Bài giảng toán cao cấp a2 (giải tích) chương 1 phép tính vi phân hàm một biến

Bài giảng TỐN CAO CẤP A2 Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt Kênh video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày tháng năm 2021 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 Nội dung PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 GIỚI THIỆU MƠN HỌC TỐN CAO CẤP A2 Mục tiêu mơn học: Học phần Tốn cao cấp A2 trang bị cho sinh viên hệ thống kiến thức giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân hàm số nhiều biến số thực (2, biến); nguyên hàm, tích phân xác định tích phân suy rộng loại 1, loại hàm số biến số; chuỗi số, chuỗi luỹ thừa Ứng dụng vào lĩnh vực khoa học – công nghệ, đồng thời môn học công cụ cho mơn Tốn chun ngành kỹ thuật – cơng nghệ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 GIỚI THIỆU MƠN HỌC TỐN CAO CẤP A2 Nội dung tóm tắt môn học: Môn học triển khai với nội dung liên quan đến ứng dụng toán: Học phần Toán cao cấp A2 giới thiệu số dạng toán phép tính vi phân hàm biến hàm nhiều biến, phép tính tích phân hàm biến, lý thuyết chuỗi số Tập trung vào phương pháp giải số toán liên quan Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 GIỚI THIỆU MƠN HỌC TỐN CAO CẤP A2 Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học: Tài liệu, video giảng đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về, in mang theo học online Điểm tổng kết mơn học đánh giá xun suốt q trình học Làm kiểm tra cuối chương: 20% Kiểm tra kỳ: 20% Thi cuối kỳ: 60% Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2 Cán giảng dạy: Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ĐT: 0933373432 - 0378910071 Email: ncnhut@ntt.edu.vn Zalo: 0933373432 - 0378910071 Facebook: https://www.facebook.com/congnhut.nguyen/ Blog: https://nguyennhutblog.wordpress.com/ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 GIỚI THIỆU MƠN HỌC TỐN CAO CẤP A2 Giáo trình chính, bắt buộc: Lê Thị Nhẫn, Bùi Hùng Vương, 2016, Bài giảng Toán cao cấp 2, Đại Học Nguyễn Tất Thành, Lưu hành nội Tài liệu/ giáo trình tham khảo khác: Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2007, Tốn học cao cấp (tập 2), NXBGD Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2007, Bài tập Toán cao cấp (tập 2), NXBGD Lê Sĩ Đồng, 2006, Tốn cao cấp –Giải tích hàm biến, NXBGD Gilbert Strang, 2017, Calculus - 3e, Wellesley- Cambridge Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 Nội dung PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN NỘI DUNG 1-1 Hàm số sơ cấp 1-2 Giới hạn hàm số 1-3 Vô bé - vô lớn 1-4 Hàm số liên tục 1-5 Đạo hàm 1-6 Vi phân Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 / 66 1.1 Hàm số sơ cấp Định nghĩa Cho ❳ , ❨ khác rỗng Ánh xạ số Khi đó: ❢ :❳ → ❨ với ① → ② = ❢ (① ) hàm Miền xác định (MXĐ) ❢ , ký hiệu ❉❢ , tập ❳ Miền giá trị (MGT) ❢ là: ● = {② = ❢ (① )|① ∈ ❳ } Hàm số ❢ (① ) gọi hàm chẵn nếu: ❢ (−① ) = ❢ (① ), ∀① ∈ ❉❢ Hàm số ❢ (① ) gọi hàm lẻ nếu: ❢ (−① ) = −❢ (① ), ∀① ∈ ❉❢ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 10 / 66 1.5.4 Đạo hàm biểu thức lũy thừa [❢ ]❣ , ❣ = ❣ (① ), ❢ = ❢ (① ) B1: ln ② = ln[❢ ]❣ = ❣ ln ❢ ② ② B3: ② B2: = ❣ ln ❢ + ❣ ❢❢ = [❢ ]❣ Ví dụ 21 Tính đạo hàm ln ② = ① ln ① ② ② ② ❣ ln ❢ + ❣ ❢❢ ② = ①① = ① ln ① + ① (ln ① ) = ln ① + = ② (ln ① + 1) = ① ① (ln ① + 1) Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 52 / 66 1.5.5 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao ② = ❢ (① ) = (❢ ) (① ), ② = ② (3) = ( ❢ ) ( ① ) , · · · , ② (♥ ) = (❢ (♥ −1) ) ( ① ) Quy tắc tính đạo hàm cấp cao (❢ ± ❣ )(♥ ) (① ) = ❢ (♥ ) (① ) ± ❣ (♥ ) (① ); (❦❢ )(♥ ) (① ) = ❦ ❢ (♥ ) (① ) ♥ (❢ ❣ )(♥ ) (① ) = ∑ ❦ =0 ❈♥❦ ❢ (❦ ) (① )❣ (♥−❦ ) (① ) Ví dụ 22 Tính đạo hàm cấp cao ② hàm số sau: ② = 2① − 3① + 1; ② = 8① − 3; ② = (② ) = 24① 2; ② b) ② = s✐♥① ; ② = ❝♦① ; ② = −s✐♥① ; ② = −❝♦s① a) Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 = 48① Ngày tháng năm 2021 53 / 66 Xem giảng kênh Youtube https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc 1.6 VI PHÂN NỘI DUNG Định nghĩa Vi phân Các quy tắc tính vi phân Vi phân cấp cao Ứng dụng Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 55 / 66 1.6.1 Các định nghĩa Vi phân Cho hàm số vi ①0 ② = ❢ (① ) Tại ①0, tồn ❢ (①0 ) hữu hạn ta nói ❢ Cho hàm số ② = ❢ (① ) xác định (❛, ❜ ) Khi (❛, ❜ ) ❢ khả vi ① ∈ (❛, ❜ ) ❢ khả gọi khả vi Cho hàm số ② = ❢ (① ) xác định (❛, ❜ ) khả vi ①0 ∈ (❛, ❜ ) Giả sử δ① số gia ① ①0 Khi tích ❢ (①0 )δ① gọi vi phân hàm số ② = ❢ (① ) ①0 ứng với số gia δ① , kí hiệu ❞② (①0 ) hay ❞❢ (①0 ) Như ❞② (①0 ) = ❞❢ (①0 ) = ❢ (①0 ) ∆① Cho hàm số ② = ❢ (① ) xác định khả vi (❛, ❜ ) Khi tích ❢ (① )δ① gọi vi phân hàm số ② = ❢ (① ) (❛, ❜ ), kí hiệu ❞② hay ❞❢ hay ❞❢ (① ) Vậy ❞② = ❞❢ = ❞❢ (① ) = ❢ (① )∆① Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 56 / 66 1.6.2 Các quy tắc tính vi phân Giả sử hàm số ta có: ❢ = ❢ (① ), ❣ = ❣ (① ) khả vi ① , ❦ ∈ R Khi ① ❞ (❢ ± ❣ ) = ❞❢ ± ❞❣ ❞ (❦❢ ) = ❦ ❞❢ ❞ (❢ ❣ ) = ❣ ❞❢ + ❢ ❞❣ ❞ ❣❢ = ❣ ❞❢ ❣−2 ❢ ❞❣ , (❣ = 0) ❞ ❣1 = − ❞❣ ❣ , (❣ = 0) Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 57 / 66 1.6.2 Các quy tắc tính vi phân Vi phân hàm hợp Cho ③ = ❣ (② ) khả vi ② ② = ❢ (① ) khả vi ① Khi ❞③ = ❣ (② )❞② = ❣ (② )❢ (① )❞① = ❣ (❢ (① ))❢ (① )❞① Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 58 / 66 1.6.3 Vi phân cấp cao Vi phân cấp cao ❞ ② = ❢ (① )❞① hay Quy tắc tính vi phân cấp cao ❞ 2② ❞① = ❢ (① ) ❞ ♥ (❢ ± ❣ )(① ) = ❞ ♥ ❢ (① ) ± ❞ ♥ ❣ (① ); ❞ ♥ (❦❢ )(① ) = ❦ ❞ ♥ ❢ (① ) ❞ ♥ (❢ ❣ )(① ) = ♥ ∑ ❦ =0 ❈♥❦ ❞ ❦ ❢ (① )❞ ♥−❦ ❣ (① ) Ví dụ 23 Tính vi phân cấp cao hàm số sau: ② = 2① − 3① + 1; ② = 8① − 3; ② = 24① 2; ❞ 2② = ② ❞① = 24① 2❞① b) ② = s✐♥① ; ② = ❝♦① ; ② = −s✐♥① ; ② = −❝♦s① ; ② (4) = s✐♥① ; ❞ 4② = ② (4) ❞① = s✐♥①❞① a) Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 59 / 66 1.6.4 Ứng dụng phép tính vi phân: Cơng thức Taylor Định lý Giả sử hàm số ② = ❢ (① ) khả vi đến cấp với ① thuộc lân cận này, ta có: ♥ + lân cận ①0 Khi ❢ (① ) = ❢ (①0 ) + ❢ (1!①0 ) (① − ①0 ) + ❢ (①0 ) (① − ①0 )2 + · · · + 2! ❢ (♥) (①0 ) (① − ① )♥ + ❢ (♥+1) (ξ ) (① − ① )♥+1 0 ♥! (♥ + 1) ! Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 60 / 66 Khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp ❡ ① = + 1!① + ①2!2 + · · · + ①♥! + ❘♥ (① ) sin cos arctan ♥ ① = ① − ①3!3 + ①5!5 + · · · + (−1)♥ (2①♥2−−11)! + ❘2♥ (① ) ♥ ① = − ①2!2 + ①4!4 + · · · + (−1)♥ (①2♥2 )! + ❘2♥+1 (① ) ♥ ① = ① − ①33 + ①55 + · · · + (−1)♥ ①2♥2 −−11 + ❘2♥ (① ) Thac si Nguyen Cong Nhut ♥ Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 61 / 66 Khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp Ví dụ 24 ② = ❡ sin ① đến số hạng ① ② = cos ① ❡ sin ① ; ② = ❡ sin ① cos2 ① − sin ① ② = ❡ sin ① cos3 ① − sin ① cos ① − cos ① Viết khai triển Maclaurin hàm Do ② = ❡ sin ① = + ① + ①22 + ① Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 62 / 66 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG Bài tập ① − 3① + 2 ① → ① − 4① + Tính giới hạn lim Bài tập ① − 4① − ① →∞ 2① − 4① + Tính giới hạn lim Bài tập Viết khai triển Maclaurin hàm ② = ❡ sin ① đến số hạng ① Bài tập ② = s✐♥① Tính ❞ 4② Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 63 / 66 Nội dung PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 64 / 66 Nội dung PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 65 / 66 Nội dung PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 2021 66 / 66 ...Nội dung PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 20 21 / 66 GIỚI THIỆU... 2 017 , Calculus - 3e, Wellesley- Cambridge Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 20 21 / 66 Nội dung PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM... HÀM NHIỀU BIẾN LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày tháng năm 20 21 / 66 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN NỘI DUNG 1- 1 Hàm số sơ cấp 1- 2 Giới hạn hàm số 1- 3 Vô bé