Bài tập vận dụng phần hàm số

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y = x − mx + , m tham số Hỏi hàm số cho có nhiều điểm cực trị A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: y = x − mx + Suy ra: y ′ = 3x5 x −m= 3x5 − m x x TH1: m = Ta có: y ′ = hàm số khơng có đạo hàm x = x5 x 3 = vơ nghiệm hàm số khơng có đạo hàm x =0 x −∞ +∞ − y′ + y Do hàm số có cực trị x > m ⇔ x = TH2: m > Ta có: y ′ = ⇔ x = m x ⇔  3 3 x = mx Bảng biến thiên x y′ −∞ m − − +∞ + y Do hàm số có cực trị x < m ⇔ x=− − TH3: m < Ta có: y ′ = ⇔ 3x = m x ⇔  3 3 x = − mx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x y′ −∞ − − m − + +∞ + y Do hàm số có cực trị Vậy trường hợp hàm số có cực trị với tham số m Chú ý:Thay trường hợp ta xét m > , ta chọn m số dương (như m = ) để làm Tương tự trường hợp , ta chọn m = −3 để làm cho lời giải nhanh Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y = x + 2017 (1) Mệnh đề x +1 đúng? A Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang có tiệm cận đứng đường thẳng x = −1 B Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = −2, y = khơng có tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số (1) có tiệm cận ngang đường thẳng y = tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = −1, x = Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số y = x + 2017 (1) có tập xác định ¡ , nên đồ thị khơng có tiệm cận x +1 đứng x + 2017 x + 2017 = 2; lim = −2 , nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞ x +1 x +1 lim đường thẳng y = −2, y = Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC)Tìm tất m cho điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x + x + mx − nằm bên phải trục tung 1 A Không tồn m B < m < C m < D m < 3 Hướng dẫn giải Chọn D Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị phương trình y ′ = có hai nghiệm phân biệt x + x + m = (1) có hai nghiệm phân biệt ∆′ = − 3m > ⇔ m < Khi (1) có hai nghiệm phân biệt xCĐ , xCT hoành độ hai điểm cực trị  x + x = − < (2) CĐ CT  Theo định lí Viet ta có  , xCĐ < xCT hệ số x3  x x = m (3)  CĐ CT lớn Để cực tiểu đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung phải có: xCT > , kết hợp (2) (3) suy (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ xCĐ xCT = m < ⇔ m < Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Phương trình x + x ( x + 1) = m ( x + 1) có nghiệm thực khi: A −6 ≤ m ≤ − B −1 ≤ m ≤ C m ≥ D − ≤ m ≤ 4 Hướng dẫn giải Sử dụng máy tính bỏ túi x + x ( x + 1) = m ( x + 1) ⇔ mx − x + ( 2m − 1) x − x + m = Chọn m = phương trình trở thành x − x3 + x − x + = (khơng có nghiệm thực) nên loại đáp án B, C Chọn m = −6 phương trình trở thành −6 x − x − 13 x − x − = (khơng có nghiệm thực) nên loại đáp án A Kiểm tra với m = phương trình trở thành − x − x − x = ⇔ x = nên chọn đáp án D Tự luận Ta có x + x ( x + 1) = m ( x + 1) ⇔ m = Xét hàm số y = x3 + x + x (1) x4 + x2 + x3 + x + x xác định ¡ x4 + x2 + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word y′ = (x ( 3x = = + x + x ) ′ ( x + x + 1) − ( x3 + x + x ) ( x + x + 1) ′ (x + x + 1) + x + 1) ( x + x + 1) − ( x3 + x + x ) ( x + x ) (x + x + 1) − x − x5 − x + x + x + ( x + x + 1) ( − x + 1) ( x + x + 1) = ( x + x + 1) 4 2 2 x = y ′ = ⇔ ( − x + 1) ( x + x + 1) = ⇔   x = −1 Bảng biến thiên Phương trình (1) có nghiệm thực đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số x3 + x + x y= x + 2x2 + ⇔ −1 ≤m≤ 4 Chọn đáp án D Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f ( x ) = f ( a ) + f ( b − ) có giá trị A B C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: b − = − a f ( a) = 9a 91− a ; f b − = f − a = = ( ) ( ) a 1− a 3+9 3+ + 9a 9x , x ∈ R Nếu a + b = + 9x D ⇒ f ( a ) + f ( b − 2) = 9a + =1 a + + 9a Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị m hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 + 3x + mx + m − nằm hai phía so với trục hoành? A m > B −1 < m < C m < D < m < Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: y ′ = x + x + m Hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nên phương trình y ′ = có nghiệm phân biệt Do ∆′ = − 3m > ⇔ m < Gọi x1 , x2 điểm cực trị hàm số y1 , y2 giá trị cực trị tương ứng 1  2 1  Ta có: y = x + 3x + mx + m − = y ′  x + ÷+  m − ÷x + m − nên y1 = k ( x1 + 1) , 3  3 3  y2 = k ( x2 + 1) Yêu cầu ⇔ y1 y2 < ⇔ k ( x1 + 1) ( x2 + 1) < ⇔ x1 x2 + x1 + x2 + < ⇔ toán m − +1< ⇔ m < Vậy m < thỏa mãn toán Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x − 3mx + cắt đường tròn tâm I ( 1;1) , bán kính điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn 2± 1± A m = B m = 2 C m = 2± D m = 2± Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y′ = x − 3m nên y ′ = ⇔ x = m Đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + có hai điểm cực trị m > Ta có y = x3 − 3mx + = 1 x ( 3x − 3m ) − 2mx + = x y ′ − 2mx + 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3mx + có phương trình ∆ : y = −2mx + 1 Ta có: S ∆IAB = IA.IB.sin ·AIB = sin ·AIB ≤ 2 Diện tích tam giác IAB lớn Gọi H trung điểm AB ta có: IH = Mà d( I ,∆ ) = sin ·AIB = ⇔ AI ⊥ BI 2 AB = = d( I ,∆ ) 2 2m + − 4m + Suy d( I ,∆ ) = ra: ⇔ 8m − 16m + = ⇔ m = 2m + − 4m + = ⇔ 4m − = ( 4m + 1) 2± Câu 8: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng 2x +1 y = x + m − cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A, B cho x +1 AB = A m = ± 10 B m = ± C m = ± D m = ± 10 Hướng dẫn giải Chọn A Hoành độ giao điểm nghiệm PT: 2x +1  f ( x ) = x + ( m − ) x + m − = = x + m −1 ⇔  x +1  x ≠ −1 Đường thẳng y = x + m − cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt phương trình f ( x ) = có hai nghiệm phân biệt khác −1 , hay ∆ > m − 8m + 12 > m <  ⇔ ⇔    f ( −1) ≠ m > 1 ≠  ( *)  x1 + x2 = − m Khi đó, gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình f ( x ) = , ta có   x1 x2 = m − (Viète) Giả sử A ( x1 ; x1 + m − 1) , B ( x2 ; x2 + m − 1) ⇒ AB = x2 − x1 Theo giả thiết AB = ⇔ x2 − x1 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ m − 8m + = ⇔ m = ± 10 Kết hợp với điều kiện ( *) ta m = ± 10 Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho x , y số dương thỏa mãn xy ≤ y − Giá trị ( 2x + y ) x + 2y + ln nhỏ P = a + ln b Giá trị tích ab x y A 45 B 81 C 108 D 115 Hướng dẫn giải Chọn B x, y dương ta có: xy ≤ y − ⇔ xy + ≤ y ≤ y + ⇔ < Có P = 12 + Đặt t = x ≤4 y x  y + ln  + ÷ x y  x , điều kiện: < t ≤ y P = f ( t ) = 12 + + ln ( t + ) t f ′( t ) = − t − 6t − 12 + = t2 t + t ( t + 2) t = + 21 f ′( t ) = ⇔  t = − 21 t f ′( t ) − P = f ( t) 27 + ln Từ BBT suy GTNN ( P ) = ⇒a= 27 + ln t = 27 , b = ⇒ ab = 81 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ax + x − có đồ thị ( C ) ( a, b x + bx + số dương, ab = ) Biết ( C ) có tiệm cận ngang y = c có tiệm cận đứng Tính tổng T = 3a + b − 24c A T = B T = C T = D T = 11 Câu 10: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y = Hướng dẫn giải Chọn D lim y = x →±∞ a a Tiệm cận ngang y = c ⇒ = c 4 (C) có tiệm cận đứng nên phương trình x + bx + = có nghiệm kép 1 ∆ = ⇔ b − 144 = ⇔ b = ±12 Vì b > ⇒ b = 12 ⇒ a = ⇒ c = 12 Vậy T = 11 (NGÔ GIA TỰ - VP) Tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 + ( m − 1) x + ( m − ) x + 2017 nghịch biến khoảng ( a; b ) cho b − a > m < A m > B m = C m < D  m > Câu 11: Hướng dẫn giải Chọn D Ta có y ′ = x + ( m − 1) x + ( m − ) Hàm số nghịch biến ( a; b ) ⇔ x + ( m − 1) x + ( m − ) ≤ ∀x ∈ ( a; b ) ∆ = m − 6m + TH1: ∆ ≤ ⇒ x + ( m − 1) x + ( m − ) ≥ ∀x ∈ ¡ ⇒ Vơ lí TH2: ∆ > ⇔ m ≠ ⇒ y ′ có hai nghiệm x1 , x2 ( x2 > x1 ) ⇒ Hàm số nghịch biến ( x1 ; x2 ) Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 − x1 > ⇔ ( x2 − x1 ) > ⇔ S − P > m > ⇔ ( m − 1) − ( m − ) > ⇔ m − 6m > ⇔  m < Câu 12: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất giá trị m để hàm số y = x − x +mx đồng biến [ 1, 2] A m > B m ≥ C m ≥ −1 Hướng dẫn giải D m > −8 Chọn C Ta có y′ = ( x − x + m ) x − x +mx ln Hàm số cho đồng biến [ 1, 2] ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ [ 1, 2] ⇔ 3x − x + m ≥ 0, ∀x ∈ [ 1, 2] ( *) b = < nên 2a 1 − 3m ≤   ∆′ ≤  m≥     1 − 3m >  ∆′ >    ⇔  ⇔  ⇔ m ≥ −1 ( *) ⇔   x1 + x2 m< 0, − Câu 13: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Biết đường thẳng y = ( 3m − 1) x + 6m + cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x + ba điểm phân biệt cho giao điểm cách hai giao điểm lại Khi m thuộc khoảng đây? A (−1;0) B (0;1) C (1; ) Hướng dẫn giải D ( ;2) Chọn A Yêu cầu tốn tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng x − 3x + = ( 3m − 1) x + 6m + ⇔ x − 3x − ( 3m − 1) x − 6m − = Giả sử phương trình x − x − ( 3m − 1) x − 6m − = có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa x +x mãn x2 = (1) Mặt khác theo viet ta có x1 + x2 + x3 = (2) Từ (1) (2) suy x2 = Tức x = nghiệm phương trình Thay x = vào phương trình ta m=− Thử lại m = − thỏa mãn đề Câu 14: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị y = A x − + 3x + là: x2 − x B C Hướng dẫn giải D Chọn A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  1   Tập xác định: D =  −∞; −  ∪  ;1÷∪ ( 1; + ∞ ) 2 2   Tiệm cận đứng: x − + 3x + x −1 + 3x2 + = +∞ ; lim− y = lim− = −∞ x →1 x →1 x →1 x →1 x ( x − 1) x ( x − 1) Suy x = tiệm cận đứng Tiệm cận ngang: − + 3+ 2 2 x − + 3x + x x = ⇒ y = tiệm cận ngang lim y = lim = lim x x →+∞ x→+∞ x→+∞ x2 − x 1− x − + 3+ 2 2 x − + 3x + x x = ⇒ y = tiệm cận ngang lim y = lim = lim x x →−∞ x→−∞ x →−∞ x −x 1− x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận lim+ y = lim+ Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho f ( x) = e 1+ x2 + ( x +1) Biết m m f ( 1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e n với m, n số tự nhiên n tối giản Tính m − n2 A m − n = 2018 B m − n = −2018 C m − n2 = D m − n = −1 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1+ + = x ( x + 1) Ta có : (x + x + 1) x ( x + 1) 2 = x2 + x +1 1 = 1+ =1+ − x +x x ( x + 1) x x +1 m Suy : f ( 1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e n ⇔ f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) = ⇔ 2018 − m (lấy ln hai vế) n m 20182 − m = ⇔ = 2018 n 2018 n Ta chứng minh 20182 − phân số tối giản 2018 Giả sử d ước chung 20182 − 2018 Khi ta có 20182 − 1Md , 2018Md ⇒ 20182 Md suy 1Md ⇔ d = ±1 Suy 20182 − phân số tối giản, nên m = 20182 − 1, n = 2018 2018 Khi điểm cực trị là: A ( 0; m + 1) , B ( −m;1) , C ( m;1) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp( có) tứ giác ABOC Do tính chất đối xứng , ta có: A, O, I thẳng hàng ⇒ AO đường kính đường tròn ngoại tiếp( có) tứ giác ABOC uuur uuur m = Vậy AB ⊥ OB ⇔ AB.OB = ⇔ m − m = ⇔   m = ±1 Kết hợp điều kiện m = ±1 ( thỏa mãn) Câu 53: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số: y = x − 2mx + m có ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn A m < −1 B m > C m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) D Không tồn m Hướng dẫn Chọn B [Phương pháp tự luận] Hàm số có điểm cực trị m > ( ) ( Ba điểm cực trị A ( 0; m ) , B − m ; m − m , C m ; m − m2 ) Gọi I trung điểm BC ⇒ I ( 0; m − m ) S ∆ABC = AI BC = m m Chu vi ∆ABC là: p = AB + BC + AC = ( Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC là: r = Theo ra: r > ⇔ ⇔ m ( m2 m m + m4 + m >1⇔ m + m4 + m S ∆ABC m2 m = p m + m4 + m m2 m ) ) ( m + m4 − m m4 ) > (vì m > )  m < −1 m + m4 − m > m2 ⇔ m2 + m5 > m2 + m ⇔ m2 − m − > ⇔  m > So sánh điều kiện suy m > thỏa mãn [Phương pháp trắc nghiệm] Sử dụng công thức r = Theo ra: r > ⇔ b2 a + 16a − 2ab3 m2 1+ 1+ m >1⇔ m2 ( ⇒r= 4m + 16 + 16m3 ) >1⇔ + m3 − m = m2 + + m3 + m3 − > m  m < −1 + m3 > m + ⇔⇔ + m3 > m + ⇔ m − m − > ⇔  m > So sánh điều kiện suy m > thỏa mãn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = mx3 − 3mx + 3m − có hai điểm cực trị A, B cho AB − (OA2 + OB ) = 20 ( Trong O gốc tọa độ) A m = −1 B m = Câu 54: C m = −1 m = − 17 11 D m = m = − 17 11 Hướng dẫn Chọn D Ta có: y′ = m(3x − x)  x = ⇒ y = 3m − Với m ≠ , ta có y′ = ⇔  Vậy hàm số ln có hai điểm  x = ⇒ y = −m − cực trị Giả sử A(0;3m − 3); B(2; −m − 3) m = Ta có : AB − (OA + OB ) = 20 ⇔ 11m + 6m − 17 = ⇔  ( thỏa mãn)  m = − 17  11 2 2 m = m Vậy giá trị cần tìm là:   m = − 17  11 Câu 55: Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48 cm 2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ bằng: A 16 cm B cm C 24 cm D cm Hướng dẫn Chọn A Cách Gọi cạnh hình chữ nhật: a, b; 0)? a2 a2 a2 2a A B C D 9 3 Hướng dẫn Chọn A Cạnh góc vng x, < x < a ; cạnh huyền: a − x Cạnh góc vng lại là: Diện tích tam giác S ( x) = (a − x) − x a ( a − x) a ; S ′( x) = ⇔ x = x a − 2ax S ′( x) = 2 a − 2ax Bảng biến thiên: 00 a2 a Tam giác có diện tích lớn cạnh góc vng , cạnh huyền 2a Cho hàm số y = cos x + cos x + Gọi M giá trị lớn m giá trị cos x + nhỏ hàm số cho Khi M+m A.– B.– C.– D Câu 57: Hướng dẫn Chọn D Tập xác định: D = ¡ Đặt t = cos x , ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = f ′(t ) = 2t + t + , ≤ t ≤1 t +1 t = 2t + 4t ′ f ( t ) = ⇔ ⇒ f (0) = 1, f (1) = ;  (t + 1)2 t = −2 ∉ [ 0;1] y = 1, max y = Vậy ¡ ¡ sin x + Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ sin x + sin x + hàm số cho Chọn mệnh đề 3 A M = m + B M = m + C M = m D M = m + 2 Câu 58: Cho hàm số y = Hướng dẫn Chọn B −t − 2t t +1 ′ Đặt t = sin x, − ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = , f (t ) = t + t +1 t + t +1 ( ) t = ∈ [ −1;1] f ′(t ) = ⇔  ⇒ f (0) = 1, f (−1) = 0, f (1) = Vậy M = 1, m = t = −2 ∉ [ −1;1] Câu 59: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thỏa mãn điều 1 ( x + y ) xy = x + y − xy Giá trị lớn M biểu thức A = + là: x y A B C D M = M = M = M = 16 Hướng dẫn Chọn D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word kiện 2 1 x3 + y ( x + y )( x − xy + y )  x + y   1  A= + = 3 = = ÷ = + ÷ x y x y x3 y3  xy   x y  Đặt x = ty Từ giả thiết ta có: ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty = (t − t + 1) y 2  1   t + 2t +  t2 − t +1 t2 − t +1 Do y = Từ A =  + ÷ =  ; x = ty = ÷ t +t t +1  x y   t − t +1  t + 2t + −3t + ′ f ( t ) = ⇒ f ( t ) = Xét hàm số t2 − t +1 ( t − t + 1) Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn A là: 16 đạt x = y = x+2 có đường tiệm cận đứng x = a đường tiệm 3x + cận ngang y = b Giá trị số nguyên m nhỏ thỏa mãn m ≥ a + b A B −3 C −1 D −2 Câu 60: Đồ thị hàm số y = Hướng dẫn Chọn D Ta có đường tiệm cận đứng x = −3 đường tiệm cận ngang y = Nên a = −3, b = 3 Do m ≥ a + b ⇔ m ≥ − ⇒ m = −2 2x − (C ) Gọi M điểm (C), d tổng x−2 khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị (C) Giá trị nhỏ d A.5 B.10 C.6 D Câu 61: Cho hàm số y = Hướng dẫn Chọn D  2x −  Tọa độ điểm M có dạng M  x0 ; ÷ với x0 ≠ x0 −   Phương trình tiệm cận đứng, ngang x − = ( d1 ) , y − = ( d ) Ta có d = d ( M , d1 ) + d ( M , d ) = x0 − + ≥2 x0 − 2 Cho hàm số : y = x3 − mx − x + m + có đồ thị ( Cm ) Tất giá trị 3 tham số m để ( Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 Câu 62: thỏa x12 + x22 + x32 > 15 A m > m < −1 B m < −1 C m > D m > Hướng dẫn Chọn A Phương pháp tự luận: Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) đường thẳng d : x − mx − x + m + = ⇔ ( x − 1)  x + ( −3m + 1) x − 3m −  = 3 x =1 ⇔  x + ( −3m + 1) x − 3m − = (1)  4 44 4 43  g ( x) ( Cm ) cắt Ox ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác ∆ g > 9m + 6m + >  ⇔ ⇔ ⇔ m ≠  g ( 1) ≠ −6m ≠  Gọi x1 = x2 , x3 nghiệm phương trình ( 1) nên theo Viet ta có  x2 + x3 = 3m −   x2 x3 = −3m − Vậy x12 + x22 + x32 > 15 ⇔ + ( x2 + x3 ) − x2 x3 > 15 ⇔ ( 3m − 1) + ( 3m + ) − 14 > ⇔ 9m − > ⇔ m > ∨ m < −1 Vậy chọn m > ∨ m < −1 Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra đáp án + Với m = −2 , ta giải phương trình bậc ba: x + x − x − = thu 3 nghiệm x1 = −6.37 , x2 = 1, x3 = −0.62 Ta chọn giá trị nhỏ nghiệm kiểm tra điều kiện toán Cụ thể ta tính ( −6.4 ) + 12 + ( −0.63 ) = 42.3569 > 15 ⇒ loại C, D 2 + Với m = , ta làm tương tự thu nghiệm x1 = 6.27 , x2 = 1, x3 = −1.27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tính 6.22 + 12 + ( −1.3) = 41.13 > 15 ⇒ loại B Vậy chọn m > ∨ m < −1 Câu 63: Cho hàm số y = x −1 có đồ thị ( C ) Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) với x0 > −1 ( x + 1) điểm thuộc ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y = Hỏi giá trị x0 + y0 bao nhiêu? 7 5 A − B C D − 2 2 Hướng dẫn Chọn A  x −1 • Gọi M  x0 ;  ( x0 + 1)  ∈ C x ≠ −1 điểm cần tìm ÷ ÷ ( ) với  • Gọi ∆ tiếp tuyến ( C ) M ta có phương trình ∆ : y = f '( x0 )( x − x0 ) + x0 − x −1 = ( x − x0 ) + 2( x0 + 1) ( x0 + 1) 2( x0 + 1)  x02 − x0 −   x02 − x0 −  A − ; B ⇒ B = ∆ ∩ Oy ⇒ • Gọi A = ∆ ∩ Ox  0;  ÷ ÷    2( x0 + 1)  • Khi ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆OAB có trọng tâm  x02 − x0 − x02 − x0 −  G− ; ÷ 6( x0 + 1)   • Do G thuộc đường thẳng x + y = ⇒ −4 ⇔4= ( x0 + 1) x02 − x0 − x02 − x0 − + =0 6( x0 + 1)2 (vì A, B khơng trùng O nên x02 − x0 − ≠ ) 1    x0 + =  x0 = − ⇔ ⇔ x + = − x = −   2  3 • Vì x0 > −1 nên chọn x0 = − ⇒ M  − ; − ÷ ⇒ x0 + y0 = − 2  2 Câu 64: −x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : y = x + m Với 2x − m ta có d cắt ( C ) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số Cho hàm số y = góc tiếp tuyến với ( C ) A, B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn A m = −1 B m = −2 D m = −5 C m = Hướng dẫn Chọn A • Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C )  −x + x ≠ = x+m⇔  2x −  g ( x ) = x + 2mx − m − = (*)  • Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = −m; x1 x2 = • Ta có y ′ = k1 = − −1 ( x − 1) ( x1 − 1) 2 , nên tiếp tuyến ( C ) A B có hệ số góc k2 = − k1 + k = − −m − Giả sử A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ( x2 − 1) Vậy 1 4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + − = − (2 x1 − 1) (2 x2 − 1) [ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1] = − ( 4m + 8m + ) = −4 ( m + 1) − ≤ −2 • Dấu "=" xảy ⇔ m = −1 Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn −2 m = −1 2x −1 có đồ thị ( C ) Biết khoảng cách từ I ( −1; ) đến tiếp x +1 tuyến ( C ) M lớn nhấtthì tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai, gần giá trị nhất? A 3e B 2e C e D 4e Câu 65: Cho hàm số y = Hướng dẫn Chọn C Phương pháp tự luận • Ta có y ′ = ( x + 1)  2x −1  • Gọi M  x0 ; ÷∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) Phương trình tiếp tuyến M x0 +   2x −1 y= ( x − x0 ) + ⇔ x − ( x0 + 1) y + x02 − x0 − = ( x0 + 1) x0 + • d ( I , ∆) = x0 + + ( x0 + 1) = + ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1) ≤ = • Dấu " = " xảy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x0 = −1 + ⇒ y0 = − ( L ) 2  = ( x + 1) ⇔ x + = ⇔ ( ) 0 ( x0 + 1)  x0 = −1 − ⇒ y0 = + ( N ) Tung độ gần với giá trị e đáp án Phương pháp trắc nghiệm Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 + = ± +  x0 = −1 + ⇒ y = − ( L ) ⇔  x0 = −1 − ⇒ y = + ( N ) x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị x +1 hàm số ( C ) tạo với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn Câu 66: Cho hàm số y = nội tiếp lớn Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị ( C ) đến ∆ bằng? A B C D Hướng dẫn Chọn D Phương pháp tự luận  x −2 • Gọi M  x0 ; ÷∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) , I ( −1;1) Phương trình tiếp tuyến M có x0 +   dạng x −2 ∆: y = ( x − x0 ) + x0 + ( x0 + 1)  x −5 • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A  −1; ÷ x0 +   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 + 1;1) , IB = x0 + ⇒ IA.IB = 12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp x0 + • Ta có IA = ∆ IAB S IAB = pr , suy r= S IAB IA.IB IA.IB IA.IB = = ≤ =2 3− p IA + IB + AB IA + IB + IA2 + IB 2 IA.IB + 2.IA.IB  xM = −1 + ⇒ y0 = − • Suy rmax = − ⇔ IA = IB ⇔ x0 − = ⇔   xM = −1 − ⇒ y0 = + uuur uuur • IM 3; − ⇒ IM = ( ) Phương pháp trắc nghiệm • IA = IB ⇒ ∆ IAB vuông cân I ⇒ IM ⊥ ∆  xM = −1 + ⇒ yM = − • cxM + d = ± ad − bc ⇒ xM + = ± + ⇔   xM = −1 − ⇒ yM = + uuur ⇒ IM = 2x − có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến điểm M x−2 ( C ) cắt hai tiệm cận ( C ) A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB A B C D 2 Câu 67: Cho hàm số y = Hướng dẫn Chọn D 1   Lấy điểm M  m; + ÷ ∈ ( C ) với m ≠ Ta có y ' ( m ) = − m − 2 ( ) m−2  Tiếp tuyến M có phương trình d : y = − ( m − 2) ( x − m) + + m−2   Giao điểm d với tiệm cận đứng A  2; + ÷ m−2  Giao điểm d với tiệm cận ngang B ( 2m − 2; )   2 ≥ , suy AB ≥ 2 Dấu “=” xảy Ta có AB = ( m − ) + 2 ( m − )   ( m − ) = , nghĩa m = m = −1 x + 3x + có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm x+2 M thuộc ( C ) đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C D 2 Câu 68: Cho hàm số y = Hướng dẫn Chọn D  3 Điểm M  0, ÷ nằm trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục d =  2 Xét điểm M có hồnh độ lớn Xét điểm M có hồnh độ nhỏ 3 ⇒d = x + y > 2 : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3 ⇒ y> ⇒d = x + y > 2 • Với < x < • 1 = 1+ ;d ' = − < Với − < x < 0; y > ⇒ d = − x + x + + 2 x+2 x+2 ( x + 2) Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy d = y ( ) = Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = Câu 69: qua đường thẳng d : x − y − = A ( 4; ) ( −1; −1) B ( 1; −5 ) ( −1; −1) C ( 0; −2 ) ( 3;7 ) D ( 1; −5 ) ( 5;3) x+4 đối xứng x−2 Hướng dẫn Chọn B Gọi đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = x − suy ∆ : y = −2 x + m Giả sử ∆ cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B Khi hồnh độ A, B nghiệm phương trình x ≠ x+4  = −2 x + m ⇔ 2 x − (m + 3) x + 2m + = x−2  4 44 h2( x )4 4 43 Điều kiện cần: Để ∆ cắt (C ) hai điểm phân biệt phương trình h( x) = có hai nghiệm m < − m − 10m − 23 > ∆ > ⇔ ⇔ phân biệt khác , tức  (*)  h(2) ≠  m > +  −6 ≠ Điều kiện đủ: Gọi I trung điểm AB , ta có: m+3  x A + xB xI =    xI =   m + 3m +  ⇔ ⇒I ;  ÷    yI = xI + m y = m +3 + m I  Để ⇔ hai điểm A, B đối xứng qua m+3 3m + − − = ⇔ m = −3 (thỏa điều kiện (*)) d : x − 2y − = I ∈d  x = −1 ⇒ y = −1 Với m = −3 phương trình h( x) = ⇔ x − = ⇔   x = ⇒ y = −5 Vậy tọa hai điểm cần tìm ( 1; −5 ) ( −1; −1) (CHUYÊN QUANG TRUNG) Để hàm số y = Câu 70: m thuộc khoảng ? A ( 0; ) B ( −4; −2 ) x + mx + đạt cực đại x = x+m C ( −2; ) D ( 2; ) Hướng dẫn giải Chọn B • Tập xác định: D = ¡ \ { − m} • Đạo hàm: y ′ = x + 2mx + m2 − ( x + m) • Hàm số đạt cực trị x = y′ ( ) = ⇒ + 4m + m − ( + m)  m = −3 =0⇒   m = −1 x = ; y′ = ⇔  Lập bảng biến thiên ta thấy hàm ( x − 3) x = số đạt cực đại x = nên m = −3 ta nhận x = x2 − 2x ′ m = − ⇒ y = ; y′ = ⇔  • Với Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số ( x − 1) x = đạt cực tiểu x = nên m = −1 ta loại x, y Câu 71: (CHUYÊN VINH – L2)Cho số thực thỏa mãn 2 x + y = x − + y + Giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y ) + 15 xy • Với m = −3 ⇒ y ′ = ( A P = −80 x2 − 6x + ) B P = −91 C P = −83 Hướng dẫn giải D P = −63 Chọn C Ta có x + y ≥ x + y = 2( x − + y + 3) ⇔ ( x + y ) = 4( x + y ) + x − y + ≥ 4( x + y ) ⇔  x + y ≤ Mặt khác x + y = 2( x − + y + 3) ≤ 2( x + y ) ⇔ x + y ≤ ⇒ x + y ∈ [ 4;8] Xét biểu P = 4( x + y ) + 15 xy = 4( x + y ) + xy ≥ 16( x + y ) + xy = x ( y + 3) + 16 y − x 2 thức y +3 ≥ ⇒ P ≥ 16(4 − x) − x = 64 − 21x Mà  y ≥ 4− x , kết hợp với x + y ≥ ⇒ x ∈ [ 3;7 ] ⇒ 64 − 21x ≥ −83 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P −83 Câu 72: (CHUYÊN VINH – L2)Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình bên Tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị y O http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word −3 x A m ≤ −1 m ≥ C m = −1 m = B m ≤ −3 m ≥ D ≤ m ≤ Hướng dẫn giải Chọn A Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m gồm hai phần: • Phần phần đồ thị hàm số y = f ( x ) + m nằm phía trục hồnh; • Phần phần đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x ) + m nằm phía trục hồnh qua trục hồnh Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) cho hình bên ta suy dạng đồ thị hàm số y = f ( x ) + m Khi hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) + m trục hoành nhiều hai điểm chung  1+ m ≤  m ≤ −1 ⇔ ⇔  −3 + m ≥  m≥3 Câu 73: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên sau: L2) Cho hàm 2 Khi | f ( x) |= m có bốn nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < < x4 A < m < B ≤ m < C < m < Hướng dẫn giải Chọn A  f ( 0) = a =  b = −3  f ( 1) =  ⇔ Ta có  , suy y = f ( x) = x3 − 3x +  f ′ ( 0) = c = f′ =0 d =  ( ) x = NX: f ( x ) = ⇔  x=−  Bảng biến thiên hàm số y = f ( x) sau: D < m ≤ số Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình | f ( x) |= m có bốn nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < 1 < x4 < m < 2 (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Cho hàm số y = f ( x) = x( x − 1)( x − 4)( x − 9) Hỏi đồ thị hàm số y = f ¢( x ) cắt trục hồnh điểm phân biệt? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Câu 74: 2 Ta có f ( x ) = x ( x − 1) ( x − ) ( x − ) = ( x − x ) ( x − 13x + 36 ) = x − 14 x + 49 x − 36 x f ′ ( x ) = x − 70 x + 147 x − 36 Đặt t = x , t ≥ Xét hàm g ( t ) = 7t − 70t + 147t − 36 Do phương trình g ′ ( t ) = 21t − 140t + 147 = có hai nghiệm dương phân biệt g ( ) = −36 < nên g ( t ) = có nghiệm dương phân biệt Do f ′ ( x ) = có nghiệm phân biệt Câu 75: (CHUN THÁI BÌNH – L4) Tìm tất các giá trị thực m để hàm số y = ( m − x ) − x đồng biến ( 0; 1) A m ≥ −2 B m ≤ −2 C m > Hướng dẫn giải D m < Chọn B + Tập xác định: D = ( −∞; 1] + y ′ = −3 x − x − 3x 2 1− x ( m − x3 ) = 3x 2 1− x ( 3x − m − 2) x = y′ = ⇔  x = m +  * Trường hợp 1: m = −2 , ta có bảng xét dấu: Dựa vào BXD, ta có y ′ < 0, ∀x ∈ ( 0; 1) ⇒ hàm số nghịch biến ( 0; 1) * Trường hợp 2: m ≠ −2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Để hàm số nghịch biến ( 0; 1) m+2 < ⇔ m < −2 Vậy m ≤ −2 hàm số nghịch biến ( 0; 1) Câu 76: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Phương trình 2017sin x = sin x + − cos x có nghiệm thực [ −5π ; 2017π ] ? A vô nghiệm B 2017 C 2022 D 2023 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có hàm số y = 2017sin x − sin x − − cos x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Xét hàm số y = 2017sin x − sin x − − cos x [ 0; 2π ] Ta có  sin x  = cos x  2017sin x.ln 2017 − − ÷ 2 − cos x + sin x   π 3π Do [ 0; 2π ] , y′ = ⇔ cos x = ⇔ x = ∨ x = 2 π   3π  y  ÷ = 2017 − − > ; y  ÷ = −1− < 2   2017 Bảng biến thiên x π 3π 2π 2 − + + y′ 0 π y ÷ y  3π   2 y ÷   y′ = cos x.2017sin x.ln 2017 − cos x − 2sin x.cos x Vậy [ 0; 2π ] phương trình 2017sin x = sin x + − cos x có ba nghiệm phân biệt Ta có y ( π ) = , nên [ 0; 2π ] phương trình 2017 sin x = sin x + − cos x có ba nghiệm phân biệt 0, π , 2π Suy [ −5π ; 2017π ] phương trình có 2017 − ( −5 ) + = 2023 nghiệm ... khoảng phân số A 14 15 p tối giản q > Hỏi tổng p + q là? q B C số m ( 1; ) cho hàm số  p  −∞;  , q  D Hướng dẫn Chọn C Tập xác định D = ¡ Ta có y′ = −4 x3 + 2(2m − 3) x Hàm số nghịch biến... thỏa mãn yêu cầu toán 2 Câu 49: Cho hàm số y = x − ( − m ) x + m + Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn... thị hàm số (1) có tiệm cận ngang đường thẳng y = khơng có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = −1, x = Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số y