Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến

HC LIU Hc liu bt buc: [1] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s - Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 [2] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s (phn bi tp)- Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 Hc liu tham kho: [3] V Tun Gii tớch toỏn hc NXB Giỏo dc 1974 [4] Pitxcunp Phộp tớnh vi phõn v tớch phõn NXB Giỏo dc 1973 (Trn Trỏng Lờ Hanh dch) CHNG DY S V GII HN DY S A Mc tiờu: Kin thc: Sinh viờn nm c cỏc kin thc c bn v : - Dóy s, cỏc tớnh cht ca dóy s - Gii hn dóy s, cỏc phộp toỏn, tớnh cht n gin - Tiờu chun Cụsi v cỏc gii hn c bit K nng: Giỳp HS rốn luyn cỏc k nng: Tỡm gii hn ca cỏc dóy s T duy, thỏi : T logic, thỏi hc nghiờm tỳc, khoa hc B Chun b v phng phỏp, phng tin, ti liu tham kho: Phng phỏp: Vn ỏp, gi m Phng tin: Tp bi ging, giỏo trỡnh, ti liu tham kho Ti liu tham kho: [1] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s - Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 [2] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s (phn bi tp)- Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 Hc liu tham kho: [3] V Tun Gii tớch toỏn hc NXB Giỏo dc 1974 [4] Pitxcunp Phộp tớnh vi phõn v tớch phõn NXB Giỏo dc 1973 (Trn Trỏng Lờ Hanh dch C Phõn phi s tit thc hin: TT S tit Ni dung kin thc Ghi chỳ LT:3; BT: 02 Dóy s v gii hn Tớnh cht Tiờu chun Cụsi Mt s gii hn c bit Bi 01 03 D Ni dung Dóy s v gii hn dóy s 1.1 Dóy s nh ngha 1: Hm s t hp cỏc s nguyờn dng N* vo hp cỏc s thc R gi l mt dóy s thc c gi l s hng tng quỏt 1.2 Gii hn dóy s Mt s tớnh cht, phộp toỏn v gii hn ca dóy s 2.1 Mt s tớnh cht n gin v gii hn ca dóy s a) Cho ba dãy { a n } , { bn } , { c n } thoả mãn an bn cn n N a n = lim c n = l dãy { bn } có giới hạn lim bn = l Nếu lim n n n b) Một dãy có giới hạn bị chặn a n lim bn c) Nếu dãy { a n } , { bn } có giới hạn an bn n N lim n n d) Một dãy tăng bị chặn có giới hạn e) Một dãy giảm bị chặn dới có giới hạn 2.2 Cỏc phộp toỏn trờn gii hn ca dóy s a) Nếu dãy { a n } , { bn } có giới hạn dãy { a n + bn } , { a n bn } , { a n bn } có giới hạn và: lim (a n + bn ) = lim a n + lim bn n n n lim (a n bn ) = lim a n lim bn n n n lim (a n bn ) = lim a n lim bn n n n bn 0, bn với n dãy b) Nếu dãy { a n } , { bn } có giới hạn, lim n an có giới hạn và: bn an a n lim = n n b lim bn n lim n Tiờu chun Cụsi 3.1 nh lý Bụnsanụ Võystrat Mi dóy s thc b chn u cú mt dóy hi t 3.2 Tiờu chun Cụsi Dóy s thc hi t v ch nú l dóy Cụsi Mt s gii hn c bit, cỏc vụ cựng ln vụ cựng 4.1.Mt s gii hn quan trng lim(1 + ) = e n n 4.2 Gii hn vụ cc, vụ cựng ln vụ cựng un = Dóy s {un} c gi l mt vụ cựng ln nu lim n un = Dóy s {un} c gi l mt vụ cựng nu lim n E Tng kt chng, cõu hi ụn tp, hng dn t hc: Tng kt chng: Trng tõm chng: Nm vng phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s Bi tp: u1 = c v a, b, c R un +1 = a.un + b Xỏc nh s hng tng quỏt ca dóy s ( un ) vi GII: Trng hp : Nu a = thỡ dóy ( un ) l mt cp s cng , cụng sai b Trng hp :Nu a , ta qui dóy (un) thnh dóy (vn) l mt cp s nhõn , cụng bi a nh sau: t = un + b ú l mt cp s nhõn a Tht vy : vn+1 = un+1 + b b b = aun + b + = a un + ữ = a.vn a a a Nờn : vn+1 = a.vn l mt cp s nhõn cụng bi a v v1 = u1 + b a T ú s hng = v1.an Suy : un = b b = v1.an a a Vy s hng tng quỏt dóy s l : un = v1.an b b vi v1 = c + a a un un +1 = 2u + , n 1, n N n Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi : u = GII : Ta cú u1 > , qui np ta c un > T gi thit suy : un +1 = 2+ un t = , ú ta c : vn+1 = 3vn + vi v1 = (*) un t zn = + , (*) tr thnh : zn+1 = 3zn vi z1 = Nh vy (zn) l mt cp s nhõn cú cụng bi bng v z1 = nờn zn = z1.3n = 3n Suy : = zn = 3n Vy dóy s (un) cú un = , n * n 3.Xỏc nh s hng tng quỏt ca cỏc dóy s c cho bi a u1 = b un un +1 = 2u + ; n n u1 = u n un +1 = u ; n n u1 = un +1 = 3un + , n 4.Cho dóy s (un) xỏc nh bi : n Tỡnh tng S = ui i =1 5.Cho n vũng trũn ú c hai vũng trũn thỡ giao ti im v khụng cú ba vũng trũn no giao ti im Hi n vũng trũn ó cho chia mt phng lm bao nhiờu phn? u1 = c v a, b, c R un +1 = a.un + f (n) Xỏc nh s hng tng quỏt ca dóy s ( un ) vi v f(n) l mt a thc theo n GII: Trng hp 1: a = ta cú un+1 = un + f(n) n Cho n ln lt nhn cỏc giỏ tr ; 2; 3; n thỡ ta c: un = u1 + f (i ) i =1 n Trong ú i =1 f (i ) c tớnh thụng qua cỏc tng n i ; i =1 n i2 ; i =1 n i i =1 Trng hp 2: a t = un + g(n) vi deg(g) = deg(f) v g(n) c xỏc nh thụng qua phng phỏp h s bt nh dng thi tha : vn+1 = avn Ta qui dóy (un) thnh dóy (vn) l mt cp s nhõn cú cụng bi q = a un +1 = un + n3 + 2, n 1, n N Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi : u1 = GII: Theo bi ta cú un +1 = un + n3 + un + un = n3 + Thay n ln lt bng 1, 2,,n v cng (n 1) ng thc ta c: n n(n 1) un u1 = (i + 2) = +2(n 1) i =1 n(n 1) Vy un = +2n un +1 = 3un + n + 1, n 1, n N Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi : u1 = GII: t g(n) = an2 + bn + c v = un + g(n) ( a, b, c R) vi vn+1 = 3vn Khi ú : vn+1 = 3vn un+1 + g(n+1) = 3(un + g(n)) 3un + n2 + + g(n+1) = 3un + 3g(n) n2 + + a(n+1) + b(n+1) + c = 3an2 + 3bn + 3c (a + 1)n2 + (2a + b)n + 1+ a + b + c = 3an2 + 3bn + 3c a + = 3a 1 a= Nờn : 2a + b = 3b ; b = ; c = 2 + a + b + c = 3c Do ú ta c : g(n) = n + n+1 2 Nh vy = un + 1 n + n + un = ( n2 + n + 1) 2 2 v = 3vn , n un +1 = 3un + n + 1, n 1, n N n +1 u1 = v1 = u1 + g (1) = thỡ Suy : = 3n 1.v1 = 4.3n Vy : un = 4.3n n n 2 = 4.3n (n + n + 2) Xỏc nh s hng tng quỏt ca cỏc dóy s c xỏc nh bi cỏc cụng thc sau: u1 = un +1 = un + 2n + , n u1 = un +1 = 4un + 3n 3n 3n , n u1 = un un +1 = ,n 2(2n + 1)un + u1 = un +1 = un + cos(3n 2) , n 10 Xỏc nh s hng tng quỏt ca dóy s ( un ) vi u1 = b R, >0 n v a, b, un +1 = a.un + GII: Trng hp 1: a = ta cú un+1 = un + n n i Cho n ln lt nhn cỏc giỏ tr ; 2; 3; n thỡ ta c: un = u1 + i =1 n Trong ú i =1 i c tớnh thụng qua cỏc tng cp s nhõn cú s hng u v cụng bi Trng hp 2: a Ta qui bi toỏn v bi toỏn bng cỏch t = un + g(n) vi vn+1 = avn , ng thi g(n) l hm s tha : + Nu a thỡ g(n) = A n + Nu a = thỡ g(n) = A.n n Trong ú A c xỏc nh thụng qua phng phỏp h s bt nh Dóy s (vn) c xỏc nh theo cp s nhõn v t ú suy c (un) u1 = n un +1 = un + 3.4 11 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy (un) c xỏc nh : GII: Theo ta cú : un+1 = un + 4n un+1 un = 4n Thay n ln lt bng 1, 2,,n v cng (n 1) ng thc ta c: n i un u1 = = 3.4 i =1 4n1 = 4n Vy ta c : un = 4n u1 = n un +1 = 3un + 5.3 12 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy (un) c xỏc nh: GII: Ta thy a = = nờn ta t = un + An.3n vi vn+1 = 3vn Vi vn+1 = 3vn un+1 + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n ) 3un +5.3n + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n ) 5.3n + A(n+1)3n+1 = 3An.3n 5+ 3A(n+1) = 3An Suy : A = Ta c : = un n.3n un = + n.3n u1 = v = 1 n un +1 = 3un + 5.3 +1 = 3vn Khi ú p dng cụng thc tớnh s hng tng quỏt ca cp s nhõn ta c = 3n Vy ta c un = 3n 1+ n.3n = (1+5n)3n 13 Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy (un) c xỏc nh: u1 = n un +1 = 2un + n + 3.2 , n GII: Ta cú gi thit un + = 2un + n2 + 3.2n t un = xn + yn n vi xn +1 = xn + n , n ; yn +1 = yn + 3.2 , n v u1 = x1 + y1 = Suy : xn +1 + yn+1 = 2(xn + yn ) + n2 + 3.2n Ta gii tng t nh vớ d v vớ d ta xỏc nh c : xn = (x1+6) 2n (n2 + 2n + 3) v yn = (y13) 2n + 3n.2n ta c un = xn + yn = (x1+6).2n (n2 + 2n + 3) + (y13) 2n + 3n.2n = (x1+ y1+3).2n + 3n.2n (n2 + 2n + 3) Vy : un = 2n + + 3.2n 10 (n + 2n + 3) Giải: Ta chia đoạn [ a; b] làm n phần điểm chia: a = xo< x1< < xn = b Trên đoạn [ xi ; xi ] ( i: n ) lấy điểm i = xi = a +i ba ba Gọi xi = xi xi Rõ ràng ( xi) = Lập tổng In = n n n f ( ) i i =1 xi = n n ba ba ba n( n + 1) b2 a2 n +1 xi = (a + i ) = (b a). (a +( (b a )) = n n n 2n n n i =1 i =1 i =1 n In = In tổng tích phân hàm f(x) = x đoạn [ a; b] lim n b2 a2 b 2 Vậy xdx = b a a 2) Bài tập tự luyện: - Dùng định nghĩa tích phân bất định, tìm tích phân bất định hàm số sau: +) +) ( x3 x) dx +) Cos(x 5) dx (3x3 + 5x + 1) dx +) +) +) (2x5 + x) dx (2sin2x + 6) dx 6e2xdx +) e5x dx - Dùng định nghĩa tích phân xác định tính tích phân sau: 1 1 0 0 +) xdx +) udu +) ( x + 1)dx +) ( x 1)dx +) 2xdx +) (5 x 2)dx Mức độ 3: 1)Ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính tích phân bất định hàm số sơ cấp bản( cho SV giải, đa kết quả, giáo viên kiểm tra ,SV ghi nhớ) Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tích phân xác định tính x dx 60 Giải: Hàm dới dấu tích phân f(x) = x2 Chia [ 0;1] làm n đoạn thẳng điểm chia: = xo, x1= điểm i = x1 Tổng tích phân In = n , x2= , , xn= =1 Chọn n n n i n i n( n + 1)(2n + 1) ( ) = = n i =1 n 6n i =1 n n Vậy: lim I n = n 1 x dx = 3 2) Bài tập tự luyện: Bi1:Dùng định nghĩa tích phân bất định, tìm tích phân bất định sau: +) cos 3x dx +) + x dx +) sin 3x dx +) 1+ x +) cos +) ( dx 2 dx ( x + 1) 1 x2 + 5) dx Bi2:Dùng định nghĩa tích phân xác định tính: +) x +) dx (x +) + x)dx (2 x 3)dx Dạng 2: Dùng tính chất đơn giản để tính tích phân bất định, tích phân xác định Mức độ 1: Ví dụ 1: Tính (2 x + x)dx 1)Ví dụ mẫu: 4 Giải: (2 x + x)dx = x dx + xdx = x + x + C = x + x + C Ví dụ 2:Tính cos x 2 dx Giải: Dùng công thức Niutơn Lepnit tích phân hàm số sơ cấp ta có: cos x dx = tgx 46 = tg tg = 61 2) Bài tập tự luyện: Bi1: Tính tích phân bất định sau: +) +) 3x + dx 2x x +1 +) +) ( dx x 14 dx x3 +) x 14 dx x3 ) dx x2 x+ dt x + 2x + x + 2x + dx +) x2 +1 +) (t + 2) Mức độ 3: 1)Ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Dùng tính chất đơn giản để tính tích phân sau: Giải: sin x cos x dx = 1 sin x + cos x = dx + dx = tgx dx sin x cos x cos x sin x cotgx + C - Tính tích phân bất định sau: cos x dx +) cos x + sin x (ln x) dx +) x sin x sin x dx +) +) cos x e arctgx dx +) + x2 sin dx x sin x + cos x +) +) sin 3x cos xdx 2) Bài tập tự luyện Bi1: Tính tích phân bất định sau: 62 dx sin x cos x sin +) x cos xdx cos 3x cos xdx +) x4 x + x + dx +) (cos x) sin xdx n +) x 3x + x x + x dx +) sin( x + a).sin( x + b) dx Bi2:Tính tích phân xác định sau: +) +) (1 + arctgx) dx + x2 +) 3(1 + tgx) (1 + tg x)dx ( x sin x )dx +) + cos x dx Dạng 3: Dùng phơng pháp đổi biến tích phân phần Mức độ 1: 1)Ví dụ mẫu: Tính ln xdx Giải: Đặt u = lnx, dv = dx ln xdx = xlnx- dx = xlnx x + C 2) Bài tập tự luyện: x cos xdx (2 x + 3) sin (x x cos xdx + x + 1) ln xdx ( x + 1)e ln dx x dx x e x dx ln xdx x tgx dx cos x (x 63 5x dx + 4) Tính: x ln xdx Mức độ 2: 1)Ví dụ mẫu: Tính (tgx + cot gx) dx Giải: (tgx + cot gx) cos = x + dx = (tg x + cot g x + 2tgx cot gx)dx = (tg x + 1)dx + (cot g x + 1)dx = tgx cotgx + C sin x 2) Bài tập tự luyện: Bi1:Tính: x2 1) dx (1 + x) 20 4) x dx 1+ x x x arcsin x 1+ x arctg x dx x 1+ x 5) 7) cos(ln x)dx 3) 2) x e x dx 8) ln 6) x e x dx 9) ( x 1)dx x( x + x ) sin(ln x)dx x sin x 11) cos x dx 12) t + 2t (2 + 5t )dt Mức độ 3: 1)Ví dụ mẫu: Hãy ớc lợng tích phân sau 18 cos xdx 1+ x4 10 Giải: Vì -1 cosx nên x>10 ta có bất đẳng thức : cos x 1+ x < 10 ,do 18 10 cos x 1+ x dx < 8.10 < 10 Vậy Bi1:Tính: 5(5 cos t ) sin tdt 10 2) Bài tập tự luyện: 1) 18 2) x dx x2 +1 cos x 1+ x dx < 10 = 0,1 3) sin x dx sin x + cos x 5) x (2 x + x )dx 4) 6) x arctgx dx x2 + xe x dx 1+ e x -Xác định công thức truy hồi của: I ( n ) ( x) = dx (1 + x ) n Hng dn t hc: Theo cng chi tit 7) e x cos 3xdx CHNG TCH PHN XC NH A Mc tiờu: Kin thc: Sinh viờn nm c cỏc kin thc c bn v : - nh ngha tớch phõn xỏc nh, cỏc tớnh cht - Cụng thc tớch phõn xỏc nh - Cỏc phng phỏp tớnh tớch phõn xỏc nh - ng dng ca tớch phõn xỏc nh - Cỏc loi bi v tớch phõn xỏc nh K nng: Rốn k nng tớnh tớch phõn xỏc nh v ng dng T duy, thỏi : Nghiờm tỳc, hiu qu B Chun b v phng phỏp, phng tin, ti liu tham kho: Phng phỏp: Vn ỏp, gi m Phng tin: Tp bi ging, giỏo trỡnh, ti liu tham kho Ti liu tham kho: [1] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s - Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 [2] Nguyn Mnh Quý Nguyn Xuõn Liờm Giỏo trỡnh phộp tớnh vi phõn v tớch phõn ca hm s mt bin s (phn bi tp)- Giỏo trỡnh Cao ng S phm NXB i hc S phm 2004 Hc liu tham kho: [3] V Tun Gii tớch toỏn hc NXB Giỏo dc 1974 [4] Pitxcunp Phộp tớnh vi phõn v tớch phõn NXB Giỏo dc 1973 (Trn Trỏng Lờ Hanh dch C Phõn phi s tit thc hin: TT Ni dung kin thc N, tớnh cht S tit LT:5; BT: 3;KT:1 03 Ghi chỳ CT N-L Cỏc pp ly TP ng dng 02 TP suy rng Bi Kim tra 03 01 D Ni dung nh ngha, tớnh cht 1.1 nh ngha tớch phõn xỏc nh Các khái niệm bản: - Cho hàm f(x) xác định đoạn [ a; b] , ta chia đoạn [ a; b] làm n phần điểm chia: a = xo< x1< < xn = b Trên đoạn [ xi ; xi ] ( i: n ) lấy điểm i tuỳ ý Gọi x = xi xi Lập tổng In = i n f ( ) i =1 i xi gọi tổng tích phân hàm f đoạn [ a; b] Ta quy ớc n max( xi) Nếu In = n f ( ) i i =1 xi tiến tới giới hạn I xác định n , không phụ thuộc vào cách chia đoạn [ a; b] cách chọn điểm i giới hạn đợc gọi tích phân xác định hàm f(x) đoạn [ a; b] , kí hiệu b f ( x)dx a Vậy b a f ( x)dx = lim n n f ( ) i i =1 xi - Nếu hàm f(x) có tích phân đoạn [ a; b] ta nói hàm f(x) khả tích [ a; b] 1.2 Cỏc tớnh cht n gin Các tính chất tích phân xác định: - a f ( x)dx b =- b f ( x)dx a a f ( x)dx a =0 - b f ( x)dx = a c b f ( x)dx f ( x)dx + a f khả tích K a, b, c c điểm thuộc K - b b ( f ( x) + g ( x))dx = a - b b a a b g ( x)dx f ( x)dx + a a C f ( x)dx = C f ( x)dx C số Nếu m f(x) M [ a; b] m(b - a) b f ( x)dx M(b - a) a Cụng thc Niutn Laibnit; Cỏc phng phỏp ly tớch phõn 2.1 Cụng thc Niutn Laibnit - b f ( x)dx Công thức Niutơn-Lepnit: = F ( x) b = F(b) F(a) a a F(x) nguyên hàm hàm f(x) b f ( x)dx = a b f (u )du a 2.2 Phng phỏp i bin - Đổi biến: x = (t) liên tục với đạo hàm (t) đoạn t , a = ( ), b = ( ), f( (t)) hàm số liên tục đoạn [ , ] Lúc ta có công thức sau: b f ( x)dx = f ( (t )) ' (t )dt a 2.3 Phng phỏp tớch phõn tng phn b b - Tích phân phần: udv = u.v a a b vdu u = u(x), v = v(x) a hàm khả vi liên tục đoạn [ a; b] ng dng ca tớch phõn 3.1 Tớnh din tớch b - Nếu f(x) > với x [ a; b] f ( x)dx diện tích hình thang a cong giới hạn đờng y = f(x), y = 0, x = a, x = b Nếu y = f(x) y = g(x) liên tục đoạn [ a; b] S hình phẳng giới hạn đờng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b diện tích S - b f ( x ) g ( x) dx a 3.2 Tớnh th tớch, tớnh di cung - Nếu y = f(x) liên tục, không âm đoạn [ a; b] Hình phẳng giới hạn đờng y = f(x), y = 0, x = a, x = b quay xung quanh trục hoành, tạo nên khối tròn xoay Thể tích V khối đợc tính theo công thức: b V = f ( x)dx a Tớch phõn suy rng 4.1 Tớch phõn vi cn vụ hn Gi s hm f(x) xỏc nh trờn b] Gii hn (nu cú) ca tớch phõn suy rng ca hm f(x) trờn Nu , kớ hiu: Vy: ã v kh tớch trờn mi on [a; gi l tớch phõn hu hn thỡ hi t v hm f(x) kh tớch trờn ã Nu Tng t, vụ hn hoc khụng tn ti thỡ phõn k (Tớnh hi t v phõn k cng tng t) Tớch phõn hi t v hi t 4.2 Tớch phõn ca hm s khụng b chn nh ngha ban u ca tớch phõn Riemann khụng ỏp dng cho mt hm nh trờn khong [1, ), bi vỡ trng hp ny ca tớch phõn khụng b chn Tuy nhiờn, tớch phõn Riemann thng cú th c m rng bng tớnh liờn tc, bng cỏch nh ngha tớch phõn suy rng, thay vỡ l mt gii hn nh ngha hp ca tớch phõn Riemann cng khụng bao gm hm s trờn khong [0, 1] Vn õy l hm ly tớch phõn khụng b chn tớch phõn (nh ngha ũi hi c ca tớch phõn v ca hm ly tớch phõn phi b chn) Tuy nhiờn, tớch phõn suy rng tn ti nu c hiu l gii hn ụi cỏc tớch phõn cú th cú hai im k d khụng thớch hp Vớ d, xột hm 1/((x + 1) c ly tớch phõn t n Ti gii hn di, x tin ti hm tin ti , v gii hn trờn cng chớnh l , dự hm tin ti Nh vy õy l tớch phõn suy rng kộp Vớ d ly tớch phõn t n 3, tng Riemann bỡnh thng cng a kt qu /6 Ly tớch phõn t n , tng Riemann khụng th cho kt qu Tuy nhiờn, gii hn trờn hu hn bt k, nh t (vi t > 1), cho kt qu rừ rng, arctan /2 Tớch phõn ny cú gii hn hu hn t n vụ cựng,c th l /2 Tng t nh vy, tớch phõn t 1/3 n cho phộp dựng tng Riemann, tỡnh c mt ln na cho kt qu /6 Thay 1/3 bng mt giỏ tr dng tựy ý s (nh s < 1) cng khụng kộm phn an ton, cho /2 arctan ny cng cú gii hn hu hn s tin n khụng, c th l /2 Kt hp cỏc gii hn ca hai on, kt qu ca tớch phõn suy rng ny l Quỏ trỡnh ny khụng m bo thnh cụng; gii hn cú th khụng tn ti, hoc cú th l vụ hn Vớ d, khong b chn t n tớch phõn ca 1/x khụng hi t; v khong khụng b chn t n tớch phõn khụng hi t Trng hp cng cú th xy l mt hm ly tớch phõn khụng b chn gn mt im trong, trng hp ny tớch phõn phi c chia ti im ú i vi tớch phõn m ton tớch phõn hi t, cỏc tớch phõn gii hn trờn c hai v phi tn ti v phi b chn Vớ d: D Tng kt chng, cõu hi ụn tp, hng dn t hc: Tng kt chng: Trng tõm: Tớnh thnh tho TP xỏc nh Nn c mt s ng dng ca TP Bi tp: Bi 1: Tính tích phân xác định sau: +) +) dx (x + 1) +) x + ln x + dx +) x dx (x + 1) +) ( x + 1) dx +) sin xdx (3 x + 1) dx Mức độ 1: 1)Ví dụ mẫu: Dùng tính chất đơn giản để tính tích phân sau: Giải: ln 1 (1 + e x ) ln ex dx (1 + e x ) x ln d (e + 1) ex ln dx = (1 + e x ) = (1 + e x ) d (1 + e x ) = x (1 + e ) ln = 1 + 25 (1 + e) 2) Bài tập tự luyện: Bi Tính tích phân xác định sau: +) +) dx sin x + cos x dx ( x + 1) x + Dạng : Bài tập ứng dụng tích phân xác định Mức độ 1: 1)Ví dụ mẫu: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đờng y = 0, y = + x2, x = 0, x = Giải: Vì y = + x2 > với x nên ta có: 1 S = (1 + x )dx = ( x + x ) = (đvdt) 3 2) Bài tập tự luyện: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đờng tơng ứng: y = x2 + D: x + y = Mức độ 2: 1)Ví dụ mẫu: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đờng: y = x + y = - x2 Giải: Phơng trình hoành độ giao điểm: - x + = - x2 x = - x = 2 Khi x [ 1;2] ta có (- - x + x2 ) nên S = ( x + x + 2)dx = (đvdt) 2) Bài tập tự luyện: - Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đờng tơng ứng: x + y = 4x D: x2 y = y = cos x, y = sin x D: x = 0, x = - Tính thể tích vật thể tạo hình sau quay quanh trục Ox: y = x2 D: y = Mức độ 3: 1)Ví dụ mẫu: Cho khối chỏm cầu bán kính R chiều cao h Chứng h minh thể tích V khối chỏm cầu V = h ( R ) R R h Giải: V = ( R x )dx = ( R x x ) = h ( R ) 3 R h R h 2 2) Bài tập tự luyện: - Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đờng: +) y = - 4x2, y = x4 +) x = 4y2, x = y4 - Tính thể tích vật thể tạo miền D quay quanh trục Ox: y = x2 D: y = x y = ln x, y = D: x = e Hng dn t hc: Theo cng chi tit KIM TRA MT TIT Bi Tính tích phân xác định sau: a cos xdx sin x + sin x dx sin x + cos x Bi 2: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đờng tơng ứng: b y = x2 , y = D: x = 1, x = Bi : Tính thể tích vật thể tạo hình sau quay quanh trục Ox: y = x2 , y = D: x = 1, x = [...]... f ' g f g ' với g 0 g2 2.2 o hm hm s hp - Cho hàm y = f(u) trong đó u = g(x), nếu hàm u = g(x) có đạo hàm tại x và hàm y = f(u) có đạo hàm tại u, thì hàm hợp f(g(x)) cũng có đạo hàm tại x và có: yx = yu.ux 2.3 o hm hm s ngc 35 - Nếu hàm số y = f(x) khả vi tại x, có đạo hàm y x 0 và hàm f có hàm ngợc x = g(y) thì hàm ngợc g cũng khả vi tại y = f(x) và xy = 1 ' yx 3 o hm cỏc hm s thng gp 3.1 o hm... sử X và Y là hai tập hợp số thực ( X R và Y R) ánh xạ f : X Y x y = f (x) gọi là một hàm số (thực) từ X vào Y X đợc gọi là tập hợp xác định của hàm số f x X đợc gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hoặc đối số) Số thực y = f (x) Y đợc gọi là giá trị của hàm số tại điểm x Tập hợp tất cả các giá trị f (x) khi x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập hợp các giá trị của hàm số f và đợc... điểm gián đoạn của hàm số f(x) = 1 2 x 3x +) Xét tính liên tục của hàm số: f(x) = x =1 x 1 x >1 x 3 3 x + 2 trên toàn trục số +) Tìm các khoảng và nửa khoảng mà hàm số sau liên tục: f(x) = x 2 3x + 2 x=0 0 +) Tìm các điểm gián đoạn của hàm f(x) = x sin 1 x 0 x 1 x=0 x0 +) Xét tính liên tục của hàm số f(x) = sin x x +) Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Hàm số x2 x f(x)... f(x), x (a;b) ta cho x một số gia x Nếu khi đó số gia của hàm số có dạng: y = f(x) x + x trong đó x là vô cùng bé bậc cao hơn x khi x 0 thì biểu thức f(x) x đợc gọi là vi phân của hàm f (hay là hàm y) tại điểm x, kí hiệu là df (hay dy) Vậy: dy = f(x) x Nếu x là biến độc lập thì dx = x do đó ta có dy = f(x)dx 4.2 Vi phõn mt s hm s thng gp 4.3 Cỏc quy tc tớnh vi phõn 36 ... Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là bị chặn trên (dới) trong miền xác định X nếu: ( C R)( x X): f (x) C ( f (x) C) - Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là đơn điệu tăng (giảm) trong X, nếu x1, x2 X, f (x1) f (x2) ( f (x1) f (x2)) - Cho hàm f xác định trên miền đối xứng X, f đợc gọi là hàm chẵn khi và chỉ khi x X, f(x) = f(-x) - Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là là hàm lẻ khi và. .. Giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu ta có: lim x 2 3 2x + 5 x+2 2 = lim x 2 (4 2 x)( x + 2 + 2) ( x 2)((3 + 2 x + 5) ) 8 = lim 2( x + 2 + 2) = - x 2 3 + 2x + 5 6 Ví dụ 2: Tìm tập xác định và xét tính chẵn lẻ của hàm số sau: f(x) = ln 1+ x 1 x Giải: Hàm f xác định khi và chỉ khi 1+ x > 0 -1 < x < 1 Hàm f 1 x xác định trong khoảng đối xứng Mặt khác f(-x) = ln 1 x và f(x) = ln 1+... 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = Giải: hàm số f(x) = 5 tại điểm x = 2 x2 5 không xác định tại điểm x = 2 nên nó không liên x2 tục tại x = 2 2x 1 Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x 1 Giải: hàm số f(x) = x0 x>0 x0 x>0 tại điểm x = 0 xác định tại x = 0 và f(0) = 2.0 = 0, f ( x) = 1 f(0) = 0 nên theo định nghĩa f(x) không liên tục tại nhng xlim 0 + x=0 Bài tập tự luyện: Xét tính liên... hạn: lim f ' ( x) = lim x 0 f ( x + x) f ( x) x 1.2 Mt vi tớnh cht n gin - Đạo hàm của hàm f tại x, f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đờng cong y = f(x) tại điểm có toạ độ là (x;f(x)) 1.3 o hm phớa 34 Định nghĩa đạo hàmphía: Cho hàm f xác định trong khoảng (a;b), kí hiệu y = f(x) Với mỗi x (a;b) ta cho một số gia x Kí hiệu số gia của hàm số là: y = f(x+ x) f(x) Lập tỉ số: y f ( x + x)... b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a 1.2 Cỏc loi im giỏn on: - f gián đoạn tại xo nó không liên tục tại xo im giỏn on loi mt nu nú cú gii hn trỏi, phi hu hn ti im ú im gii hn loi hai nu nú khụng phi l im gii hn loi mt 2 Cỏc phộp toỏn trờn hm s liờn tc: 2.1 Phộp toỏn cng, nhõn, chia - Hai hàm f và g liên tục tại xo thì các hàm f + g, f g và f.g liên tục tại xo; Nếu thêm g(xo) 0 thì hàm. .. hàm f liên tục trên R: f(x) = 3 3x + 2 2 x 2 ( x 2) ( x > 2) +) Xác định a để hàm f liên tục trên R: a x2 f(x) = cos x cos 2 x ( x = 0) ( x 0) +) Xác định a để hàm f liên tục trên R: 4x a + x + 2 f(x) = 1 x 1+ x x ( x 0) ( x < 0) +) Xác định a để hàm f liên tục trên R: a + tg 6 f(x) = sin( x ) 3 1 2 cos x (x = ) 3 (x ) 3 - Tìm các khoảng và nửa khoảng, trên đó các hàm