Phép tính vi phân hàm một biến

Chu.o.ng Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o.t biˆ e´n 8.1 8.2 8.3 - a.o h` D am 61 8.1.1 - a.o h` D am cˆ a´p 61 8.1.2 - a.o h` D am cˆ a´p cao 62 Vi phˆ an 75 8.2.1 Vi phˆ an cˆ a´p 75 8.2.2 Vi phˆ an cˆ a´p cao 77 `e h` y co ba’n vˆ am kha’ vi Quy C´ ac di.nh l´ ´ t˘ ac l’Hospital Cˆ ong th´ u.c Taylor 84 8.3.1 `e h` y co ba’n vˆ am kha’ vi 84 C´ ac d i.nh l´ 8.3.2 ´ ac Lˆ opitan ac da.ng vˆ o di.nh Quy t˘ Khu’ c´ (L’Hospitale) 88 8.3.3 Cˆ ong th´ u.c Taylor 96 - a.o h`am 8.1 D 8.1 8.1.1 61 - a.o h` D am - a.o h` D am cˆ a´p Gia’ su’ h`am y = f(x) x´ac di.nh δ-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m x0 (U (x0 ; δ) = {x ∈ R : |x − x0 | < δ) v`a ∆f (x0) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) l`a sˆo´ gia cu’a n´o ta.i diˆe’m x0 tu.o.ng u ´.ng v´o.i sˆo´ gia ∆x = x − x0 cu’a dˆo´i sˆo´ `on ta.i gi´o.i ha.n h˜ Theo di.nh ngh˜ıa: Nˆe´u tˆ u.u ha.n f(x0 + ∆x) − f (x0) ∆x→0 ∆x am cu’a h`am f(x) ta.i ∆x → th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o c go.i l`a da.o h` diˆe’m x0 v`a du o c chı’ bo’ i mˆo.t c´ac k´ y hiˆe.u: lim f(x0 + ∆x) − f(x0) dy d ≡ ≡ f (x) ≡ f (x) ≡ y ∆x→0 ∆x dx dx Da.i lu.o ng lim ∆y ∆y = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0+0 ∆x f+0 (x0) = f (x0 + 0) = lim ∆x>0 v`a ∆y ∆y = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0−0 ∆x f−0 (x0 ) = f (x0 − 0) = lim ∆x0 ex ax(lna)n (−1)n−1 (n − 1)! n , x > x (−1)n−1 (n − 1)! n , x > x lna  nπ  sin x + - a.o h`am 8.1 D 63 f(x) f (x) f (n) (x) cos x − sin x  nπ  cos x + tgx cotgx arc sin x arccosx arctgx arccotgx cos2 x − sin x √ , |x| < 1 − x2 −√ , |x| < 1 − x2 1 + x2 − + x2 Viˆe.c t´ınh da.o h`am du.o c du a trˆen c´ac quy t˘a´c sau dˆay d d d [u + v] = u + v 1+ dx dx dx du d (αu) = α , α ∈ R 2+ dx dx du dv d (uv) = v +u 3+ dx dx dx    d u dv  du 4+ = v −u , v 6= dx v v dx dx d df du f[u(x)] = · (da.o h`am cu’a h`am ho p) 5+ dx du dx dy ≡ yx0 6= th`ı 6+ Nˆe´u h`am y = y(x) c´o h`am ngu.o c x = x(y) v`a dx dx ≡ x0y = · dy yx Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n 64 u.c kha’ vi 7+ Nˆe´u h`am y = y(x) du.o c cho du.´o.i da.ng ˆa’n bo’.i hˆe th´ F (x, y) = v`a Fy0 6= th`ı F0 dy = − x0 dx Fy ´.ng cu’a h`am F (x, y) d´o Fx0 v`a Fy0 l`a da.o h`am theo biˆe´n tu.o.ng u xem biˆe´n khˆong dˆo’i 8+ Nˆe´u h`am y = y(x) du.o c cho du.´o.i da.ng tham sˆo´ x = x(t), y = y(t) (x0(t) 6= 0) th`ı dy y (t) = · dx x (t) 9+ dn dn u dn v (αu + βv) = α + β ; dxn dxn dxn n−k X dk dn k d uv = C u v n dxn dxn−k dxk n (quy t˘´ac Leibniz) k=0 u.c d˜a cho ta c´o thˆe’ Nhˆ a.n x´et 1) Khi t´ınh da.o h`am cu’a mˆo.t biˆe’u th´ biˆe´n dˆo’i so bˆo biˆe’u th´ u.c d´o cho qu´a tr`ınh t´ınh da.o h`am do.n gia’n ho.n Ch˘a’ng ha.n nˆe´u biˆe’u th´ u.c d´o l`a logarit th`ı c´o thˆe’ su’ du.ng c´ac `oi t´ınh da.o h`am Trong nhiˆ `eu t´ınh chˆa´t cu’a logarit dˆe’ biˆe´n dˆo’i rˆ `oi ´ap tru `o ng ho p t´ınh da.o h`am ta nˆen lˆa´y logarit h`am d˜a cho rˆ du.ng cˆong th´ u.c da.o h`am loga d y (x) lny(x) = · dx y(x) 2) Nˆe´u h`am kha’ vi trˆen mˆo.t khoa’ng du.o c cho bo’.i phu.o.ng tr`ınh F (x, y) = th`ı da.o h`am y 0(x) c´o thˆe’ t`ım t` u phu.o.ng tr`ınh d F (x, y) = dx ´ V´I DU CAC - a.o h`am 8.1 D 65 V´ı du T´ınh da.o h`am y nˆe´u: r ex ; x 6= π(2n + 1), n ∈ N 1) y = ln + cos x + x2 2) y = √ , x 6= πn, n ∈ N x4 sin7 x u.c cu’a h`am y b˘`ang c´ach Gia’i 1) Tru.´o.c hˆe´t ta do.n gia’n biˆe’u th´ du a v`ao c´ac t´ınh chˆa´t cu’a logarit Ta c´o x 1 y = lnex − ln(1 + cos x) = − ln(1 + cos x) 3 3 Do d´o y0 = 1 sin x 1 (cos x) − = + = 3 + cos x 3 + cosx + tg x · 2) O’ dˆay tiˆe.n lo i ho.n ca’ l`a x´et h`am z = ln|y| Ta c´o dz dy dy dy dz dz = · = ⇒ =y · dx dy dx y dx dx dx (*) Viˆe´t h`am z du.´o.i da.ng x = ln|y| = ln(1 + x2 ) − ln|x| − 7ln| sin x| 2x cos x dz = −7 · ⇒ − dx 1+x 3x sin x Thˆe´ biˆe’u th´ u.c v` u.a thu du.o c v`ao (∗) ta c´o + x2  2x cos x  dy =√ − N − dx sin x x4 sin7 x + x2 3x x V´ı du T´ınh da.o h`am y nˆe´u: 1) y = (2 +cos x)x, x ∈ R; 2) y = x2 , x > Gia’i 1) Theo di.nh ngh˜ıa ta c´o y = exln(2+cos x) Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n 66 T` u d´o  0 y = exln(2+cos x) xln(2 + cos x) h xln(2+cos x) ln(2 + cos x) − x =e sin x i , + cos x x ∈ R nˆen v´o.i x > ta c´o h1 i x x y = e2 lnx [2x lnx]0 = e2 lnx 2x + 2x ln2 · lnx x  1 x + ln2 · lnx N = 2x x2 x V´ı du T´ınh da.o h`am cˆa´p cu’a h`am ngu.o c v´o.i h`am y = x + x5, x ∈ R Gia’i H`am d˜a cho liˆen tu.c v`a do.n diˆe.u kh˘´ap no.i, da.o h`am y = + 5x4 khˆong triˆe.t tiˆeu ta.i bˆa´t c´ u diˆe’m n`ao Do d´o 2) V`ı y = e2 x lnx x0y = 1 = · yx0 + 5x4 Lˆa´y da.o h`am d˘a’ng th´ u.c n`ay theo y ta thu du.o c  0 −20x3 x00yy = · x = · N + 5x4 x y (1 + 5x4)3 V´ı du Gia’ su’ h`am y = f(x) du.o c cho du.´o.i da.ng tham sˆo´ bo’.i c´ac cˆong th´ u.c x = x(t), y = y(t), t ∈ (a; b) v`a gia’ su’ x(t), y(t) kha’ vi cˆa´p 00 v`a x0 (t) 6= t ∈ (a, b) T`ım yxx Gia’i Ta c´o dy dy y0 y0 = dt = t0 ⇒ yx0 = t0 · dx dx xt xt dt Lˆa´y da.o h`am hai vˆe´ cu’a d˘a’ng th´ u.c n`ay ta c´o  y 0  y 0 00 = t0 · t0x = t0 · yxx xt t xt t xt 00 00 xy −y x = t tt t tt · N xt - a.o h`am 8.1 D 67 V´ı du Gia’ su’ y = y(x), |x| > a l`a h`am gi´a tri du.o.ng cho du.´o.i da.ng ˆa’n bo’.i phu.o.ng tr`ınh x2 y − = a2 b 00 T´ınh yxx Gia’i Dˆe’ t`ım y ta ´ap du.ng cˆong th´ u.c d F (x, y) = dx Trong tru.`o.ng ho p n`ay ta c´o d  x2 dx a2 −  y2 − = b2 Lˆa´y da.o h`am ta c´o 2x 2y − yx = 0, a2 b b2x ⇒yx0 = , |x| > 0, y > a y (8.1) (8.2) Lˆa´y da.o h`am (8.1) theo x ta thu du.o c
2 y 00 − =0 yx − yxx 2 a b b v`a t` u (8.2) ta thu du.o c yx00:
i h b2 h b2 b4 x2 i 00 = = − y − yxx x y a2 y a2 a4 y b4 h x2 y i b4 = − − = − , y > N ay a b ay ; 2) y = x2 cos 2x x2 − ˜e n h`am d˜a cho du.´o.i da.ng tˆo’ng c´ac phˆan th´ Gia’i 1) Biˆe’u diˆ u.c co ba’n 1h 1 i = − x2 − 4 x−2 x+2 V´ı du T´ınh y (n) nˆe´u: 1) y = Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n 68 v`a d´o  (n) h (n)  (n) i = − x2 − 4 x−2 x+2 Do  (n) = (−1)(−2) · · · (−1 − n + 1)(x ± 2)−1−n x±2 = (−1)n n! (x ± 2)n+1 nˆen  i (n) (−1)n n! h 1 = − x2 − 4 (x − 2)n+1 (x + 2)n+1 2) Ta ´ap du.ng cˆong th´ u.c Leibniz dˆo´i v´o.i da.o h`am cu’a t´ıch (x2 cos 2x) = Cn0x2 (cos 2x)(n) + Cn1 (x2)0 (cos 2x)n−1 + Cn2 (x2)0 (cos 2x)n−2 `eu = v`ı C´ac sˆo´ ha.ng c`on la.i dˆ
(k) =0 x2 ∀ k > ´ du.ng cˆong th´ Ap u.c (cos 2x) (n) nπ  = cos 2x + n  ta thu du.o c   nπ  n(n − 1)  cos 2x + (x2 cos 2x)(n) = 2n x2 − 4 nπ  n + nx sin 2x + N V´ı du V´o.i gi´a tri n`ao cu’a a v`a b th`ı h`am  ex , x 0, f(x) = x2 + ax + b, x > - a.o h`am 8.1 D 69 c´o da.o h`am trˆen to`an tru.c sˆo´ Gia’i R˜o r`ang l`a h`am f(x) c´o da.o h`am ∀ x > v`a ∀ x < Ta chı’ `an x´et diˆe’m x0 = cˆ V`ı h`am f (x) pha’i liˆen tu.c ta.i diˆe’m x0 = nˆen lim f(x) = lim f (x) = lim f (x) x→0+0 x→0−0 x→0 t´ u.c l`a lim (x2 + ax + b) = b = e0 = ⇒ b = x→0+0 ... 8.2.1 Vi phˆ an Vi phˆ an cˆ a´p Gia’ su’ h`am y = f(x) x´ac di.nh lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m x0 v`a ∆x = x − x0 l`a sˆo´ gia cu’a biˆe´n dˆo.c lˆa.p H`am y = f (x) c´o vi phˆ an cˆ a´p (vi. .. da.ng cu’a vi phˆ du.o c go.i l`a t´ınh bˆ a´t biˆe´n vˆ an cˆa´p 8.2.2 Vi phˆ an cˆ a´p cao Gia’ su’ x l`a biˆe´n dˆo.c lˆa.p v`a h`am y = f (x) kha’ vi lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m x0 Vi phˆan... b˘a`ng ty’ uy th` u.a bˆa.c n cu’a vi sˆo´ gi˜ u.a vi phˆan cˆa´p n cu’a h`am f (x) chia cho l˜ phˆan cu’a dˆo´i sˆo´ 8.2 Vi phˆan 79 ´ V´I DU CAC V´ı du T´ınh vi phˆan df nˆe´u √ x 2) f (x) =