Chiếc xe 2 X chạy về hướng nam,1 còn chiếc xe X thì chạy theo hướng đông.. Một trạm bưu điện chỉ nhận những gói hàng dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông, tổng của chiều cao và c
Trang 1Câu 1 Chứng minh rằng:
Giải.
Cách 1:
Ta có
x A B A CB CA B
x A B
x A CB
x CA B
x A
x B
x A
x CB
x CA
x B
x A
x B
x CB
x CA
x B
x A
x CA
x B
x A
x CA
x A
x B
x A
x B
Vậy A B A CB CA B A B (đpcm)
Cách 2.
Ta có, A B A CB A B CB A
Do đó,
A B
Vậy A B A CB CA B A B (đpcm)
Câu 2 Chỉ ra điều kiện cần và đủ để hàm số sau đây có đạo hàm tại x x 0
0 0
f x
Giải.
Cách 1:
a
Do đó, '
0
f x a
Suy ra, điều kiện cần và đủ để hàm số ( )f x có đạo hàm tại x x 0 là:
Trang 2
0
0
0
0 0 0
0 0
lim lim lim
x
x
x
x
f x
x
a
x
a
x
x
Nếu c a x 0d b 0 thì 0
0
lim
x
x
suy ra a vô hạn vô lý Vậy c a x 0d b 0 (2)
Khi đó, a c Từ (2) ta có b d
0 ( ) ax b x x
f x
cx d x x
có đạo hàm tại x x 0 là a c
b d
Cách 2:
Điều kiện cần: ( )f x liên tục tại x x 0
Khi đó,
0 0
lim ( ) lim ( ) ( )
(1)
Điều này tương đương với điều kiện sau:
0
0 0
lim lim
(1)
x
x
a
x
x
Thay a c vào (1) ta được b d
0 ( ) ax b x x
f x
cx d x x
có đạo hàm tại x x 0 là a c
b d
Trang 3Câu 3 Hai chiếc xe X , 1 X Cùng xuất phát tại một điểm G Chiếc xe 2 X chạy về hướng nam,1 còn chiếc xe X thì chạy theo hướng đông Khoảng cách giữa hai xe tăng theo tốc độ nào tại2 thời điểm xe X cách điểm G một khoảng là 1 10km và đang chạy với tốc độ 60km h/ ; còn xe 2
X cách G một khoảng 5km và đang chạy với tốc độ 25km h/
Giải.
Gọi s t , 1( ) s t lần lượt là khoảng cách giữa xe 2( ) X , 1 X với G tại thời điểm t.2
Do X chạy về hướng nam, xe 1 X thì chạy theo hướng đông nên tam giác 2 GX X1 2 vuông tại G Suy ra, khoảng cách giữa X , 1 X tại t là:2
d t s t s t
Tốc độ biến thiên khoảng cách giữa X , 1 X là:2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) '( )
s t s t s t s t
d t
Giả sử t là thời điểm đang xét Ta có, 0 1, 0
1 0
( ) 10 ( ) 60
s t
s t
2 0
( ) 5 ( ) 25
s t
s t
Suy ra,
1 0 1 0 2 0 2 0
1 0 2 0
( ) ( ) ( ) ( ) 60.10 25.5
10 5
s t s t s t s t
d t
Vậy tại thời điểm t khoảng cách giữa hai xe 0 X , 1 X đang tăng với tốc độ 29 52 km h /
Câu 4 Một trạm bưu điện chỉ nhận những gói hàng dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình
vuông, tổng của chiều cao và chu vi đáy không vượt quá 120cm Hãy cho biết gói hàng như vậy được gởi với thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
Giải.
Gọi x, y lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao của các gói hàng
Theo đề bài ta có, 4x y 120 y120 4 ,0 x x30
Thể tích của gói hàng là 2
V x y V x2120 4 x
Xét hàm số, f x( )x2120 4 , x x 0;30
Ta có, ( )f x liên tục và có đạo hàm trên 0;30
Và f x'( ) 2 120 4 x x 4x2 2 120 6x x
0 '( ) 0
20
x
f x
x
Ta loại giá trị x 0
Vì xlim ( )0 f x xlim ( ) 030 f x
và (20) 16000 0f nên ( )f x đạt giá trị lớn nhất trên
0;30 và giá trị này đạt tại điểm dừng x 20 tức là fmax f(20) 16000
Vì V f x x( ), 0;30 nên V f(20) 16000, x0;30 và dấu bằng đạt được khi 20
x , y 40.
Vậy kích thước gói hàng 20cm,20cm, 40cm thì thể tích của nó lớn nhất
Trang 4Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy , cho miền D giới hạn bởi:
1 , 0,0 1
x
a) Tính diện tích của miền D
b) Tính thể tích của vật thể được tạo nên khi quay miền D quanh trục Ox
Giải.
a) Diện tích miền D được tính theo công thức:
b
b) Thể tích vật thể tạo thành khi quay D quanh trục Ox là
b