Bài giảng toán cao cấp phép tính tích phân hàm một biến ths nguyễn văn phong

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Nội dung ĐỊNH NGHĨA - TÍNH CHẤT ĐỊNH LÝ CĂN BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN SUY RỘNG Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Bài tốn tìm diện tích Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Tích phân xác định Phân hoạch Cho [a, b], số thực x0 , x1 , , xn , thỏa x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b Khi đó, P = {x0 , x1 , x2 , , xn }, gọi phân hoạch [a, b] Tổng Riemann Cho hàm f xác định [a, b] P phân hoạch [a, b], với xi∗ ∈ [xi−1 , xi ] ∆xi = |xi − xi−1 | Ta gọi R(f , P) = ni=1 f (xi∗ )∆xi tổng Riemann f ứng với phân hoạch P Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Tích phân xác định Định nghĩa Cho hàm f xác định [a, b] Ta định nghĩa tích phân xác định hàm f [a, b] b f (x) dx = lim a n→∞ n i=1 f (xi∗ )∆xi giới hạn bên phải tồn Khi đó, ta cịn nói f khả tích Riemann [a, b] Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Ví dụ Tìm diện tích miền giới hạn f (x) = x , x = 0, x = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Ví dụ Để tính diện tích S, trước tiên ta phân hoạch đoạn [0, 1] thành n đoạn có ∆x = chọn xi∗ n 1/n, 2/n, , n/n Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Ví dụ Ta có tổng Riemain 2 n 1 + + + Rn = n n n n n n 1 = 12 + 22 + + n2 n n n (n + 1) (2n + 1) = n Khi đó, x dx n (n + 1) (2n + 1) = n→∞ n3 = lim Rn = lim n→∞ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Các tính chất tích phân Cho f , g khả tích [a, b], k ∈ R đó: a b f (x)dx = − b a f (x)dx; a b b [f (x) + kg (x)]dx = a f (x)dx = a b f (x)dx + k a g (x)dx a Nếu c ∈ (a, b) f khả tích khoảng [a, c] [c, b] Và đó: b c f (x)dx = a b f (x)dx + f (x)dx c a b f (x)dx = c(b − a) Nếu f (x) = c(const) a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Các tính chất tích phân b Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] f (x)dx ≥ a Nếu f (x) ≥ g (x), ∀x ∈ [a, b] b b f (x)dx ≥ a g (x)dx a b Hàm |f | khả tích b |f (x)|dx ≥ a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH f (x)dx a Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Định lý vi tích phân Định lý Nếu f liên tục [a, b] hàm F xác định x f (t)dt, a F (x) = x b, a liên tục [a, b], khả vi (a, b), F (x) = f (x) x t sin t dt Ví dụ: Tìm F (x) biết F (x) = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 10 / 24 Công thức Newton-Leibnitz Định lý Nếu f liên tục [a, b], b f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) a F nguyên hàm f , nghĩa F = f Ví dụ: e x dx Tính Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y = 0, x = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 24 Nguyên hàm Định nghĩa Hàm F (x) gọi nguyên hàm f (x) F (x) = f (x) Khi đó, G (x) = F (x) + C nguyên hàm f (x) gọi tích phân bất định f , ký hiệu f (x)dx Từ định nghĩa ta thấy, nguyên hàm đạo hàm hai hàm ngược nhau,i.e., f (x) dx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) = f (x) GIẢI TÍCH (f (x)) dx = f (x) Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 24 Công thức đổi biến Định lý Giả sử hàm u = g (x) khả vi liên tục [a, b] f hàm liên tục miền ảnh g Khi đó: b g (b) f (g (x))g (x)dx = a f (u)du g (a) Nhận xét: (f [g (x)]) = f [g (x)] × g (x) từ lấy tích phân hai vế, ta có f [g (x)] × g (x) dx = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) (f [g (x)]) dx = f (g (x)) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 13 / 24 Tích phân phần Cơng thức tích phân phần b f (x)g (x)dx = f a (x)g (x)|ba b − g (x)f (x)dx a Hoặc viết gọn: b udv = a uv |ba b − v du a Xuất phát từ (f (x) g (x)) = f (x) g (x) + f (x) g (x) Ta nhận công thức tích phân phần Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 14 / 24 Tích phân hàm chẵn, lẻ Giả sử f liên tục [−a, a] Nếu f chẵn (nghĩa f (−x) = f (x)) a a f (x)dx = −a f (x)dx Nếu f lẻ (nghĩa f (−x) = −f (x)) a f (x)dx = −a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 15 / 24 Tích phân suy rộng Loại I (miền không bị chặn) Định nghĩa Nếu t a f (x) dx tồn với t t +∞ f (x) dx = lim t→∞ a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) a, GIẢI TÍCH f (x) dx a Tốn cao cấp - MS: MAT1006 16 / 24 Tích phân suy rộng Loại I (miền không bị chặn) Định nghĩa Nếu b t f (x) dx tồn với t b b, b f (x) dx = lim Nếu −∞ +∞ hai a f +∞ (x) dx a f (x) dx = −∞ f (x) dx t→−∞ t a −∞ f (x) dx tồn +∞ f (x) dx + −∞ f (x) dx a Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 17 / 24 Ví dụ Tính tích phân suy rộng sau, (nếu tồn tại) +∞ a) 1 dx x +∞ e −x dx b) 0 dx −∞ −∞ (1 − x) +∞ +∞ 1 √ dx e) f) dx α x x 1 +∞ +∞ 1 g) dx h) dx 2 −∞ + x −∞ x + 2x + c) xe Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) −x dx d) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 18 / 24 Tích phân suy rộng Loại II (hàm không bị chặn) Định nghĩa Nếu hàm f liên tục [a, b) không liên tục b, b t f (x) dx = lim− t→b a f (x) dx a Nếu hàm f liên tục (a, b] không liên tục a, b a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) b f (x) dx = lim+ t→a GIẢI TÍCH f (x) dx t Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 24 Tích phân suy rộng Loại II (hàm không bị chặn) Định nghĩa Nếu hàm f không liên tục c, với a < c < b, c b hai a f (x)dx c f (x)dx hội tụ, c b f (x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx c Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 20 / 24 Ví dụ Tính tích phân suy rộng sau, (nếu tồn tại) 1 √ dx a) b) x c) dx d) −1 x √ e) dx f) x −2 g) ln (1 − x)dx 1 dx α x dx x −1 ln xdx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 24 Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Giả sử f g hàm liên tục, f (x) ≥ g (x) ≥ 0, với x ≥ a +∞ +∞ 1) Nếu a f (x)dx hội tụ, a g (x)dx hội tụ 2) Nếu +∞ g (x)dx a +∞ f (x)dx a +∞ −x phân kỳ, Ví dụ Khảo sát hội tụ e phân kỳ dx HD: Đặt f (x) = e −x g (x) = e −x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 22 / 24 Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn tỷ số Cho f , g hàm số dương f (x) Nếu lim = α ∈ (0, +∞), x→+∞ g (x) +∞ f (x)dx a +∞ g (x)dx hội tụ phân kỳ a f (x) Nếu lim = α ∈ (0, +∞), x→b g (x) b b f (x)dx a g (x)dx hội tụ phân kỳ a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 23 / 24 Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân sau: +∞ x + ln x + 1 dx x + 3x + +∞ x + 2x − √ dx + x3 + 3+1+2 x x 1 dx (x + 2) (x − 1) sin x √ dx x x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 24 / 24 ... TÍNH CHẤT ĐỊNH LÝ CĂN BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN SUY RỘNG Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Bài tốn tìm diện tích Nguyễn. .. khả tích Riemann [a, b] Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 24 Ví dụ Tìm diện tích miền giới hạn f (x) = x , x = 0, x = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao. .. Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 17 / 24 Ví dụ Tính tích phân suy rộng