KIỂM TRA GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH HK năm học 2014 – 2015 – Lớp Toán ứng dụng K40 Thời gian làm bài: 90 phút Câu (2,00 điểm) Sinh viên chọn hai câu sau: 1a) Cho f : X → Y ánh xạ A, B ⊂ Y Chứng minh f −1 ( A ∪ B ) = f −1 ( A) ∪ f −1 ( B) 1b) Cho f : X → Y ánh xạ A, B ⊂ X Chứng minh f ( A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B) Câu (3,00 điểm) Sinh viên chọn hai câu sau: 2a) Cho f : [ ln 2, +∞ ) → ¡ 2x a e − 4e x + x Chứng minh f đơn ánh Tìm ảnh tập X = [ ln 2, +∞ ) qua ánh xạ f Từ tìm ánh xạ ngược f −1 2b) Cho f : [ e, +∞ ) → x a ¡ ( ln x ) − 2ln x Chứng minh f đơn ánh Tìm ảnh tập X = [ e, +∞ ) qua ánh xạ f Từ tìm ánh xạ ngược f −1 Câu (2,00 điểm) Cho A B tập bị chặn tập số thực ¡ Tập hợp A + B định nghĩa A + B = { x ∈ ¡ : x = a + b, a ∈ A, b ∈ B} Sinh viên chứng minh hai đẳng thức sau: 3a) inf ( A + B ) = inf A + inf B 3b) sup ( A + B ) = sup A + sup B Câu (2,00 điểm) Sinh viên chứng minh hai giới hạn sau định nghĩa: 2n + = n →∞ n + 4a) lim n+2 = n →∞ 2n + 4b) lim Câu (1,00 điểm) Cho A B tập bị chặn tập số thực ¡ Ký hiệu A − B = { x ∈ ¡ : x = a − b, a ∈ A, b ∈ B} Hãy biểu diễn hai giá trị inf( A − B) sup( A − B ) theo inf A , inf B , sup A sup B Chứng minh đẳng thức