Thông tin tài liệu
12/19/2016 CHƯƠNG ỨNG DỤNG VI PHÂN HÀM HAI BIẾN Giới hạn liên tục Định nghĩa 3.1.1: Nếu ứng với cặp giá trị hai biến số ݔvà ݕ, ta có quy tắc xác định giá trị ݖ, ݖđược gọi hàm số theo hai biến (độc lập) ݔvà ݕ Kí hiệu: ݖൌ ݂ ݔ, ݕ ௬ Ví dụ 3.1.1: Cho hàm ݂ ݔ, ݕൌ ݔଶ െ Định nghĩa 3.1.2: Cho hàm hai biến số z ൌ ݂ ݔ, ݕ Tập hợp cặp số ݔ, ݕsao cho ݂ሺݔ, ݕሻ có nghĩa gọi miền xác định hàm số ݖൌ ݂ ݔ, ݕ Ví dụ 3.1.2: Tìm miền xác định hàm số ݖൌ െ ݔଶ െ ݕଶ ଷ Tính ݂ 0,0 ; ݂ 1, െ2 Định nghĩa 3.1.3: Cho hàm hai biến ݖൌ ݂ሺݔ, ݕሻ xác định hình tròn chứa ݔ , ݕ (có thể loại trừ ݔ , ݕ ) Ta nói ݂ ݔ, ݕdần đến ∈ ܣԹ ሺݔ, ݕሻ dần đến ݔ , ݕ hay ݂ ݔ, ݕcó giới hạn ܣtại ݔ , ݕ với ߝ cho trước, tồn ߜ cho ൏ ݔെ ݔ ଶ ݕെ ݕ ଶ ൏ ߜ ⇒ ݂ ݔ, ݕെ ܣ൏ ߝ Ta viết lim ௫,௬ሻ→ሺ௫బ ,௬బ ݂ ݔ, ݕൌ ܣ Ví dụ 3.1.4: Tìm lim ௫,௬ሻ→ሺଵ,ଵ hay ௫→௫ lim ݂ ݔ, ݕൌ ܣ బ ௬→௬బ ݔଶ െ ݕݔ Định nghĩa 3.1.4: Xét hàm hai biến ݖൌ ݂ሺݔ, ݕሻ xác định miền ܦvà ܯ ݔ , ݕ ∈ ܦ Ta nói ݖൌ ݂ሺݔ, ݕሻ liên tục ܯ ݂ xác định ܯ tồn giới hạn: lim ௫,௬ሻ→ሺ௫బ ,௬బ ݂ ݔ, ݕൌ ݂ሺݔ , ݕ ሻ Hàm ݖൌ ݂ሺݔ, ݕሻ gọi liên tục miền ܦ liên tục điểm thuộc miền ܦ Đạo hàm riêng Cho hàm hai biến ݖൌ ݂ ݔ, ݕ Ta giữ nguyên ݕkhông đổi (xem ݕnhư số), xem ݖlà hàm số theo biến ݔ Khi đó, đạo hàm hàm ݖtheo biến ݔđược gọi đạo hàm riêng hàm ݖൌ ݂ሺݔ, ݕሻ theo biến ݔ Kí hiệu: డ௭ డ௫ hay డ డ௫ ݖ௫ , ݂௫ Tương tự, đạo hàm riêng ݖtheo biến ݕ: డ௭ డ௬ Ví dụ 3.2.1: Cho ݂ ݔ, ݕൌ ݕ ݔ sinሺݕ ݔሻ Tìm డ డ௫ డ డ௬ ଶ ଷ ݖ௬ Đạo hàm riêng cấp డమ డ௫ మ డమ డ௫௬ ൌ ݂௫௫ ൌ ݂௫ ᇱ௫ ; ᇱ ൌ ݂௫௬ ൌ ݂௬ ; ௫ డమ డ௬ మ డమ డ௬௫ ൌ ݂௬௬ ൌ ݂௬ ൌ ݂௬௫ ൌ ݂௫ ᇱ ௬ ᇱ ௬ Ví dụ 3.2.2: Cho hàm số ݂ ݔ, ݕൌ 4 ݔଷ 3 ݕݔଶ െ 2 ݔ 3 ݕଷ డ డ௫ డ డ௬ ൌ ݂௫ ൌ 12 ݔଶ 3 ݕଶ െ 2; ݂௫௫ ൌ 24݂ ;ݔ௫௫ 1,2 ൌ 24 ൌ ݂௬ ൌ 6 ݕݔ 9 ݕଶ ; ݂௬௬ ൌ 6 ݔ 18݂ ;ݕ௬௬ 1,2 ൌ 42 ݂௫௬ ൌ ݂௬௫ ൌ 6݂ ;ݕ௫௬ ሺ1,2ሻ ൌ ݂௬௫ 1,2 ൌ 12 12/19/2016 Cực trị hàm hai biến Định nghĩa 3.3.1: Xét hàm số ݖൌ ݂ሺݔ, ݕሻ xác định ݔ , ݕ Ta nói: i ݂ ݔ, ݕđạt cực đại ሺݔ , ݕ ሻ điểm ݔ, ݕkhá gần ݔ , ݕ ta có ∶ ݂ ݔ, ݕ൏ ݂ ݔ , ݕ ii ݂ ݔ, ݕđạt cực tiểu ሺݔ , ݕ ሻ điểm ݔ, ݕkhá gần ݔ , ݕ ta có ∶ ݂ ݔ, ݕ ݂ ݔ , ݕ iii ݂ሺݔ, ݕሻ đạt cực trị ሺݔ , ݕ ሻ ݂ ݔ, ݕđạt cực đại hay cực tiểu ሺݔ , ݕ ሻ Cách tìm cực trị ݖൌ ݂ ݔ, ݕ B1 Tính đạo hàm riêng B2 Giải hệ phương trình sau để tìm điểm dừng: ݂௫ ൌ ቊ ݂௬ ൌ B3 Ứng với điểm dừng ݔ , ݕ , đặt: ܣൌ ݂௫௫ ݔ , ݕ ; ܤൌ ݂௫௬ ݔ , ݕ ; ܥൌ ݂௬௬ ݔ , ݕ ∆ൌ ܤଶ െ ܥܣ B4 Xét dấu ∆ ܣđể kết luận: ∆ 0: Hàm số không đạt cực trị ݔ , ݕ ∆൏ 0, ܣ 0: Hàm số đạt cực tiểu ݔ , ݕ ∆൏ 0, ܣ൏ 0: Hàm số đạt cực đại ݔ , ݕ ∆ൌ 0: Chưa kết luận ݔ , ݕ Ví dụ 3.3.1: Tìm cực trị hàm số ݂ ݔ, ݕൌ ሺ ݔെ 1ሻଶ 2 ݕଶ Ví dụ 3.3.2: Tìm cực trị hàm số ݂ ݔ, ݕൌ ݔଷ ݕଷ െ 6ݕݔ 10 Ứng dụng 4.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện cạnh tranh hồn hảo Giả sử có xí nghiệp sản xuất hai sản phẩm Gọi: ଵ , ଶ : giá sản phẩm, ܳଵ , ܳଶ : lượng cung, ܶ ܥൌ ܶܳ ܥଵ , ܳଶ : hàm tổng chi phí Hãy định mức sản lượng ܳଵ , ܳଶ để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Ví dụ 3.3.3: Tìm cực trị hàm số ݂ ݔ, ݕൌ 2 ݔସ ݕସ െ ݔଶ െ 2 ݕଶ Cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (xem tài liệu) 11 12 12/19/2016 Phương pháp giải: Điều kiện vể mức sản lượng: ܳଵ 0, ܳଶ Doanh thu: ଵ ܳଵ ଶ ܳଶ Lợi nhuận: ߨ ൌ ܴܶ െ ܶ ܥൌ ଵ ܳଵ ଶ ܳଶ െ ܶܥሺܳଵ , ܳଶ ሻ Ví dụ 4.1.1: Một xí nghiệp sản xuất hai sản phẩm với đơn giá thị trường ଵ ൌ 56, và ଶ ൌ 40 Hàm tổng chi phí ܶ ܥൌ 2ܳଵଶ 2ܳଵ ܳଶ ܳଶଶ Hãy định mức sản lượng ܳଵ , ܳଶ để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Để đạt lợi nhuận cao cần xác định mức sản lượng ܳଵ , ܳଶ dương cho ߨ đạt cực đại 13 4.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện sản xuất độc quyền Giả sử xí nghiệp sản xuất hai sản phẩm Hàm cầu sản phẩm: ܳௗభ ൌ ܦଵ ଵ , ଶ , ܳௗమ ൌ ܦଶ ଵ , ଶ Mức sản lượng: ܳଵ , ܳଶ Đơn giá hai loại sản phẩm thị trường: ଵ , ଶ 14 Phương pháp giải: Điều kiện mức sản lượng: ܳଵ 0, ܳଶ Do sản xuất độc quyền, nên để tiêu thụ hết sản phẩm xí nghiệp bán với đơn giá ଵ , ଶ cho ܳௗ ൌ ܳଵ ܦ, ൌ ܳଵ ൝ భ ⇔ቊ ଵ ଵ ଶ ܳௗమ ൌ ܳଶ ܦଵ ଵ , ଶ ൌ ܳଶ Giải hệ ta được: Xác định mức sản lượng ܳଵ , ܳଶ để lợi nhuận max 15 Khi đó: Doanh thu: ܴܶ ൌ ଵ ܳଵ , ܳଶ ܳଵ ଶ ܳଵ , ܳଶ ܳଶ Lợi nhuận: ߨ ൌ ܴܶ െ ܶܥ ൌ ଵ ܳଵ , ܳଶ ܳଵ ଶ ܳଵ , ܳଶ ܳଶ െ ܶܳ ܥଵ , ܳଶ Để đạt lợi nhuận cao cần xác định mức sản lượng ܳଵ , ܳଶ dương cho ߨ đạt cực đại 17 ቊ ଵ ൌ ଵ ሺܳଵ , ܳଶ ሻ ଶ ൌ ଶ ሺܳଵ , ܳଶ ሻ 16 Ví dụ 4.1.2: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai sản phẩm với hàm cầu là: 1230 െ 5ଵ ଶ ܳௗభ ൌ 14 1350 ଵ െ 3ଶ ܳௗమ ൌ 14 Hàm tổng chi phí: ܶ ܥൌ ܳଵଶ ܳଵ ܳଶ ܳଶଶ Hãy tìm mức sản lượng ܳଵ , ܳଶ để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao 18 12/19/2016 Tài liệu tham khảo: Lê Trường Nhật, Bài giảng Toán kinh tế Đan Đình Trúc, Bài giảng Tốn kinh tế Nguyễn Tấn Bình, Tốn tài ứng dụng, NXB Thống kê, 2007 Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, 2nd, Routledge, 2003 19 ... đạt cực đại ݔ , ݕ ∆ൌ 0: Chưa kết luận ݔ , ݕ Ví dụ 3.3 .1: Tìm cực trị hàm số ݂ ݔ, ݕൌ ሺ ݔെ 1ሻଶ 2 ݕଶ Ví dụ 3.3 .2: Tìm cực trị hàm số ݂ ݔ, ݕൌ ݔଷ ݕଷ െ 6ݕݔ 10...12/19/2016 Cực trị hàm hai biến Định nghĩa 3.3 .1: Xét hàm số ݖൌ ݂ሺݔ, ݕሻ xác định ݔ , ݕ Ta nói: i ݂ ݔ, ݕđạt cực đại ሺݔ... ܥଵ , ܳଶ : hàm tổng chi phí Hãy định mức sản lượng ܳଵ , ܳଶ để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Ví dụ 3.3 .3: Tìm cực trị hàm số ݂ ݔ, ݕൌ 2 ݔସ ݕସ െ ݔଶ െ 2 ݕଶ Cực trị có điều kiện, giá
Ngày đăng: 09/12/2017, 01:40
Xem thêm:
