Vi tích phân a1 phép tính tích phân hàm một biến

1 Nguyên hàm2 Tích phân xác định Định nghĩa Định lý cơ bản của phép tính tích phân Công thức Newton - Leibniz 3 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại I Tích phân suy rộng loại II...

1 Nguyên hàm

2 Tích phân xác định

Định nghĩa

Định lý cơ bản của phép tính tích phân

Công thức Newton - Leibniz

3 Tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng loại I

Tích phân suy rộng loại II

Định nghĩa 2.1

Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a, b]

Phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm chia a = x0<x1 < <xn= b.Trên mỗi đoạn [xi −1; xi] ta chọn điểm ξi và lập tổng

Định lý 2.1 (Định lý cơ bản của phép tính tích phân)

Cho f liên tục trên đoạn [a, b] Nếu F (x) =

Định lý 2.2 (Công thức Newton - Leibniz)

Cho f liên tục trên đoạn [a, b] Nếu Φ(x) là một nguyên hàm của f (x)trên đoạn [a, b] thì

Định nghĩa 3.1 (Tích phân suy rộng loại I)

1 Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng [a, +∞), ta định nghĩa

Cho f (x) liên tục trên R, ta định nghĩa

nếu các tích phân ở vế phải đều hội tụ

Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 11 / 41

Ví dụ 3.2

1 Tính diện tích của miền

phẳng nằm phía trên đường

thẳng y = 0, phía dưới đường

cong y = ln x

x2 và bên phảiđường thẳng x = 1

2 Tính diện tích của miềnphẳng nằm phía trên trục Ox,bên phải đường thẳng x = 1

và phía dưới đường cong

Ví dụ 3.3

nằm phía dưới đường cong

y = e−x, phía trên đường

cong y = e−2x và bên phải

1 Chứng minh rằng tích phân trên hội tụ với mọi x > 0.

Γ(x + 1) = xΓ(x)

3 Chứng minh rằng Γ(n + 1) = n! với n = 0, 1, 2,

12



π và Γ

32



2

√π.

0

cos xsin2xdx

Ví dụ 3.8

1 Tính diện tích của miền

phẳng nằm phía dưới đường

thẳng y = 0, phía trên đường

cong y = ln x và bên phải trục

Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 21 / 41

Định lý 4.1

Nếu hàm số f (x) là liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho

f (c) = f

Ví dụ 4.1

Tìm giá trị trung bình của hàm số f (x) = sin x trên đoạn [0, π]

Ví dụ 4.2

Chứng minh rằng vận tốc trung bình của xe ôtô trong khoảng thời gian

di chuyển [t1,t2] bằng giá trị trung bình của hàm vận tốc trên khoảngđó

Tìm giá trị trung bình của hàm số trên khoảng được cho

1 Một miền D được giới hạn bởi các đường cong: y = f (x), y = g(x),

x = a và x = b với a < b có diện tích được tính theo công thức:

2 Một miền D được giới hạn bởi các đường cong: x = ϕ(y), x = ψ(y),

y = c và y = d với a < b có diện tích được tính theo công thức:

Tính thể tích vật thể (S) nhưhình vẽ bên.

Thiết diện của vật thể là miềnphẳng mà nó là phần giao của S

và mặt phẳng

Ta tính thể tích vật thể bằngcách xác định diện tích các thiếtdiện của S

Phân hoạch đoạn [a, b] bởi cácđiểm chia

a = x0 <x1 < <xn= b

Các mặt phẳng Pxk cắt vật thểthành các "lát cắt mỏng"

Ta xấp xỉ các "lát cắt mỏng"này bằng hình trụ có diện tíchđáy là A(xk) và chiều cao là

∆xk

Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 28 / 41

Phác họa vật thể và xác định hình dáng, kích thước của thiệt diện.Tìm biểu thức A(x) của diện tích các thiết diện của vật thể và xácđịnh các cận của x.

Ví dụ 4.6

Một vật thể cao 6 (m) Thiết diện ngang cắt vật thể ở độ cao z phía trênđáy là một hình chữ nhật có các kích thước là 2 + z và 8 − z (m) Tínhthể tích vật thể

Cho miền D là hình thang loại 1được giới hạn bởi các đường cong

Cho miền D hình thang loại 2 được giới hạn bởi các đường cong

x = ϕ(y), x = ψ(y), y = c và y = d với c < d

1 Nếu quay miền D quanh trục Ox, ta được vật thể có thể tích là

Ví dụ 4.8

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giớihạn bởi các đường cong

1 y = 2x − x2

và y = 0 với 0 ≤ x ≤ 2 quanh trục Ox và Oy

2 y = sin x và y = 0 với 0 ≤ x ≤ π quanh trục Ox và Oy

3 x = y2

và y = 0, x = 1 (phần phía trên trục hoành) quanh trục Ox

và trục Oy

Bài toán Tính độ dài cung phẳng AB của đường cong L.

Nếu L được cho bởi phương trình y = f (x) với x ∈ [a, b] thì độ dàicủa L được tính theo công thức

Bài toán Cho cung phẳng AB của đường cong L quay quanh mộtđường thẳng cho trước Hãy tính diện tích mặt tròn xoay thu được.

Nếu đường cong L có phương trình y = f (x) với x ∈ [a, b] và

được quay quanh trục Ox, ta được mặt cong có diện tích

Bài toán Cho cung phẳng AB của đường cong L quay quanh mộtđường thẳng cho trước Hãy tính diện tích mặt tròn xoay thu được.

Nếu đường cong L có phương trình tham số x = x(t) và y = y(t) với

Ví dụ 4.10

y = x2

với 1 ≤ x ≤ 2 quanh trục Oy

Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 41 / 41