Suy ra điều phải chứng minh... Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng quanh trục Oy.. Vì miền D nhận trục Ox làm trục đối xứng nên ta chỉ cần tính thể tích của vật t
Trang 1MÔN THI: GIẢI TÍCH 1 – TTK MSHP: TN188 HỌC KỲ 1 – NĂM HỌC 2011 – 2012 NHÓM: 01
ĐÁP ÁN
Câu 1 (1,00 điểm) Tính giới hạn:
5 0
lim
x
x F x x
với 2
0
cos
x
F x x dx
Giải
0
0
lim cos 0
x
nên giới hạn đã cho có dạng vô định 0
0.
Áp dụng qui tắc L’Hospital ta có:
2 0
2 2 0
cos
1 cos 1 2 sin
lim
x
x
x F x
x x
Câu 2 (1,00 điểm) Khảo sát sự khả vi của hàm số:
2
f x
Giải.
Với x 0 ta có f x xlnx2 là hàm số sơ cấp xác định trên từng khoảng ;0 và 0;
Do đó, f x khả vi tại mọi x 0
Tại x 0 ta có,
2
2
2 ln
Suy ra, nếu a 0 thì f x không khả vi tại x 0
Nếu a 0, ta có 2
Do đó, f x không khả vi tại x 0
Vậy f x khả vi với mọi x 0 và không khả vi tại x 0 với mọi a.
Câu 3 (1,00 điểm) Chứng minh phương trình: 2 2
2
a b
x a x b x luôn có nghiệm trên a b,
Giải.
x a x b x x a x b x
Trang 2Đặt 2 2
2
a b
f x x a x b x
Khi đó, f x là hàm đa thức nên nó liên tục trên a b,
Ta có,
2 2
2 2
a b a b
f a a
a b a b
f b b
Do đó,
2
0 4
a b
f a f b Suy ra, phương trình f x 0 luôn có nghiệm trên a b, Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 4 (1,50 điểm)
Gọi x và y lần lượt là độ dài của cạnh song song và vuông góc với bờ sông ( , x y ).0
Chi phí làm hàng rào: 6000 3.5000 1500000 100 2
5
Diện tích của miếng đất: 100 2 100 2 2
xy x x x x
Đặt 100 2 2
5
S x x x Ta tìm giá trị lớn nhất của S x
' 100
5
5
Suy ra S x đạt cực đại và cũng là giá trị lớn nhất tại x 125 Vậy kích thước của miếng đất là 125 x 50m m thì diện tích của nó là lớn nhất
Câu 5 (1,50 điểm)
Đặt f x x2 Ta có, f x liên tục trên đoạn 0;1 nên nó khả tích trên đoạn 0;1
Phân hoạch đoạn 0;1 bởi các điểm x i i
n
, i0,n suy ra x i 1
n
với i1,n
Chọn i i
n
với i1,n, ta được:
2
0
1 2 1
3
i
Ý nghĩa hình học của kết quả trên: Kết quả trên là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
y x và các đường thẳng y và 0 x 1
Trang 3Câu 6 (1,00 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y2 6x và x2y2 16 (miền bên phải đường y2 6x ) Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng quanh trục Oy.
Giải.
Vì miền D nhận trục Ox làm trục đối xứng nên ta chỉ cần tính thể tích của vật thể tạo thành khi quay nửa trên của miền D quanh Oy sau đó nhân đôi kết quả
Tung độ giao điểm (y >0) của hai đường cong y2 6x và x2 y2 16 là nghiệm của phương trình
2 4
2
2
12 2 3
36 48 2 3
y
Khi quay miền D quanh trục Oy thì thể tích vật thể tạo thành được tính theo công thức:
2 3
0
2 3
0
1
2 16
36
1 1
2 16
3 180
8 224
2 32 3 8 3 3 3
5 5
y y y
Vậy thể tích vật thể là 224
3
5 đơn vị thể tích.