Bài giảng toán cao cấpphép tính vi tích phân hàm nhiều biến ths nguyễn văn phong

PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 NỘI DUNG HÀM NHIỀU BIẾN GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ĐẠO HÀM RIÊNG - GRADIENT VI PHÂN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Hàm nhiều biến Định nghĩa Một hàm nhiều biến f quy tắc f : D ⊂ Rn → R (x1 , x2 , , xn ) → z = f (x1 , x2 , , xn ) Ví dụ hàm hai biến Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Đồ thị Định nghĩa Nếu f hàm hai biến xác định miền D đồ thị f định nghĩa tập hợp điểm (x, y , z) R3 cho z = f (x, y ) (x, y ) ∈ D Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa Cho hàm f xác định D ⊂ R2 , (a, b) ∈ D Khi đó, ta nói giới hạn f (x, y ) (x, y ) tiến (a, b) L, ta viết lim f (x, y ) = L (x,y )→(a,b) ∀ε > 0, ∃δ > cho, (x, y ) ∈ D < (x − a)2 + (y − b)2 < δ, |f (x, y ) − L| < ε Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Chú ý Với x = (x, y ), a = (a, b), lim f (x) = L x→a |f (x, y ) − L| khoảng cách từ f (x, y ) tới số L (x − a)2 + (y − b)2 khoảng cách từ x tới a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Hàm liên tục Định nghĩa Hàm hai biến f gọi liên tục điểm (a, b) lim f (x, y ) = f (a, b) (x,y )→(a,b) Ta nói, f liên tục D, liên tục (a, b) thuộc D Ví dụ Xét liên tục hàm số   3x y , (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) = x2 + y2  0, (x, y ) = (0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Giới hạn liên tục hàm nhiều biến Với, x = (x1 , x2 , , xn ), a = (a1 , a2 , , an ), ta có Định nghĩa Hàm f xác định D ⊂ Rn Khi i) Ta nói giới hạn f , x tiến a L, ∀ε > 0, ∃δ > : (∀x ∈ D) ∧ (0 < |x − a| < δ) |f (x) − L| < ε ii) Hàm f gọi liên tục a lim f (x) = f (a) x→a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Đạo hàm riêng - Gradient Định nghĩa Cho f hàm hai biến, đạo hàm riêng f hàm hai biến fx fy định nghĩa sau: f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) fx (x, y ) = lim ∆x→0 ∆x f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) fy (x, y ) = lim ∆y →0 ∆y Nếu hai đạo hàm riêng tồn gradient f hàm vector ∇f (hoặc gradf ) định nghĩa: gradf (x, y ) = ∇f (x, y ) = (fx (x, y ), fy (x, y )) = fx i + fy j Với i = (1, 0) j = (0, 1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Một số kết Định lý (Clairaut’s - Young’s) Giả sử f xác định D chứa điểm (a, b) Nếu hàm số fxy fyx liên tục D, fxy (a, b) = fyx (a, b) Phản ví dụ Cho   x y − xy (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) = x2 + y2  (x, y ) = (0, 0) CMR fxy (0, 0) = fyx (0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 16 / 30 Tính khả vi Định nghĩa Hàm z = f (x, y ) gọi khả vi (a, b) ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b) viết dạng ∆z = fx (a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε (∆x)2 + (∆y )2 Trong ε → (∆x, ∆y ) → (0, 0) Để kiểm tra tính khả vi, ta dùng định lý sau: Định lý Nếu đạo hàm riêng fx fy tồn quanh điểm (a, b) liên tục (a, b) f khả vi (a, b) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 17 / 30 Tính khả vi Tính chất hàm khả vi Nếu f khả vi (a, b) f liên tục (a, b) Xấp xỉ tuyến tính (tiếp diện) Xấp xỉ tuyến tính f (a, b) hàm L(x, y ) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) Ví dụ Cho f (x, y ) = xe xy Tìm xấp xỉ tuyến tính f điểm (1, 0) Tính xấp xỉ f (0.95, 0.1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 18 / 30 Vi phân Định nghĩa 1) Vi phân toàn phần cấp f (x, y ) df = fx (x, y )dx + fy (x, y )dy 2) Vi phân toàn phần cấp f (x, y ) d f = fxx (x, y )(dx)2 +2fxy (x, y )dxdy +fyy (x, y )(dy )2 Trong đó, df (x, y ) = f (x + ∆x, y + ∆y ) − f (x, y ) Ví dụ Cho f (x, y ) = e x sin(2x + 3y ) a) Tìm df (0, 1) d f (0, 1) b) Tính xấp xỉ f (−0.01, 0.98) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 19 / 30 Cực trị hàm hai biến Định nghĩa Cho f xác định lân cận (a, b), N(a,b) Khi 1) Nếu ∀(x, y ) ∈ N(a,b) : f (x, y ) f (a, b) (a, b) gọi cực tiểu địa phương f 2) Nếu ∀(x, y ) ∈ N(a,b) : f (x, y ) f (a, b) (a, b) gọi cực đại địa phương f Điểm (a, b) gọi cực trị địa phương f Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 20 / 30 Cực trị hàm hai biến Cực trị toàn cục (Max, Min) Nếu f (x, y ) đạt cực trị D, với D miền xác định, (a, b) gọi cực trị toàn cục f hay f đạt giá trị lớn nhất, (nhỏ nhất) (a, b) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 21 / 30 Điều kiện cần Định lý Nếu f đạt cực trị địa phương (a, b) đạo hàm riêng cấp f tồn tại, fx (a, b) = fy (a, b) = Nhân xét Điểm (a, b) gọi điểm dừng f Chiều ngược lại định lý không Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 22 / 30 Ví dụ Ví dụ Cho f (x, y ) = x + y − 2x − 6y + 14 Ta có fx = 2x − = ⇒ fy = 2y − = x =1 y =3 Nên f có điểm dừng (1, 3) Do f (x, y ) = + (x − 1)2 + (y − 3)2 ≥ = f (1, 3) với x, y , nên f đạt cực tiểu (1, 3) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 23 / 30 Ví dụ Ví dụ Cho f (x, y ) = y − x Ta có fx = −2x; fy = 2y nên f có điểm dừng (0, 0) Mặt khác f (x, 0) = −x < 0, x = 0; f (0, y ) = y > 0, y = Trên N(0,0) , theo phương Ox hàm f cực đại, theo phương Oy hàm f cực tiểu Do điểm (0, 0) khơng cực trị f Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 24 / 30 Điều kiện đủ Định lý Nếu đạo hàm riêng cấp hai f (x, y ) tồn N(a,b) fx (a, b) = 0, fy (a, b) = Ta đặt ∆ = fxx (a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]2 = fxx fxy fyx fyy a Nếu ∆ > fxx (a, b) > (a, b) cực tiểu b Nếu ∆ > fxx (a, b) < (a, b) cực đại c Nếu ∆ < (a, b) điểm yên ngựa Chú ý Trong trường hợp ∆ = (a, b) cực đại, cực tiểu, điểm yên ngựa Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 25 / 30 Ví dụ Tìm cực trị (địa phương) hàm số: f (x, y ) = x + y − 4xy + f (x, y ) = x + y + 3x y − 15y + Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 26 / 30 Cực trị có điều kiện Bài tốn Tìm cực trị hàm f (x, y ) thoả mãn g (x, y ) = Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp (Chuyển toán biến) Bước Từ ràng buộc g (x, y ) = 0, ta tìm x = ϕ (y ) hay y = ψ (x) Bước Thay x = ϕ (y ) hay y = ψ (x) vào hàm f , ta hàm biến theo y (hay theo x) Ví dụ Khảo sát cực trị f (x, y ) = 2x − 6y với ràng buộc x + 2y = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 27 / 30 Cực trị có điều kiện Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp (Nhân tử Lagrange) Bước Lập hàm Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y ) Bước  Tìm điểm dừng   Lx (x, y , λ) = Ly (x, y , λ) = ⇒ (x0 , y0 , λ)   L (x, y , λ) = λ Bước Tính dg (x0 , y0 ) = gx (x0 , y0 )dx + gy (x0 , y0 )dx cho dg (x0 , y0 ) = Ta tìm biểu thức liên hệ dx dy Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 28 / 30 Cực trị có điều kiện Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp (Nhân tử Lagrange) Bước Kiểm tra điều kiện cực trị Tính d L(x0 , y0 ) vi phân toàn phần cấp hai L Nếu d L(x0 , y0 ) > (x0 , y0 ) cực tiểu Nếu d L(x0 , y0 ) < (x0 , y0 ) cực đại Trường hợp d L(x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) cực tiểu, cực đại Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 29 / 30 Ví dụ Tìm cực trị f (x, y ) = x + 2y Trên đường tròn x + y = Trên hình trịn x + y ≤ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 30 / 30 ... DUNG HÀM NHIỀU BIẾN GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ĐẠO HÀM RIÊNG - GRADIENT VI PHÂN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 30 Hàm nhiều. .. (1, 0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 14 / 30 Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm hai biến f (x, y ), giả sử đạo hàm riêng cấp fx fy khả vi Khi đó, đạo hàm riêng... Ví dụ: Vi? ??t phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = 2x + y điểm (1, 1, 3) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 13 / 30 Đạo hàm riêng hàm nhiều biến Cho hàm f (x1