Kết luận: f là một song ánh.. Chứng minh rằng nếu X ={ }x n là dãy hội tụ thì X là một dãy Cauchy.
Trang 1Câu 1 Cho hai tập số thực: A= ∈{x ¡ :x≠1} và B={y∈¡ :y≠2} Chứng minh rằng ánh xạ:
:
2 1
x
x
→
=
−
a
là một song ánh
Giải.
♦ Tính đơn ánh:
Giả sử với x x1, 2∈A f x: ( )1 = f x( )2 ta có,
Vậy f là ánh xạ và là đơn ánh.
♦ Tính toàn ánh
Lấy y B∈ tùy ý Đặt
2
y x y
=
− khi đó, ta có:
2
y
1 2
y y
y y
−
−
−
Như vậy ta có, f là toàn ánh.
Kết luận: f là một song ánh.
Câu 2 Chứng minh rằng nếu X ={ }x n là dãy hội tụ thì X là một dãy Cauchy
Giải.
Ta cần chứng minh: Với mỗi ε >0, ta luôn tìm được số N∈¥ sao cho, ∀m n N, > ta đều có,
x −x <ε
Thật vậy, giả sử, limn x n x
→∞ =
Khi đó, ta luôn tìm được số N∈¥ sao cho, ∀ >n N ta đều có,
2
n
x − <x ε
Với ∀m n N, > , ta có,
2
n
x − <x ε
và
2
m
x − <x ε
Ta có, ∀m n N, > , x n −x m = x n − −x (x m−x) ≤ x n− +x x m− < + =x ε ε ε2 2
Vậy, X ={ }x n là một dãy Cauchy (đpcm)
Câu 3 Tính các giới hạn sau:
a) lim sin ln 1( ( ) ) sin ln( )
→+∞ + −
b) ( )ln
0
lim 1 x
→ −
Giải.
1 ln
ln 1 lim sin ln 1 sin ln 2 lim cos sin
x
+ +
Trang 2Ta có, ln 1( )
2
x +x
lim sin sin lim sin ln lim 1 sin ln1 0
x
Suy ra, L1=0
lim ln ln 1 ln
2
1
x x x
x
+
−
→
Ta có,
2
2
2
1
lim ln ln 1 lim lim
2ln ln
1
x
x x
−
Vậy, 1 ( )
lim ln ln 1
0
x x