Theo phương pháp quy nạp toán học ta có 1 đúng với mọi số tự nhiên n.. Giả sử nước đang được bơm ra khỏi một bình chứa thủy tinh hình cầu bán kính 1m.. Nếu tại thời điểm đang xét, độ sâu
Trang 1BÀI GIẢI ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ
LỚP: TUD K.34 Câu 1 Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng:
( 2 !n) < 22n( n!)2
Giải.
( 2 !n) < 22n( n!)2 (1)
♦ Với n = 1 ta có (1) ⇒ < 2 4 Vậy (1) đúng
♦ Giả sử, (1) đúng với n nào đó Nghĩa là ( 2 !n) < 22n( n!)2
♦ Ta chứng minh: ( 2n+ 2 !) < 22n+ 2( ( n+ 1 !) )2
Ta có,
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2 ! 2 ! 2 1 (2 2)
2 ! 2 1 (2 2)
n n n n
n n n
+ +
Vậy (1) đúng với n+1
Theo phương pháp quy nạp toán học ta có (1) đúng với mọi số tự nhiên n
Câu 2 Cho f x( ) = x2+ 2x + với mọi x trong ¡ Khảo sát sự đơn ánh của 3 f
Giải.
Ta có, f là đơn ánh trên ¡ khi và chỉ khi
∀ ∈ ¡ = ta đều có, x1 = x2 (1) Tuy nhiên, với x1= 0 và x2 = − 2 ta có f ( ) 0 = f ( ) − = 2 3 Tức là (1) không thỏa
Do đó, f không là đơn ánh trên ¡
Trang 2
Trang 2BÀI GIẢI ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ
LỚP: TUD K.34
1
0
sin
x
x x
→
Giải
1
0
sin
x x
x
x
−
−
→
(Theo qui tắc L’Hospital)
1 1 6 6 0
sin
x
x
x
−
→
Câu 4 Giả sử nước đang được bơm ra khỏi một bình chứa thủy tinh hình cầu bán kính 1m Nếu tại thời điểm đang xét, độ sâu của nước trong bình là 0,5m và đang giảm với tốc
độ 0,2m/phút thì bán kính của mặt nước đang biến thiên như thế nào?
Giải.
Gọi r t ( ) và h t ( ) lần lượt là bán kính mặt nước và chiều cao của mực nước tại thời điểm t
Gọi to là thời điểm đang xét Ta cần tính: '( )
o
r t .
Ta có, ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
h t h t h t
r t
−
=
−
Tại thời điểm to
ta có,
( ) ( )
'
0,5 0,2 /
o o
= −
Suy ra,
0,2 0,5.0,2 1
5 3
o
r t
Vậy, tại thời điểm đang xét bán kính mặt nước đang giảm 1
5 3 (m/phút).
Trang 2
1-
( )
r t
( )
h t