[r]
(1)1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN HỌC GIẢI TÍCH
***** (Học kỳ I năm học 2019-2020)
Thời gian làm 120 phút
Mã số đề thi: 61
1.(1,0đ) Chứng minh rằng, hàm số yf(x)sin(lnx)cos(lnx)là nghiệm phương trình
0 y ' xy '' y
x2
2.(2,0đ) Cho hàm số
2 x p
2 x x
cos
x sin x
sin )
x (
f
3
, tìm giá trị tham số p để hàm số
này liên tục tập số thực R
3.(2,5đ) Cho hàm số
x
1 ln ) x (
f , chứng minh f(n)(0)(n1)!
4.(2,5đ) Tính chu vi diện tích hình hoa cánh tạo đường tròn
1 y ) x (
1 ) y ( x
2
2
5.(2,0đ) Tính tích phân
0 x
3
dx e
x
I
================================
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIẢI TÍCH
***** (Thi kỳ, học kỳ I năm học 2019-2020) Mã số đề thi: 61 1.(1,0đ) Ta có yf(x)sin(lnx)cos(lnx) (1)
)' x ).(ln x sin(ln )'
x ).(ln x cos(ln )]'
x cos(ln )
x [sin(ln )
x ( ' f '
y
x
) x sin(ln )
x cos(ln x
1 ) x sin(ln x
1 ) x
cos(ln
(0,25đ) (2)
2 '
x
' x )] x sin(ln )
x [cos(ln x
)]' x sin(ln )
x [cos(ln x
) x sin(ln )
x cos(ln )]'
x ( ' f [ ''
y
2
x
1 )] x sin(ln )
x [cos(ln x
] )' x ).(ln x cos(ln )'
x ).(ln x sin(ln
[
2
x
) x sin(ln )
x cos(ln x
x ) x cos(ln x
1 ) x
sin(ln
2
x ) x cos(ln x
) x sin(ln )
x cos(ln )
x cos(ln )
x
sin(ln
(0,5đ) (3)
Thay (1), (2) (3) vào biểu thức x2y ''xy'y ta
) x cos(ln )
x sin(ln x
) x sin(ln )
x cos(ln x x
) x cos(ln x y ' xy '' y
x2 2
0 ) x cos(ln )
x sin(ln )
x sin(ln )
x cos(ln )
x cos(ln
2
(2)2 2.(2,0đ) Hàm số
2 x p
2 x x
cos
x sin x
sin )
x (
f
3
có D(f) = R (0,25đ) liên tục
với
2 \ R
x biểu thức tạo f(x) hàm số sơ cấp (0,25đ) Điểm gián đoạn hàm số có
thể có điểm
2
x (0,25đ)
Đặt
12
2
2
3
6
t x sin x cos
t x sin
t x sin
t x sin
x sin
t (0,25đ)
2
x t 1 (0,25đ)
) t t t )( t (
) t t )( t ( ) t )( t (
t
) t ( ) t ( t
t t x
cos
x sin x
sin
10 11
2
12
12
2
1 t t t
t )
1 t t t )( t (
) t )( t (
10 11
2
10 11
2
(0,25đ)
12 1 1
1
t t t
t lim
x cos
x sin x
sin
lim 11 10
2
10 11
2
1 t
3
2 x
(0,25đ)
Hàm số f(x) liên tục điểm p
12
f ) x ( f lim
x
2 x
, 12
1 p hàm số f(x) xét liên tục tập số thực R (0,25đ)
*Có thể tìm
x cos
x sin x
sin
lim 2
3
2 x
cách sử dụng Quy tắc L’Hospitale: Biểu thức
x cos
x sin x sin
2
cần tìm giới hạn
2
x có dạng vô định
0
2 x
x sin x cos
x sin
x cos x sin
x cos
lim )'
x (cos
)' x sin x
sin ( lim x
cos
x sin x
sin lim
3
2 x
3
2 x ) L (
2
2
x
12
1 1 1 1
1 x sin
1 x sin
1 x sin
1 lim
3
2 x
3.(2,5đ) Biến đổi ln1 ln(1 x) ln(1 x) x
1 ln ) x (
f
(0,25đ) tính đạo hàm cấp 1, cấp 2,
cấp cấp f(x):
1 )
1 (
) x ( ) ( x
1 )'
x ( x
1 )]'
x ln( [ ) x (
f
2
2
) ( )
2 (
) x ( ) ( ) x )( ( )' x ( ) x )( ( ]' ) x [( )]' x ( f [ ) x (
f
3
3
) ( )
3 (
) x ( ) ( ) x )( ( )' x ( ) x )( ( ]' ) x ( [ )]' x ( f [ ) x (
f
4
4
) ( )
4 (
) x ( ) ( ) x ).( ( )' x ( ) x ).( ( ]' ) x ( [ )]' x ( f [ ) x (
f
Dự đoán (n) n n
) x (
)! n ( ) x ( )! n ( ) x ( f
(3)3
Bây ta chứng minh (4) phương pháp quy nạp toán học:
Bước Với n = 1, ta có (1) 1 1
) x ( ) x ( ) x !.( ) x ( )! 1 ( ) x (
f (4)
Bước Giả sử (4) với n, tức ta có (n) n n
) x (
)! n ( ) x ( )! n ( ) x ( f
Bước Ta phải chứng minh (4) với (n+1), thật vậy:
) ( ) x )( n )!.( n ( )' x ( ) x )( n )!.( n ( ]' ) x ( )! n [( )]' x ( f [ ) x (
f(n1) (n) n n1 n1
1 n )
1 n (
n
n
) x (
]! ) n [( )
x ( ]! ) n [( )
x ( ! n )
x ( n )! n
(
(đpcm) (0,75đ)
Như vậy, công thức xác định đạo hàm cấp n hàm số
x
1 ln ) x (
f
n n
) n (
) x (
)! n ( ) x ( )! n ( ) x ( f
với quy ước 0! = 1.(0,5đ) Bây thay x = vào công thức
n )
n (
) x (
)! n ( ) x ( f
ta (n 1)!
1 )! n ( ) (
)! n ( ) (
f(n) n
(0,25đ)
*Để chứng minh công thức xác định đạo hàm cấp n hàm số
x
1 ln ) x (
f , ta làm cách gọn sau:
x
1
x
1 ) x (
1
x
1 ) x (
) x ( ) x (
x
1 x
1
x
1 ln ) x ( ' f x
1 ln ) x ( f
2
' '
'
) n ( )
n (
x
1 ) x ( f
Mặt khác, ta biết n 11 n
) n (
1 n )
n (
) x (
)! n ( )
x (
)! n ( x
1 )
x (
! n x
1
n )
n (
) x (
)! n ( ) x ( f
4.(2,5đ) (a) Vẽ đồ thị
- Đồ thị hai đường tròn
1 y ) x (
1 ) y ( x
2
2
giao điểm O(0,0); A(1,1)
- Đồ thị hai đường tròn
1 ) y ( x
1 y ) x (
2
2
giao điểm O(0,0); B(1,-1)
- Đồ thị hai đường tròn
1 y ) x (
1 ) y ( x
2
2
giao điểm O(0,0); C(-1,-1)
- Đồ thị hai đường tròn
1 ) y ( x
1 y ) x (
2
2
(4)4
(0,25đ) (b) Tính chu vi
Do tính đối xứng hình vẽ nên chu vi L hình hoa bốn cánh L = 8L1 với L1 độ dài
cung OA đường trịn x2 (y1)2 1có phương trình yf1(x)1 1x2 đoạn
x
0 .(0,25đ)
Theo cơng thức tính độ dài cung
ba
2 '
1 [f (x)] dx
L với
1 b
0 a
x 1 ) x (
f1
(0,25đ)
ta có
2
'
2
2
'
x
1 )]
x ( f [ x
1 x x
1 x x
)' x ( )' x 1 ( ) x ( f
2 arcsin
arcsin x
arcsin x
1 dx dx
)] x ( f [
L
0
0
1
0
2 ' 1
Do 4 L
L 1 (0,5đ)
(c) Tính diện tích
Do tính đối xứng hình vẽ nên diện tích S hình hoa bốn cánh S = 4S1 với S1
diện tích cánh hoa nằm góc vng thứ hệ tọa độ Oxy tạo cung OA đường tròn x2 (y1)2 1 đoạn 0x1 cung OA đường trịn (x1)2 y2 1 có phương
trình
2(x) (x 1)
f
y đoạn 0x1.(0,25đ)
Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng
b
a
1
1 f (x) f (x)dx
S với
1 b
0 a
) x ( ) x ( f
x 1 ) x ( f
2
2
(0,25đ)
1
0
1
1 f (x) f (x)dx
S
1
0
2
1
0
2
(5)5
1
0
1
0
0
2
1
0
1
0
0
2
dx dx x ) x ( d ) x ( dx dx x dx ) x (
1
0
2
0
2
x x arcsin x x 1
1 x arcsin ) x ( ) x (
1
0
1
x x arcsin x
1 x ) x arcsin( )
1 x ( ) x (
1
(1 1) (1 1) arcsin(1 1) (0 1) (0 1) arcsin(0 1)
2
1
1 1 arcsin1 arcsin0
(1 0)1
1.0 arcsin1 0.1 arcsin0
2 ) arcsin(
arcsin
,
1 4 0 2 0
) ( 2 S
S 1
(0,5đ)
*Ở ta dùng cơng thức tích phân C
a x arcsin a
x a x dx x
a2 2 2
5.(2,0đ)
0
2 x
x
x
) x ( d e x dx e x dx e
x
I 2 (0,25đ)
Đặt
0 t
dt te I t
x
0 t x x
t (0,25đ)
Đặt
dt e ) t ( dv
dt ) t ( du dt
e dt ) t ( ' v dv
dt dt dt ) t ( ' u du e
) t ( v
t ) t ( u
t t
t (0,25đ)
b
0 b b b
b
0 b
) t ( du ) t ( v lim )
t ( v ) t ( u lim ) t ( dv ) t ( u lim ) t ( dv ) t ( u I
b t b b
0 t b b
0 t b
b t b
b
0 b b
0 lime
e t lim dt
e lim te
lim )
t ( du ) t ( v lim )
t ( v ) t ( u
b b b b
b
0 t b b
b e
1 e
1 lim e
b lim e
1 lim e
0 e
b lim
2 e
b lim 1 e
b lim
b b b
b
(0,75đ)
Khi bthì eb nên biểu thức cần tìm giới hạn b
e b
có dạng vơ định
0 e
1 lim )' e (
' b lim e
b
lim b
b b b ) L (
b
b
(0,25đ)
Do
2 2 2 e
b lim
I b
b