MÔN THI: GIẢI TÍCH – TTK MSHP: TN188 HỌC KỲ – NĂM HỌC 2011 – 2012 NHÓM: 01 ĐÁP ÁN x − F ( x) với F ( x ) = ∫ cos x dx x x Câu (1,00 điểm) Tính giới hạn: lim x →0 Giải x cos x dx = nên giới hạn cho có dạng vô định Vì lim x →0 ∫ 0 Áp dụng qui tắc L’Hospital ta có: x x − F ( x) lim x →0 x5 = lim x − ∫ cos x dx x5 − cos x 2 x.sin x = lim = lim x →0 5x4 x →0 x sin x = lim = 10 x →0 x 10 x →0 x ln x f x = Câu (1,00 điểm) Khảo sát khả vi hàm số: ( ) a x≠0 x=0 Giải Với x ≠ ta có f ( x ) = x ln x hàm số sơ cấp xác định khoảng ( −∞;0 ) ( 0; +∞ ) Do đó, f ( x ) khả vi x ≠ ln x f ( x ) = lim = lim x = − lim x = Tại x = ta có, lim x →0 x →0 x →0 x →0 1 − x x Suy ra, a ≠ f ( x ) không khả vi x = Nếu a = , ta có lim ∆x → f ( + ∆x ) − f ( ) ∆x ln ∆x = lim = −∞ ∆x → ∆x ∆x Do đó, f ( x ) không khả vi x = Vậy f ( x ) khả vi với x ≠ không khả vi x = với a Câu (1,00 điểm) Chứng minh phương trình: ( x − a ) ( x − b) +x= a+b có nghiệm ( a, b ) Giải Ta có, ( x − a ) ( x − b) +x= a+b a+b 2 ⇔ ( x − a) ( x − b) + x − =0 2 Đặt f ( x ) = ( x − a ) ( x − b) +x− a+b Khi đó, f ( x ) hàm đa thức nên liên tục [ a, b ] Ta có, a +b a −b f a = a − = ( ) 2 f ( b) = b − a + b = − a − b 2 Do đó, f ( a ) f ( b ) ( a − b) =− < Suy ra, phương trình f ( x ) = có nghiệm ( a, b ) Suy điều phải chứng minh Câu (1,50 điểm) Gọi x y độ dài cạnh song song vuông góc với bờ sông ( x, y > ) Chi phí làm hàng rào: 6000 x + 3.5000 y = 1500000 ⇔ y = 100 − x 2 Diện tích miếng đất: xy = x 100 − x ÷ = 100 x − x 2 Đặt S ( x ) = 100 x − x Ta tìm giá trị lớn S ( x ) S ' ( x ) = 100 − x S ' ( x ) = ⇔ 100 − x = ⇔ x = 125 ⇒ y = 50 4 S '' ( x ) = − ⇒ S '' ( 125 ) = − < 5 Suy S ( x ) đạt cực đại giá trị lớn x = 125 Vậy kích thước miếng đất 125m x 50m diện tích lớn Câu (1,50 điểm) Đặt f ( x ) = x Ta có, f ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] nên khả tích đoạn [ 0;1] Phân hoạch đoạn [ 0;1] điểm xi = Chọn ξi = i , i = 0, n suy ∆xi = với i = 1, n n n i với i = 1, n , ta được: n n n ( n + 1) ( 2n + 1) 1 n i2 = lim = ∑ n→∞ n n→∞ n3 i =1 n ∫ x dx = lim ∑ f ( ξi ) ∆xi = lim n →∞ i =1 Ý nghĩa hình học kết trên: Kết diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = x đường thẳng y = x = Câu (1,00 điểm) Cho hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x x + y = 16 (miền bên phải đường y = x ) Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên quay hình phẳng quanh trục Oy Giải Vì miền D nhận trục Ox làm trục đối xứng nên ta cần tính thể tích vật thể tạo thành quay nửa miền D quanh Oy sau nhân đôi kết Tung độ giao điểm (y >0) hai đường cong y = x x + y = 16 nghiệm phương y = y = 12 y4 + y = 16 ⇔ ⇔ ⇔ y=2 trình 36 y = −48 y = − Khi quay miền D quanh trục Oy thể tích vật thể tạo thành tính theo công thức: V = 2.π ∫ 16 − y − 4 y ÷dy 36 1 5 = 2.π 16 y − y − y ÷ 180 224 = 2π 32 − − ÷= π 224 π đơn vị thể tích Vậy thể tích vật thể ... với i = 1, n n n i với i = 1, n , ta được: n n n ( n + 1) ( 2n + 1) 1 n i2 = lim = ∑ n→∞ n n→∞ n3 i =1 n ∫ x dx = lim ∑ f ( ξi ) ∆xi = lim n →∞ i =1 Ý nghĩa hình học kết trên: Kết diện tích hình... Vậy kích thước miếng đất 12 5m x 50m diện tích lớn Câu (1, 50 điểm) Đặt f ( x ) = x Ta có, f ( x ) liên tục đoạn [ 0 ;1] nên khả tích đoạn [ 0 ;1] Phân hoạch đoạn [ 0 ;1] điểm xi = Chọn ξi = i ,... ) = 10 0 x − x Ta tìm giá trị lớn S ( x ) S ' ( x ) = 10 0 − x S ' ( x ) = ⇔ 10 0 − x = ⇔ x = 12 5 ⇒ y = 50 4 S '' ( x ) = − ⇒ S '' ( 12 5 ) = − < 5 Suy S ( x ) đạt cực đại giá trị lớn x = 12 5