Dưới đây tôi trình bày bất đẳng thức Holder cho 3 dãy số mỗi dãy gồm 3 số dương1. Lời giải.[r]
(1)Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ ỨNG DỤNG
A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Dưới tơi trình bày bất đẳng thức Holder cho dãy số dãy gồm số dương
Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p số thực dương ta có
( 3 3)( 3 3)( 3 3) ( )3
a +b +c x +y +z m +n +p ≥ axm+byn+czp
Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
( )( )( )
3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3
3
a x m
a b c x y z m n p
axm
a b c x y z m n p
+ +
+ + + + + +
≥
+ + + + + +
Tương tự ta có
( )( )( )
( )( )( )
3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3
3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3
3
3
b y n
a b c x y z m n p
byn
a b c x y z m n p
c z p
a b c x y z m n p
czp
a b c x y z m n p
+ +
+ + + + + +
≥
+ + + + + +
+ +
+ + + + + +
≥
+ + + + + +
Cộng lại theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh
Hệ Cho a,b,c số thực dương ta có
( )( )( ) ( 3 )3
1+a 1+b 1+c ≥ +1 abc
B BÀI TẬP MẪU
Bài Chứng minh với a,b,c số thực dương ta có
( )( )( ) ( )( )( )( )
2 a +1 b +1 c + ≥1 a+1 b+1 c+1 abc+
Lời giải
Nhận xét Với a b c= = bất đẳng thức trở thành
( 2 ) (3 3 )( )3 ( )4( 2 )
2 a +1 ≥ a +1 a+1 ⇔ a−1 a + + ≥a 0(luôn đúng) ậy ta có
(2)Khám phá tư Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
2
3 3
2
3 3
2
2 1
2 1
2 1
a a a
b b b
c c c
+ ≥ + +
+ ≥ + +
+ ≥ + +
Nhân theo vế bất đẳng thức ta
( 2 ) (3 2 ) (3 2 )3 ( ) (3 ) (3 )3( 3 )( 3 )( 3 )
8 a +1 b +1 c +1 ≥ a+1 b+1 c+1 a +1 b +1 c + Vậy ta cần chứng minh ( )( )( ) ( )3
1 1
a + b + c + ≥ +abc
Đây bất đẳng thức Holder Bất đẳng thức chứng minh đẳng thức xảy a= = = b c
Bài Chứng minh với a,b,c số thực dương ta có
2 2 2 2 2
2 2 2
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
Lời giải
Gọi P biểu thức vế trái đặt
(2 2 2) (2 2 2) (2 2 2)
S =a b + c −a +b c + a −b +c a + b −c
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( ) ( )
3
3
a b c
P P S a b c P
S
+ +
≥ + + ⇒ ≥
Vậy ta chứng minh
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 2 2 2 2
3
3 2 2 2
+ + ≥
⇔ + + ≥ + − + + − + + −
a b c
S
a b c a b c a b c a b c a b c
( 3 3) ( ) ( ) ( )
4
⇔ a +b +c + abc≥ ab a+b +bc b+ +c ca c+ a
Chú ý a3+b3+c3+3abc≥ab a( +b)+bc b( + +c) ca c( +a )
3 3
3
+ + ≥
a b c abc
Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b c= =
Bài Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác thoả mãn điều kiện
2 2 3
a +b +c =
Chứng minh a b c
(3)Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Lời giải
Gọi P biểu thức vế trái đặt S=a b( + −c a) (+b c+ −a b) (+c a+ − b c)
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có P P S ≥(a+ +b c)3 Vậy ta cần chứng minh (a+ +b c)3≥9S
( )3 ( )
9
⇔ a+ +b c ≥ ab+bc+ca −
Đặt x= + +a b c x,( ∈ 3;3 ta có ) 2(ab+bc+ca)=x2− ta c3 ần chứng minh x3≥9(x2−6)⇔(x−3)(x2−6x−18)≥ ∀ ∈ 0, x 3;3
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= = = b c
Bài Cho a,b,c số thực dương có tích
Chứng minh
7 7
a b c
b+ +c + c+ +a + a+ +b ≥ Lời giải
Gọi P biểu thức vế trái đặt S=a b( + +c 7) (+b c+ +a 7) (+c a+ +b 7) Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c Vậy ta cần chứng minh (a+ +b c)3≥ S
( )3 ( ) ( )
2
a b c ab bc ca a b c
⇔ + + ≥ + + + + +
Ta có ( )
2
3
a b c
ab+bc+ca≤ + +
Vậy ta chứng minh ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2
2
7
3 21
3
+ + ≥ + + + + +
⇔ + + − + + − ≥
⇔ + + − + + + ≥
a b c a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
Bất đẳng thức cuối a+ + ≥b c 33abc= 3
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= = = b c
Bài Cho x,y,z độ dài cạnh tam giác
Chứng minh 1 x y z
x y z y z x z x y xyz
+ +
+ + ≥
+ − + − + −
Lời giải
(4)Khám phá tư Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ x+ +y z Vậy ta cần chứng minh ( )
2
x y z x y z
S xyz
+ + + +
≥
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
4 4 2 2 2
xyz x y z x y z x y z x y z x y z
x y z xyz x y z xy x y yz y z zx z x
⇔ + + ≥ + − + + − + + −
⇔ + + + + + ≥ + + + + +
Bất đẳng thức cuối đúng(xem thêm chủ đề biến đổi tương đương) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x y z= =
Bài Cho a,b,c số thực không âm thoả mãn ab+bc+ca>
Chứng minh a b c
b+c + c+a + a+b ≥ Lời giải
Nhận xét Bất đẳng thức chứng minh đơn giản bất đẳng thức
AM – GM ta tiếp cận toán theo bất đẳng thức Holder Gọi P biểu thức vế trái đặt S=a2(b+ +c) b2(c+a)+c2(a+ b)
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có P P S ≥(a+ +b c)3 Vậy ta cần chứng minh (a+ +b c)3≥4S
( ) ( ) ( )
3 3
6
a b c abc ab a b bc b c ca c a
⇔ + + + ≥ + + + + +
Bất đẳng thức cuối
( ) ( ) ( )
3 3
3
3
a b c abc ab a b bc b c ca c a
abc
+ + + ≥ + + + + +
≥
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy có số số lại
Bài Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện a2+b2+c2= + + a b c
Chứng minh 2 2 2
a b +b c +c a ≤ab+bc+ca
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 4 2
2
a b c a b c
ab bc ca a b b c c a a b c a b c
+ + = + +
⇒ + + − − − = + + − − −
Vậy ta chứng minh 4 2
a +b +c ≥a +b +c Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
(5)Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
( )2( 4 4 4) ( 2 2 2)3 4 4 4 2 2 2
a+ +b c a +b +c ≥ a +b +c ⇒a +b +c ≥a +b + c
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= = = b c
Bài Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện a2+b2+c2= Chứng minh
5 5
3 2 2 2
a b c
a + bc + b + ca + c + ab ≥ Lời giải
Gọi P biểu thức vế trái đặt S=a a( 3+2bc) (+b b3+2ca) (+c c3+2ab) Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có P S2 ≥(a2+b2+c2)3=27
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( ) ( )
( )
3 3
2
4 4 2
2 2 2
2 2
6
a a bc b b ca c c ab
a b c abc a b c
a b b c c a abc
+ + + + + ≤
⇔ + + + ≤ + +
⇔ + + ≥
Bất đẳng thức cuối theo AM – GM ta có
( )
2 2 2 3 2 2 2 3
a b +b c +c a ≥ a b c a +b +c = abc
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= = = b c
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài Chứng minh với a,b,c số thực dương ta có
( 3 3 3) (2 2 2 2)2
3 a +b +c ≥ a +b +c
Bài Cho a,b,c số thực dương có tổng
Chứng minh
2
a b c
b+c + c+a + a+b ≥
Bài Chứng minh với a,b,c số thực dương ta có
2 2
8 8
a b c
a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +
Bài Cho a,b,c số thực dương có tích
Chứng minh
2 7 2 7 2 7
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + + + + +
(6)Khám phá tư Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam
Chứng minh
1 1
a b c
b bc + c ca + a ab≥
+ + + + + +
Bài Cho a,b,c số thực dương chứng minh
( )( )( ) ( )3
3 3
a −a + b −b + c −c + ≥ a+ +b c
Bài Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x y z xy yz zx+ + = + + Chứng minh (x+ +y z)( x+ y+ z)2 ≥27
Bài Cho a,b,c số thực dương có tổng
Chứng minh a+ b+ c≥ab+bc+ca
Bài Cho x,y,z số thực dương
Chứng minh
2 2 4
4
3
3
x y z x y z
y z x
+ +
+ + ≥
Bài 10 Cho a,b,c số thực dương Chứng minh
(1+a3)(1+b3)(1+c3) (≥ +1 ab2)(1+bc2)(1+ca2)
Bài 11 Cho a,b,c,x,y,z số thực dương Chứng minh
( )
( )
3
3 3
3
a b c
a b c
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ +
Bài 12 Cho a,b,c số thực dương
Chứng minh
( ) (3 ) (3 )3 ( )
1 1
4
1 a b c abc
+ + ≥
+
+ + +
Bài 13 Cho a,b,c số thực dương có tổng Chứng minh
3 2 2 2
a b c
a+ b + b+ c + c+ a ≥
Bài 14 Cho a,b,c số thực dương Chứng minh
( 4 )( 4 )( 4 ) ( 2 2 )2
9 a +1 b +1 c + ≥1 a b c +abc+1
Bài 15 Cho a,b,c số thực dương Chứng minh
( ) ( )( )( )
4
3
a b b c c a a b c
a b c
c a b a b b c c a
+ + + + + ≥ + + + +
+ + +
Bài 16 Cho a,b,c số thực dương Chứng minh
3 2
27
( ) ( ) ( ) 8( )
a b c
(7)Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Bài 17 Cho a,b,c số thực dương Chứng minh ( )
( ) (( ) ) (( ) )
3 3
1
8 4 4 4
a b b c c a
ab a b c bc b c a ca c a b
+ + +
+ + ≥
+ + + + + +
Bài 18 Cho a,b,c số thực không âm Chứng minh
( )2 ( )2 ( )2
1
5 5
a b c
b c c c a a a b b
+ + ≥
+ + + + + +
Bài 19 Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện ab+bc+ca= Chứng minh abc 36a 36b 36c 1
c a b
+ + + + + ≤
Bài 20 Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện
3 3 4
a +b +c =a +b + c
Chứng minh
2 3 3 3
a b c
a +b +c +a +b +c +a +b +c ≥
Bài 21 Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện
2 2
1 1
a b c
a b c
+ + = + +
Chứng minh 37a b2 + +1 37b c2 + +1 37c a2 + ≤1 2(a+ + b c)
Bài 22 Cho a,b,c số thực dương có tổng Chứng minh
( ) (2 ) (2 )2 ( )
13
4
4
1 1
+ + + ≥ + +
+ + +
a b c
abc ab bc ca
a b c
D HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( 3 3 3)2 ( )( 3 3 3) (2 2 2 2)3
3 a +b +c = + +1 1 a +b +c ≥ a +b +c Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c= =
Bài Gọi P biểu thức vế trái đặt S=a b( + +c) (b c+a) (+c a+b) Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c =
Mặt khác ( ) 2( )2
2
3
S = ab+bc+ca ≤ a+ +b c = ⇒ ≥P
ất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =
(8)Khám phá tư Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam
Bài Gọi P biểu thức vế trái đặt
( 8 ) ( 8 ) ( 8 )
S =a a + bc +b b + ca +c c + ab Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c
Vậy ta cần chứng minh ( )3
a+ +b c ≥ S
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 2
8 8
8
a b c a a bc b b ca c c ab
a b b c c a abc
⇔ + + ≥ + + + + +
⇔ + + + ≥
Bất đẳng thức hiển nhiên theo AM – GM Đẳng thức xảy
a= = b c
Bài Gọi P biểu thức vế trái đặt
( 2 7) ( 2 7) ( 2 7)
S=a b +c + +b c +a + +c a +b + Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có P P S ≥(a+ +b c)3
Vậy ta cần chứng minh (a+ +b c)3≥ S
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
3
3
3
7
7
7
a b c a b c ab a b bc b c ca c a
a b c a b c a b c ab bc ca abc
a b c a b c a b c ab bc ca
⇔ + + ≥ + + + + + + + +
⇔ + + ≥ + + + + + + + −
⇔ + + ≥ + + + + + + + −
Luôn Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy
a= = = b c
Bài Gọi P biểu thức vế trái đặt
(1 ) (1 ) (1 )
S=a + +b bc +b + +c ca +c + +a ab Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
3
2 2
3 3
P P S a b c
≥ + +
Vậy ta cần chứng minh ( )
3
2 2
3 3 3 3 3
a b c ab bc ca abc
+ + ≥ + + + +
( ) ( )
2 2 2
2 3 3 3 6 3 9 3 9
a a b a b abc ab bc ca abc
⇔ + + + ≥ + + + +
∑ ∑
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có ( )
2 2
3 3 2
a b a b ab bc ca
+ ≥ + +
∑
(9)Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Vậy ta cần chứng minh ( )
2
6
ab+bc+ca+ abc ≥ abc Bất đẳng thức cuối
( )23 ( )23
6 9
ab+bc+ca+ abc ≥ abc ≥ abcvì
3
1
a b c
abc≤ + + =
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy
a= = = hob c ặc a=3,b= = hoán vc ị
Bài Chú ý a5−a2+ −3 (a3+2)=(a−1) (2 a+1)(a2+ + ≥ a 1) Thiết lập tương tự ta chứng minh
( )( )( 3) ( )3
1 1 1
a + + +b + + +c ≥ a+ +b c Đây bất đẳng thức Holder
Bài Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( 2 2 2)( )2 ( )3
x +y +z x+ y + z ≥ x+ +y z Vậy ta cần chứng minh ( )
4
2 2 27
x y z
x y z
+ + ≥
+ +
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
4
3
2
27
54 27
3
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
⇔ + + ≥ + + + + −
⇔ + + + ≥ + +
⇔ + + − + + + ≥
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x= = = y z
Bài Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( 2 2 2)( )2 ( )3
27
a +b +c a+ b+ c ≥ a+ +b c = Vậy ta cần chứng minh 27≥(ab+bc+ca)2(a2+b2+c2) Bất đẳng thức cuối theo AM – GM
( ) ( ) ( )
3
2 2
2 2 2 27
3
ab bc ca a b c
ab+bc+ca a +b +c ≤ + + + + + =
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= = = b c
Bài Gọi P biểu thức vế trái đặt S=x y2 2+y z2 2+z x2 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( 2 2)3
P P S≥ x +y +z
(10)Khám phá tư Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam
( )
( ) ( ) ( )
3
2 2 4 4 4
2 2 2
3
2 2 2 2 2 4
9
3
3
x y z x y z
x y y z z x
x y z x y y z z x x y z
+ + + +
≥
+ +
⇔ + + ≥ + + + +
Đặt a=x2+y2+z b2, =x y2 2+y z2 2+z x2 2⇒x4+y4+z4=a2−2b
Bất đẳng thức trở thànha3≥3b 3(a2−2b)
( ) (2 )
6 27 54 0 3 6 0
a a b b a b a b
⇔ − + ≥ ⇔ − + ≥
Luôn Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy
x= = y z
Bài tập tương tự
Chứng minh x,y,z số thực dương thoả mãn x4+y4+z4 = ta có
2 2
3
x y z
y + z + x ≥
Bài 10 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
3
3 3
3
3 3
3
3 3
1 1
1 1
1 1
a b b ab
b c c bc
c a a ca
+ + + ≥ +
+ + + ≥ +
+ + + ≥ +
Nhân theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh
Bài 11 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( )( ) ( )
( )
( )
3 3
3
3
3 3
1 1
3
a b c
x y z a b c
x y z
a b c
a b c
x y z x y z
+ + + + + + ≥ + +
+ +
⇒ + + ≥
+ + Bất đẳng thức chứng minh
Bài 12 Bất đẳng thức tương đương với:
( ) (3 ) (3 )3
1 1
4
1 1
abc abc abc
a b c
+ + + + + ≥
+ + +
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta được:
(11)Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
( ) ( )
( ) ( )( )
3
3
1
1 1
1
a a abc bc
abc a
b c a a b a c
+
+ + + ≥ + ⇒ ≥
+ +
+
Tương tự:
( ) (3 )( ) ( ) (3 )( )
1
;
1
abc ac abc ab
b a b c c a c b
b c
+ ≥ + ≥
+ + + +
+ +
Cộng theo vế bất đẳng thức cần chứng minh
( )( ) ( )( ) ( )( ) 34
bc ac ab
a+b a+c + b+a b+c + c+a c+b ≥
( ) ( ) ( ) 3( )( )( )
4
ab a b bc b c ca c a a b b c c a
⇔ + + + + + ≥ + + +
( ) ( ) ( )
ab a b bc b c ca c a abc
⇔ + + + + + ≥
Bất đẳng thức cuối theo AM-GM
Bài toán chứng minh đẳng thức xảy a b c= =
Bài 13 Gọi P biểu thức vế trái đặt
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
S=a a+ b +b b+ c +c c+ a = a+ +b c =
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có P P P S ≥(a+ +b c)4⇔P3≥ ⇔ ≥ P Bất đẳng thức chứng minh đẳng thức xảy
3
a= = = b c
Bài 14 Với a b c= = bất đẳng thức trở thành
( 4 ) (3 6 3 )2
3
2
2
9
1
9
a a a
a a
a a
+ ≥ + +
⇔ + ≥ + +
Đặt x a 1,(x 2)
a
= + ≥ bất đẳng thức trở thành
( 2 ) (3 3 )2 ( )2( ( 3 ) ( 3 ) 2)
9 x −2 ≥8 x −3x+1 ⇔ x−2 x x − +8 x − +5 6x ≥ Bất đẳng thức với x≥
Áp dụng ta có ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
4
3
4
3
4
9
9
9
a a a
b b b
c c c
+ ≥ + +
+ ≥ + +
+ ≥ + +
Nhân theo vế bất đẳng thức ta
(12)Khám phá tư Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam
( ) (3 ) (3 )3 ( ) (2 ) (2 )2
3 4 6
9 a +1 b +1 c +1 ≥8 a +a +1 b +b +1 c +c +1 Mặt khác theo bất đẳng thức Holder ta có
( 6 3 )( 6 3 )( 6 3 ) ( 2 2 )3
1 1
a +a + b +b + c +c + ≥ a b c +abc+ Từ ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy a= = = b c
Bài 15 Gọi P biểu thức vế trái đặt S=c a( +b)2+b c( +a)2+a b( +c)2
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3 ( )3
P P S≥ + + + + +a b b c c a = a b c+ + Vậy ta cần chứng minh
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( )( )
3
2 2
8 16
3
a b c a b c
a b b c c a
a b c b c a c a b
+ + + +
≥
+ + +
+ + + + +
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
3
9
⇔ + + + ≥ + + + + +
⇔ + + + + ≥
a b b c c a a b c b c a c a b
a b c ab bc ca abc
Luôn theo AM – GM
Bài 16 Gọi P biểu thức vế trái đặt S a b c= + +
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( )
3
2
3 27
2 8
a b c
P S S P
b c c a a b a b c
≥ + + ≥ ⇒ ≥
+ + +
+ +
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c= =
Bài 17 Gọi P biểu thức vế trái đặt
( ) ( ) ( )
( )( )
8 4 4 4
32 72
S ab a b c bc b c a ca c a b
a b c ab bc ca abc
= + + + + + + + +
= + + + + −
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( )3 ( )3
P P S≥ a+ + + + +b b c c a = a+ +b c Vậy ta chứng minh ( )3
8 a+ +b c ≥ S
( ) ( )( )
( ) ( )( )
3
3
8 32 72
9
a b c a b c ab bc ca abc
a b c abc a b c ab bc ca
⇔ + + ≥ + + + + −
⇔ + + + ≥ + + + +
Đây bất đẳng thức Schur bậc Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c= =
Bài 18 Gọi P biểu thức vế trái đặt
(13)Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
( )2 5 ( )2 5 ( )2 5
= + + + + + + + +
S a b c c b c a a c a b b
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có P S2 ≥(a+ +b c)3 Vậy ta cần chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2
2 2
5 5
0
+ + ≥ + + + + + + + +
⇔ − + − + − ≥
a b c a b c c b c a a c a b b
a a b b b c c c a
Bất đẳng thức cuối ln ta có đpcm Đẳng thức xảy
a= = b c
Bài 19 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( ) ( ) ( )
( )
3 3 3
3
3
1 1 1
6 6 6
1 1
3 6
a b c ab bc ca
c a b a b c
ab bc ca
a b c abc abc
+ + + + + = + + + + +
≤ + + + + + + + = ≤
Vì theo AM – GM ta có
3
1
3 3
ab bc ca abc≤ + + =
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy
a= = =b c
Bài 20 Sử dụng bất đẳng thức C –S ta có
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
2 3 3 3
2 2
3 3 3 3 3
2
3 3 2 2 2
2
4 4 2 2 2
2
3 3
3 3
+ +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+ + ≥
+ + + + + + + +
+ + =
+ + + + + + + +
+ + + +
= =
+ +
+ + + +
a b c
a b c a b c a b c
a b c
a ab ac a b b bc ca cb c
a b c
a b c ab a b bc b c ca c a
a b c
a b c ab a b bc b c ca c a
a b c a b c
a b c
a b c a b c
Ta chứng minh
( )( ) ( )
3 3
2
4 4 3
a b c a b c
a b c a b c a b c
+ + ≥ + +
⇔ + + + + ≥ + +
(14)
Khám phá tư Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam
Bài 21 ọi P biểu thức vế trái sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( )
3
2 2
3 3 3 3
2 2
2 2
3
2 2
7 7
7 7
( )
a b b c c a
P a a b b c c
a b c
a b b c c a
a b c a b c
a b c
+ + + = + + + + + ≤ + + + + = + +
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= = = b c
Bài 22 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
2 2 2
1
1 1 1 1
a b c
a b c
a b c a a b b c c t
+ +
+ + ≥ =
+ + + + + + + + +
Với 2 1( )2
3
t=a +b +c ≥ a+ +b c =
Đặt 1; ;
2
p t t
p= + + =a b c q=ab+bc+ca= − = − r=abc Mặt khác theo bất đẳng thức Schur bậc ba ta có
( )( )( )
( )( )( ) 1
1 2
9
abc a b c b c a c a b
q t
abc a b c r q r
≥ + − + − + −
− −
⇒ ≥ − − − ⇒ + − ≥ ⇔ ≥ =
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( ) ( )( )
2
1 13
4 1 39 76 13
9 1
t
t t t t
t
− + ≥ − ⇔ − + + ≥
+
Bất đẳng thức cuối ta có đpcm Đẳng thức xảy
a= = = b c
CHỦ ĐỀ 8: KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV
A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
1 Bất đẳng thức Chebyshev với hai dãy đơn điệu chiều
Nếu có
1
n n
a a a
b b b
≥ ≥ ≥
≥ ≥ ≥
1 2 n n
a a a
b b b
≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤
ta có
( 1 2 n n) ( n)( n)
n a b +a b + +a b ≥ a +a + +a b +b + +b Đẳng thức xảy
1
n n
a a a
b b b
= = =
= = =
Chứng minh Ta có đẳng thức