11/4/2016 CHƯƠNG ỨNG DỤNG VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Số hạng tổng quát: ݑ ൌ ݑଵ ݊ െ ݀ Tổng ݊ số hạng đầu: ݑଵ ݑ ݊ ܵ ൌ ݑଵ ݑଶ ⋯ ݑ ൌ I Ơn tập sở tốn 1.1 Cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số ሼݑଵ , ݑଶ , … , ݑ ሽ gọi cấp số cộng ݑ ൌ ݑିଵ d, với ݊ ∈ ܰ, ݀ số khác 0, gọi cơng sai Tính chất: ݑାଵ ݑିଵ ൌ 2ݑ Ví dụ 2.1.1: a Cho dãy số 5, 10, 15,… Tìm số hạng thứ thứ 6; tổng đến số hạng thứ b Cho dãy số gồm số nguyên dương lẻ: từ 35 đến 73 Tìm ݀; tìm ݊; tính tổng ܵ Ví dụ 2.1.2: Một cơng ty trách nhiệm hữu hạn thực việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ty 4,5 triệu đồng / quý, kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm 0,3 triệu đồng quý Hãy tính tổng số tiền lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho công ty Ví dụ 2.1.3: Bạn vay ngân hàng UDB vào đầu tháng 1/2007 số tiền 12.000 đô-la với lãi suất 12% năm (tức 1% tháng) Hợp đồng vay có điều khoản sau: Thời gian vay: 12 tháng Nợ gốc trả hàng tháng Tiền lãi trả vào cuối tháng, lãi phát sinh tính dựa số dư nợ lãi suất Hỏi: a Chênh lệch tiền lãi kì so với kì trước đó? b Số tiền lãi trả vào tháng 5/2007? c Số tiền lãi trả vào tháng 9/2007? d tổng tiền lãi mà bạn phải trả bao nhiêu? Ví dụ 2.1.4: Bạn có khoản vay ngân hàng phải trả lần Lần đầu trả 100 triệu đồng, lần trả 80 triệu đồng, lần trả 60 triệu đồng, tiếp tục a Lần thứ bạn phải trả bao nhiêu? b Tổng số tiền phải trả bao nhiêu? 11/4/2016 1.2 Cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số ሼݑଵ , ݑଶ , … , ݑ ሽ gọi cấp số nhân ݑ ൌ ݑିଵ ݍ, với ݊ ∈ ܰ, Số hạng tổng quát: ݑ ൌ ݑଵ ݍିଵ Tổng ݊ số hạng đầu: ݑଵ ሺ1 െ ݍ ሻ ܵ ൌ ݑଵ ݑଶ ⋯ ݑ ൌ 1െݍ ݍlà số khác 1, gọi cơng bội Tính chất: ݑାଵ ݑିଵ ൌ ݑ ଶ Ví dụ 2.1.5: Cho dãy cấp số nhân: 1, 4, 16,… a Tìm số hạng thứ b Tìm tổng ܵ Ví dụ 2.1.6: Giá trị lại tài sản thời điểm cuối năm 70% giá trị thời điểm đầu năm Nếu biết tài sản mua (giá gốc, giá trị ban đầu) với giá 500 triệu đồng, tính: a Giá trị lại tài sản sau năm b Lập bảng theo dõi hao mòn giá trị lại cuối năm Ví dụ 2.1.7: Bạn có hợp đồng thuê người vào làm giúp việc nhà Để kích thích tăng suất để thử việc, bạn hứa trả lương theo tuần thay trả theo tháng sau: Tuần trả 100.000 đồng, từ tuần thứ hai trở tăng 1,1 lần so với lần kế trước Hỏi: a Tháng người giúp việc thu nhập bao nhiêu? b Tháng thứ hai thu nhập bao nhiêu? c Tháng thứ ba thu nhập bao nhiêu? d Tuần thứ thu nhập bao nhiêu? e tổng thu nhập tháng đầu bao nhiêu? 11 10 1.3 Hàm mũ hàm Logarithm 1.3.1 Hàm mũ ሺܽହ ൌ ܽ ܽ ܽ ܽ ܽሻ Một số tính chất: Nếu ݉ ݊ số nguyên dương, ܽ, ܾ ് Ta có: ܽ ܽ ൌ ܽା ; ܽ ൌ ܽ ; ܽ ܾ ൌ ൌ ܽି ൌ ܽ ܾ ; ܽ ൌ 1; ܽି ൌ ଵ ; ܽ ൌ ܽ ; 12 11/4/2016 1.3.2 Hàm Logarithm Với ܰ, ܾ số dương ሺܾ ് 1ሻ Khi đó, Logarithm số ܾ ܰ số mũ ܮmà: ܾ ൌ ܰ Gọi ܮlà Logarithm số ܾ ܰ, ta có: ܮൌ log ܰ Ví dụ 2.1.8: log ଶ 16 ൌ 4; log ହ 125 ൌ Logarithm số 10 gọi Logarithm thập phân ሺlog ܰሻ Logarithm số ݁ gọi Logarithm tự nhiên hay Logarithm Nê-pe ሺln ܰሻ Một số tính chất: log ܣ ܤൌ log ܣ log ;ܤ ܣ log ൌ log ܣെ log ;ܤ ܤ log ܣ ൌ ݇ log ܣ Ví dụ 2.1.9: Cho log ൌ 0,60206; log ൌ 0,69897 Tính log 20; log 1,25; log 16; log 400 13 II Ứng dụng tốn tài 2.1 Một số khái niệm tài Tiền lãi/lợi tức (interest): số tiền có (hoặc phải trả) dựa việc đầu tư (hoặc sử dụng) lượng tiền ban đầu (vốn) đơn vị thời gian Kí hiệu: ܫ Kì hạn/chu kì (tenor): đơn vị thời gian thương mại chọn để tính mức tiền lãi: ngày, tháng, quý, nửa năm, năm Kí hiệu: T 15 Giá trị (Present value): giá trị thời lượng tiền tệ ứng với mức lãi suất xác định Kí hiệu: ܲ Giá trị tương lai (Future value): giá trị tương lai lượng tiền tệ ứng với mức lãi suất xác định Kí hiệu: ܨ 17 14 Thời gian thương mại quy đổi theo ngày sau: Tháng = 30 ngày; Quý = 90 ngày; Năm = 360 ngày Lãi suất rate ൌ ୲୧ề୬ ୪ã୧ ୲୰୭୬ ୫ộ୲ ୩ì ୦ạ୬ ୲୧ề୬ ୴ố୬ đầ୳ ୲ư Kí hiệu: ݎሺ%/ܶሻ 16 2.2 Phương thức lãi đơn ~ tiền lãi sau kì hạn rút/tách ra, không nhập vào vốn để sinh lãi cho kì hạn sau [Tiền lãi tính theo vốn gốc ban đầu kì hạn.] 18 11/4/2016 Gọi: ܲ: giá trị (vốn gốc), ܨ: giá trị tương lai (vốn gốc tiền lãi), ݎ: lãi suất năm, ܫ: tiền lãi năm, ݊: thời gian (năm) Số hạng ሺ1 ݎ ݊ሻ gọi hệ số tích lũy với lãi đơn Ta có: ܨൌ ܲሺ1 ݎ ݊ሻ nên ܲ ൌ Tiền lãi: ࡵ ൌ ࡼ ࢘ Giá trị tương lai tiền vốn ban đầu sau kì hạn tạo thành cấp số cộng với công sai ݀ ൌ ܫ Tiền lãi sau ݊ kì hạn: ࡵ ൌ ࡼ ࢘ Giá trị tương lai sau ݊ kì hạn: Số hạng ݎ ݊ với lãi đơn ିଵ ி ଵା. ൌ ܨ ݎ ݊ ିଵ gọi hệ số chiết khấu ࡲ ൌ ࡼ ࡵ ൌ ࡼ ࡼ ࢘ ൌ ࡼ ࢘ 19 Ví dụ 2.2.1: Tìm số tiền lãi, biết khoản vay 5.000 triệu đồng thời hạn 90 ngày, với lãi suất 12% năm a Lãi đơn thông thường (360 ngày năm) b Lãi đơn xác (365 ngày năm) 20 Ví dụ 2.2.2: Tính số tiền tích lũy khoản vay 500 triệu đồng thời gian 150 ngày với lãi suất 12% năm 21 Ví dụ 2.2.3: Nhằm đẩy mạnh doanh thu thu hồi nhanh khoản phải thu, công ty Hồng Hạc đưa sách bán hàng “3/15 net 45”, nghĩa khách hàng toán vòng 15 ngày hưởng chiết khấu tiền mặt 3%, thời hạn toán tối đa vòng 45 ngày Giả định bạn muốn mua lơ hàng có giá trị hóa đơn 2.000 triệu đồng Hãy tính: a Lãi suất đơn cao mà bạn sẵn lòng vay để trả vòng 15 ngày để nhận chiết khấu tiền mặt b Bạn có lợi (hay thiệt đi) tiền vay tiền với lãi suất 15% để toán vào ngày thứ 15? 23 22 BÀI TẬP 1) Tìm số tiền lãi thơng thường cho khoản vay: (a) 100 triệu đồng, thời hạn 90 ngày với lãi suất 11% (b).150 triệu đồng, thời hạn180 ngày với lãi suất 12% (c) 120 triệu đồng, thời hạn 60 ngày với lãi suất 13% 24 11/4/2016 2) Công ty A vay nóng số tiền 50 triệu đồng trả 60 triệu đồng sau tháng Lãi suất đơn (năm) bao nhiêu? 4) Cần thời gian tháng để số tiền đầu tư 100 triệu đồng thành 110 triệu đồng với lãi suất đơn 14%? 3) Lãi suất đơn hàng năm bao nhiêu, nếu: (a) 100 triệu trở thành 150 triệu sau năm (b) Gấp đôi sau năm 5) Tìm giá trị tương lai khoản vay: (a) 100 triệu đồng, thời hạn 45 ngày với lãi suất 12% (b) 200 triệu đồng, thời hạn 65 ngày với lãi suất 13% 25 6) Vốn gốc để trở thành: (a) 500 triệu đồng, thời hạn 180 ngày với lãi suất đơn 15% (b) 200 triệu đồng, thời hạn 90 ngày với lãi suất đơn 12% 7) Tìm vốn gốc tổng số tiền trả tháng: (a) Vay 100 triệu đồng, lãi suất 12%, trả 20 triệu đồng (b) Vay 200 triệu đồng, lãi suất 15%, trả 40 triệu đồng 27 Giá trị tương lai tiền vốn ban đầu sau kì hạn tạo thành cấp số nhân với công bội ݍൌ ݎ, đây, ࢘ ൌ , ݅: lãi suất danh nghĩa (năm), ݉: số kì ghép lãi năm Giả sử tiền vốn ban đầu ܲ Khi đó: Giá trị tương lai sau ݊ kì hạn: (݊: tổng số kì ghép lãi) ܨൌܲ 1 ݎ Tiền lãi kì hạn thứ ݊: ܫ ൌ ܲ ሾ ݎ െ 1ሿ 29 26 2.3 Phương thức lãi kép ~ tiền lãi sau kì khơng rút/tách mà phải nhập tiếp vào thành vốn để sinh lãi cho kì hạn sau [Tiền lãi kì hạn khác kì hạn sau lớn kì hạn trước.] 28 Ví dụ 2.2.4: Tính thu nhập tiền lãi theo: (a) Lãi đơn 100 triệu đồng năm với lãi suất 10% (b) Lãi kép 100 triệu đồng năm với lãi suất 10% ghép lãi nửa năm 30 11/4/2016 If £600 is invested for years at 8% interest compounded annually at the end of each year, what will the final value of the investment be? Solution £ Initial sum invested 600.00 Interest at end of year = 0.08 × 600 48.00 Total sum invested for year 648.00 Interest at end of year = 0.08 × 648 51.84 Total sum invested for year 699.84 Interest at end of year = 0.08 × 699.84 55.99 Final value of investment 755.83 You estimate that you will need £8,000 in years’ time to buy a new car, assuming a reasonable trade-in price for your old car You have £7,000 which you can put into a fixed interest building society account earning 4.5% Will you have enough to buy the car? 31 Ví dụ 2.2.5: Cơng ty A đầu tư 500 triệu đồng vào Quỹ đầu tư B thời gian 10 năm với hợp đồng sau: Lãi suất 12% ghép lãi nửa năm cho năm Lãi suất 11% ghép lãi quý cho năm Lãi suất 10% ghép lãi tháng cho năm cuối Vậy, giá trị tích lũy sau 10 năm công ty A bao nhiêu? 32 Interest rates are expected to be 14% for the next years and then fall to 10% for the following years How much will £2,000 be worth if it is invested for years? 33 Solution After years the final value of the investment will be ܨൌ ܲ ݅ ൌ 2,000 1.14 ଶ ൌ 2,000 1.2996 ൌ £2,599.20 If this sum is then invested for a further years at the new interest rate of 10% then the final sum is ܨൌ ܲ ݅ ൌ 2,599.20 1.1 ଷ ൌ 2,599.20ሺ1.331ሻ ൌ £3,459.54 This could have been worked out in one calculation by finding ܨൌ 2,000 1.14 ଶ 1.1 ଷ ൌ £3,459.54 35 34 Therefore the formula for the final sum ܨthat an initial sum ܲ will accrue to after ݊ time periods at interest rate ݅ and ݍtime periods at interest rate ݅ is ܨൌ ܲ ݅ ݊ ݅ ݍ 36 11/4/2016 1) If £4,000 is invested at 5% interest for years what will the final sum be? 2) How much will £200 invested at 12% be worth at the end of years? 3) A parent invests £6,000 for a 7-year-old child in a fixed interest scheme which guarantees 8% interest How much will the child have at the age of 21? 4) If £525 is invested in a deposit account that pays 6% interest for years, what will the final sum be? 5) What will £24,000 invested at 11% be worth at the end of years? 6) Interest rates are expected to be 10% for the next years and then to fall to 8% for the following years How much will an investment of £3,000 be worth at the end of years? Tài liệu tham khảo: Lê Trường Nhật, Bài giảng Tốn kinh tế Nguyễn Tấn Bình, Tốn tài ứng dụng, NXB Thống kê, 2007 Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, 2nd, Routledge, 2003 37 38 ... 19 Ví dụ 2.2 .1: Tìm số tiền lãi, biết khoản vay 5.000 triệu đồng thời hạn 90 ngày, với lãi suất 12% năm a Lãi đơn thông thường (360 ngày năm) b Lãi đơn xác (365 ngày năm) 20 Ví dụ 2.2 .2: Tính... dụ 2.1 .9: Cho log ൌ 0,60206; log ൌ 0,69897 Tính log 20; log 1,25; log 16; log 400 13 II Ứng dụng tốn tài 2.1 Một số khái niệm tài Tiền lãi/lợi tức (interest): số tiền có (hoặc phải trả) dựa vi c... Lập bảng theo dõi hao mòn giá trị lại cuối năm Ví dụ 2.1 .7: Bạn có hợp đồng thuê người vào làm giúp vi c nhà Để kích thích tăng suất để thử vi c, bạn hứa trả lương theo tuần thay trả theo tháng