Bài giảng toán cao cấp phép tính tích phân hàm một biến ths nguyễn văn phong

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀMMỘT BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006... Bài toán tìm diện tích... Tích phân xác địnhĐịnh nghĩa Cho hàm f xác định trên [a, b].. Ta định nghĩa tích

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM

MỘT BIẾN

Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006

Bài toán tìm diện tích

Tích phân xác định

Phân hoạch

Cho [a, b], các số thực x0, x1, , xn, thỏa

x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = bKhi đó, P = {x0, x1, x2, , xn}, được gọi là một phânhoạch của [a, b]

Tích phân xác định

Định nghĩa

Cho hàm f xác định trên [a, b] Ta định nghĩa tích phân

xác định của hàm f trên [a, b] là

tích Riemann trên [a, b]

Ví dụ

Tìm diện tích của miền giới hạn bởi

n

 2n

f (x )dx

Định lý cơ bản của vi tích phân

Nguyên hàm

Định nghĩa

F0(x ) = f (x )Khi đó, G (x ) = F (x ) + C cũng là một nguyên hàm của

Z

f (x )dx

Từ định nghĩa trên ta thấy, nguyên hàm và đạo hàm là

hai hàm ngược của nhau,i.e.,

Công thức đổi biến

(f (x ) g (x ))0 = f0(x ) g (x ) + f (x ) g0(x )

Ta nhận được công thức tích phân từng phần

Các tiêu chuẩn hội tụ

Tiêu chuẩn so sánh

Giả sử f và g là các hàm liên tục, và f (x ) ≥ g (x ) ≥ 0,với x ≥ a

Các tiêu chuẩn hội tụ

...

F0(x ) = f (x )Khi đó, G (x ) = F (x ) + C nguyên hàm

Z

f (x )dx

Từ định nghĩa ta thấy, nguyên hàm đạo hàm

hai hàm ngược nhau,i.e.,