Tìm tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại thời điểm 1 giờ chiều?. 2 giờ chiều?. Trong khoảng thời gian nào nhiệt độ ở địa phương đó giảm?. Cho một hình chữ nhật có các cạnh song song với cá
Trang 1ĐÁP ÁN MÔN GIẢI TÍCH 1 - TTK HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010 - 2011 LỚP TOÁN ỨNG DỤNG K36
-THANG ĐIỂM
Câu 1 0,75 điểm Câu 2 1,5 điểm Câu 3 1 điểm.
-Câu 1. Tính giới hạn 2 2
0
lim sin
x x x
Giải.
Ta có,
0
lim sin
x
x x
2 2 0
sin
x
x x
Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có,
sin 1 2 sin 2 1 1 cos 2 1 sin 1
0
lim
x x x
Câu 2. Xác định những điểm mà tại đó hàm số f x x21 không khả vi
Giải.
Ta có,
2 2
f x
Nếu x , 1 1, thì f x x21 là hàm số sơ cấp nên khả vi
Nếu x 1,1 thì f x 1 x2 là hàm số sơ cấp nên khả vi
Tại x 1, ta có, f f 1 x f 1 1 x2 1 x 2 x
Nếu x 0 thì f 2 x 0 2
x x
Nếu x 0 thì f 2 x 0 2
x x
Do đó,
0
lim
x
f x
không tồn tại Suy ra, f không có đạo hàm tại x 1 hay f không
khả vi tại x 1
Trang 2Tại x 1, ta có, f f 1 x f 1 1 x2 1 x 2 x
Nếu x 0 thì f 2 x 0 2
x x
Nếu x 0 thì f 2 x 0 2
x x
Do đó,
0
lim
x
f x
không tồn tại Suy ra, f không có đạo hàm tại x 1 hay f không
khả vi tại x 1
Câu 3. Giả sử nhiệt độ ở một địa phương tại tời điển t tính từ 12 giờ trưa trở đi là T C , với0
1
3
T t t t t Tìm tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại thời điểm 1 giờ chiều? 2 giờ chiều? Trong khoảng thời gian nào nhiệt độ ở địa phương đó giảm?
Giải.
Tốc độ biến thiên của hàm nhiệt độ tại thời điểm t tùy ý là:
2
T t t Tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại thời điểm t 1 là T' 1 3
Tốc độ biến thiên của nhiệt độ tại thời điểm t 2 là T' 2 0
Nhiệt độ tại địa phương này giảm khi
2
' 0
6 8 0
T
t
Vậy nhiệt độ giảm trong khoảng từ 2 giờ đến 4 giờ
Câu 4. Cho một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và nội tiếp trong ellipse
a b
Tìn diện tích lớn nhất của hình chữ nhật này
Giải.
Gọi x và y lần lượt là nửa độ dài cạnh của hình chữ nhật x0,a , y0,b
Suy ra điểm A x y , thuộc Ellipse 2 2
a b
Do đó, y b 1 x22
a
Diện tích hình chữ nhật là:
2 2
a
Ta tìm giá trị lớn nhất của S x
Ta có,
x
Trang 3
2 1
2 2
2
a
Bằng cách lập bảng biến thiên ta có, S x đạt giá trị lớn nhất tại 2
2
a
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và nội tiếp trong một ellipse là 2ab
Câu 5. Nếu hàm số f x liên tục trên a b , hãy chứng minh rằng:,
1
b n
n
Giải.
Ta chứng minh
1
n
k
f a k
là một tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn a b ,
Thật vậy, với mỗi n ta phân hoạch đoạn a b bởi các điểm chia,
k
b a
n
, k=0,1,…,n Khi đó, độ dài của mỗi đoạn con k k k 1 b a
n
, k=1,…,n Trên mỗi đoạn x x k, k1 , k=1,…,n, chọn k k b a
n
, k=1,…,n
Ta có,
1
n
k
f a k
1
n
k
là một tổng tích phân của hàm f(x)
trên đoạn a b ,
Vì f liên tục trên a b nên f khả tích trên , a b ,
Theo định nghĩa của tích phân xác định ta có
1
b n
a
1
b n
n
Câu 6. Cho miền D giới hạn bởi: y x , y và 0 x 1 Tính thể tích vật thể được tạo thành khi
quay miền D quanh đường thẳng x 2
Giải.
Bằng phép đổi trục X x 2 x X 2
thì trong hệ trục IXY miền D được giới hạn bởi các đường thẳng Y X 2, Y 0 và X 3, và trục quay là trục tung
Trang 4Miền D có thể biểu diễn lại như sau:
2 0
Y X
Khi quay miền D quanh trục IY ta được vật thể có thể tích được tính theo công thức:
3 3
x X