Một dụng cụ lược cà phê hình nón có chiều cao và đường kính đáy cùng bằng 6cm.. Cà phê đang chảy từ dụng cụ này vào bình chứa hình trụ có bán kính đáy là 6cm với tốc độ 10cm 3 /phút.. Gi
Trang 1Câu 1 Tính giới hạn: 2 2
0
1 lim cot
x
Giải.
Ta có,
2
x
Mặt khác,
2
Và
2
2
2 tan tan 1 2
3tan tan 1 tan 1 1
B
x
0
3
x
Câu 2 Chứng minh phương trình: 2 2
2
a b
x a x b x luôn có nghiệm trên a b,
Giải.
Đặt 2 2
2
a b
Khi đó, f x là hàm liên tục trên a b,
Ta có,
Do đó,
2 0 4
a b
Suy ra, phương trình f x 0 luôn có nghiệm trên a b, Suy ra điều phải chứng minh
Trang 2Câu 3 Chứng minh: hàm số khi 0
khi 0
f x
khả vi tại x khi và chỉ khi k l0
Giải.
Ta có,
'
'
0
0
Ta có, f x khả vi tại x khi và chỉ khi0 f' 0 f' 0 k l Ta có đpcm
Câu 4 Một dụng cụ lược cà phê hình nón có chiều cao và đường kính đáy cùng bằng 6cm Cà
phê đang chảy từ dụng cụ này vào bình chứa hình trụ (có bán kính đáy là 6cm) với tốc độ
10cm 3 /phút Giả sử mực cà phê trong dụng cụ lược đang ở mức 5cm Khi đó mực cà phê trong
bình chứa và trong dụng cụ lược đang thay đổi theo các tốc độ tương ứng nào?
Giải.
Gọi V t , r t , h t lần lượt là thể tích, bán kính bề mặt và chiều cao mực cà phê trong dụng cụ lược
Khi đó,
2
Và
Tại thời điểm t0 đang xét ta có,
0
0
10 cm / phút 5cm
V t
h t
Ta tính h t' 0
Ta có, 2 ' 0 2 0 ' 0
4 h t h t 5
Gọi, V t1 , h t1 lần lượt là thể tích và mực cà phê trong bình chứa
Suy ra, V t1 36 h t1
Vì cà phê chảy từ dụng cụ lược sang bình chứa nên V t1' V t'
Trang 3Tại thời điểm t0 đang xét ta có, ' 3
1 0 10 cm / phút
Ta có,
5
18
Vậy, chiều cao mực cà phê trong dụng cụ lược đang giảm với tốc độ 8 cm/phút
trong khi đó, chiều cao mực cà phê trong bình chứa lại tăng với tốc độ 5 cm/phút
Câu 5 Tìm khối lượng của bản kim loại hình tròn bán kính a chứng minh, nếu mật độ tại điểm
x y, của bản là 2
2 g/cm
k a x
Giải.
Đặt bản tròn này vào hệ trục Khi đó, phương trình của đường tròn là:x2y2 a2
Xét dải hẹp tại vị trí x trên trục Ox có bề dày dx và chiều dài là 2 2
2 a x
Yếu tố diện tích cản dải là: dA2 a2 x dx2
Yếu tố khối lượng:
2 2
Suy ra, khối lượng của bản:
a
a
Ta có,
2
a a
a
a
vì x a2 x2 là hàm số lẻ
Do đó, m2k a g 3
Vậy khối lượng của bản là m2k a g 3
Trang 4Câu 6 Cho miền phẳng D nằm giữa trục Ox và đường 1 2
1
y
x
a Tính diện tích của miền D
b Chứng minh rằng thể tích vật thể được tạo thành khi quay miền D quanh trục Oy không các định
Giải.
a Vì D là miền đối xứng qua trục Oy nên diện tích miền D:
0
2 2 lim arctan 2 lim arctan dvdt
1
b
dx
b Vì D là miền đối xứng qua trục Oy nên chỉ cần quay nửa
miền D với (x>0) quanh Oy là được vật thể Do đó, thể tích của vật
được tính theo công thức:
0
1
b
xdx
x
Suy ra, thể tích vật thể không xác định (đpcm)