Đề thi cuối kì vi tích phân a1 nhóm 2 2010 2011 đại học cần thơ

TR×ÍNG „I HÅC C†N THÌ

KHOA KHOA HÅC TÜ NHI–N

BË MÆN TON

— THI VI TCH PH…N A1

HÅC KÝ H‘ - NHÂM 02

N‹M HÅC: 2010 - 2011

Ng y thi:22/06/2011

Thíi gian l m b i: 90 phót

(· thigçm 07 c¥u

1

÷ñcin tr¶n 01trang

2

)

C¥u 1 Cho h m sèf (x) =

( 2x + x 2

cos 1

x 3 n¸u x 6= 0

H¢y t½nh f 0 (x)

C¥u 2 Mëtc¡ihçbìigia¼nhcâd¤ngl mëtb¡n c¦ucâb¡nk½nh l 2(m).Ng÷íitaangbìm

n÷îc v o hç T¤i thíi iºm b¡n k½nh m°t n÷îc ang l  1, 5(m) v ang t«ng vîi tèc ë

0, 1 (m/phót)th¼ chi·ucao cõamüc n÷îctrong hçthay êitheotècën o?Gi£sûr¬ng tècë n y khæng thay êi, häisau bao l¥uth¼ hç ¦y n÷îc?

C¥u 3 Mët cæng ty bao b¼ dü ành s£n xu§t mët lo¤ithòng h¼nh hëp chú nhªt câ ¡y l  h¼nh

vuæng c¤nh x v chi·u cao l  y Bi¸t r¬ng chi ph½ s£n xu§tcho méithòng nh÷ v y ÷ñc t½nh theo cæng thùc C = 5x 2 + 30xy H¢y x¡c ành x, y sao cho thòng câ thº t½ch mong muèn l 1125 cm 3

vîichiph½ th§p nh§t

C¥u 4 T½nhdi»n t½ch h¼nh ph¯ng giîih¤n paraboley = x 2

+ 2x v ÷íngth¯ng y = 5 − 2x

C¥u 5 T½nhë d icung ph¯ng y = 2

3 x

√

x vîi x ∈ [0, 3]

C¥u 6 T¼m mi·n hëitöcõa chuéih m

∞

X

n=1

1

n 2

 x 2 + 1 3x − 1

 n

C¥u 7 Bi¸tr¬ng chuéi

∞

X

n=0

x n

n + 2 hëi tötr¶n kho£ng (−1, 1), h¢y t½nh têng cõa chuéi

C¦n Thì, ng y 17 th¡ng 06 n«m 2011

C¡n bë gi£ngd¤y

L– HO€I NH…N

1

Thang iºm:1,00iºm/c¥u

2

¡p ¡n÷ñccæng b tr¶nwebsiteKhoa Khoahåctünhi¶nv ochi·u ng y22.06.2011.iºmthiC¡c

emxemtr¶nk¸ ho¤chhåctªpcõam¼nh v ochi·ung y28.06.2011.Phóc kh£o b ithi:tø08gií¸n 11

TR×ÍNG „I HÅC C†N THÌ

KHOA KHOA HÅC TÜ NHI–N

BË MÆN TON

MÆN THI VI TCH PH…N A1

HÅC KÝ H‘ - NHÂM 02

N‹M HÅC: 2010 - 2011

Ng y thi:22/06/2011

Thíi gian l m b i: 90 phót

C¥u 1 • x 6= 0 th¼ f 0 (x) = 2x cos 1

x 3 + 3

x 2 sin 1

x 3 + 2

• x = 0 th¼ f 0 (0) = lim

∆x to0

∆f

∆x = lim ∆x to0



∆x cos 1

∆x 3 + 2



= 2

• Vª f 0 (x) =

( 2x cos 1

x 3 + 3

x 2 sin 1

x 3 + 2 n¸u x 6= 0

C¥u 2 • B¡n k½nh m°t n÷îc v chi·u cao müc n÷îc li¶nh» vîi nhau qua¯ng thùc

(2 − h(t)) 2

+ [r(t)] 2 = 4

=⇒ −h 0 (t) (2 − h(t)) + r 0 (t).r(t) = 0 (1)

• T¤i thíi iºm t 0 ta câ:

r(t 0 ) = 1, 5

r 0 (t 0 ) = 0, 1 h(t 0 ) = 2 − p4 − 1, 5 2

= 2 −

√ 7 2

• Tø (1) tacâ h 0 (t 0 ) = 1, 5.0, 1

p4 − 1, 5 2 = 3

√ 7

70 ≈ 0, 1134m/phót

• Gåi∆t l  kho£ng thíi gian hç¦y n÷îc Tacâ,

∆t = ∆h

h 0 (t 0 ) =

√ 7 2

3 √ 7 70

= 35

3 ≈ 12phót.

C¥u 3 • Thº t½ch thòng: x 2

y = 1125 =⇒ y = 1125 x 2

• Chi ph½ s£n xu§tC(x) = 5x 2

+ 33750

x Ta t¼m gi¡trà nhä nh§t cõa C(x) vîi x > 0

• C 0 (x) = 10x − 33750 x 2

C 0 (x) = 0 ⇐⇒ x = 15 =⇒ y = 5

C 00 (x) = 10 + 67500

x 3 =⇒ C 00 (15) > 0

Do â, C(x) ¤t cüc tiºu t¤i x = 15

• Do cüctiºu cõaC(x) l duynh§tn¶n gi¡tràn y l gi¡trànhä nh§t.Vª k½chth÷îc

C¥u 4 • Ph÷ìng tr¼nh ho nhë giaoiºm cõa Parabolev ÷íng th¯ng

x 2 + 2x = 5x − 2 ⇐⇒ x = 1ho°c x = −5.

• Di»n t½chmi·n D:

S =

1

Z

−5

|x 2

+ 4x − 5|dx =

1

Z

−5

−x 2

− 4x + 5
dx = 36 (vdt).

C¥u 5 • Vi ph¥n cung: P : y = 2

3 x

√

x =⇒ y 0 = √

x =⇒ ds = √ 1 + xdx

• ë d icung:

l =

3

Z

0

√

1 + xdx = 2

3 (1 + x)

3 2

3

0

= 14

3 (vcd).

C¥u 6 • c(x) = lim

n→∞

u n+1 (x)

u n (x)

= lim

n→∞

 n

n + 1

 2

x 2 + 1 3x − 1

=

x 2 + 1 3x − 1

• c(x) < 1 ⇐⇒ |3x − 1| > x 2

+ 1 ⇐⇒  3x − 1 > x 2

+ 1 3x − 1 < −x 2

− 1 ⇐⇒



1 < x < 2

−3 < x < 0

• T¤i x = 1 v x = 2 tacâ chuéi

∞

P

n=1

1

n 2 l  chuéi i·u háa têng qu¡t vîi sè mô α = 2

n¶n nâ hëitö

• T¤ix = −3 v x = 0tacâchuéi

∞

P

n=1

(−1) n

n 2 l  chuéii·uháa an d§u n¶nnâhëitö

• Mi·n hëitö: [−3, 0] ∪ [1, 2]

C¥u 7 • Vîi x ∈ (−1, 1) °t S(x) =

∞

X

n=0

x n

n + 2 v S 1 (x) = x 2

S(x) =

∞

X

n=0

x n+2

n + 2 Suy ra

S 1 (0) = 0

• Ta câ: S 0

1 (x) =

∞

X

n=0

x n+1

1 − x

Suy ra:

S 1 (x) =

x

Z

0

S 0

1 (t)dt + S 1 (0) = −(x + ln(1 − x))

• Vª ta câ:

x 2 S(x) = −(x + ln(1 − x)) ⇐⇒ S(x) = − x 1 2 (x + ln(1 − x)) , x 6= 0

• Tø chuéiban ¦u tacâ: S(0) = 1

2

• S(x) =







− x 12 (x + ln(1 − x)) n¸u x 6= 0 1

... 1

2< /h2>

ã S(x) =







− x 12< /h3> (x + ln(1 − x)) n¸u x... − < −x 2< /h3>

− ⇐⇒



1 < x < 2< /h2>

3 < x < 0

ã TÔi x = 1 v x = 2< /h2> tacâ chuéi... (x)

u n (x)

= lim

n→∞

 n

n + 1



x + 3x − 1