Đang tải... (xem toàn văn)
Slide_Chuong 2. (tt) UD_ Vi tich phan ham mot bien tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...
11/28/2016 Lãi suất tương đương Lãi suất ݎvà ݎ′ gọi tương đương khoảng thời gian phương thức tính lãi, tiền lãi có Lãi suất trung bình ~ lãi suất thay cho ݉ mức lãi suất khác ݉ giai đoạn khác cho tiền lãi có khơng đổi Phương thức lãi đơn Gọi lãi suất thời gian tương ứng với giai đoạn thứ ݅ là ݎ ݊ Khi đó, lãi suất trung bình ࢘ത cho khoản đầu tư có ݉ giai đoạn là: ࢘ത ൌ ∑ ࢘ ࢘ ⋯ ࢘ ୀ ࢘ ൌ ∑ୀ ⋯ Ví dụ 2.2.6: Ngân hàng cho doanh nghiệp vay khoản tiền ngắn hạn với phương thức lãi đơn thay đổi sau: • Giai đoạn 1: Thời gian vay 68 ngày, lãi suất 1,5%/tháng • Giai đoạn 2: Thời gian vay 112 ngày, lãi suất 1,7%/tháng • Giai đoạn 3: Thời gian vay 45 ngày, lãi suất 1,9%/tháng Khi đáo hạn, ngân hàng thu khoản tiền lãi 37.790.000 đồng Hãy tìm số tiền ngân hàng cho vay? Phương thức lãi kép Gọi lãi suất thời gian tương ứng với giai đoạn thứ ݅ là ݎ ݊ Khi đó, lãi suất trung bình ࢘ത cho khoản đầu tư có ݉ giai đoạn là: ഥൌ ࢘ ࢘ ࢘ … ࢘ శ శ⋯శ Ví dụ 2.2.7: Ngân hàng cho doanh nghiệp vay 300.000.000 đồng với phương thức lãi kép với lãi suất thay đổi sau: • Giai đoạn 1: Thời gian vay 68 ngày, lãi suất 1,5%/tháng • Giai đoạn 2: Thời gian vay 112 ngày, lãi suất 1,7%/tháng • Giai đoạn 3: Thời gian vay 45 ngày, lãi suất 1,9%/tháng Khi đáo hạn, ngân hàng thu số tiền bao nhiêu? െ Chuỗi tiền tệ ~ chuỗi khoản tiền phát sinh sau kì hạn (các khoản đầu tư sử dụng phương thức tính lãi kép) Chuỗi tiền tệ hình thành đủ yếu tố: + Số lượng kì hạn: ݊ + Số tiền phát sinh kì hạn: ܽଵ , ܽଶ , … , ܽ + Lãi suất: ݎ Chuỗi tiền tệ thực với mục đích góp dần để tích lũy khoản vốn hay trả dần khoản nợ 11/28/2016 Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ: n F = ∑ (1 + r )n −i = a1.(1 + r )n −1 + a2 (1 + r )n −2 + + an i =1 Giá trị chuỗi tiền tệ: n P = ∑ (1 + r )−i = a1.(1 + r )−1 + a (1 + r )−2 + + a n (1 + r )−n i =1 Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ tổng ݊ số hạng đầu cấp số nhân giá trị tương lai số tiền phát sinh kì: ࡲ ൌ ࢇ Chuỗi tiền tệ ~ chuỗi mà số tiền phát sinh kì hạn nhau: ࢇ ൌ ࢇ ൌ ⋯ ࢇ ൌ ࢇ Giá trị tương lai số tiền phát sinh kì hạn cấp số nhân với: + Cơng bội ൌ /ሺ ࢘ሻ + Số hạng đầu tiên: ࢛ ൌ ࢇ ࢘ ି + Số hạng tổng quát kì thứ ݇: ࢛ ൌ ࢇ ࢘ ି Ví dụ 2.2.8: Tìm giá trị tương lai dòng tiền 500 triệu đồng ghép lãi hàng năm thời hạn năm với lãi suất 10% ࢘ െ ࢘ Ví dụ 2.2.9: Bạn định dành dụm cuối năm để gửi ngân hàng số tiền 10 triệu đồng năm, liên tục 10 năm Ngân hàng tính lãi suất cho bạn sau: 10% cho năm đầu 12% cho năm 15% cho năm cuối (a) Sau 10 năm bạn có để mua nhà? (b) Tổng số tiền lãi cho 10 năm bao nhiêu? 11 10 Giá trị số tiền phát sinh kì cấp số nhân với + Công bội ൌ ࢘ + Số hạng kì đầu tiên: ࢛ ൌ ࢇ ࢘ ି + Số hạng tổng quát kì thứ ݇: ܓܝൌ ࢇ ࢘ ି ି 12 11/28/2016 Giá trị chuỗi tiền tệ tổng ݊ số hạng đầu cấp số nhân giá trị số tiền phát sinh kì: െ ࢘ ି ࡼ ൌ ࢇ ࢘ Ví dụ 2.2.10: Một người mua máy giặt cách trả góp 12 kì vào cuối tháng với số tiền triệu đồng, với lãi suất 0,8%/tháng Vậy người mua máy giặt với giá bao nhiêu? 13 Ví dụ 2.2.11: Cần số tiền 104,6 triệu sau năm để mua lại xe cũ từ lời hứa đồng nghiệp, bạn phải gửi tiết kiệm từ tháng số tiền ngân hàng trả lãi suất 12%/năm 14 Ví dụ 2.2.12: Ta xem xét tốn sau: Xác định giá trị phát sinh kì chuỗi tiền tệ có kì hạn, lãi suất áp dụng cho kì 2,2% Biết giá chuỗi tiền tệ 20 triệu đồng Hiện giá chuỗi tiền tệ có 12 kì hạn 40 triệu đồng với phát sinh kì hạn triệu đồng Hãy xác định lãi suất ݎáp dụng cho kì khoản? 15 Xác định số kì hạn ݊ chuỗi tiền tệ có phát sinh kì triệu đồng, lãi suất áp dụng cho kì hạn 4% giá 20 triệu đồng Nam muốn vay khoản tiền 100 triệu đồng để mua xe, ngân hàng đề nghị Nam hai phương thức trả lãi sau: Trả vòng năm với lãi suất 0.9%/tháng Trả vòng năm với lãi suất 0,8%/tháng Hãy cho biết số tiền Nam phải trả tháng phương thức? 17 16 Đạo hàm 18 11/28/2016 • Nếu ݂ có đạo hàm ݔ ta nói ݂ khả vi (differentiable) • Ta xem ݂ ᇱ hàm số theo ݔxác định ݂ ݔ݄ െ݂ ݔ ݂ ᇱ ݔൌ lim → ݄ • Nếu hàm số có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai ݂ ký hiệu ݂ ᇱᇱ • Tổng qt, ݂ có đạo hàm cấp ݊ ݂ đạo hàm cấp ݊ định nghĩa ᇱ ݂ ାଵ ݔൌ ݂ ݔ • Đạo hàm ݂ ݔcòn ký hiệu ݂݀ ݀ ݂ᇱ ൌ ൌ ݂ ݀ݔ݀ ݔ • Ta ký hiệu đạo hàm ݔൌ ܽ ݂݀ ݀ ݂ᇱ ܽ ൌ ݂ᇱ ݔቚ ൌ ቤ ൌ ݂ ݔቤ ௫ୀ ݀ ݔ௫ୀ ݀ݔ ௫ୀ • Các đạo hàm cấp cao ký hiệu ݀ଶ ݂ ݀ଶ ݂ ᇱᇱ ൌ ଶ ൌ ଶ ݂ ݀ݔ ݀ݔ ݀ ݂ ݀ ݂ ൌ ൌ ݂ ݀ݔ ݀ݔ 19 20 Các quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp Ví dụ 2.2.13: a) Tính đạo hàm hàm số ݔ ݂ ݔൌ ln ݔ b) Tính đạo hàm cấp hai hàm số 21 ݂ ݔൌ 2 ݔଷ െ 2 ݔ 22 Định lý 2.1 Đạo hàm hàm hợp Nếu ݂ ݑkhả vi ݑൌ ݃ ݔvà ݃ ݔkhả vi ݔthì hàm hợp ݂ ∘ ݃ ݔൌ ݂ ݃ ݔcũng khả vi ݔvà ᇱ ݂∘݃ ᇱ ݔൌ ݂ ݃ ݔ ൌ ݂ ᇱ ݃ ݃ · ݔᇱ ݔ 23 24 11/28/2016 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ví dụ 2.2.14: a) Tính đạo hàm hàm số ݂ ݔൌ ݔଶ െ 3 ݔ ݃ ݔൌ lnଷ ݔ ݄ ݔൌ 5 ݔସ 2 ݔଷ െ 3 ݔଶ Hàm số ݂ ݔđạt giá trị lớn (hay cực đại toàn cục – global maximum – absolute maximum) điểm ܿ thuộc miền xác định ܦ ݂ ݂ ݔ ݂ ܿ với ܦ ∈ ݔ Hàm số ݂ ݔđạt giá trị nhỏ (hay cực tiểu toàn cục – global minimum – absolute minimum) điểm ܿ thuộc miền xác định ܦ ݂ ݂ ݔ ݂ ܿ với ܦ ∈ ݔ b) Tính đạo hàm cấp hai hàm số ݕൌ sin ݔଶ ݁ ௫ 25 lo 26 27 28 29 30 11/28/2016 31 32 33 34 Cực trị địa phương • Cực trị (địa phương hay tồn cục) ݂ xảy loại điểm sau • Điểm miền xác định ݂ ᇱ ൌ • Điểm miền xác định ݂ ᇱ không xác định • Điểm biên miền xác định • Nếu ܿ điểm miền xác định ݂ ᇱ ܿ ൌ ݂ ᇱ ܿ không tồn ta nói ܿ điểm tới hạn (critical point) ݂ • Để tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục ݂ • Tình giá trị ݂ điểm tới hạn điểm biên • Lấy giá trị lớn nhỏ giá trị nói 35 36 11/28/2016 Ví dụ 2.2.15: a) Tìm GTLN, GTNN hàm số ݂ ݔൌ 10 ݔ2 െ ln ݔtrên khoảng 1, ݁ ଶ b) Tìm GTLN, GTNN hàm số ݂ ݔൌ ି ݁ݔ௫ khoảng െ2,0 c) Tìm GTLN, GTNN hàm số ݂ ݔൌ khoảng െ2,3 య మ ା௫ ݔଶ 37 38 Tìm cực trị địa phương Sự đơn điệu hàm số Cho hàm số ݂ liên tục ܽ, ܾ khả vi ܽ, ܾ - Nếu ݂ ᇱ ݔ 0, ∀ܽ ∈ ݔ, ܾ ݂ tăng ܽ, ܾ - Nếu ݂ ᇱ ݔ൏ 0, ∀ܽ ∈ ݔ, ܾ ݂ giảm ܽ, ܾ 39 Ví dụ 2.2.16: a) Tìm cực trị địa phương ݂ ݔൌ ݔଶ െ ݁ ௫ b) Tìm cực trị địa phương ݂ ݔൌ య ݔ ݔെ • Cho ܿ điểm tới hạn hàm số liên tục ݂ giả sử ݂ khả vi khoảng mở chứa ܿ (có thể ngoại trừ ܿ) • Khi di chuyển từ trái sang phải điểm ܿ • Nếu ݂ ᇱ đổi dấu từ âm sang dương ܿ cực tiểu địa phương • Nếu ݂ ᇱ đổi dấu từ dương sang âm ܿ cực đại địa phương • Nếu ݂ ᇱ khơng đổi dấu (nghĩa ݂ ᇱ dương hai bên âm hai bên điểm ܿ) ܿ khơng phải cực trị địa phương 40 Định lý: Cho ݂ሺݔሻ hàm số có đạo hàm bậc hai ሺܽ, ܾ) Khi đó: 1) Nếu ݂ ᇱᇱ ݔ ൏ ݂ ᇱ ݔ ൌ ݂ሺݔሻ đạt cực đại địa phương ݔ 2) Nếu ݂ ᇱᇱ ݔ ݂ ᇱ ݔ ൌ ݂ሺݔሻ đạt cực tiểu địa phương ݔ 41 42 11/28/2016 ଷ Ví dụ 2.2.17: Cho ݂ ݔൌ ݔସ െ ݔଶ െ ݔ 3, hãy ଶ tìm cực trị địa phương ݂ሺݔሻ 0,2 Ứng dụng đạo hàm kinh tế Một số khái niệm: Doanh thu doanh thu biên Gọi : giá hang hóa, ܳ௦ : lượng cung, ܳௗ : lượng cầu Khi đó, (tổng) doanh thu TR (Total Revenue) sản phẩm: ࢀࡾ ൌ ࡽ࢙ ሺࡽ࢙ ࡽࢊ ሻ 43 Ta xem ࢀࡾ ൌ ࢌሺࡽ࢙ ሻ Khi đó, đạo hàm ࢀࡾ theo ࡽ࢙ gọi doanh thu biên – MR (Marginal Revenue) ࢊࢀࡾ ൌ ࢀࡾ′ ࢊࡽ࢙ Doanh thu biên ܴܯcủa hàng hóa phần tăng (hoặc giảm) doanh thu lượng cung có thay đổi nhỏ (tăng giảm) ࡹࡾ ൌ 44 Ví dụ 2.2.18: Hãy tìm doanh thu biên ܴܯcủa loại hàng hóa, biết lượng cầu hàng hóa thị trường cho hàm ܳௗ ൌ 800 െ 2 45 Tổng chi phí ࢀ (Total Cost) Chi phí biên ࡹ (Marginal Cost) ࡹ ൌ ࢀ′ Ví dụ 2.2.19: Chi phí sản xuất doanh nghiệp cho ହொయ 46 Hàm chi phí tổng quát: ࢀ ൌ ࢇࡽ࢙ ࢈ࡽ࢙ ࢉࡽ࢙ ࢊ Điều kiện: ࢇ, ࢉ, ࢊ , ࢈ ൏ , ࢈ ൏ ࢇࢉ hàm ܶ ܥൌ ೞ െ 13ܳ௦ଶ 50ܳ௦ 12 Hãy cho biết ଶ chi phí biên doanh nghiệp trên? 47 48 11/28/2016 Xét trường hợp (TH) sau: TH1: Doanh nghiệp sản xuất điều kiện cạnh tranh hoàn hảo: Giá do thị trường định không phụ thuộc vào sản lượng doanh nghiệp Tối ưu hóa lợi nhuận Gọi ܴܶ : doanh thu, ܶܥ: chi phí Khi đó, lợi nhuận ࣊ ൌ ࢀࡾ െ ࢀ Lưu ý: Hàm lợi nhuận ߨ cũng phụ thuộc vào ܳ௦ Bài tốn: Tìm lượng cung ࡽ࢙ để lợi nhuận đạt lớn 49 Ví dụ 2.2.19: Một doanh nghiệp sản xuất loại hàng hóa điều kiện cạnh tranh hồn hảo Biết giá hàng hóa thị trường ൌ 130 tổng chi phí để sản xuất hang hóa cho ܶ ܥൌ ܳ௦ଷ െ ܳ௦ଶ 10ܳ௦ 20 Hãy tìm mức sản lượng ሺܳ௦ ሻ để lợi nhuận đạt lớn nhất? Tìm lợi nhuận lớn nhất? 51 Xét trường hợp doanh nghiệp bị đánh thuế doanh thu Gọi ܶ tổng số thuế doanh nghiệp phải trả, ݐmức tiền thuế tính sản phẩm Khi đó, ࢀ ൌ ࢚ࡽ࢙ 53 50 TH2: Doanh nghiệp sản xuất điều kiện độc quyền: Giá của hàng hóa doanh nghiệp định Lượng cầu ܳௗ người tiêu dung định phụ thuộc vào Ví dụ 2.2.20: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại hàng hóa Biết hàm cầu sản phẩm ܳௗ ൌ 1200 െ hàm tổng chi phí để đạt mức sản lượng ܳ௦ ܶ ܥൌ 0.25ܳ௦ଷ െ 30.625ܳ௦ଶ 1528.5ܳ௦ 20000 Tìm mức sản lượng giá bán để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất? 52 Ví dụ 2.2.21: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại hàng hóa Biết hàm cầu hàng hóa ܳௗ ൌ 800 െ Chi phí sản xuất cho hàm ܶ ܥൌ ܳௌଶ 200ܳௌ 100 a) Doanh nghiệp ấn định mức sản lượng để lợi nhuận sau thuế lớn nhất? b) Hãy tìm mức thuế doanh thu tính đơn vị sản phẩm để tổng tiền thuế thu từ doanh nghiệp lớn nhất? c) Nhu cầu xã hội cần tối thiểu 125 đơn vị sản phẩm doanh nghiệp Vậy mức thuế tối đa tính bao nhiêu? 54 11/28/2016 Tài liệu tham khảo: Lê Trường Nhật, Bài giảng Tốn kinh tế Đan Đình Trúc, Bài giảng Tốn kinh tế Nguyễn Tấn Bình, Tốn tài ứng dụng, NXB Thống kê, 2007 Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, 2nd, Routledge, 2003 55 10 ... Ví dụ 2.2 .13: a) Tính đạo hàm hàm số ݔ ݂ ݔൌ ln ݔ b) Tính đạo hàm cấp hai hàm số 21 ݂ ݔൌ 2 ݔଷ െ 2 ݔ 22 Định lý 2.1 Đạo hàm hàm hợp Nếu ݂ ݑkhả vi ݑൌ ݃ ݔvà ݃ ݔkhả vi ... ൌ ࢇ ࢘ Ví dụ 2.2 .10: Một người mua máy giặt cách trả góp 12 kì vào cuối tháng với số tiền triệu đồng, với lãi suất 0,8%/tháng Vậy người mua máy giặt với giá bao nhiêu? 13 Ví dụ 2.2 .11: Cần số... quát kì thứ ݇: ࢛ ൌ ࢇ ࢘ ି Ví dụ 2.2 .8: Tìm giá trị tương lai dòng tiền 500 triệu đồng ghép lãi hàng năm thời hạn năm với lãi suất 10% ࢘ െ ࢘ Ví dụ 2.2 .9: Bạn định dành dụm cuối năm để gửi