Nhúng một viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm.. Giả sử quá trình viên sắt tan trong dung dịch nó vẫn giữ dạng hình cầu.. Tính tốc độ biến thiên của bán kính viên sắt
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ ĐỀ THI HỌC KỲ III NĂM HỌC 2013 - 2014
NHÓM 03 NỘI DUNG
(Đề thi gồm 08 câu 1 được in trên 01 trang 2)
Câu 1 Tính các giới hạn a)
2
0
1 lim
ln 1 sin
x
x
e x
→
−
3
0 6 0
.cos lim
x
x
x
→
∫
Câu 2 Tìm các số thực c và d sao cho hàm số
2
= − < <
liên tục trên ( −∞ +∞ , )
Câu 3 Áp dụng công thức Leibniz tính đạo hàm cấp 20 của hàm số f x ( ) = x3.sin 3 x tại x =0
Câu 4 Nhúng một viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm Giả sử quá trình viên sắt tan
trong dung dịch nó vẫn giữ dạng hình cầu Tính tốc độ biến thiên của bán kính viên sắt tại thời điểm diện tích mặt của nó là 64π (cm2) và đang giảm với tốc độ 2(cm2 / phút)
Câu 5 Theo quy định, một câu lạc bộ thu phí của mỗi thành viên là 200$
một năm Tuy nhiên, khi số thành viên của câu lạc bộ này vượt
quá 60 thì cứ mỗi thành viên tăng thêm thì phí sẽ được giảm 2$
Số thành viên của câu lạc bộ này nên là bao nhiêu để số tiền thu
được lớn nhất?
Câu 6 Cho miền phẳng D nằm phía dưới đường cong x
y = e− , phía trên trục hoành và bên phải trục tung (như hình vẽ)
a) Tính diện tích miền D
b) Tính thể tích các vật thể tạo thành khi quay miền D lần lượt quanh trục Ox và trục Oy
Câu 7 Tính tổng của chuỗi số 2
1
1
n n
∞
Câu 8 Dùng tiêu chuẩn so sánh, hãy khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương
1
1 3
n
n e
∞
- - - HẾT 3
1 Đáp án được đăng trên website bộ môn Toán – Khoa Khoa học tự nhiên: http://cns.ctu.edu.vn/bo-mon-toan
2 Các em xem điểm từ 17giờ ngày 25 tháng 6 năm 2014 trong tài khoản cá nhân
3 Các em xem lại bài thi từ 14giờ đến 16giờ ngày 26 tháng 06 năm 2014 tại Văn phòng Bộ môn Toán – Khoa Khoa
học tự nhiên
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm) Tính các giới hạn
a)
b)
3
0 6 0
.cos lim
x
x
x
→
∫
Do
0
x
x t tdt t tdt
0
Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có
( )
( )
3 3
0 0
.cos cos
x x
x
′
′
∫
∫
Câu 2 Tìm các số thực c và d sao cho hàm số
2
= − < <
liên tục trên ( −∞ +∞ , )
Giải
Trên các khoảng ( −∞ − , 1 ), ( − 1, 2 ) và ( 2, +∞ ), f x ( ) là hàm số sơ cấp nên nó liên tục trên đó
Tại x =2, hàm số liên tục khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )
Từ (1) và (2) ta có 6
5
5
d =
Câu 3 Áp dụng công thức Leibniz tính đạo hàm cấp 20 của hàm số f x ( ) = x3.sin 3 x tại x =0
Giải
Đặt u=sin 3x và 3
v=x , ta có ( )20 ( ) ( )( )20 20 (20 ) ( )
20 0
k
=
Ta có, với k ≥4, ( )k 0
v = do đó,
( )
( ) ( )( )20 ( )( )19 ( )( )18 ( )( )17
Mặt khác [sin 3 ]( ) 3 sin 3
2
Suy ra
[sin 3 ]( )17 3 sin 317 17 3 cos 317
2
Trang 3[ sin 3 x ]( )18 = − 3 sin 318 x
[ sin 3 x ]( )19 = − 3 cos319 x
[ sin 3 x ]( )20 = 3 sin 320 x
3 sin 3 3 .3 cos 3 6.3 sin 3 6.3 cos 3
Suy ra f( )20 ( )0 =760.319
Câu 4 Nhúng một viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm Giả sử quá trình viên sắt tan
trong dung dịch nó vẫn giữ dạng hình cầu Tính tốc độ biến thiên của bán kính viên sắt tại thời điểm diện tích mặt của nó là 64π(cm2) và đang giảm với tốc độ 2(cm2/phút)
Giải
Gọi r t ( ), S t ( ) là bán kính, diện tích bề mặt của hình cầu tại thời điểm t
Suy ra:
( ) 2( ) ( ) 2 ( )
4
π
Với S t( )0 =64π và S t′( )0 = −2, ta tính r t′( )0
Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t ta được ( ) ( )
( )
S t
r t
S t
π
′
Suy ra ( )0
2
4 64
V t
π π
−
Vậy bán kính hình cầu đang giảm 1
4π cm mỗi phút
Câu 5 Theo quy định, một câu lạc bộ thu phí của mỗi thành viên là 200$ một năm Tuy nhiên, khi số thành
viên của câu lạc bộ này vượt quá 60 thì cứ mỗi thành viên tăng thêm thì phí sẽ được giảm 2$ Số thành viên của câu lạc bộ này nên là bao nhiêu để số tiền thu được lớn nhất?
Giải
Gọi x là số thành viên của CLB, x > 0
Khi đó số tiền thu được là
( )
T x
( )
x
T x
<
Suy ra T x ′ ( ) 0 = ⇔ x = 80
Hàm số tăng trên khoảng ( 0,80 ) và giảm trên khoảng x > 80 Suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất khi
80
x =
Câu 6 Cho miền phẳng D nằm phía dưới đường cong x
y=e− , phía trên trục hoành và bên phải trục tung (như hình vẽ)
Trang 4a) Tính diện tích miền D
b) Tính thể tích các vật thể tạo thành khi quay miền D lần lượt quanh trục Ox và trục Oy
Giải
a)
0
1
x
S e dx
∞
−
b) Thể tích vật thể tạo thành khi quay D quanh Ox: 2
x
V e dx π π
∞
−
Thể tích vật thể tạo thành khi quay D quanh Oy:
0
V π xe dx π
∞
−
Câu 7 Tính tổng của chuỗi số 2
1
1
n n
∞
Giải
1
n
S
1
lim
n n
S n
∞
→∞
=
−
Câu 8 Dùng tiêu chuẩn so sánh, hãy khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương
1
1 3
n
n e
∞
Giải
Vì
1 3
1
n
n
n
e e
→∞
− = và chuỗi
1
1
n
n e
∞
=
∑ hội tụ nên chuỗi
1
1 3
n
n e
∞