Vi tích phân a1 phép tính vi phân hàm một biến

Đạo hàm hàm ẩnHàm số y = fx có đồ thị là một đường cong... Đạo hàm hàm ẩnHàm số y = fx có đồ thị là một đường cong.. Mỗi đường cong là hợp thành của nhiều đồ thị hàm số.Mỗi hàm số như vậ

Trang 1

VI TÍCH PHÂN A1

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ths Lê Hoài Nhân1

1 Bộ môn Toán học Khoa Khoa học tự nhiên Đại học Cần Thơ

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

Trang 2

Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến

Quy tắc L’HospitalBài toán tối ưuKhảo sát hàm số

Trang 3

(x) tồn tạithì ta nói rằng f(x) khả vi tại x.

Đạo hàm của hàm số f còn được định nghĩa theo biểu thức

Trang 4

Đạo hàm

Ví dụ 1.1

Tính đạo hàm tại x của các hàm số

1 f (x) = sin x Bài giải

2 g(x) = cos x Bài giải

Trang 5

Ký hiệu của Leibniz

Khi viết y = f(x) nghĩa là ta dùng biến phụ thuộc y để chỉ giá trị củahàm số f tại x Ta có thể dùng nhiều ký hiệu khác nhau để chỉ đạohàm của hàm f tương ứng với biến số x như sau:

Trang 6

Ký hiệu của Leibniz

Ví dụ 1.3

Dùng định nghĩa đạo hàm để tính giá trị d

dx

x

x2+ 1

t=4

với y = t1/4 Bài giải

Trang 7

Định nghĩa

Các đạo hàm cơ bảnd

√

2√xd

dxa

x= axln ad

dxcos x = − sin xd

sin2xd

dx|x| = x

|x|

Trang 8

Định nghĩa

Định nghĩa 1.2 (Đạo hàm một phía)

Cho hàm số f xác định trên đoạn [a, b]

1 Ta định nghĩa đạo hàm bên phải của f tại a là giá trị

f0 +(a) = lim

Định nghĩa 1.3

Hàm số f khả vi trên đoạn [a, b] nếu f0

(x) tồn tại với mọi x ∈ (a, b) và

f0

+(a), f0

−(b) tồn tại

Trang 9

Điều kiện tồn tại của đạo hàm

Định lý 1.1 (Điều kiện tồn tại đạo hàm)

Hàm số f có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạohàm phải tại x0 đồng thời hai đạo hàm một phía bằng nhau Khi đó,

Trang 10

Điều kiện tồn tại đạo hàm

hàm tại x = 0 Bài giải

Trang 11

Các phép toán trên đạo hàm

Định lý 1.3 (Các phép toán trên đạo hàm)

Trang 12

3√

x −2x

Bài giải

Ví dụ 1.8

Cho y = uv là tích của hai hàm số u và v Tính y0

(2) biết rằngu(2) = 2, u0

(2) = −5, v(2) = 1 và v0

(2) = 3 Bài giải

Trang 13

Ví dụ 1.9

Tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm (−1, 0) và là tiếptuyến của đồ thị hàm số y = x − 1

x + 1 Bài giải

Trang 15

Đạo hàm của hàm ngược

Trang 16

Đạo hàm logarith

Phép lấy đạo hàm logarith là phương pháp tính đạo hàm của các hàm số

có dạng u(x)v(x) và hàm số là tích của nhiều hàm số khác

Phương pháp

1 Lấy logarith tự nhiên hai vế y = f(x) và dùng tính chất của logariththu gọn biểu thức thu được

2 Lấy đạo hàm hai vế theo x

3 Suy ra y0 từ đẳng thức thu được

Trang 17

Đạo hàm hàm ẩn

Hàm số y = f(x) có đồ thị là một đường cong

Trang 18

Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số y = f(x)nào đó Tại sao?

Trang 19

Một đường cong là hình biểu diễn của một phương trình hai biến số

F (x, y) = 0 Mỗi đường cong là hợp thành của nhiều đồ thị hàm số.Mỗi hàm số như vậy được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình

F (x, y) = 0

Trang 20

F (x, y) = 0

1 Làm thế nào tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phươngtrình F (x, y) = 0 tại điểm (x0, y0) thuộc đồ thị của nó?

Trang 21

Trang 22

Cách tính đạo hàm hàm ẩn

Để tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định nhờ phương trình

F (x, y) = 0 ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Trang 23

1 Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F (x, y) = 0 theo biến x, trong

đó, xem y là hàm số theo x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm củahàm hợp

Trang 24

2 Xem phương trình ở bước 1 là phương trình bậc nhất theo dy

dx hay y0.Giải phương trình này thu được dy

dx

Trang 25

2 Xem phương trình ở bước 1 là phương trình bậc nhất theo dy

dx hay y0.Giải phương trình này thu được dy

x=x 0

Trang 26

Ví dụ 1.13

Tính đạo hàm của các hàm ẩn cho bởi các phương trình sau:

1 x3+ y3− 3axy = 0 Bài giải

Trang 28

2 f (x) = sin x và g(x) = sin ax Bài giải

Trang 29

1 Cho y = x2sin 2x Tính y(50)(0) Bài giải

2 Cho y = x2eax Tính y(n)(0) Bài giải

Trang 30

Công thức Taylor

Định lý 1.8

Cho hàm số f(x) khả vi đến cấp n + 1 trong lân cận của điểm a Khi đó

f (x) được viết theo công thức

f (x) = f (a) +f

0

(a)1! (x − a) + +f

(n)(a)n! (x − a)n+f

n+1(c)(n + 1)!.(x − a)n+1trong đó Rn(x) = f

n+1(c)(n + 1)!.(x − a)n+1, c nằm giữa x và a được gọi làphần dư dạng Lagrange

Trang 39

Tiếp tuyến và pháp tuyến

1 f0

(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm

M (x0, f (x0)) Do đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M códạng:

y = f0

(x0)(x − x0) + f (x0)

2 Đường thẳng đi qua điểm M(x0, f (x0)) và vuông góc với tiếp tuyếntại M được gọi là pháp tuyến của đường cong tại điểm M Hệ số góccủa đường pháp tuyến bằng −f0(x10)

Trang 40

3 Chứng minh rằng hai đường cong y = x2 và y = √1

x cắt nhau theogóc vuông

4 Tìm phương trình của đường thẳng có hệ số góc bằng −2 và tiếpxúc với đồ thị của hàm số y = 1

x

Trang 41

Trang 43

Vận tốc, tốc độ và gia tốc

Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox, phương trình chuyển độngcủa nó là x = x(t) Khi đó,

Đại lượng x(t + h) − x(t)

trong khoảng thời gian |h|

Trang 44

1 Tính vận tốc tức thời của chất điểm.

2 Xác định gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc bằng 0

3 Hãy tìm khoảng thời gian mà chất điểm đang tăng tốc và di

chuyển về bên phải

Trang 45

Tốc độ biến thiên

Định nghĩa 2.1 (Tốc độ biến thiên - Rates of change)

Tốc độ biến thiên trung bình của hàm số f (x) tương ứng vớibiến x trong khoảng a đến a + h là tỷ số

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Trang 49

Trang 50

Sự liên hệ giữa các tốc độ biến thiên (Related - Rates)

Khi 2 hay nhiều đại lượng biến đổi theo thời gian và chúng liên hệ vớinhau bởi một hoặc nhiều phương trình, lấy đạo hàm hai vế của

phương trình đó, ta sẽ thu được phương trình liên hệ giữa các tốc

độ biến thiên của các đại lượng đó tại thời điểm t

Tốc độ biến thiên (chưa biết) của một đại lượng sẽ hoàn toàn đượcxác định khi tốc độ biến thiên của các đại lượng khác và giá trị củatất cả các đại lượng đã biết

Trang 51

Bài toán liên hệ giữa các tốc độ biến thiên

1 Đọc kỹ đề bài và vẽ hình nếu có thể

2 Giới thiệu các ký hiệu, viết chúng dưới dạng hàm số theo biến thờigian t

3 Biểu diễn các dữ liệu và tốc độ biến thiên cần tìm ở dạng đạo hàm

4 Xác định một phương trình thể hiện mối liên hệ của tất cả các đạilượng trong bài toán

5 Tính đạo hàm hai vế của phương trình bằng cách áp dụng công thứcđạo hàm của hàm hợp

6 Thay các giá trị đã cho vào phương trình ở bước 5 Giải phương trìnhthu được để tìm tốc độ biến thiên theo yêu cầu của bài toán

7 Trả lời câu hỏi của bài toán

Trang 52

Ví dụ 2.5

Một cái phiễu hình nón có đường kính đáy 8 inches và chiều cao 6 incheschứa đầy nước Nước đang chảy ra khỏi phiễu với tốc độ 2 cubic inchesmỗi phút Mực nước trong phiễu thay đổi như thế nào khi nó đang là 3

2π

Ví dụ 2.6

Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với tốc

độ là 0, 01 cm/phút Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khibán kính của nó đang là 50 cm Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâubán kính của nó sẽ là 52 cm

Trang 53

Trang 54

Trang 55

Trang 56

∞; f và g khả vitrong lân cận của x0; lim

f0

(x)

g0(x)

Trang 57

Quy tắc L’Hospital

Tính giới hạn bằng quy tắc L’Hospital

1 Xác địnhdạng vô định của giới hạn cần tính

2 Bằng các phép biến đổi đại số chuyển giới hạn về dạng 0

4 lim

x→0+xx

5 lim

x→0+(cot x)ln x1

Trang 58

Bài toán tối ưu

Trang 59

Trang 60

Ví dụ 2.10

Một nhà máy sản xuất x sản phẩm mỗi ngày với chi phí 2x2+ 100x + 5,giá bán một sản phẩm là 1000 − x4 Hãy xác định số sản phẩm nhà máysản xuất mỗi ngày để lợi nhuận của nhà máy là nhiều nhất Lợi nhuận này

là bao nhiêu? Bài giải

Ví dụ 2.11

Người ta muốn làm một cái thùng hình hộp chữ nhật không có nắp cóchiều dài gấp đôi chiều rộng và có thể tích là 10 m3 Giả sử giá tiền vậtliệu làm đáy là 10.000đ/m2 và vật liệu làm mặt bên là 5.000đ/m2 Hãyxác định kích thước của thùng để chi phí là nhỏ nhất Bài giải

Trang 61

Ví dụ 2.12

Một kiến trúc sư muốn thiết kế một cửa sổ có dạng là một hình chữnhật với phía trên là nửa hình tròn Nếu chu vi của cái cửa sổ là 24feet thì kiến trúc sư đó nên chọn kích thước của cái cửa sổ như thế nào

để cửa sổ nhận được nhiều ánh sáng nhất Bài giải

Bài giải

Trang 62

Khảo sát hàm số

Sơ đồ khảo sát hàm số

1 Tìm MXĐ, MGT, xét tính chẵn - lẻ, tuần hoàn của hàm số

2 Xét chiều biến thiên và tính lồi lõm của đồ thị

3 Tìm tiệm cận của đồ thị (nếu có)

4 Lập bảng biến thiên của hàm số

5 Vẽ đồ thị hàm số

Trang 63

Ví dụ 2.14

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x4+ x2

x4+ 1

Trang 64

Ví dụ 2.14

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x4+ x2

x4+ 1

Trang 65

HẾT CHƯƠNG 2

Trang 66

ln1xcot(x2)

x

Back

Trang 67

Bài giải của ví dụ 1.1a

h = cos2x+h2 sin

h 2 h 2

Trang 68

Bài giải của ví dụ 1.1b

h = − sin2x+h2 sin

h 2 h 2

Trang 69

Bài giải của ví dụ 1.1c

= ex

Back

Trang 70

Bài giải của ví dụ 1.1d

Với q(x) = ln x, x > 0 ta có,

q(x+h)−q(x) h

x.Vậy (ln x)0

x

Back

Trang 71

Bài giải của ví dụ 1.2

Với h 6= 0 ta có,

f (0+h)−f (0) h

= f (h)−f (0)h

2

sin 1 h

Trang 72

Bài giải của ví dụ 1.3

x2+ 1 Khi đó,d

dx

x

x2+ 1

... data-page="23">

Để tính đạo hàm hàm ẩn y = y(x) xác định nhờ phương trình

F (x, y) = ta thực theo bước sau:

1 Lấy đạo hàm. .. data-page="25">

1 Lấy đạo hàm. .. data-page="24">

1 Lấy đạo hàm hai

Định dạng
Số trang	108
Dung lượng	7,28 MB