ung l´o n v`a k´ y hiˆe.u d´o lim an = ∞ (−∞) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an l`a vˆo c` ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n 7.1.1 C´ ac b` to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ o.i ha.n `an tiˆe´n Dˆe’ ch´ u.ng minh lim an = a b˘a`ng c´ach su’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆ h`anh theo c´ac bu ´o c sau dˆay: i) Lˆa.p biˆe’u th´ u.c |an − a| `eu d´o c´o lo i) cho |an − a| bn ∀ n v`a ii) Cho.n d˜ay bn (nˆe´u diˆ y bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n: v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k` bn < ε (7.5) ˜e d`ang Gia’ su’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f (ε), c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆ `an f (ε) > Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l`a [f (ε)], d´o [f (ε)] l`a phˆ nguyˆen cu’a f (ε) ´ V´I DU CAC n V´ı du Gia’ su’ an = n(−1) Ch´ u.ng minh r˘`ang: i) D˜ay an khˆong bi ch˘a.n ung l´o.n ii) D˜ay an khˆong pha’i l`a vˆo c` Gia’i i) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng an tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong bi ch˘a.n Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi ch˘a.n n v`a l´o.n ho.n M Diˆ MATHEDUCARE.COM Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ ii) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng an khˆong pha’i l`a vˆo c` ung l´o.n Thˆa.t vˆa.y, ta x´et khoa’ng (−2, 2) Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’ `eu thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı n le’ th`ı ta c´o: dˆ n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2) u d´o, Nhu vˆa.y kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay T` ung l´o.n theo di.nh ngh˜ıa suy an khˆong pha’i l`a vˆo c` u.ng minh r˘`ang: V´ı du D` ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´ 1) lim n→∞ (−1)n−1 = n 2) lim n→∞ n = n+1 `an ch´ Gia’i Dˆe’ ch´ u.ng minh d˜ay an c´o gi´o.i ha.n l`a a, ta cˆ u.ng minh r˘a`ng dˆo´i v´o.i mˆ˜o i sˆo´ ε > cho tru.´o.c c´o thˆe’ t`ım du.o c sˆo´ N (N phu thuˆo.c ε) cho n > N th`ı suy |an − a| < ε Thˆong thu.`o.ng ta ˜e n N qua ε c´o thˆe’ chı’ cˆong th´ u.c tu.`o.ng minh biˆe’u diˆ 1) Ta c´o: |an − 0| = (−1)n−1 = · n n Gia’ su’ ε l`a sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c t` uy y ´ Khi d´o: 1 · n ε `eu kiˆe.n: V`ı thˆe´ ta c´o thˆe’ lˆa´y N l`a sˆo´ tu nhiˆen n`ao d´o tho’a m˜an diˆ N> 1 ⇒ < ε ε N `an nguyˆen (Ch˘a’ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/ε], d´o [1/ε] l`a phˆ cu’a 1/ε) Khi d´o ∀ n N th`ı: |an − 0| = n < ε N MATHEDUCARE.COM 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ (−1)n `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a lim = Diˆ n→∞ n 2) Ta lˆa´y sˆo´ ε > bˆa´t k` y v`a t`ım sˆo´ tu nhiˆen N (ε) cho ∀ n > N (ε) th`ı: n − < ε n+1 u.c Bˆa´t d˘a’ng th´ |an − 1| < ε ⇔ 1 < ε ⇔ − n+1 ε `an nguyˆen cu’a Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y sˆo´ N (ε) l`a phˆ − 1, t´ u.c l`a: ε N (ε) = E((1/ε) − 1) Khi d´o v´o.i mo.i n N ta c´o: 1 n n −1 = < ε ⇒ lim = n→∞ n + n+1 n+1 N +1 y: V´ı du Ch´ u.ng minh r˘`ang c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k` n∈N 1) an = n, 2) an = (−1)n , 3) n∈N an = (−1)n + · n (7.6) (7.7) (7.8) Gia’i 1) Gia’ su’ d˜ay (7.6) hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y ε = `on ta.i sˆo´ hiˆe.u N cho ∀ n > N th`ı Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆ u d´o −1 < n − a < ta c´o |an − a| < ngh˜ıa l`a |n − a| < ∀ n > N T` ∀ n > N ⇔ a − < n < a + ∀ n > N u.c n < a + 1, ∀ n > N l`a vˆo l´ y v`ı tˆa.p ho p c´ac Nhu.ng bˆa´t d˘a’ng th´ sˆo´ tu nhiˆen khˆong bi ch˘a.n 2) C´ ach Gia’ su’ d˜ay an hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y lˆan 1 cˆa.n a − , a + cu’a diˆe’m a Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da.ng: 2 {an } = −1, 1, −1, 1, (7.9) MATHEDUCARE.COM Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 1 l`a b˘a`ng nˆen hai diˆe’m −1 V`ı dˆo d`ai cu’a khoa’ng a − , a + 2 1 `ong th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.n a − , a + cu’a diˆe’m a, v`a +1 khˆong thˆe’ dˆ 2 `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a o’ ngo`ai v`ı khoa’ng c´ach gi˜ u.a −1 v`a +1 b˘a`ng Diˆ 1 c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´ u lˆan cˆa.n a − , a + 2 y ´ o’ trˆen) sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay C´ ach Gia’ su’ an → a Khi d´o ∀ ε > (lˆa´y ε = ) ta c´o |an − a| < ∀ n N V`ı an = ±1 nˆen |1 − a| < , | − − a| < ⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| ⇒2 < 1, |1 − a| + |a + 1| 1 + =1 2 vˆo l´ y `e v´o.i n´o Sˆo´ ha.ng kˆ 3) Lu.u y ´ r˘a`ng v´o.i n = 2m ⇒ a2m = + 2m c´o sˆo´ hiˆe.u le’ 2m + (hay 2m − 1) v`a a2m+1 = −1 + 1 < (hay a2m−1 = −1 + 2m + 2m − 0) T` u d´o suy r˘a`ng |an − an−1 | > `au t` Nˆe´u sˆo´ a n`ao d´o l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (an ) th`ı b˘´at dˆ u sˆo´ hiˆe.u n`ao u.c |an − a| < Khi d´o d´o (an ) tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ng th´ 1 |an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 2 `e bˆa´t k` u.a hai sˆo´ ha.ng kˆ y cu’a d˜ay d˜a cho luˆon luˆon Nhu.ng hiˆe.u gi˜ `eu mˆau thuˆa˜ n n`ay ch´ u.ng to’ r˘a`ng khˆong mˆo.t sˆo´ thu c l´o.n ho.n Diˆ n`ao c´o thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay d˜a cho MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 144 ˜ Chı’ dˆ a n X´et h`am f = ln(x3 + y ), M0(0, 1) ii) b = 5e0,02 + (2, 03)2 ˜ Chı’ dˆ a n X´et h`am f = (DS ≈ 3, 037) 5ex + y 2, M0 (0, 2) ´.ng du.ng dˆe’ t´ınh 35 T´ınh vi phˆan cu’a h`am f (x, y) = x3 + y U xˆa´p xı’ (1, 02)3 + (1, 97)3 (DS ≈ 2, 95) Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay (36-38) h˜ay t´ınh vi phˆan cˆa´p cu’a ´.ng h`am ˆa’n z(x, y) x´ac di.nh bo’.i c´ac phu.o.ng tr`ınh tu.o.ng u 36 z + 3x2 z = 2xy (DS dz = (2y − 6xz)dx + 2xdy ) 3(x2 + z 2) 37 cos2 x + cos2 y + cos2 z = (DS dz = − sin 2xdx + sin 2ydy ) sin 2z 38 x + y + z = e−(x+y+z) (DS dz = −dx − dy) 39 Cho w l`a h`am cu’a x v`a y x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh w x = ln + w y T´ınh vi phˆan dw, d2 w (DS dw = w(ydx + wdy) , y(x + w) d2 w = − w2 (ydx − xdy)2 ) y (x + w)2 40 T´ınh dw v`a d2 w nˆe´u h`am w(x, y) du.o c x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh y w − x = arctg w−x (w − x)dy , (w − x)2 + y + y 2(y + 1)(w − x)[(w − x)2 + y 2] dy ) d2 w = − [(w − x)2 + y + y]3 (DS dw = dx + MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 9.3 9.3.1 145 `eu biˆ am nhiˆ e´n Cu c tri cu’a h` Cu c tri H`am f (x, y) c´o cu c da.i di.a phu.o.ng (ho˘a.c cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng) b˘`ang `on ta.i δ-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m M0 f (x0, y0 ) ta.i diˆe’m M0 (x0, y0 ) ∈ D nˆe´u tˆ cho v´o.i mo.i diˆe’m M = M0 thuˆo.c lˆan cˆa.n ˆa´y ta c´o f (M) < f (M0 ) (tu.o.ng u ´.ng : f (M) > f (M0 )) Go.i chung cu c da.i, cu c tiˆe’u cu’a h`am sˆo´ l`a cu c tri cu’a h`am sˆo´ `eu kiˆe.n cˆ `an dˆe’ tˆ `on ta.i cu c tri di.a phu.o.ng: Nˆe´u ta.i diˆe’m M0 h`am Diˆ f (x, y) c´o cu c tri di.a phu.o.ng th`ı ta.i diˆe’m d´o ca’ hai da.o h`am riˆeng cˆa´p `eu b˘a`ng ho˘a.c ´ıt nhˆa´t mˆo.t hai da.o h`am `on ta.i) dˆ (nˆe´u ch´ ung tˆ `on ta.i (d´o l`a nh˜ u.ng diˆe’m t´ o.i ha.n ho˘a.c diˆe’m d` u.ng cu’a riˆeng khˆong tˆ `eu l`a diˆe’m cu c tri u.ng dˆ h`am f (x, y)) Khˆong pha’i mo.i diˆe’m d` `eu kiˆe.n du’: gia’ su’ Diˆ fxx (M0 ) =, fxy (M0 ) = B, fyy (M0 ) = C Khi d´o: i) Nˆe´u ∆(M0) = A B > v`a A > th`ı ta.i diˆe’m M0 h`am f c´o B C cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng ii) Nˆe´u ∆(M0 ) = A B > v`a A < th`ı ta.i diˆe’m M0 h`am f c´o B C cu c da.i di.a phu.o.ng A B < th`ı M0 l`a diˆe’m yˆen ngu a cu’a f , t´ u.c B C l`a ta.i M0 h`am f khˆong c´o cu c tri iii) Nˆe´u ∆(M0 ) = A B = th`ı M0 l`a diˆe’m nghi vˆa´n (h`am f c´o B C thˆe’ c´o v`a c˜ ung c´o thˆe’ khˆong c´o cu c tri ta.i d´o) iv) Nˆe´u ∆(M0) = MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 146 9.3.2 `eu kiˆ o diˆ Cu c tri c´ e.n `eu kiˆe.n cu’a h`am f (x, y) Trong tru.`o.ng ho p do.n gia’n nhˆa´t, cu c tri c´o diˆ `eu kiˆe.n c´ac biˆe´n l`a cu c da.i ho˘a.c cu c tiˆe’u cu’a h`am d´o da.t du.o c v´o.i diˆ ang buˆ o.c) x v`a y tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh ϕ(x, y) = (phu.o.ng tr`ınh r` `eu kiˆe.n v´o.i diˆ `eu kiˆe.n r`ang buˆo.c ϕ(x, y) ta lˆa.p Dˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆ h` am Lagrange (h` am bˆ o’ tro ) F (x, y) = f (x, y)λϕ(x, y) d´o λ l`a h˘`ang sˆo´ nhˆan chu.a du.o c x´ac di.nh v`a di t`ım cu c tri thˆong ap th` u.a sˆ o´ bˆ a´t di.nh thu.`o.ng cu’a h`am bˆo’ tro n`ay Dˆay l`a phu.o.ng ph´ Lagrange `eu kiˆe.n cˆ `an dˆe’ tˆ `on ta.i cu c tri c´o diˆ `eu kiˆe.n l`a gia’i T`ım diˆ hˆe phu.o.ng tr`ınh  ∂f ∂ϕ ∂F   = +λ =0    ∂x ∂x  ∂x ∂f ∂ϕ ∂F (9.15) = + λ =0   ∂y ∂y ∂y    ϕ(x, y) = T` u hˆe n`ay ta c´o thˆe’ x´ac di.nh x, y v`a λ `e tˆ `on ta.i v`a d˘a.c t´ınh cu’a cu c tri di.a phu.o.ng du.o c minh di.nh Vˆa´n dˆ trˆen co so’ x´et dˆa´u cu’a vi phˆan cˆa´p hai cu’a h`am bˆo’ tro ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F d F = dxdy + dx + dy ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 `eu du.o c t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri x, y, λ thu du.o c gia’i hˆe (9.15) v´o.i diˆ kiˆe.n l`a ∂ϕ ∂ϕ dx + dy = (dx2 + dy = 0) ∂x ∂y Cu thˆe’ l`a: MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 147 `eu kiˆe.n i) Nˆe´u d2 F < h`am f (x, y) c´o cu c da.i c´o diˆ `eu kiˆe.n ii) Nˆe´u d F > h`am f (x, y) c´o cu c tiˆe’u c´o diˆ `an pha’i kha’o s´at iii) Nˆe´u d2 F = th`ı cˆ Nhˆ a.n x´et `eu ho.n du.o c tiˆe´n h`anh i) Viˆe.c t`ım cu c tri cu’a h`am ba biˆe´n ho˘a.c nhiˆ tu.o.ng tu nhu o’ `eu kiˆe.n cu’a h`am ba biˆe´n ho˘a.c ii) Tu.o.ng tu c´o thˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆ `eu phu o ng tr`ınh r`ang buˆo.c (sˆ `eu ho n v´o i mˆo.t ho˘a.c nhiˆ o´ phu.o.ng nhiˆ `an lˆa.p h`am bˆo’ tro v´o.i o´ biˆe´n) Khi d´o cˆ tr`ınh r` ang buˆ o.c pha’i b´e ho.n sˆ sˆo´ th` u.a sˆo´ chu.a x´ac di.nh b˘a`ng sˆo´ phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c iii) Ngo`ai phu.o.ng ph´ap th` u.a sˆo´ bˆa´t di.nh Lagrange, ngu.`o.i ta c`on `eu kiˆe.n ap khu’ biˆe´n sˆ o´ dˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆ d` ung phu.o.ng ph´ 9.3.3 a´t v` a b´ e nhˆ a´t cu’a h` am Gi´ a tri l´ o.n nhˆ `en d´ong bi ch˘a.n da.t gi´a tri l´o.n nhˆa´t (nho’ nhˆa´t) H`am kha’ vi miˆ `en u.ng ho˘a.c ta.i diˆe’m biˆen cu’a miˆ ho˘a.c ta.i diˆe’m d` ´ V´I DU CAC V´ı du T`ım cu c tri di.a phu.o.ng cu’a h`am f (x, y) = x4 + y − 2x2 + 4xy − 2y `en x´ac di.nh cu’a h`am l`a to`an m˘a.t ph˘a’ng R2 Gia’i i) Miˆ ii) T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng fx v`a fy v`a t`ım c´ac diˆe’m t´o.i ha.n Ta c´o fx = 4x3 − 4x + 4y, fy = 4y + 4x − 4y Do d´o 4x3 − 4x + 4y = 4y + 4x − 4y = MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 148 v`a t` u d´o x1 = y1 = √ x2 = − √ y2 = √ x3 = √ y3 = − `on ta.i v´o.i mo.i diˆe’m Nhu vˆa.y ta c´o ba diˆe’m t´o.i ha.n V`ı fx , fy tˆ M(x, y) ∈ R2 nˆen h`am khˆong c`on diˆe’m t´o.i ha.n n`ao kh´ac ung ta.i c´ac iii) Ta t´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p hai v`a gi´a tri cu’a ch´ diˆe’m t´o i ha.n fxx (x, y) = 12x2 = 4, fxy = 4, fyy = 12y − Ta.i diˆe’m O(0, 0): A = −4, B = 4, C = −4 √ √ Ta.i diˆe’m M1(− 2, + 2): A = 20, B = 4, C = 20 √ √ Ta.i diˆe’m M2(+ 2, − 2): A = 20, B = 4, C = 20 iv) Ta.i diˆe’m O(0, 0)ta c´o A B −4 = = 16 − 16 = B C −4 Dˆa´u hiˆe.u du’ khˆong cho ta cˆau tra’ l`o.i Ta nhˆa.n x´et r˘`ang lˆan `on ta.i nh˜ u.ng diˆe’m m`a f (x, y) > v`a nh˜ u.ng cˆa.n bˆa´t k` y cu’a diˆe’m O tˆ diˆe’m m`a f (x, y) < Ch˘a’ng ha.n do.c theo trung c Ox (y = 0) ta c´o f (x, y) y=0 = f (x, 0) = x4 − 2x2 = −x2(2 − x2 ) < `an (0, 0), v`a do.c theo du.`o.ng th˘a’ng y = x ta.i nh˜ u.ng diˆe’m du’ gˆ f (x, y) y=x = f (x, x) = 2x4 > u.ng diˆe’m kh´ac cu’a mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a Nhu vˆa.y, ta.i nh˜ `an ∆f (x, y) khˆong c´o c` ung mˆo.t dˆa´u v`a diˆe’m O(0, 0) sˆo´ gia to`an phˆ d´o ta.i O(0, 0) h`am khˆong c´o cu c tri di.a phu o ng √ √ Ta.i diˆe’m M1(− 2, 2) ta c´o A B 20 = = 400 − 16 > B C 20 MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 149 √ √ v`a A > nˆen ta.i M1 (− 2, 2) h`am c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng v`a fmin = −8 √ √ Ta.i diˆe’m M2 ( 2, − 2) ta c´o AC − B > v`a A > nˆen ta.i d´o h`am c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng v`a fmin = −8 V´ı du Kha’o s´at v`a t`ım cu c tri cu’a h`am f (x, y) = x2 + xy + y − 2x − 3y Gia’i i) Hiˆe’n nhiˆen Df ≡ R u.ng Ta c´o ii) T`ım diˆe’m d` fx = 2x + y − fy = x + 2y − ⇒ 2x + y − = 0, x + 2y − = 4 Hˆe thu du.o c c´o nghiˆe.m l`a x0 = , y0 = Do d´o , l`a diˆe’m 3 3 u.ng d´o h`am f khˆong c´o diˆe’m d` u.ng n`ao kh´ac v`ı d` u.ng v`a ngo`ai diˆe’m d` `on tˆa.i ∀(x, y) fx v`a fy tˆ iii) Kha’o s´at cu c tri Ta c´o A = fx2 = 2, B fxy = 1, C = fy2 = Do d´o ∆(M0) = = > v`a A = > nˆen h`am f c´o cu c tiˆe’u ta.i diˆe’m M0 ( , 3 `eu kiˆe.n l`a V´ı du T`ım cu c tri cu’a h`am f (x, y) = − 4x − 3y v´o.i diˆ x v`a y liˆen hˆe v´o.i bo’.i phu.o.ng tr`ınh x2 + y = Gia’i Ta lˆa.p h`am Lagrange F (x, y) = − 4x − 3y + λ(x2 + y − 1) Ta c´o ∂F = −4 + 2λx, ∂x ∂F = −3 + 2λy ∂y MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 150 v`a ta gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh −4 + 2λx = −3 + 2λx = x2 + y = Gia’i ta c´o λ1 = , x1 = , y1 = 5 λ2 = − , x = − , y2 = − 5 V`ı ∂ 2F = 2λ, ∂x2 ∂ 2F = 0, ∂x∂y ∂ 2F = 2λ ∂y nˆen d2 F = 2λ(dx2 + dy 2) 4 Nˆe´u λ = , x = , y = th`ı d2 F > nˆen ta.i diˆe’m , h`am 5 5 `eu kiˆe.n c´o cu c tiˆe’u c´o diˆ Nˆe´u λ = − , x = − , y = − th`ı d2 F < v`a d´o h`am c´o cu c 5 `eu kiˆe.n ta.i diˆe’m − , − da.i c´o diˆ 5 Nhu vˆa.y 16 + = 11, 5 16 fmin = − − = 5 `eu kiˆe.n cu’a h`am V´ı du T`ım cu c tri c´o diˆ 2 1) f (x, y) = x + y + xy − 5x − 4y + 10, x + y = 2) u = f (x, y, z) = x + y + z fmax = + z − x = 1, y − xz = MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 151 Gia’i 1) T` u phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c x + y = ta c´o y = − x v`a f (x, y) = x2 + (4 − x)2 + x(4 − x) − 5x − 4(4 − x) + 10 = x2 − 5x + 10, ta thu du.o c h`am mˆo.t biˆe´n sˆo´ g(x) = x2 − 5x + 10 `eu kiˆe.n cu’a ung ch´ınh l`a cu c tri c´o diˆ v`a cu c tri di.a phu.o.ng cu’a g(x) c˜ ´ du.ng phu.o.ng ph´ap kha’o s´at h`am sˆo´ mˆo.t biˆe´n sˆo´ dˆo´i h`am f (x, y) Ap v´o.i g(x) ta t`ım du.o c g(x) c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng gmin = g Nhu.ng cu c tiˆe’u d´o 15 = · h`am f (x, y) `eu kiˆe.n diˆ (y = − x ⇒ y = − = ) v`a 2 c´o fmin = f ta.i d˜a diˆe’m cho c´o , 2 15 , = · 2 2) T` u c´ac phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c ta c´o z =1+x y = x2 + x + v`a thˆe´ v`ao h`am d˜a cho ta du.o c h`am mˆo.t biˆe´n sˆo´ u = f (x, y(x), z(x)) = g(x) = 2x2 + 4x + ˜e d`ang thˆa´y r˘a`ng h`am g(x) c´o cu c tiˆe’u ta.i x = −1 (khi d´o y = 1, Dˆ `eu kiˆe.n ta.i diˆe’m z = 0) v`a d´o h`am f (x, y, z) c´o cu c tiˆe’u c´o diˆ (−1, 1, 0) v`a fmin = f (−1, 1, 0) = MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 152 u.a sˆo´ bˆa´t di.nh Lagrange t`ım cu c tri V´ı du B˘`ang phu.o.ng ph´ap th` `eu kiˆe.n cu’a h`am c´o diˆ u = x + y + z2 `eu kiˆe.n v´o.i diˆ z−x = y − xz = (9.16) (xem v´ı du 4, ii)) Gia’i Ta lˆa.p h`am Lagrange F (x, y, z) = x + y + z + λ1 (z − x − 1) + λ2 (y − zx − 1) v`a x´et hˆe phu.o.ng tr`ınh                        ∂F = − λ1 − λ2 z = ∂x ∂F = + λ2 = ∂y ∂F = 2z + λ1 − λ2 x = ∂z ϕ1 = z − x − = ϕ2 = y − xz − = Hˆe n`ay c´o nghiˆe.m nhˆa´t x = −1, y = 1, z = 0, λ1 = v`a λ2 = −1 ngh˜ıa l`a M0 (−1, 1, 0) l`a diˆe’m nhˆa´t c´o thˆe’ c´o cu c tri cu’a `eu kiˆe.n r`ang buˆo.c ϕ1 v`a ϕ2 h`am v´o.i c´ac diˆ u.c T` u c´ac hˆe th´ z−x = y − xz = ta thˆa´y r˘`ang (9.16) x´ac di.nh c˘a.p h`am ˆa’n y(x) v`a z(x) (trong tru.`o.ng ˜e d`ang r´ ho p n`ay y(x) v`a z(x) dˆ ut t` u (9.16)) Gia’ su’ thˆe´ nghiˆe.m MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 153 `ong nhˆa´t y(x) v`a z(x) v`ao hˆe (9.16) v`a b˘a`ng c´ach lˆa´y vi phˆan c´ac dˆ th´ u c thu du o c ta c´o dz − dx = ⇒ dy − xdz − zdx = dz = dx dy = (x + z)dx (9.17) Bˆay gi`o t´ınh vi phˆan cˆa´p hai cu’a h`am Lagrange d2 F = 2(dz)2 − 2λ2 dxdz (9.18) Thay gi´a tri λ2 = −1 v`a (9.17) v`ao (9.18) ta thu du.o c da.ng to`an phu.o.ng x´ac di.nh du.o.ng l`a d2 F = 4dx2 `eu kiˆe.n ta.i diˆe’m T` u d´o suy h`am d˜a cho c´o cu c tiˆe’u c´o diˆ M0(−1, 1, 0) v`a fmin = V´ı du T`ım gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a h`am f (x, y) = x2 + y − xy + x + y `en miˆ D = {x 0, y 0, x + y −3} `en D d˜a cho l`a tam gi´ac OAB v´o.i dı’nh ta.i A(−3, 0), Gia’i Miˆ B(0, −3) v`a O(0, 0) u.ng: i) T`ım c´ac diˆe’m d` fx = 2x − y + = fy = 2y − x + = T` u d´o x = −1, y = −1 Vˆa.y diˆe’m d` u.ng l`a M(−1, −1) Ta.i diˆe’m M ta c´o: f (M) = f (−1, −1) = −1 MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 154 ii) Ta c´o A = fxx (−1, −1) = B = fxy (−1, −1) = −1 C = fyy (−1, −1) = Vˆa.y AC − B = − = > 0, nˆen h`am c´o biˆe.t th´ u.c AC − B > v`a A = > Do d´o ta.i diˆe’m M n´o c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng v`a fmin = −1 `en D iii) Kha’o s´at h`am trˆen biˆen cu’a miˆ +) Khi x = ta c´o f = y + y Dˆo´i v´o.i h`am mˆo.t biˆe´n f = y + y, −3 y ta c´o (fln ) x=0 (fnn ) x=0 = ta.i diˆe’m (0, −3) −1 ta.i diˆe’m 0, − = +) Khi y = ta c´o h`am mˆo.t biˆe´n f = x2 + x, −3 tu.o.ng tu : (fln ) y=0 (fnn ) y=0 x v`a = ta.i diˆe’m (0, −3) −1 ta.i diˆe’m − , = +) Khi x + y = −3 ⇒ y = −3 − x ta c´o f (x) = 3x2 + 9x + v`a (fnn ) x+y=−3 (fln ) x+y=−3 −3 3 ta.i diˆe’m − , − 2 = ta.i diˆe’m (0, −3) v`a (−3, 0) = iv) So s´anh c´ac gi´a tri thu du.o c dˆo´i v´o.i f ta kˆe´t luˆa.n fln = ta.i u.ng (−1, −1) (0, −3) v`a (−3, 0) v`a gi´a tri fnn = −1 ta.i diˆe’m d` ` TA ˆ P BAI MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 155 H˜ay t`ım cu c tri cu’a c´ac h`am sau dˆay f = + 6x − x2 − xy − y (DS fmax = 13 ta.i diˆe’m (4, −2)) f = (x − 1)2 + 2y (DS fmin = ta.i diˆe’m (1, 0)) f = x2 + xy + y − 2x − y (DS fmin = −1 ta.i diˆe’m (1, 0)) f = x3y (6 − x − y) (x > 0, y > 0) (DS fmax = 108 ta.i diˆe’m (3, 2)) f = 2x4 + y − x2 − 2y (DS fmax = ta.i diˆe’m (0, 0), fmin = − ta.i c´ac diˆe’m M1 fmin = − ta.i c´ac diˆe’m M3 f = (5x + 7y − 25)e−(x +xy+y ) −1 , −1 v`a M2 ,1 2 −1 , −1 v`a M4 , −1 ) 2 (DS fmax = 3−13 ta.i diˆe’m M1 (1, 3), −1 −3 , ) fmin = −26e−1/52 ta.i diˆe’m M2 26 26 50 20 + , x > 0, y > (DS fmin = 30 ta.i diˆe’m (5, 2)) x y 2 f = x + xy + y − 6x − 9y (DS fmin = −21 ta.i diˆe’m (1, 4)) √ f = x y − x2 − y + 6x + (DS fmax = 15 ta.i diˆe’m (4, 4)) √ 10 f = (x2 + y) ey (DS fmin = − ta.i (0, −2)) e 11 f = + (x − 1) (y + 1) (DS fmin = ta.i diˆe’m (1, −1)) f = xy + ˜ `an kha’o s´at dˆa´u Chı’ dˆ a n Ta.i diˆe’m M0 (1, −1) ta c´o ∆(M0) = Cˆ cu’a f (M) − f (M0 ) = f (1 + ∆x, −1 + ∆y) − f (1, −1) 12 f = − (x − 2)4/5 − y 4/5 (DS fmax = ta.i diˆe’m (2, 0)) ˜ Chı’ dˆ a n Ta.i diˆe’m (2, 0) h`am khˆong kha’ vi Kha’o s´at dˆa´u cu’a f (M) − f (M0 ), M0 = (2, 0) MATHEDUCARE.COM 156 `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ `eu kiˆe.n cu’a c´ac h`am sau dˆay T`ım cu c tri c´o diˆ `eu kiˆe.n x + y = 13 f = xy v´o.i diˆ 1 , ) (DS fmax = ta.i diˆe’m 2 `eu kiˆe.n x2 + y = 14 f = x + 2y v´o.i diˆ (DS fmax = ta.i diˆe’m (1, 2)) x y `eu kiˆe.n + = 15 f = x2 + y v´o.i diˆ 36 18 12 ta.i diˆe’m , ) (DS fmin = 13 13 13 `eu kiˆe.n x2 + y + z = 16 f = x − 2y + 2z v´o.i diˆ (DS fmin = −9 ta.i diˆe’m (−1, 2, −2); fmax = ta.i (1, −2, 2).) `eu kiˆe.n 2x + 3y = 17 f = xy v´o.i diˆ 25 5 ta.i diˆe’m , ) (DS fmax = 24 x y `eu kiˆe.n r`ang buˆo.c + = 18 1) f = x2 + y v´o.i diˆ 144 36 48 ta.i , ) (DS fmin = 25 25 25 `eu kiˆe.n x + y = 2) f = exy v´o.i diˆ 1 , ) (DS fmax = e1/4 ta.i diˆe’m 2 ˜ Chı’ dˆ a n C´o thˆe’ su’ du.ng phu.o.ng ph´ap khu’ biˆe´n `eu kiˆe.n x − y + z = 19 f = x2 + y + 2z v´o.i diˆ (DS fmin = 0, ta.i diˆe’m (0, 4; −0, 4; 0, 2)) `eu kiˆe.n x + y − z = 20 f = x3 + y − z + v´o.i diˆ 10 (DS fmin = ta.i diˆe’m (0, 0, 0) v`a fmax = ta.i diˆe’m − , , ) 27 3 MATHEDUCARE.COM `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 157 `eu kiˆe.n x + y + z = 5, xy + yz + zx = 21 f = xyz v´o.i c´ac diˆ 4 7 4 ta.i , , ; , , ; , , (DS fmax = 27 3 3 3 3 fmin = ta.i (2, 2, 1); (2, 1, 2); (1, 2, 2)) T`ım gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a c´ac h`am sˆo´ sau 22 f = x2y(2 − x − y), D l`a tam gi´ac du.o c gi´o.i ha.n bo’.i c´ac doa.n th˘a’ng x = 0, y = 0, x + y = (DS fln = ta.i diˆe’m (1, 2); fnn = −128 ta.i diˆe’m (4, 2)) 23 f = x + y, D = {x2 + y 1} √ √ √ 2 , ; (DS fln = ta.i diˆe’m biˆen √2 √ √ 2 ,− ) fnn = − ta.i diˆe’m biˆen − 2 24 T` u mo.i tam gi´ac c´o chu vi b˘`ang 2p, h˜ay t`ım tam gi´ac c´o diˆe.n t´ıch l´o.n nhˆa´t ˜ Chı’ dˆ a n D˘a.t a = x, b = y ⇒ c = 2p − x − y v`a ´ap du.ng cˆong th´ u.c Heron S= p(p − x)(p − y)(x + y − p) `eu) (DS Tam gi´ac dˆ 25 X´ac di.nh gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a h`am f = x2 − y , D = {x2 + y 1} (DS fln = ta.i (1, 0) v`a (−1, 0); fnn = −1 ta.i (0, 1) v`a (0, −1)) 26 X´ac di.nh gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a h`am f = x3 − y − 3xy, D = {0 x 2, −1 y 2} MATHEDUCARE.COM 158 `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ (DS fln = 13 ta.i diˆe’m (2, −1); fnn = −1 ta.i diˆe’m (1, 1) v`a (0, −1)) ... x2 − 2x − x2 = =4· − · x? ?2 x? ?2 x? ?2 x? ?2 T` u d´o suy r˘a`ng 2x − x2 2x? ?2 − x2 − = lim − lim = 4ln2 − x? ?2 x − x? ?2 x − x? ?2 x − π 2) D˘a.t y = − x Khi d´o π π − x = lim cotg − 2y cotgy limπ cotg2x... ha.n 2x − x2 (vˆo di.nh da.ng ); 1) lim x? ?2 x − π − x (vˆo di.nh da.ng · ∞); 2) limπ cotg2x · cotg x→ 4 x (vˆo di.nh da.ng 1∞ ) 3) lim e x + x→∞ x Gia’i 1) Ta c´o 2x − 22 − (x2 − 22 ) 2x? ?2 − x2... cˆong th´ a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) suy √ √ √ 3 n2 − n3 + n n2 − n3 − n n2 − n3 + n2 an = √ √ n2 − n3 − n n2 − n3 + n2 n2 = √ √ n2 − n3 − n n2 − n3 + n2 = 2/ 3 [1/n − 1] − [1/n − 1]1/3 +