Toán 12 phần Giải tích

1 Các đặc trưng khác khái niệm hàm số Trong trình hình thành phát triển, khái niệm hàm số gắn liền với hai đặc trưng sau: 1.1 Biến thiên – phụ thuộc Sự phụ thuộc lẫn hai đại lượng biến thiên xuất sớm lịch sử, đến cuối kỉ thứ 18 đồng biến thiên hai đại lượng quan tâm định nghĩa tường minh Euler (1755): Nếu số đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác cho đại lượng khác thay đổi, đại lượng thay đổi theo, lúc gọi đại lượng hàm số đại lượng khác (trích theo Bessot, A Nguyễn Thị Nga, 2011, [4, tr 58]) Chẳng hạn, diện tích S hình tròn phụ thuộc vào bán kính R hình tròn đó, chi phí gửi thư C thư phụ thuộc vào trọng lượng w nó, dân số giới P phụ thuộc theo thời gian t Theo đó, S hàm số theo R, C hàm số theo w P hàm số theo t 1.2 Tương ứng Đặc trưng hàm số liên kết số với số cho trước Từ kỉ 19 nay, dạy học, khái niệm hàm số định nghĩa theo ngôn ngữ tập hợp gắn liền với đặc trưng tương ứng sau: “Hàm số f quy tắc cho tương ứng phần tử x thuộc tập hợp D với phần tử, kí hiệu f (x ) , thuộc tập hợp E ” (Stewart, 2012, [4, tr.10]) Định nghĩa làm mờ tính biến thiên hàm số, hay nói cách khác đặc trưng biến thiên – phụ thuộc hoàn toàn xuất ngầm ẩn 2 Những quan điểm khái niệm giới hạn lịch sử Nói quan điểm khái niệm giới hạn lịch sử, Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011) nhận định: Quan điểm khái niệm giới hạn tồn từ thời Euclide (tư tưởng thể Phương pháp vét cạn) đến tận Newton (1642 - 1727) Lê Thái Bảo Thiên Trung gọi quan điểm “ xấp xỉ x ” Trong quan điểm này, biến số “kéo” hàm số: Nếu đại lượng x tiến giá trị a đại lượng (theo nghĩa, nhận giá trị ngày gần a ) đại lượng y – đại lượng phụ thuộc x (một hàm số biến x ) - tiến giá trị L Nghĩa x lúc gần a kéo theo y lúc gần L Quan điểm thứ hai khái niệm giới hạn xuất Cauchy (1821) đưa định nghĩa xác cho khái niệm Lê Thái Bảo Thiên Trung gọi quan điểm “ xấp xỉ f (x ) ” Trong quan điểm “ xấp xỉ f (x ) ” hiểu khái niệm giới hạn thể kí hiệu đại ngày lim f (x ) x a L, có nghĩa độ xấp xỉ f (x ) với L mà ta mong muốn định độ xấp xỉ x với a cần chọn Quan điểm thứ hai hình thành nghĩa khái niệm giới hạn Năm 1876, Weierstrass thể quan điểm “ xấp xỉ f (x ) ” khái niệm giới hạn ngôn ngữ , Định nghĩa súc tích sử dụng bậc đại học ngày Với ngơn ngữ hình thức, người ta trình bày khái niệm giới hạn sau : lim f (x ) x a L ( 0, 0: x a f (x ) L ) Hai quan điểm kể thể đối lập vai trò độ xấp xỉ biến độ xấp xỉ giá trị hàm số : quan điểm “xấp xỉ x ”, độ xấp xỉ ; quan điểm “xấp xỉ f (x ) ”, độ xấp xỉ kéo theo độ xấp xỉ mong muốn định độ xấp xỉ Các nghĩa khác khái niệm đạo hàm 3.1 Bài toán tiếp tuyến ý nghĩa hình học khái niệm đạo hàm Vào 1591, nhờ hệ thống kí hiệu đại số nhà toán học người Pháp Francois Vieta phát minh mà Đại số tách khỏi Hình học, phát triển cách độc lập Từ đó, Descartes Fermat vận dụng chúng vào nghiên cứu Hình học độc lập với phát minh Hình học giải tích vào năm 1630 Bài toán xác định tiếp tuyến đường cong quen thuộc đường tròn, đường conic, đường xoắn ốc Archimedes vốn giải nhà tốn học thời kì quan tâm trở lại Sở dĩ vậy, từ Hình học giải tích đời, phương trình hồn tồn xác định đường cong Lớp đường cong ngày đa dạng phức tạp hơn, đòi hỏi phải có phương pháp tổng quát để giải toán tiếp tuyến Động lực làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, nhờ khái niệm đạo hàm điểm người ta trả lời tồn hay không tiếp tuyến đường cong điểm này, tồn dựng Theo đó, mang lại cho khái niệm nghĩa hình học rõ ràng: “hệ số góc tiếp tuyến” Rõ ràng hơn, đạo hàm điểm với hệ số góc tiếp tuyến điểm 3.2 Đạo hàm tốc độ biến thiên hàm số Mặc dù ban đầu Newton tiếp cận ý tưởng phương pháp tìm tiếp tuyến Fermat Barrow ông lại xây dựng khái niệm đạo hàm theo quan điểm động học Trong đạo hàm định nghĩa tốc độ biến thiên tức thời đại lượng theo “thời gian” “Thời gian” không hiểu theo nghĩa đen, mà theo nghĩa tổng quát, biến x biến thiên theo thời gian, nghĩa cho (x )' Quan niệm ông mang lại cho khái niệm đạo hàm đặc trưng quan trọng: Đạo hàm thước đo tốc độ biến thiên hàm số so với tốc độ biến thiên đối số Đặc trưng mở đường cho ứng dụng mạnh mẽ đạo hàm vật lí ngành khoa học khác Đây nghĩa tổng quát khái niệm đạo hàm 3.3 Đạo hàm phép tính xấp xỉ Vào 1715, sau khái niệm đạo hàm hàm số đạo hàm định nghĩa tường minh, Taylor đưa công thức cho phép xấp xỉ hàm số f (x ) hàm đa thức, ngày gọi công thức khai triển Taylor: Nếu x x0 h thì: f (x ) f (x ) f '(x ) h 1! f ''(x ) h 2! f (n )(x ) n! O hn O h n vơ bé bậc cao h n Nhờ công thức này, thay phải nghiên cứu hàm f (x ) phức tạp, nghiên cứu hàm đa thức xấp xỉ với f (x ) Trường hợp đơn giản nhất, người ta xấp xỉ f (x ) hàm tuyến tính Về chất hình học, phần đường cong f (x ) lân cận nhỏ x xấp xỉ đoạn thẳng (tiếp tuyến x ) Đây nghĩa xấp xỉ khái niệm đạo hàm Đạo hàm tốc độ biến thiên 4.1 Tiếp tuyến Hình Tiếp tuyến t cát tuyến AB đường cong Nếu đường cong C có phương trình y f (x ) muốn tìm tiếp tuyến điểm A a; f (a ) , xét điểm gần kề B x ; f (x ) , x a, tính hệ số góc cát tuyến AB : mAB f (x ) f (a ) x a Sau đó, cho B tiến đến A dọc theo đường cong C cách cho x tiến đến a Nếu mAB tiến đến giá trị m, lúc định nghĩa tiếp tuyến t đường thẳng qua A với hệ số góc m Điều có nghĩa tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến AB B tiến đến A (xem hình 1) Cụ thể hơn: Tiếp tuyến đường cong y A với hệ số góc: m lim x a f (x ) f (a ) x a giới hạn tồn 4.2 Vận tốc tức thời f (x ) điểm A a; f (a ) đường thẳng qua Hình Vận tốc tức thời Giả sử vật di chuyển dọc theo đường thẳng có phương trình chuyển động s f (t ), s độ dịch chuyển (khoảng cách có định hướng) vật so với vị trí ban đầu thời điểm t Hàm f mô tả chuyển động gọi hàm vị trí vật Trong khoảng thời gian từ t a đến t b, độ dịch chuyển f b Vận tốc trung bình khoảng thời gian f b b f (a ) a f (a ) (xem hình 2) , với hệ số góc cát tuyến AB Hình Bây giờ, giả sử tính vận tốc trung bình khoảng thời gian ngắn dần a;b Nói cách khác, cho b tiến đến a, có định nghĩa vận tốc tức thời v(a ) thời điểm t a sau: Vận tốc tức thời v(a ) thời điểm t v(a ) lim b a f b b f (a ) a tiếp tuyến A 4.3 Đạo hàm a giới hạn vận tốc trung bình: Điều nói lên, vận tốc thời điểm t a với hệ số góc Chúng ta thấy việc tìm hệ số góc tiếp tuyến hay vận tốc vật dẫn đến dạng toán giới hạn lim x a f (x ) f (a ) Kiểu giới hạn x a xuất phổ biến ngành khoa học kĩ thuật, nên người ta đặt cho tên kí hiệu đặc biệt Đạo hàm hàm số f giá trị a, kí hiệu f '(a ), f '(a ) lim giới hạn tồn Trong định đặt y f (x a) f (a) ta có f '(a ) lim x nghĩa trên, x a f (x ) f (a ) x a x x a y x 4.4 Tốc độ biến thiên Giả sử y đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác x Khi đó, y hàm số theo x ta viết y x y f (x ) Nếu x biến thiên từ x1 đến x 2, độ biến thiên x x2 x1 độ biến thiên tương ứng y f (x ) f (x1 ) y x f x2 Khi đó, x2 f x1 x1 gọi tốc độ biến thiên trung bình y tương ứng với x qua khoảng cách x 1; x diễn giải hệ số góc cát tuyến AB Hình Làm tương tự với vận tốc, xem xét tốc độ biến thiên trung bình qua khoảng cách giảm dần cách cho x tiến đến đến x x tiến đến Giới hạn tốc độ biến thiên trung bình gọi tốc độ biến thiên (tức thời) y tương ứng với x x1, mà hiểu hệ số góc tiếp tuyến đường cong y f (x ) A x 1; f (x ) Xấp xỉ tuyến tính Chúng ta thấy đường cong gần với tiếp tuyến điểm gần với tiếp điểm Thật vậy, cách phóng to điểm đồ thị hàm số có đạo hàm, thấy đồ thị trông ngày giống tiếp tuyến Nói cách khác, sử dụng tiếp tuyến (a; f (a )) đường xấp xỉ với đường cong y f (x ) x tiến tới a phép tính xấp xỉ f (x ) f (a ) f '(a )(x a ) hay f (a x) f (a ) f '(a ) x gọi xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ tiếp tuyến f a Các nghĩa khác khái niệm tích phân 6.1 Bài tốn diện tích ý nghĩa hình học khái niệm tích phân Từ thời điểm cách 2500 năm, thời người Hy Lạp cổ đại, lúc họ biết tìm diện tích đa giác cách chia nhỏ chúng thành hình tam giác cộng diện tích hình tam giác lại Nhưng tính diện tích hình có cạnh cong khơng dễ chút nào, giải tốn động lực chủ yếu hình thành nên ý tưởng khái niệm tích phân Để tính diện tích hình này, người ta thường chia hình cần tính thành hình Ai , i * ,i nhỏ hơn, tổng diện tích hình Ai lại cho xấp xỉ diện tích hình ban đầu Edoxus Archimedes phát triển phương pháp “vét cạn” cho phép chuyển qua giới hạn tổng để tính xác diện tích hình cần tìm Phương pháp sau phát triển nhà toán học kỉ 17 Fermat, Pascal,…cho phép nhà tốn học tính diện tích hình cách xác Tích phân hiểu giới hạn tổng diện tích hình Ai Cụ thể có hình phẳng (H ) giới hạn đồ thị hàm số f (x ) 0, trục Ox hai đường thẳng x a, x b (a b) b f (x )dx diện tích hình phẳng (H ) bên đường cong Đây ý nghĩa a hình học khái niệm tích phân 6.2 Tổng tích phân nghĩa tổng quát khái niệm tích phân Theo tiến trình lịch sử hình thành phát triển, tư tưởng chia nhỏ, lập tổng chuyển qua giới hạn xem nghĩa khởi thủy khái niệm tích phân Cùng với việc Cauchy hồn chỉnh sở lý thuyết giới hạn vào kỉ 18 mang lại cho khái niệm tích phân định nghĩa chặt chẽ Cụ thể, tích phân định nghĩa sau: Nếu f hàm xác định với a x khoảng b a n Ta cho x x b, ta chia khoảng a;b thành n a, x1, x 2, , xn b điểm đầu mút khoảng ta cho x 1*, x 2*, , x n * điểm mẫu khoảng thứ i x i 1, x i Khi b n f (x )dx a lim n i f xi * tích phân xác định f từ a đến b x với điều kiện giới hạn tồn cho giá trị với cách chọn lựa điểm mẫu Nếu tồn tại, ta nói f khả tích n a;b Tổng i f xi* x định nghĩa gọi tổng Riemann Kí hiệu đưa Leibniz gọi kí hiệu tích phân Nó chữ S kéo dài Leibniz chọn tích phân giới hạn tổng Cũng với quy trình chia nhỏ, lập tổng chuyển qua giới hạn trên, người ta định nghĩa tích phân đường, tích phân mặt không gian khác Hơn nữa, quy trình ứng dụng vào giải vấn đề nhiều lĩnh vực, khoa học khác nhau, chẳng hạn như: tính cơng lực biến đổi, tính quãng đường vật vận tốc thay đổi, tính áp suất lực thủy tĩnh vật lí kĩ thuật; tìm thặng dư tiêu dùng hàng hóa, tính hiệu suất tim kinh tế sinh học; giải toán dân số,….Những điều này, mang lại nghĩa cho khái niệm tích phân lĩnh vực Vì thế, gọi nghĩa khởi thủy khái niệm tích phân nghĩa tổng quát 6.3 Mối quan hệ nghịch đảo phép tính vi phân phép tính tích phân Phép tính vi phân nảy sinh từ tốn tiếp tuyến, phép tính tích phân nảy sinh từ tốn khơng có liên quan cả, tốn diện tích Người thầy Newton trường Cambrigde, Isaac Barrow 1630 1677 , phát hai toán thật có mối liên hệ chặt chẽ với Thật vậy, ơng nhận thấy phép tính tích phân phép tốn ngược phép tính vi phân Newton Leibniz sau khai thác mối quan hệ sử dụng để phát triển giải tích thành phương pháp có hệ thống thơng qua định lí Cơ Giải tích Định lí Cơ Giải tích thể hai phần: Phần : Nếu f liên tục a;b , hàm g xác định x g(x ) f (t )dt (a x a liên tục a;b , khả vi a;b g '(x ) f (x ) b) b Phần : Nếu f liên tục a;b , f (x )dx F (b) F (a ), F a ngun hàm f , tức là, hàm số cho F ' f Từ đó, định lí giúp tính diện tích tích phân cách dễ dàng mà khơng phải tính chúng từ giới hạn tổng Riemann Đặc trưng mang lại cho khái niệm tích phân bất định nghĩa mới: “phép toán ngược đạo hàm” Tích phân xác định đoạn [a;b ] hàm số f (x ) hiệu số F (b) F (a ), F nguyên hàm f NGƯỜI VIẾT: PHẠM HỒI TRUNG ... thơng qua định lí Cơ Giải tích Định lí Cơ Giải tích thể hai phần: Phần : Nếu f liên tục a;b , hàm g xác định x g(x ) f (t )dt (a x a liên tục a;b , khả vi a;b g '(x ) f (x ) b) b Phần : Nếu f liên... giác cộng diện tích hình tam giác lại Nhưng tính diện tích hình có cạnh cong khơng dễ chút nào, giải tốn động lực chủ yếu hình thành nên ý tưởng khái niệm tích phân Để tính diện tích hình này,... giúp tính diện tích tích phân cách dễ dàng mà khơng phải tính chúng từ giới hạn tổng Riemann Đặc trưng mang lại cho khái niệm tích phân bất định nghĩa mới: “phép toán ngược đạo hàm” Tích phân xác