Đề thi cuối kì vi tích phân a1 2012 2013 đại học cần thơ

Nếu cắt vật thể bởi những mặt phẳng vuông góc với một đường kính cố định của đáy ta được thiết diện là tam giác đều.. • Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O là tâm của đáy, mặt phẳng Oxy chứa

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ 1

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM 01 NĂM HỌC: 2012 - 2013 Ngày thi: 02/12/2012 Thời gian làm bài: 90 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI

(Đề thi gồm 07 câu1 được in trên 01 trang2)

Câu 1 (a) Dùng nguyên lý thay vô cùng bé tương đương tính giới hạn: A = lim

x→0

ln cos x

x2

(b) Dùng quy tắc L’Hospital tính giới hạn: B = lim

x→+∞

x

R

0

et 2

dt

x

R

0

e2t 2

dt

Câu 2 Cho hàm số f(x) = x3cos 2x Tính f(38)(0)

Câu 3 Một đoạn dây AB dài 3 m được cắt thành hai đoạn tại điểm C Đoạn AC được bẻ thành

hình vuông, đoạn BC được bẻ thành tam giác đều Ta nên chọn điểm C như thế nào để tổng diện tích của hai hình là bé nhất

Câu 4 Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường y = x sin x, y = 0 và x = 0, x = π

Câu 5 Một vật thể có đáy là hình tròn bán kính 2 m Nếu cắt vật thể bởi những mặt phẳng

vuông góc với một đường kính cố định của đáy ta được thiết diện là tam giác đều Hãy tính thể tích của vật thể

Câu 6 Tìm miền hội tụ của chuỗi X∞

n =0

(−1)n n.x3n

8n

.(n + 1)

Câu 7 Tính tổng của chuỗi lũy thừa 1 + x + x2

2 +

x3

3 + +

xn

n +

Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2012

Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN

1

Thang điểm: 1,00 điểm/câu.

2

Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 03.12.2012.

Điểm được nhập vào tài khoản sinh viên vào sáng ngày 08.12.2012.

Phúc khảo bài thi: từ 14 giờ 00 đến 16 giờ 30 ngày 08.12.2012 tại VP BM Toán, Khoa Khoa học tự nhiên Mọi thắc mắc về điểm bài thi sau ngày 08.12.2012 đều không được giải quyết.

Trang 2

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ 1

ĐÁP ÁN

Câu 1 (a) Khi x → 0 ta có: ln cos x ∼ cos x − 1 ∼ −12x2 Suy ra A = −12

(b) B = lim

x→∞

ex 2

e2x 2 = lim

x→∞

1

ex 2 = 0

Câu 2 • f(38)(x) = P3

k =0

Ck

38(x3)(k).cos(38−k)(x)

• Cho x = 0 ta được f(38)(0) = 0

Câu 3 • Đặt BC = x và AC = 10 − x, với 0 < x < 10

Cạnh của hình vuông là 10 − x

4 và diện tích hình vuông (3 − x)2

16

• Cạnh của tam giác đều x3 và chiều cao của tam giác x√3

6 Diện tích tam giác đều x2

√ 3 36

• Tổng diện tích S(x) = (3 − x)

2

16 +

x2√ 3

36 Ta tìm x để S(x) nhỏ nhất

S0(x) = x− 3

x√ 3

18 Điểm dừng: S0(x) = 0 =⇒ x = 81 − 36

√ 3

11 ≈ 1, 6951

• S00(x) = 9 + 4

√ 3

72 , S00(81 − 36√3

11 ) > 0 Suy ra S(x) nhỏ nhất khi x ≈ 1, 6951 Vậy BC ≈ 1, 6951 và AC ≈ 8, 3049

Câu 4 • S =

π

Z

0

|x sin x|dx =

π

Z

0

xsin xdx

• Dùng tích phân từng phần ta được S = (sin x − x cos x)|π0 = π (đvdt)

Câu 5 • Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O là tâm của đáy, mặt phẳng Oxy chứa mặt đáy và

trục Ox chứa đường đính cố định của mặt đáy của vật thể

• Cắt vật thể bởi những mặt phẳng vuông góc với trục Ox và cách O một khoảng x

ta được thiết diện có cạnh là 2√r2− x2 và chiều cao là √3.√

r2− x2 với r = 2 và

x∈ [−r, r]

• Diện tích thiết diện: S(x) = 32(r2− x2) = 3

2(4 − x2)

Trang 3

• Thể tích vật thể: V =

2

Z

−2

S(x)dx = 16

√ 3

3 (đvtt)

Câu 6 • Chuỗi hội tụ tại x = 0, với x 6= 0 ta có an(x) = (−1)n n.x3n

8n

.(n + 1) Suy ra c(x) = lim

n→∞

an +1(x)

an(x)

= |x|3

8

• Do đó khoảng hội tụ của chuỗi thỏa c(x) < 1 ⇐⇒ −2 < x < 2

• Tại x = −2 ta có chuỗi P∞

n =0

n

n+ 1 phân kỳ theo điều kiện cần

• Tại x = 2 ta có chuỗi P∞

n =0(−1)n n

n+ 1 phân kỳ theo điều kiện cần Do đó miền hội tụ của chuỗi là khoảng (-2;2)

Câu 7 • lim

n→∞

an +1

an

= 1 Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi là (−1; 1)

• Lấy x ∈ (−1; 1) ta đặt S(x) = 1 + x + x

2

2 +

x3

3 + +

xn

n +

Suy ra S0(x) = 1 + x + x2 + = 1

1 − x

• S(x) =

x

Z

0

S0(t)dt + S(0) = − ln(1 − x) + S(0)

• Ta có S(0) = 1 suy ra S(x) = 1 − ln(1 − x)

Trang 4

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ 2

Câu 1 (a) Dùng nguyên lý thay vô cùng bé tương đương tính giới hạn: A = lim

x→0

ex sin 2x− 1

x2

(b) Dùng quy tắc L’Hospital tính giới hạn: B = lim

x→+∞

x

R

0

√

tet 2

dt

x

R

0

√

te2t 2

dt

Câu 2 Cho hàm số f(x) = x3sin x Tính f(38)(0)

Câu 3 Một đoạn dây AB dài 3 m được cắt thành hai đoạn tại điểm C Đoạn BC được bẻ thành

hình vuông, đoạn AC được bẻ thành tam giác đều Ta nên chọn điểm C như thế nào để tổng diện tích của hai hình là bé nhất

Câu 4 Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường y = x sin x, y = x và x = 0, x = π

Câu 5 Một vật thể có đáy là hình tròn bán kính 4 m Nếu cắt vật thể bởi những mặt phẳng

vuông góc với một đường kính cố định của đáy ta được thiết diện là tam giác đều Hãy tính thể tích của vật thể

Câu 6 Tìm miền hội tụ của chuỗi X∞

n =0

(−1)n(n + 1).x

3n+1

8n

.(n + 2)

Câu 7 Tính tổng của chuỗi lũy thừa x2

2 −x

3

3 +

x4

4 − + (−1)n +1 xn +1

n+ 1 +

LÊ HOÀI NHÂN

3

Thang điểm: 1,00 điểm/câu.

4

Trang 5

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ 2

ĐÁP ÁN

Câu 1 (a) Khi x → 0 ta có: ex sin 2x− 1 ∼ x sin 2x ∼ 2x2 Suy ra A = 2

(b) B = lim

x→∞

√

xex 2

√xe2x2 = lim

x→∞

1

ex 2 = 0

Câu 2 • f(38)(x) =

3

P

k =0

Ck

38(x3)(k).sin(38−k)(x)

• Cho x = 0 ta được f(38)(0) = C3

38.6.(− cos 0) = −6C3

38

Câu 3 • Đặt AC = x và BC = 10 − x, với 0 < x < 10

Cạnh của hình vuông là 10 − x

4 và diện tích hình vuông (3 − x)2

16

• Cạnh của tam giác đều x3 và chiều cao của tam giác x

√ 3

6 Diện tích tam giác đều x2

√ 3 36

• Tổng diện tích S(x) = (3 − x)

2

16 +

x2√ 3

36 Ta tìm x để S(x) nhỏ nhất

S0(x) = x− 3

x√ 3

18 Điểm dừng: S0(x) = 0 =⇒ x = 81 − 36

√ 3

11 ≈ 1, 6951

• S00(x) = 9 + 4

√ 3

72 , S00(81 − 36√3

11 ) > 0 Suy ra S(x) nhỏ nhất khi x ≈ 1, 6951 Vậy AC ≈ 1, 6951 và BC ≈ 8, 3049

Câu 4 • S =

π

Z

0

|x sin x − x|dx =

π

Z

0

(x − x sin x)dx

• Dùng tích phân từng phần ta được S = (x

2

2 − sin x + x cos x)

π

0

= π

2

2 − π (đvdt) Câu 5 • Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O là tâm của đáy, mặt phẳng Oxy chứa mặt đáy và

trục Ox chứa đường đính cố định của mặt đáy của vật thể

• Cắt vật thể bởi những mặt phẳng vuông góc với trục Ox và cách O một khoảng x

ta được thiết diện có cạnh là 2√r2− x2 và chiều cao là √3.√

r2− x2 với r = 4 và

x∈ [−r, r]

• Diện tích thiết diện: S(x) = 32(r2− x2) = 3

2(16 − x2)

Trang 6

• Thể tích vật thể: V =

4

Z

−4

S(x)dx = 128

√ 3

3 (đvtt)

Câu 6 • Chuỗi hội tụ tại x = 0, với x 6= 0 ta có an(x) = (−1)n(n + 1).x3n

8n

.(n + 2) Suy ra c(x) = lim

n→∞

an +1(x)

an(x)

= |x|3

8

• Do đó khoảng hội tụ của chuỗi thỏa c(x) < 1 ⇐⇒ −2 < x < 2

• Tại x = −2 ta có chuỗi P∞

n =0

n+ 1

n+ 2 phân kỳ theo điều kiện cần

• Tại x = 2 ta có chuỗi P∞

n =0(−1)nn+ 1

n+ 2 phân kỳ theo điều kiện cần Do đó miền hội tụ của chuỗi là khoảng (-2;2)

Câu 7 • lim

n→∞

an +1

an

= 1 Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi là (−1; 1)

• Lấy x ∈ (−1; 1) ta đặt S(x) = x

2

2 −x

3

3 +

x4

4 − + (−1)n +1 xn +1

n+ 1 +

Suy ra S0(x) = x − x2+ x3− x4+ = x

1 + x = 1 − 1 + x1

• S(x) =

x

Z

0

S0(t)dt + S(0) = x − ln(1 + x) + S(0)

• Ta có S(0) = 0 suy ra S(x) = x − ln(1 + x)

Trang 7

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ 3

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM E01 và G01 NĂM HỌC: 2012 - 2013 Ngày thi: 02/12/2012 Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1 (a) Tính giới hạn A = lim

x→0

x 3

R

0

dt

√ 1+t 4

x3 (b) Tìm a để hàm số f(x) = ax nếu x ≤ 1

x2 nếu x > 1 liên tục tạix = 1.

Câu 2 Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với tốc độ là 0, 02

cm/phút Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khi bán kính của nó đang là

20 cm Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâu bán kính của nó sẽ là 25 cm

Câu 3 Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách Nếu một chuyến xe chở được hành khách

thì giá cho mỗi hành khách là

3 −40x2 Hãy tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để

số tiền thu được cho mỗi chuyến là lớn nhất Số tiền đó là bao nhiêu?

Câu 4 Một vật thể có đáy là tam giác đều ABC cạnh 1 m Nếu cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông

góc với đường cao AH của đáy thì ta được thiết diện là nửa hình tròn có đường kính là đoạn giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt đáy Hãy tính thể tích vật thể

Câu 5 Tính độ dài cung phẳng y = 1

3x

√

x−√x với x ∈ [1; 4]

Câu 6 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi X∞

n =1

xn +2

n

LÊ HOÀI NHÂN

5

Thang điểm: Từ câu 1 đến câu 5: 1,00 điểm/câu; câu 6: 2 điểm

6

Trang 8

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ 3

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM G01 và E01 NĂM HỌC: 2012 - 2013 Ngày thi: 02/12/2012 Thời gian làm bài: 90 phút

ĐÁP ÁN

Câu 1 (a) A = lim

x→0

3x 2

√ 1+x 1 2

3x2 = 1

(b) f(x) liên tục tại x = 1 ⇐⇒ lim

x→1 +f(x) = lim

x→1 −

f(x) = f (1) ⇐⇒ a = 1 Câu 2 • Gọi r(t) và S(t) là bán kính và diện tích bản kim loại tại thời điểm t.

Suy ra: S(t) = πr2(t) (1)

• Tại t0 ta có r(t0) = 20 và r0(t0) = 0, 02 Ta tính S0(t0)

• Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t ta được S0(t) = 2πr(t).r0(t)

Cho t = t0 ta được S0(t0) = 4π

5 Vậy diện tích bản kim loại đang tăng với tốc độ 4π

5 (cm /phút)

• ∆t = S∆S0

(t0) =

252π− 202π

4π 5

= 281, 25 (phút)

Câu 3 • Số tiền thu được với x hành khách là L(x) = x

3 −40x 2 với x ∈ (0; 60]

• L0(x) = 3 − x

40

3 −3x 40

L0(x) = 0 ⇐⇒ x = 40 hoặc x = 120 Ta nhận x = 40

• Từ bảng biến thiên của L(x) ta có L(x) đạt GTLN khi x = 40 Suy ra số hành khách trên xe nên là 40

• Số tiền lớn nhất thu được là: 160 (đơn vị tiền)

Câu 4 • Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O trùng với A; H √3

2 ; 0

!

và mặt phẳng đáy thuộc mặt phẳng Oxy

• Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox, gọi r là bán kính thiết diện ta có:

x

AH = 2r

BC =⇒ r = √x

3.

• Diện tích thiết diện là S(x) = 12πr2 = πx

2

6

Trang 9

• Thể tích vật thể

V =

√ 3 2

Z

0

S(x)dx = π

18x

3

√ 3

0 = π

√ 3

48 (m

3)

Câu 5 • y0 = 1

2

√x

−√1 x

• p1 + y02= 1

2

√x + √1 x

• Chiều dài cung:

l =

4

Z

1

p1 + y02dx= x

√x

3 +

√ x

4 1

= 10

3 (đvcd)

Câu 6 (a) • an = 1

n =⇒ l = lim

n→∞

an +1

an

= 1

• Bán kính hội tụ của chuỗi là r = 1l = 1 và khoảng hội tụ (−r; r) = (−1; 1)

• Khi x = 1 ta có chuỗi P∞

n =1

1

n là chuỗi phân kỳ

n =1

(−1)n

n là chuỗi hội tụ

Suy ra miền hội tụ của chuỗi là [−1; 1) (b) • Với x thuộc khoảng hội tụ (−1; 1) đặt S(x) = P∞

n =1

xn +2

n và S1(x) = P∞

n =1

xn

n Suy ra S(x) = x2S1(x)

• S0

1(x) = P∞

n =1

xn−1 = 1

1 − x

• S1(x) =

x

R

0

S0

1(t)dt + S1(0) = − ln(1 − x) + S1(0)

• Vì S1(0) = 0 nên S1(x) = − ln(1 − x)

Vậy S(x) = −x2ln(1 − x)

Trang 10

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ 4

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM E01 và G01 NĂM HỌC: 2012 - 2013 Ngày thi: 02/12/2012 Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1 (a) Tính giới hạn A = lim

x→0

x 3

R

0

dt

√

1+sin 4 t

x3 (b) Tìm a để hàm số f(x) = x + a nếu x ≤ −1

x2 nếu x > −1 liên tục tại x = −1.

Câu 2 Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với tốc độ là 0, 02

cm/phút Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khi bán kính của nó đang là

25 cm Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâu bán kính của nó sẽ là 30 cm

Câu 3 Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách Nếu một chuyến xe chở được hành khách

thì giá cho mỗi hành khách là

3 −40x2 Hãy tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để

số tiền thu được cho mỗi chuyến là lớn nhất Số tiền đó là bao nhiêu?

Câu 4 Một vật thể có đáy là tam giác vuông cân ABC tại A cạnh huyền 1 m Nếu cắt vật thể

bởi mặt phẳng vuông góc với đường cao AH của đáy thì ta được thiết diện là nửa hình tròn có đường kính là đoạn giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt đáy Hãy tính thể tích vật thể

Câu 5 Tính độ dài cung phẳng y = 1

3x

√

x−√x với x ∈ [1; 4]

Câu 6 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi X∞

n =1

xn +3

n Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2012

LÊ HOÀI NHÂN

7

Thang điểm: Từ câu 1 đến câu 5: 1,00 điểm/câu; câu 6: 2 điểm

8

Trang 11

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ 4

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHÓM G01 và E01 NĂM HỌC: 2012 - 2013 Ngày thi: 02/12/2012 Thời gian làm bài: 90 phút

ĐÁP ÁN

Câu 1 (a) A = lim

x→0

3x 2

√

1+sin 4 x 3

3x2 = 1 (b) f(x) liên tục tại x = −1 ⇐⇒ lim

x→−1 +f(x) = lim

x→−1 −

f(x) = f (−1) ⇐⇒ a = 2 Câu 2 • Gọi r(t) và S(t) là bán kính và diện tích bản kim loại tại thời điểm t.

Suy ra: S(t) = πr2(t) (1)

• Tại t0 ta có r(t0) = 25 và r0(t0) = 0, 02 Ta tính S0(t0)

• Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t ta được S0(t) = 2πr(t).r0(t)

Cho t = t0 ta được S0(t0) = π

Vậy diện tích bản kim loại đang tăng với tốc độ π (cm /phút)

• ∆t = S∆S0

(t0) =

302π− 252π

π = 275 (phút)

Câu 3 • Số tiền thu được với x hành khách là L(x) = x

3 −40x 2 với x ∈ (0; 60]

• L0(x) = 3 − x

40

3 −3x 40

L0(x) = 0 ⇐⇒ x = 40 hoặc x = 120 Ta nhận x = 40

• Từ bảng biến thiên của L(x) ta có L(x) đạt GTLN khi x = 40 Suy ra số hành khách trên xe nên là 40

• Số tiền lớn nhất thu được là: 160 (đơn vị tiền)

Câu 4 • Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O trùng với A; H √1

2 ; 0

!

và mặt phẳng đáy thuộc mặt phẳng Oxy

• Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox, gọi r là bán kính thiết diện ta có:

x

AH = 2r

BC =⇒ r = x

• Diện tích thiết diện là S(x) = 1

2πr

2 = πx

2

• Thể tích vật thể

V =

1

Z

0

S(x)dx = π

6x

3

1

0 = π

48(m

3)

Trang 12

Câu 5 • y0 = 1

2

√x

−√1

x

• p1 + y02= 1

2

√x + √1 x

• Chiều dài cung:

l =

4

Z

1

p1 + y02dx= x

√x

3 +

√ x

4 1

= 10

3 (đvcd)

Câu 6 (a) • an = 1

n =⇒ l = lim

n→∞

an +1

an

= 1

• Bán kính hội tụ của chuỗi là r = 1l = 1 và khoảng hội tụ (−r; r) = (−1; 1)

n =1

1

n là chuỗi phân kỳ

n =1

(−1)n

n là chuỗi hội tụ

Suy ra miền hội tụ của chuỗi là [−1; 1) (b) • Với x thuộc khoảng hội tụ (−1; 1) đặt S(x) = P∞

n =1

xn +3

n và S1(x) = P∞

n =1

xn

n Suy ra S(x) = x3S1(x)

• S0

1(x) = P∞

n =1

xn−1 = 1

1 − x

• S1(x) =

x

R

0

S0

1(t)dt + S1(0) = − ln(1 − x) + S1(0)

• Vì S1(0) = 0 nên S1(x) = − ln(1 − x)

Vậy S(x) = −x3ln(1 − x)

BỘ MƠN TỐN

ĐỀ

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHĨM 01 NĂM HỌC: 2012 - 2013 Ngày thi: 02/12 /2012 Thời gian làm... data-page="7">

BỘ MƠN TỐN

ĐỀ

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHĨM E01 G01 NĂM HỌC: 2012 - 2013 Ngày thi: 02/12 /2012 Thời gian... data-page="10">

BỘ MƠN TỐN

ĐỀ

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 HỌC KỲ I - NHĨM E01 G01 NĂM HỌC: 2012 - 2013 Ngày thi: 02/12 /2012 Thời gian

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	121,29 KB