Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Đề thi cuối kỳ môn học GIẢI TÍCH (MAT1094) - Đề số (Học kỳ I năm học 2013-2014, thời gian làm 150 phút)
Câu (1,5d) Cho hàm số
0 x a
0 x x
x sin ) x ( f
Tìm giá trị a để hàm số liên tục R
Câu (1,5đ) Tìm giới hạn
x
x 2x 1
x tan
lim
Câu (1,5đ) Tính đạo hàm cấp n hàm số
1 x x
x )
x (
f 2
Câu (1,5đ) Tính tích phân e
1
3
dx x
x ln x ln
Câu (1,5đ) Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ chuỗi lũy thừa
1 n
n n
n
) x ( n
2 ! n
Câu (1,5đ) Khai triển hàm số
3 x x
1 x x ) x (
f 2
2
thành chuỗi lũy thừa x xác định miền hội tụ chuỗi
Câu (1,0đ) Thí sinh chọn làm hai câu 7a 7b sau đây: 7a Xét tính liên tục hàm số n 2n
n x
lim ) x (
f
R
7b Định nghĩa đạo hàm hàm số f(x) xác định khoảng (a, b), điểm x(a, b) áp dụng để tìm giới hạn
h
x arctan )
h x arctan( lim
0 h
khoảng
2 ,
==============================
Đáp án thang điểm Đề thi cuối kỳ mơn học GIẢI TÍCH (MAT1094) - Đề số (Học kỳ I năm học 2013-2014, thời gian làm 150 phút)
Câu Lời giải Điểm
1
Vì sin3x x hàm sơ cấp nên x ≠ hàm
x x sin ) x (
f hàm sơ cấp nên liên tục
trên R\{0}= (-∞, 0) (0, ∞)
0,25 f(x) liên tục R f(x) liên tục x = 0,25
x
x sin lim x
x sin lim x
x sin lim ) x ( f lim
0 x
x
x
x 0,25
đặt t = 3x, x t nên 3.1 t
t sin lim ) x ( f lim
0 t
x (1) 0,25
Theo định nghĩa, f(x) liên tục x = limf(x) f(0)
0
x (2), mặt khác, theo giả thiết f(0) = a (3) 0,25
từ (1), (2) (3) suy a = 0,25
Cộng 1,50
Cách khác
Khi x sin3x
x x sin
có dạng vơ định
0
nên áp dụng quy tắc Lơpital để tìm
x x sin lim
0 x
0,25
3 x cos lim '
x )' x (sin lim x
x sin lim ) x ( f lim
0 x
x
x
x (1) 0,25
2 x
1 x
x tan ln lim x
x tan ln x lim x
x
x x
e e
1 x
x tan lim
(2)Câu Lời giải Điểm x ∞
2 x x
x
1 x
x tan ln
tan x
x tan
x x
x tan
ln
có dạng vơ định
nên áp dụng quy tắc Lơpital để tìm
x x
x tan ln lim
x
0,25
1 x
x tan x
x cos ) x ( lim '
x
' x
x tan ln lim x
1 x
x tan ln lim
2 x
x x
1 x
x sin ) x (
2 lim
2 x
(*)
0,25
2 x
2 x
) x (
1 x
x sin lim
2
1 x
x sin ) x ( lim
2
x ∞
0 ) x (
1 , sin x
x sin
x
2 x
x
2
2
) x (
1 x
x sin
có dạng vơ định
0
nên áp dụng quy tắc Lơpital để tìm
2 x
) x (
1 x
x sin lim
0.25
2x 1 2 .1
x cos ) x ( lim ' ) x (
1 ' x
x sin lim
) x (
1 x
x sin lim
x
2 x
2
x 0,25
1 e x
x tan lim
) x (
1 x
x sin lim
2 x
1
x
2 x
0,25
Cộng 1,50
Cách khác
Từ (*): Đặt t
1 x
x x x
x
t
t sin ) t sin( x
x sin t
1 x
2
x ∞ t
0,25
0
t t sin lim
t lim
t t sin
t lim t sin
t lim
1 x
x sin ) x (
2 lim
0 t
0 t
t
0 t
x
0,25
1 e x
tan
lim x
1
(3)Câu Lời giải Điểm
3
1 x
B x
A ) x )( x (
x
x x
x )
x (
f 2
0,25
1 B
1 A
0 B A
1 B A
) x )( x (
) B A ( x ) B A ( ) x )( x (
) x ( B ) x ( A
1 x
1 x
1 )
x ( f
0,25
Có thể chứng minh cần đưa công thức n 1 n n )
n (
) b ax (
a ! n ) ( b
ax
0.25
1 n n
1 n
n n )
n (
) x (
! n ) ( )
1 x (
1 ! n ) (
x
0,25
1 n
n n )
n (
) x (
2 ! n ) (
x
1
0,25
n (n1) n n1
) n ( )
n ( )
n (
) x (
2 )
1 x (
1 !
n ) (
x
1
x ) x (
f 0,25
Cộng 1,50
4
e
1
3
e
1
3
) x (ln d x ln x ln dx x
x ln x ln
I 0,25
e
1
2
1
) x ln ( d ) x ln (
I 0,25
đặt t = + ln2x, x = t = x = e t =
1
dt t
I 0,25
2
1
t
I 0,50
2 1
8
I 3
4
0,25
Cộng 1,50
Cách khác
, dx x
x ln x ln I
e
1
3
đặt
x ln 1
t 0,25
dt t dx x
x ln dx x
x ln dt t x ln
t3
x = t = x = e
2 t
0,25
32
1
dt t
I 0,25
32
1
t
I 0,50
2 1
8
I 3 4 0,25
5
1 n
n n
n
n n
n
t a )
2 x ( n
2 ! n
với n
n
n
n ! n
a và t = x + 0,25
(4)Câu Lời giải Điểm
2 e R e
n 1 lim
2
n 1
2 lim
! n ) n (
n )! n ( lim a
a
lim n
n n n
n n
n n
n n
1 n
n
khoảng hội tụ chuỗi
2 e x 2 e e R x R
t 0,25
tại
2 e
x (đầu mút phải) chuỗi trở thành chuỗi dương
1 n
n
n n
n
b n
e ! n
với
n 1
e b
b n
e ! n
b n
n n n
n
n
do
n
n 1
e
bn dãy tăng không tiến n ∞ nên chuỗi phân kỳ đầu mút phải khoảng hội tụ
0,25
tại
2 e
x (đầu mút trái) chuỗi trở thành chuỗi đan dấu
1 n
n
n
n n n
b n
e ! n ) (
với
n 1
e b
b n
e ! n ) (
b n
n n n
n n
n
do
n
n 1
e
bn dãy tăng không tiến n ∞ nên chuỗi phân kỳ đầu mút trái khoảng hội tụ
0,25
miền hội tụ chuỗi
2 e , 2 e
hay
2 e x 2 e
0,25
Cộng 1,50
6
1 x
3 x
13 1 ) x )( x (
2 x x x
1 x x ) x (
f 2
2
0,25
3 x
1 13
3 x
13
x 13
(sử dụng
n
n
t t
1
trong miền hội tụ t , với 1
3 x
t )
0,25
0 n
n n
2
3 x 13
3 x
x x 13
miền hội tụ
x hay x 3 (4) 0,25
x
1 x
3 x
3
(sử dụng
n
n
x x
1
trong miền hội tụ x )1 0,25
0 n
n
2
x x x
3 miền hội tụ x 1 (5) 0,25
n
0 n
1 n
n n
0 n
n n
x
13 1 x 3 x 13 1 ) x (
f
miền hội tụ x 1
[giao (4) (5)]
0,25
Cộng 1,50
7a x 1: limx lim x limn
n n 2n n
n
(5)Câu Lời giải Điểm
: 1
x limx lim x limn
n n 2n n
n
n
: 1
x n
n 2 n n 2n n
n
n x x
3 x lim x
3 lim x
lim
0,20
1 x x
1 x ) x (
f 2 hàm số liên tục với x ≠ ±1 (6) 0,20
vì lim f(x) lim x2 f( 1)
1 x
x
và lim f(x) lim 1 f( 1)
1 x
x
nên hàm số liên tục x = -1 (7) vìlimf(x) lim1 f(1)
1 x
x
limf(x) lim x f(1)
2 x
x
nên hàm số liên tục x = (8) 0,20
từ (6), (7) (8) hàm số liên tục R 0,20
Cộng 1,00
7b
Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a, b) x0 (a, b), tồn giới hạn
R A x
x
) x ( f ) x ( f lim
0 x
x 0
A gọi đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 vàđược ký hiệu f’(x0)
0,20
Đặt x = x – x0, f = f(x) – f(x0)
x
) x ( f ) x x ( f lim x f lim x
x
) x ( f ) x ( f lim ) x ( '
f 0
0 x
x
0 x
x
0
0,20
Xét hàm f(x) = arctanx xác định khoảng
2 ,
2 , theo định nghĩa đạo hàm hàm f(x) điểm
2 ,
x :
h
x arctan )
h x arctan( lim
x
x arctan )
x x arctan( lim
x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f
0 h
x
x
(9)
0,20
Mặt khác
1 x
1 )' x (arctan )
x ( '
f 2
(10) 0,20
Từ (9) (10) suy
1 x
1 h
x arctan )
h x arctan(
lim 2
0
h
0,20