Tính kích thước của trang giấy sao cho diện tích của nó là nhỏ nhất.. Thể tích của hình trụ tròn xoay đang là 60cm3 và đang tăng với tốc độ 2 cm3/phút tại thời điểm bán kính đáy đang là
Trang 1NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu1 được in trên 01 trang2)
Câu 1 Tính giới hạn sau: lim
x→ 0
ex
− e−x
− 2x
x3 Câu 2 Một trang chữ của một quyển sách giáo khoa có diện tích 384cm2, lề trên và lề dưới 3
cm, lề phải và lề trái là 2 cm Tính kích thước của trang giấy sao cho diện tích của nó là nhỏ nhất
Câu 3 Thể tích của hình trụ tròn xoay đang là 60cm3 và đang tăng với tốc độ 2 cm3/phút tại
thời điểm bán kính đáy đang là 5 cm và đang tăng với 1 cm/phút Tìm tốc độ biến thiên của chiều cao hình trụ tại thời điểm đó
Câu 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 và đường thẳng y = x + 2
Câu 5 Tính độ dài cung y = 1
3(3 − x)√x với 0 ≤ x ≤ 3
Câu 6 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
∞
X
n =1
1
n2
x − 1
x+ 1
n
Câu 7 Tính tổng chuỗi lũy thừa:
∞
X
n =0
x2n
n+ 1 trong khoảng hội tụ (−1; 1) của chuỗi
Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2011
Cán bộ giảng dạy
LÊ HOÀI NHÂN
1 Thang điểm: 1,00 điểm/câu.
2 Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 29.11.2011 Điểm chữ được nhập vào tài khoản sinh viên và được dán ở VP BM Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12.2011 Phúc khảo bài thi: từ 08 giờ đến 11 giờ ngày 06.12.2011 tại VP BM Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 1
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04
NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 29/11/2011 Thời gian làm bài: 90 phút
ĐÁP ÁN
Câu 1 Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có:
lim
x→ 0
ex
− e−x
− 2x
x→ 0
ex
+ e−x
− 2 3x2
= lim
x→ 0
ex
− e−x
6x
= lim
x→ 0
ex
+ e−x
1
3. Câu 2 • Gọi x, y (x, y > 0) là kích thước của trang chữ sách giáo khoa Suy ra, kích thước
trang giấy là x + 6 và y + 4
Diện tích trang chữ xy = 384 =⇒ y = 384x
• Diện tích trang giấy (x + 6)(y + 4) = 4x + 2304x + 408
• Đặt S(x) = 4x + 2304x + 408 Ta tìm x để S(x) đạt giá trị nhỏ nhất
S0
(x) = 4 − 2304x2 S0
(x) = 0 ⇐⇒ x = 24 =⇒ y = 16
S00
(x) = 4608
x3 =⇒ S00
(24) = 1
3 >0 Suy ra, S(x) đạt cực tiểu và cũng là giá trị nhỏ nhất tại x = 24
• Kích thước trang sách là 30cm × 20cm thì diện tích của nó đạt giá trị nhỏ nhất Câu 3 Gọi r(t), h(t) và V (t) lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và thể tích hình trụ tại thời
điểm t
• Ta có, V (t) = πr2(t).h(t) =⇒ h(t) = πrV2(t)(t) (1)
• Tại thời điểm t0 ta có: V (t0) = 60, V0
(t0) = 2, r(t0) = 5 và r0
(t0) = 1 Ta cần tính
h0
(t0)
• Từ (1) ta có: h0
(t) = V
0
(t).r(t) − 2r0
(t).V (t)
πr3(t) Suy ra: h0
(t0) = −25π22
• Vậy chiều cao của hình trụ đang giảm với tốc độ 22
25π (cm/phút)
Câu 4 • Hoành độ giao điểm: x2 = x + 2 ⇐⇒ x = −1; x = 2
• Diện tích:
S =
2
Z
1
(x + 2 − x2)dx = 9
2 đvdt
Trang 3l =
3
Z
0
p1 + y0 2dx= 1
2
3
Z
0
1
√
x+√ x
dx= 2√
3 đvcd
Câu 6 • Đặt t = x− 1
x+ 1 với t 6= 1 ta có chuỗi
∞
X
n =1
1
n2tn (2)
Ta tìm miền hội tụ của chuỗi (2) Ta có an = 1
n2 =⇒ l = limn→∞aan+1
n
= 1
Suy ra, bán kính hội tụ của chuỗi (2) là r = 1 và khoảng hội tụ (−1; 1)
Khi t = −1 ta có chuỗi
∞
X
n =1
(−1)n
n2 là chuỗi hội tụ
Do đó, miền hội tụ của chuỗi (2) là [−1; 1)
• Ta có, −1 ≤ t < 1 ⇐⇒ x ≥ 0 Suy ra, miền hội tụ của chuỗi đã cho là [0; ∞) Câu 7 • Với x ∈ (−1; 1) đặt S(x) =
∞
X
n =0
x2n
n+ 1
và H(t) =
∞
X
n =0
tn
n+ 1 với t = x2 và t ∈ [0; 1)
H1(t) = t.H(t) =
∞
X
n =0
tn +1
n+ 1
• Ta có, H0
1(t) =
∞
X
n =0
tn= 1
1 − t
• H1(t) =
u
Z
0
H0
1(u)du = − ln(1 − t) + H1(0)
Vì H1(0) = 0 nên H1(t) = − ln(1 − t)
• Vì H(0) = 1 nên H(t) =
(
−ln(1 − t)
t khi t 6= 0
• Kết luận, S(x) = H(x2) =
−ln(1 − x2)
x2 khi x 6= 0
Trang 4TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 2
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04
NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 29/11/2011 Thời gian làm bài: 90 phút
NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu3 được in trên 01 trang4)
Câu 1 Tính giới hạn: lim
x→ 0
cot x − x1
Câu 2 Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với tốc độ là 0, 01
cm/phút Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khi bán kính của nó đang là
50 cm Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâu bán kính của nó sẽ là 52 cm
Câu 3 Cho hàm số y = 3 − 2x2
2x2+ 3x − 2 Tính y(n) Câu 4 Tính tích phân suy rộng I =
+∞
Z
0
xe−x 2
dx
Câu 5 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi các đường
y= e−x
2.√ sin x, y = 0 với 0 ≤ x ≤ π quanh trục Ox
Câu 6 Tìm miền hội tụ của chuỗi:
∞
X
n =1
2n
n(n + 1)x
n +1
Câu 7 Tính tổng của chuỗi
∞
X
n =1
n
2nxn trong khoảng hội tụ (−2; 2) của chuỗi
Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2011
Cán bộ giảng dạy
LÊ HOÀI NHÂN
3 Thang điểm: 1,00 điểm/câu.
4 Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 29.11.2011 Điểm chữ được nhập vào tài khoản sinh viên và được dán ở VP BM Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12.2011 Phúc khảo bài thi: từ 08 giờ đến 11 giờ ngày 06.12.2011 tại VP BM Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.
Trang 5ĐÁP ÁN
Câu 1 Áp dung nguyên lý thay vô cùng bé tương đương và quy tắc L’Hospital ta có:
lim
x→ 0
cot x − x1
= lim
x→ 0
xcos x − sin x
x2
= lim
x→ 0
cos x − x sin x − cos x
2x
= −1
2x→lim0sin x = 0 Câu 2 • Gọi r(t) và S(t) lần lượt là bán kính và diện tích bản kim loại.
Ta có: S(t) = πr2(t) (1)
Tại t0 ta có: r(t0) = 50 và r0
(t0) = 0, 01 Ta tính S0
(t0)
Từ (1) ta có: S0
(t) = 2πr(t).r0
(t) suy ra: S0
(t0) = π
Vậy diện tích bản kim loại đang tăng với tốc độ πcm2phút
• Gọi ∆t là khoảng thời gian để bán kính bản kim loại tăng lên đến 52 cm Khi đó: S(t0+ ∆t) = π522 Ta có:
∆t = S(t0+ ∆t) − S(t0)
S0(t0) = 204phút Vậy cần 204 phút để bán kính bản kim loại tăng lên đến 52 cm
Câu 3 • Ta có 3 − 2x2
2x2+ 3x − 2 = −1 +
1
x+ 2 +
1 2x − 1
• Vì
1
x+ 2
(n)
= (−1)n n!
(x + 2)n +1 và 1
2x − 1
(n)
= (−1)n
2n n!
(2x − 1)n +1
• Suy ra:
y(n)= (−1)n
n!
1 (x + 2)n +1 + 2n 1
(2x − 1)n +1
Câu 4 Ta có,
+∞
Z
0
xe−x 2
dx = lim
b→ +∞
b
Z
0
xe−x 2
dx
= 1
2b→lim+∞
−b 2
Z
0
e−t
dx
= −1
2b→lim+∞e−t
−b 2 0
= −1
2b→lim+∞
e−b 2
− 1= 1
2
Trang 6Câu 5 • Thể tích vật thể: V = πZ
0
e−x
sin xdx
• Đặt I =
π
Z
0
e−x
sin xdx Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có:
I =
π
Z
0
e−x
d(− cos x) = − e−x
cosx
π
0 −
π
Z
0
e−x
cos xdx
= e−π
+ 1 −
π
Z
0
e−x
dsin x = e−π
+ 1 − e−x
sin x
π
0 + I = e−π
+ 1 − I
Do đó, 2I = e−π
+ 1 =⇒ I = 1
2 e
−π
+ 1
• Vậy V = π
2 e
−π
+ 1 (đvtt)
Câu 6 • Ta có an= 2
n
n(n + 1), an +1 = 2
n +1
(nn + 1)(n + 2) Suy ra, l = lim
n→∞
an +1
an
= 2
Bán kính hội tụ của chuỗi: r = 1
2 và khoảng hội tụ −1
2;
1 2
• Khi x = 1
2 ta có chuỗi 1
2
∞
X
n =1
1 n(n + 1) (1)
n(n + 1) <
1
n2 và
∞
X
n =1
1
n2 hội tụ nên chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh
• Khi x = −12 ta có chuỗi −12
∞
X
n =1
(−1)n
n(n + 1) (2)
Vì
(−1)n
n(n + 1)
n(n + 1) và chuỗi (1) hội tụ nên chuỗi (2)hội tụ
• Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là:
−1
2;
1 2
Câu 7 • Với x ∈ (−2; 2) đặt S(x) =
∞
X
n =1
n
2nxn và S1(x) =
∞
X
n =1
n
2nxn−1 Suy ra: S(x) = x.S1(x)
• Ta có
x
Z
0
S1(t)dt =
∞
X
n =1
1
2nxn=
∞
X
n =1
x 2
n
= x
2.
1
1 − x 2
2 − x
• Suy ra: S1(x) = d
dx
x
Z
0
S1(t)dt = 2
(x − 2)2
• Vậy S(x) = 2x
(x − 2)2
...π
Z
0
e−x
sin xdx Bằng phương pháp tích phân phần ta có:
I =
π
Z
0
e−x... class="text_page_counter">Trang 6
Câu • Thể tích vật thể: V = πZ
0
e−x
sin