Đề thi cuối kì vi tích phân a1 2011 2012 đại học cần thơ

1 ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 29/11/2011 Thời gian làm bài: 90 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu1 in 01 trang2 ) ex − e−x − 2x x→0 x3 Câu Tính giới hạn sau: lim Câu Một trang chữ sách giáo khoa có diện tích 384cm2 , lề lề cm, lề phải lề trái cm Tính kích thước trang giấy cho diện tích nhỏ Câu Thể tích hình trụ tròn xoay 60cm3 tăng với tốc độ cm3 /phút thời điểm bán kính đáy cm tăng với cm/phút Tìm tốc độ biến thiên chiều cao hình trụ thời điểm Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = x2 đường thẳng y = x + √ Câu Tính độ dài cung y = (3 − x) x với ≤ x ≤ 3 ∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi hàm: n=1 ∞ Câu Tính tổng chuỗi lũy thừa: n=0 n2 x−1 x+1 n x2n khoảng hội tụ (−1; 1) chuỗi n+1 Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2011 Cán giảng dạy LÊ HOÀI NHÂN Thang điểm: 1,00 điểm/câu Đáp án công bố website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 29.11.2011 Điểm chữ nhập vào tài khoản sinh viên dán VP BM Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12.2011 Phúc khảo thi: từ 08 đến 11 ngày 06.12.2011 VP BM Toán, Khoa Khoa học tự nhiên 2 ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 29/11/2011 Thời gian làm bài: 90 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ ĐÁP ÁN Câu Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có: ex − e−x − 2x ex + e−x − = lim x→0 x→0 x3 3x−x x e −e = lim x→0 6x ex + e−x = = lim x→0 lim Câu • Gọi x, y (x, y > 0) kích thước trang chữ sách giáo khoa Suy ra, kích thước trang giấy x + y + 384 Diện tích trang chữ xy = 384 =⇒ y = x 2304 • Diện tích trang giấy (x + 6)(y + 4) = 4x + + 408 x 2304 + 408 Ta tìm x để S(x) đạt giá trị nhỏ • Đặt S(x) = 4x + x 2304 S (x) = − S (x) = ⇐⇒ x = 24 =⇒ y = 16 x 4608 S (x) = =⇒ S (24) = > x Suy ra, S(x) đạt cực tiểu giá trị nhỏ x = 24 • Kích thước trang sách 30cm × 20cm diện tích đạt giá trị nhỏ Câu Gọi r(t), h(t) V (t) bán kính đáy, chiều cao thể tích hình trụ thời điểm t • Ta có, V (t) = πr (t).h(t) =⇒ h(t) = V (t) πr (t) (1) • Tại thời điểm t0 ta có: V (t0 ) = 60, V (t0 ) = 2, r(t0 ) = r (t0 ) = Ta cần tính h (t0 ) V (t).r(t) − 2r (t).V (t) 22 Suy ra: h (t ) = − πr (t) 25π 22 (cm/phút) • Vậy chiều cao hình trụ giảm với tốc độ 25π • Từ (1) ta có: h (t) = Câu • Hoành độ giao điểm: x2 = x + ⇐⇒ x = −1; x = • Diện tích: (x + − x2 )dx = S= −1 đvdt Câu √ √ • y = (3 x − x x) =⇒ y = • 1+y2 = √ √ + x x 2 √ √ − x x • Độ dài cung: l= • Đặt t = √ √ √ + x dx = đvcd x 0 Câu 1 + y dx = x−1 với t = ta có chuỗi x+1 ∞ n=1 n t n2 (2) an+1 =⇒ l = lim = n→∞ an n2 Suy ra, bán kính hội tụ chuỗi (2) r = khoảng hội tụ (−1; 1) ∞ (−1)n chuỗi hội tụ Khi t = −1 ta có chuỗi n2 n=1 Ta tìm miền hội tụ chuỗi (2) Ta có an = Do đó, miền hội tụ chuỗi (2) [−1; 1) • Ta có, −1 ≤ t < ⇐⇒ x ≥ Suy ra, miền hội tụ chuỗi cho [0; ∞) ∞ Câu • Với x ∈ (−1; 1) đặt S(x) = ∞ H(t) = n=0 n=0 x2n n+1 tn với t = x2 t ∈ [0; 1) n+1 ∞ H1 (t) = t.H(t) = • Ta có, H1 (t) = n=0 ∞ n tn+1 n+1 t = n=0 1−t u • H1 (t) = H1 (u)du = − ln(1 − t) + H1 (0) Vì H1 (0) = nên H1 (t) = − ln(1 − t) ln(1 − t) − t = • Vì H(0) = nên H(t) = t t =   ln(1 − x2 ) − x = • Kết luận, S(x) = H(x2 ) = x  x = ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 29/11/2011 Thời gian làm bài: 90 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu3 in 01 trang4 ) Câu Tính giới hạn: lim cot x − x→0 x Câu Khi kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính tăng với tốc độ 0, 01 cm/phút Tính tốc độ biến thiên diện tích kim loại bán kính 50 cm Nếu tốc độ không đổi sau bán kính 52 cm Câu Cho hàm số y = − 2x2 Tính y (n) 2x2 + 3x − +∞ Câu Tính tích phân suy rộng I = xe−x dx Câu Tính thể√tích vật thể tròn xoay tạo thành quay miền phẳng giới hạn đường x y = e− sin x, y = với ≤ x ≤ π quanh trục Ox ∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi: n=1 ∞ Câu Tính tổng chuỗi n=1 2n xn+1 n(n + 1) n n x khoảng hội tụ (−2; 2) chuỗi 2n Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2011 Cán giảng dạy LÊ HOÀI NHÂN Thang điểm: 1,00 điểm/câu Đáp án công bố website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 29.11.2011 Điểm chữ nhập vào tài khoản sinh viên dán VP BM Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12.2011 Phúc khảo thi: từ 08 đến 11 ngày 06.12.2011 VP BM Toán, Khoa Khoa học tự nhiên ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 29/11/2011 Thời gian làm bài: 90 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ ĐÁP ÁN Câu Áp dung nguyên lý thay vô bé tương đương quy tắc L’Hospital ta có: lim cot x − x→0 Câu x x cos x − sin x x→0 x2 cos x − x sin x − cos x = lim x→0 2x = − lim sin x = x→0 = lim • Gọi r(t) S(t) bán kính diện tích kim loại Ta có: S(t) = πr (t) (1) Tại t0 ta có: r(t0 ) = 50 r (t0 ) = 0, 01 Ta tính S (t0 ) Từ (1) ta có: S (t) = 2πr(t).r (t) suy ra: S (t0 ) = π Vậy diện tích kim loại tăng với tốc độ πcm2 phút • Gọi ∆t khoảng thời gian để bán kính kim loại tăng lên đến 52 cm Khi đó: S(t0 + ∆t) = π522 Ta có: ∆t = S(t0 + ∆t) − S(t0 ) = 204phút S (t0 ) Vậy cần 204 phút để bán kính kim loại tăng lên đến 52 cm Câu • Ta có 1 − 2x2 = −1 + + 2x + 3x − x + 2x − 1 • Vì x+2 • Suy ra: (n) n! = (−1) (x + 2)n+1 n y (n) = (−1)n n! 2x − (n) = (−1)n 2n 1 n + (x + 2)n+1 (2x − 1)n+1 Câu Ta có, +∞ b −x2 xe dx = xe−x dx lim b→+∞ 0 −b2 = n! (2x − 1)n+1 lim b→+∞ e−t dx −b2 = − lim e−t b→+∞ 1 = − lim e−b − = b→+∞ π Câu • Thể tích vật thể: V = π e−x sin xdx π e−x sin xdx Bằng phương pháp tích phân phần ta có: • Đặt I = π π e−x d(− cos x) = − e−x cosx I = 0 e−x d sin x = e−π + − e−x sin x Do đó, 2I = e−π + =⇒ I = • Vậy V = Câu e−x cos xdx − π = e−π + − π π −π e + (đvtt) π + I = e−π + − I −π e +1 2n+1 2n , an+1 = n(n + 1) (nn + 1)(n + 2) an+1 Suy ra, l = lim = n→∞ an Bán kính hội tụ chuỗi: r = khoảng hội tụ • Ta có an = 1 • Khi x = ta có chuỗi 2 Vì ∞ 1 < n(n + 1) n n=1 ∞ n=1 n(n + 1) 1 − ; 2 (1) hội tụ nên chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh n2 ∞ (−1)n ta có chuỗi − (2) 2 n=1 n(n + 1) (−1)n Vì = chuỗi (1) hội tụ nên chuỗi (2)hội tụ n(n + 1) n(n + 1) 1 • Vậy miền hội tụ chuỗi cho là: − ; 2 • Khi x = − ∞ Câu • Với x ∈ (−2; 2) đặt S(x) = x • Ta có ∞ S1 (t)dt = n=1 n=1 n x = 2n n n x S1 (x) = 2n ∞ n=1 x n = x d • Suy ra: S1 (x) = dx S1 (t)dt = 2x • Vậy S(x) = (x − 2)2 (x − 2)2 ∞ n=1 x 1− x n n−1 x Suy ra: S(x) = x.S1 (x) 2n = x 2−x ...2 ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 29/11 /2011 Thời gian làm bài: 90 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ ĐÁP... x = ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM C01,C02,C03,B04 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 29/11 /2011 Thời gian làm bài: 90 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ NỘI... vào tài khoản sinh vi n dán VP BM Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12 .2011 Phúc khảo thi: từ 08 đến 11 ngày 06.12 .2011 VP BM Toán, Khoa Khoa học tự nhiên ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM