BÀI GIẢI ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ LỚP: TUD K.34 Câu Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng: ( n ) ! < 2 n ( n !) Giải ( n ) ! < 2 n ( n !) (1) ♦ Với n = ta có (1) ⇒ < Vậy (1) ♦ Giả sử, (1) với n Nghĩa ( 2n ) ! < 22 n ( n !) ♦ Ta chứng minh: ( 2n + ) ! < 22 n+ ( ( n + ) !) 2 Ta có, ( 2n + ) ! = ( 2n ) !( 2n + ) (2n + 2) < 22 n.( n!) ( 2n + ) (2n + 2) < 22 n.( n!) ( 2n + ) = 22 n+ 2.( n !( n + ) ) = 22 n+ 2.( ( n + ) !) 2 Vậy (1) với n+1 Theo phương pháp quy nạp toán học ta có (1) với số tự nhiên n Câu Cho f ( x ) = x + x + với x ¡ Khảo sát đơn ánh f Giải Ta có, f đơn ánh ¡ ∀x1 , x2 ∈ ¡ : f ( x1 ) = f ( x2 ) ta có, x1 = x2 (1) Tuy nhiên, với x1 = x2 = −2 ta có f ( ) = f ( −2 ) = Tức (1) không thỏa Do đó, f không đơn ánh ¡ Trang BÀI GIẢI ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ LỚP: TUD K.34 Câu x2 Tính giới hạn: lim sin x ÷ x→0 x Giải sin x −1÷ x x lim x2 Ta có lim sin x ÷ = e x→0 x→0 x Mặt khác, lim x→0 =e lim x →0 sin x − x x3 sin x − x cos x − − sin x = lim = lim = − (Theo qui tắc L’Hospital) x → x → x 2x 6x 1 − x2 Vậy, lim sin x ÷ = e = e x→0 x Câu Giả sử nước bơm khỏi bình chứa thủy tinh hình cầu bán kính 1m Nếu thời điểm xét, độ sâu nước bình 0,5m giảm với tốc độ 0,2m/phút bán kính mặt nước biến thiên nào? Giải Gọi r ( t ) h ( t ) bán kính mặt nước chiều cao mực nước thời điểm t Khi đó, ta có: 1- r ( t ) = − ( − h ( t ) ) = 2h ( t ) − h ( t ) r ' ( to ) Gọi to thời điểm xét Ta cần tính: h' ( t ) − h ( t ) h' ( t ) r( t) = Ta có, 2h ( t ) − h ( t ) h ( to ) = 0,5m to Tại thời điểm ta có, h ' ( to ) = −0,2m / phut h t Suy ra, h ' t − h t h ' t ( ) ( ) ( ) −0,2 + 0,5.0,2 o o o r ( to ) = = =− (m/phút) 2h ( to ) − h ( to ) 2.0,5 − 0,52 ( ) Vậy, thời điểm xét bán kính mặt nước giảm Trang (m/phút) r(t) ...BÀI GIẢI ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ LỚP: TUD K.34 Câu x2 Tính giới hạn: lim sin x ÷ x→0 x Giải sin x 1 x x lim x2 Ta có lim sin x ÷ = e x→0... thiên nào? Giải Gọi r ( t ) h ( t ) bán kính mặt nước chiều cao mực nước thời điểm t Khi đó, ta có: 1- r ( t ) = − ( − h ( t ) ) = 2h ( t ) − h ( t ) r ' ( to ) Gọi to thời điểm xét Ta cần tính:... (Theo qui tắc L’Hospital) x → x → x 2x 6x 1 − x2 Vậy, lim sin x ÷ = e = e x→0 x Câu Giả sử nước bơm khỏi bình chứa thủy tinh hình cầu bán kính 1m Nếu thời điểm xét, độ sâu nước bình 0,5m