H¢y t½nh thº t½ch cõa vªt thº nâitr¶n.. b T½nh têng cõa chuéitrong c¡c kho£ng hëitö cõa nâ.
Trang 1TR×ÍNG I HÅC CN THÌ
KHOA KHOA HÅC TÜ NHIN
BË MÆN TON
THI VI TCH PH N A1
HÅC KÝ H - NHÂM 01
NM HÅC: 2010 - 2011
Ng y thi:24/06/2011
Thíi gian l m b i: 90 phót
( · thigçm 06 c¥u
1
÷ñcin tr¶n 01trang
2
)
C¥u 1 Cho ϕ(x) l h m sè li¶ntöc tr¡it¤i x = a H¢y t¼m gi¡tràcõa m sao cho h m sè
f (x) = (x − a)ϕ(x) n¸u x ≤ a
m.x n¸u x > a
câ ¤o h m t¤i x = a
C¥u 2 Khi mët b£n kim lo¤i h¼nh trán bà un nâng, b¡n k½nh cõa nâ t«ng vîi tèc ë l 0, 01
cm/phót T½nh tèc ë bi¸n thi¶ncõa di»n t½ch b£n kim lo¤ikhib¡n k½nh cõa nâ ang l
50cm N¸u tèc ë n y khæng êith¼ sau bao l¥ub¡n k½nh cõa nâ s³l 52cm
C¥u 3 Mëtvªtthº câ ¡y l h¼nh trán x 2 + y 2
≤ 1 Bi¸t r¬ng t§t c£ thi¸t di»n cõa vªtthº ct bðinhúng m°t ph¯ng vuæng gâc vîi tröc Ox l tam gi¡c ·u H¢y t½nh thº t½ch cõa vªt thº nâitr¶n
C¥u 4 Khi quay cung ph¯ng y = sin x vîi 0 ≤ x ≤ π quanh tröc Ox ta ÷ñc m°t cong S H¢y
t½nh di»n t½chcõa m°t congn y
C¥u 5 GåiD l h¼nh ph¯nggiîih¤n bðiParabolex = − 5 4 y 2 + 5 v ÷íng th¯ngx + y = 2 H¢y
t½nh di»n t½ch cõa mi·n D
C¥u 6 Cho chuéih m
∞
X
n=1
1
n .
x − 1
x + 1
n
(a) H¢y t¼m mi·n hëitö cõa chuéi h m tr¶n
(b) T½nh têng cõa chuéitrong c¡c kho£ng hëitö cõa nâ
C¦n Thì, ng y 20 th¡ng 06 n«m 2011
C¡n bë gi£ngd¤y
L HOI NH N
1
Thang iºm:Tøc¥u1 ¸n c¥u5:1,00 iºm/c¥u C¥u6:2,00 iºm
2
¡p ¡n ÷ñccæng b tr¶nwebsiteKhoa Khoahåctünhi¶nv ochi·u ng y24.06.2011. iºmthiC¡c
emxemtr¶nk¸ ho¤chhåctªpcõam¼nh v ochi·ung y28.06.2011.Phóc kh£o b ithi:tø08gií ¸n 11
giíng y29.06.2011t¤iVP.BM To¡n KhoaKhoahåctünhi¶n
Trang 2TR×ÍNG I HÅC CN THÌ
KHOA KHOA HÅC TÜ NHIN
BË MÆN TON
MÆN THI VI TCH PH N A1
HÅC KÝ H - NHÂM 01
NM HÅC: 2010 - 2011
Ng y thi:24/06/2011
Thíi gian l m b i: 90 phót
C¥u 1 • lim
∆x→0 −
∆f
∆x = ϕ(a)
• lim
∆x→0 +
∆f
∆x =
m n¸u a = 0
∞ n¸u a 6= 0
Do â,
• N¸u a = 0 th¼ m = ϕ(a)
• N¸u a 6= 0 th¼ khæng tçn t¤im º f (x)câ ¤o h m t¤ix = a
C¥u 2 • Di»n t½chv b¡n k½nh b£n kim lo¤ili¶nh» nhau bði ¯ng thùc
S(t) = π.r 2 (t) =⇒ S 0
= 2πr(t).r 0
(t)
• T¤i t 0 ta câ r(t 0 ) = 50 v r 0
(t 0 ) = 0, 01 Suy ra, S 0
(t 0 ) = π Vª di»n t½ch cõa b£n
ang t«ng vîitèc ëπ cm 2
/phót
• ∆t = S ∆S 0 (t 0 ) = 204 (phót)
C¥u 3 • Thi¸t di»ncõa vªtt¤ix câc¤nhl a(x) = √
1 − x 2
v chi·ucao h(x) =
√ 3 2
√
1 − x 2
vîi −1 ≤ x ≤ 1
• Di»n t½chthi¸t di»n: S(x) =
√ 3
4 (1 − x 2
)
• Thº t½ch vªt thº V =
1
Z
−1
S(x)dx =
√ 3
3 ( vtt)
C¥u 4 • Vi ph¥n cung ds = √
1 + cos 2 xdx
• Di»n t½chm°t: V = 2π
π
Z
0
sin x √
1 + cos 2 xdx = 2π
1
Z
−1
√
1 + t 2 dt
• Vª V = 2π t
2
√
1 + t 2 + 1
2 ln(t +
√
1 + t 2 )
1
− 1
= 2π( √
2 + ln( √
2 + 1)) ( vdt)
C¥u 5 • Tung ë giao iºm cõa hai ÷íng cong v y = 2 v y = − 6
5
Trang 3• Di»n t½chmi·n D:
S =
2
Z
− 6
− 5 4 y 2 + y + 3
dy = 512
75 ( vdt).
C¥u 6 °tt = x − 1
x + 1 ta câchuéi
∞
X
n=1
1
n .t
n
(2)
(a) • V¼ lim
n→∞
a n+1
a n
= 1 n¶n chuéi (2) câkho£ng hëi töl (−1, 1)
• T¤i t = 1 chuéi(2)trð th nh
∞
X
n=1
1
n, l chuéiph¥n ký
• T¤i t = −1 chuéi(2)trð th nh
∞
X
n=1
(−1) n 1
n, l chuéihëi tö
• Chuéi ¢ chohëitö tr¶n mi·n thäa −1 ≤ x − 1
x + 1 < 1 ⇐⇒ x ≥ 0
• Vª mi·n hëitö cõa chuéi ¢cho l [0, ∞) (b) • Vîit ∈ (−1, 1) °t H(t) =
∞
X
n=1
1
n .t
n
.Suy ra,H 0
(t) =
∞
X
n=1
t n−1 = 1
1 − t
• Ta câ, H(0) = 0 v H(t) =
t
Z
0
H 0
(s)ds + H(0) = − ln(1 − t)
• Vª S(x) = H x − 1
x + 1
= − ln
1 − x x − 1 + 1
= − ln x 2
+ 1
Trang 4IM QUY ÊI TØ IM SÈ SANG IM CHÚ
IM SÈ IM CHÚ
8.5- 10.0 A
7.5 -8.4 B+
6.0 -6.9 C+
5.0 -5.4 D+
...= 1< /h2> n¶n chi (2) câkho£ng hëi tưl (? ?1, 1)
ã TÔi t = 1< /h2> chuội(2)tr thnh
X
n =1< /h3>
1< /h2>
n,... ln (1 t)
ã Vê S(x) = H x − 1< /h2>
x + 1< /h2>
= − ln
1 − x x − 1< /sup>...
n, l chuộiphƠn ký
ã TÔi t = 1< /h2> chuéi(2)trð th nh
∞
X
n =1< /h3>
(? ?1) n 1< /h2>
n, l chuéihëi tử
ã