Giai bai tap giai tich lop 12 chuong 3 bai 3 ung dung cua tich phan trong hinh hoc

TRƯỜNG CĐN QUY NHƠN BÀI GIẢNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Năm học 2011 - 2012 BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5. 5 1 I = (2x + 1)dx ∫ Giải: Ta có (đvdt) và (AD + BC).CD S = =28 2 5 2 1 = 28 I = (x +x) a) Dùng công thức hình học tính diện tích hp. b) Tính tích phân sau o BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Bài toán: Tính diện tích hp ' y = f(x) lt u c/[a;b] y = 0 x = a; x = b      o a y = f(x) x y b S y = - f(x) B’ A’ x o a b y y = f(x) S B A S’ - Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì b a S = f(x).dx ∫ - Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì [ ] b a S = S' = -f(x) .dx ∫ - Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d] thì [ ] 1 2 3 c d b a c d S = S + S + S = f(x).dx + -f(x) .dx + f(x).dx ∫ ∫ ∫ b a c d b a c d f(x) f(x) f(x f(x) .dx) = dx + dx + dx = ∫ ∫ ∫ ∫ b a = f(x) dx ∫ b a = f(x) dx ∫ b a S = f(x) dx⇒ ∫ 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Bài toán: Tính diện tích hp ' y = f(x) lt u c /[a;b] y = 0 x = a; x = b      o a y = f(x) x y b S b a S = f(x) dx⇒ ∫ Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn bởi 3 y = x y = 0 x = -1; x = 2      Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối 2 3 -1 . S = x dx ∫ 0 2 3 3 -1 0 ( - x ).dx + x .dx= ∫ ∫ 4 4 0 2 1 0 17 | | 4 4 4 x x − = − + = (đvdt) BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Bài toán: Tính diện tích hình phẳng 1 2 ' ' uc/ uc/ [a;b] [a;b] y = f (x) lt y = f (x) lt x = a; x = b        BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Bài toán: Tính diện tích hình phẳng 1 2 ' ' uc/ uc/ [a;b] [a;b] y = f (x) lt y = f (x) lt x = a; x = b        - Xét TH f 1 (x) ≥ f 2 (x) ≥ 0 x  [a;b]. Khi đó S = S 1 - S 2 b b b 1 2 1 2 a a a f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx = ∫ ∫ ∫ b 1 2 a S = f (x) - f (x).dx⇒ ∫ Chúng ta có thể tính S thông qua S 1 và S 2 không? Và tính như thế nào? b 1 2 a f (x) - f (x).dx= ∫ BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Bài toán: Tính diện tích hình phẳng 1 2 ' ' uc/ uc/ [a;b] [a;b] y = f (x) lt y = f (x) lt x = a; x = b        Chú ý về cách tính: - Giải pt f 1 (x) = f 2 (x) (f 1 (x) - f 2 (x) = 0) [a;b] x c x d    = ⇔ ∈ = - Tách tích phân thành b c d b 1 2 1 2 1 2 1 2 a a c d S = f (x) - f (x).dx = f (x) - f (x)dx + f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x) dx ∫ ∫ ∫ ∫ c d b 1 2 1 2 1 2 a c d = [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx ∫ ∫ ∫ Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng: b 1 2 a S = f (x) - f (x).dx⇒ ∫ 1 2 2 2 (x) (x) = = - 4x +1 - 3x + 3 y = f x x = 0; x = y = 3 f 2x      BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Bài toán: Tính diện tích hình phẳng 1 2 ' ' uc/ uc/ [a;b] [a;b] y = f (x) lt y = f (x) lt x = a; x = b        Ví dụ: Tính diện tích hp: b 1 2 a S = f (x) - f (x).dx⇒ ∫ 1 2 2 2 (x) (x) = = - 4x +1 - 3x + 3 y = f x x = 0; x = y = 3 f 2x      Giải: - Ta có f 1 (x) - f 2 (x) = x 2 - x - 2 = 0 x = -1 [0;3] x = 2 (t/m)    ∉ ⇔ - Ta có 2 3 Giải tập Giải Tích lớp 12 chương Bài 3: Ứng dụng tích phân hình học Hướng dẫn giải tập lớp 12 chương Bài 3: Ứng dụng tích phân hình học Bài (Hướng dẫn giải trang 123 SGK Giải tích 12 bản) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y = X2, y = x + 2; b) y = |lnx|, y = 1; c) y = (x – 6)2, y = 6x– x2 Hướng dẫn giải : a) Phương trình hoành độ giao điểm f(x) = X2 – x – =0 ⇔ x = -1 x = Diện tích hình phẳng cần tìm : b) Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = – ln|x| = ⇔ lnx = ± Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam ⇔ x = e x = 1/e y = ln|x| = lnx lnx ≥ tức x ≥ y = ln|x| = – lnx x < 0, tức < x < Dựa vào đồ thị hàm số vẽ hình ta có diện tích cần tìm : Ta có ∫lnxdx = xlnx – ∫dx = xlnx – x + C, thay vào ta : c) Phương trình hoành độ giao điểm là: f(x) = 6x – x2 – (x – 6)2 = -2(x2 – 9x +18) f(x) = ⇔ -2(x2 – 9x +18) ⇔ x = x = Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Diện tích cần tìm là: Bài (Hướng dẫn giải trang 123 SGK Giải tích 12 bản) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 +1, tiếp tuyến với đường thẳng điểm M(2;5) trục Oy Hướng dẫn giải: HD: Phương trình tiếp tuyến y = 4x – Phương trình hoành độ giao điểm x2 +1 = 4x – ⇔ x2 – 4x + = ⇔ x = Do diện tích phải tìm là: Bài (Hướng dẫn giải trang 123 SGK Giải tích 12 bản) Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Parabol chia hình tròn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2√2 thành hai phần Tìm tỉ số diện tích chúng Hướng dẫn giải: HD: Đường tròn cho có phương trình x2 + y2 = Từ ta có: y = ± Gọi S diện tích phần tô xám hình bên : Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Bài (Hướng dẫn giải trang 123 SGK Giải tích 12 bản) Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = – x2 , y = ; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π ; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x = π; Hướng dẫn giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm – x2 = ⇔ x = ±1 Thể tích cần : b) Thể tích cần tìm : Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam tìm c) Thể tích cần tìm : Bài (Hướng dẫn giải trang 123 SGK Giải tích 12 bản) Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trục Ox Đặt OM = R, Gọi V khối tròn xoay thu quay tam giác xung quanh Ox (H.63) a) Tính thể tích V theo α R b) Tìm α cho thể tích V lớn Hướng dẫn giải : a) Hoành độ điểm P : xp = OP = OM cos α = R.cosα Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Phương trình đường thẳng OM y = tanα.x Thể tích V khối tròn xoay là: b) Đặt t = cosα => t ∈ [1/2;1] (vì α ∈ [0;π/3]), α = arccos t Ta có : Ta có bảng biến thiên: Từ suy V(t) lớn ⇔ Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Company LOGO CHÀO MỪNG CÁC EM ĐÃ ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI ! CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG TRONG HỌC TẬP ! www.company.com ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Thể tích vật thể hình học ● Diện tích hình phẳng y A M B N x b a Khi x chạy từ a đến b MN = f(x) “quét” nên diện tích S hình phẳng aABb b S   f ( x)dx x ( f(x)≥0, x[a,b] ) a 1/ Thể tích vật thể hình học y Khi x chạy từ a đến b diện tích S(x) “quét” nên thể tích V vật thể b x O a x V   S ( x)dx ( S(x) liên tục [a,b] ) a b S(x) 2/ Thể tích khối chóp, khối nón Xét khối chóp (khối nón) đỉnh O, diện tích đáy S, chiều cao OI = h Chọn trục Ox hướng theo chiều từ O đến I S ( x) x  (0  x  h) S h O O Do M H N h S V h h x  dx h S x  h D C  Sh I I M A B 3/ Thể tích khối chóp cụt, khối nón Xét khối chóp cụt (khối nón cụt) có diện tích hai đáy S S’, chiều cao II’=h Chọn trục Ox theo hướng từ O đến I Đặt OI=a, OI’=b b-a=h S ( x) x  (a  x  b) Do S b O b O V M H N  h D C I I M A B b S x S  x dx b2 b a  a S 3 b a   3b S 2 ( b  a )( b  ab  a ) 3b hS  a a2   \  1     vi  b b    h  S  S S /  S /  S/ a    S b  4/ Thể tích vật thể tròn xoay Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y=f(x), y=0, x=a, x=b quay quanh trục Ox taọ thành vật thể tròn xoay (T) y Tính thể tích (T) f ( x) x O x a b y Thiết diện (T) mặt phẳng vuông góc với Ox hình tròn có bán kính R=f(x) nên diện tích thiết diện S(x) = [f(x)]2 Do thể tích khối tròn xoay (T) là: y  f ( x) b V    [ f ( x)]2 dx f ( x) a x O a x b b V    y dx a 5/ Thể tích khối cầu y Khối cầu bán kính R khối tròn xoay tạo thành quay hình tròn giới hạn đường tròn x -R O R (C ) : x  y  R2 quanh trục Ox Do tích là: R R R R V    y dx    ( R  x )dx R  x   R3     R x      2R    R      R3 M R H S 6/ Ví dụ: Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay hình giới hạn bởi: a) y  e , y  0, x  1, x  x y b) quanh trục Ox x , y  2, y  4, x  quanh trục Oy y Quay quanh Ox: b V    y dx a x Quay quanh Oy: O b V    (e ) dx x 1  2x   1  e   e   (dvtt ) 2 e 1 V    x dy a V    ydy   y 2  12 (dvtt ) b b V   S ( x)dx a V    [ f ( x)] dx a Xin trân thành cảm ! BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (PPCT: 58 ) I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong va trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Bài toán: Tính diện tích hp b  S =  f(x) dx a y y = f(x)  y = f(x) liên t u' c /[a;b]   y = ( Ox )  x = a; x = b  S a o A’ - Nếu f(x) ≥ [a;b] S =  f(x).dx =  f(x) dx a - Nếu f(x) ≤ [a;b] S = S' = b  -f(x).dx =  f(x) dx a -Nếu [a;b] pt f(x) = có hai nghiệm x = c, x = d , với a < c < d < b f(x) ≥ [a;c] [d;b], f(x) ≤ [c;d] S = S1 + S2 + S3 a d b c -f(x).dx + d f(x).dx c d b b a c d a =  f(x) dx +  f(x) dx +  f(x) dx   f(x) dx y = - f(x) B’ S’ a b o a S A y = f(x) a =  f(x).dx + x y b b c b b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x) lt u' c /[a;b]  Bài toán: Tính diện tích hp  y = ( Ox )  x = a; x = b  Ví dụ 1: Tính diện tích hp giới hạn y = x3   y = ( Ox )  x = -2; x =  y y = f(x) S b  S =  f(x) dx a o a b x BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y =   y =  x=   f (x) liên t u' c /[a;b] b f (x) liên t u' c /[a;b]  S =  f1(x) - f (x).dx a a; x = b BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong y =  Bài toán: Tính diện tích hình phẳng  y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b]  S = a; x = b b a f1(x) - f (x).dx Chú ý: Nếu x  c - Giải pt f1(x) = f2(x)   [a;b] x  d  (f1(x) - f2(x) = 0) Với ; a < c < d < b - Thì tách tích phân thành b S= c d b a f1(x) - f (x).dx = a f1(x) - f (x)dx + c f1(x) - f (x) dx + d f1(x) - f (x) dx c d b a c d = [f1(x) - f (x)]dx + [f1(x) - f (x)]dx + [f1 (x) - f (x)]dx BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y = cosx , y = sinx đt x = ,x=π Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y  x, y  x Ví dụ Giải cách Ta có: y  x  x  2y y x  x  y2 Giải pt : 2y – y2 = ta nghiệm y = y = Khi đó: S   y  y dy   (2 y  y )dy 2  y   y    0  Tính diện tích hình tròn Elíp y Với hình tròn, ta có: R Ta có: S  4S1  4 R  x dx   Đặt x = Rsint t  0;    /2  S  4R2  2 R S1 R O x cos 2tdt  /2  2R2  1  cos2t  dt  sin 2t   2R2  t      /2   R2 Tóm lại I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x) lt u' c/[a;b]  Bài toán: Tính dt S  y =  x = a; x = b  y = f(x) S b  S =  f(x) dx a o a Hình phẳng giới hạn hai đường cong Bài toán: Tính dt S y =   y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b]  S = a; x = b b a f1(x) - f (x).dx b x BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI TẬP: 1, 2, SGK Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường elip: x2 y   , a > 0, b > a b BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx a  Ví dụ : (2) 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3 -3x va y = x Giải : Xét phương trình: x3 -3x = x  x3 - 4x = x=  x= x= -2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 S=  |x3- 4x|.dx= | (x3- 4x)dx|+| (x3- 4x)dx|   -2 x4 = ( -2x2) | -2 -2 | x4 + ( -2x2) | | | | = |- 4+8 | + | 4-8 | = (đ.v.d.t) 2/ Tính diện tích hình tron x2 + y2 = R2 Giải  y  f ( x )  R2  x (c ) 1 (1)    R  x  R  2  y  f ( x )   R  x (c )  2  x  R f1 ( x )  f2 ( x )    x  R S  R 2 2  R  R  x  R  x dx R R 2 R  x dx    t   , CHNGII: NGDNGCALNGGICTRONGHèNHHC Lnggiỏclmtcụngcmnhtrongtoỏnhc,núcngdngtronggiicỏcdngtoỏn khỏc,inhỡnhnhhỡnhhc,khosỏthms,chngminhbtngthc Cỏcbitpchng nychyunờuranhngvớdvsdngcụngclnggiỏcchngminhnhngbitpkhúv giithiucho cỏcbnmtsbitoỏncbit. Bi1:(nhlýStewart) Cho ABCDl1imtrờncnhBC.tAD=d,BD=m,DC=n.Khiútacúcụngthcsau: (gil h thcStewart): Gii: KngcaoAH xột2tam giỏcABD vACDv theonhlýhmscosin,ta cú: Nhõntngv(1) v(2)theothtvin vm ricngli,ta cú: Do nờnt(3)suyra: nh lýStewartchngminhxong. *M rng: 1.Stewart(1717ư1785)lnhtoỏn hcvthiờnvn hcngiScotland. 2.Nutrongh thcStewartxộtAD lngtrungtuynthỡ th thcStewartcú: (4)chớnhl hthc xỏcnhtrungtuynquenbittrongtam giỏc 3.NutronghthcStewartxộtADlphõngiỏc.Khiútheotớnhchtngphõngiỏctrongta cú: ThthcStewartcú: ư11 Chỳý rng: T(5)v(6)suyra: (7)chớnhl hthc xỏcnhngphõngiỏc Vy,hthcStewartltngquỏthúacahthcxỏcnhngtrungtuynvngphõngiỏc óquenbit. Bi2:Cho ABCgisDvEl2imtrờncnhBCsaocho ngtrũnnitip cỏc ABD v ACEtipxỳcvicnhBCtngng tiMv N.Chngminhrng: Gii: Tacú: Vyngthccnchngminhtngngvingthcsau: (*) t pdngnh lýhmssintrong cỏc ABDv ACE,ta cú: Trong ABEtheonh lýhms sin,ta cú: Tngt: ư12 Thay(3)vo(1) cú: Thay(4)vo(2) cú: Do nờnt(5)v (6)suyra: Trong ABDta cú: Tngt: Túsuyra: (8) T(1)v(2)suyra: pdngnh lýhmscosintrong cỏctamgicasABDv ACEtacú: Tacú: v theo(8)cú (11) Tngttacú: ư13 (12) Thay(11),(12)vo(1) cú: ( ) (13) T(9)v(13)cú (14) T(3)(4) v(14)suyra Haysaukhithay Tacú : (15) Thay(7)vo(15)cú: Hay (*) Vy(*)ỳng vliucnchngminh. Bi3:(nhlớhmscosthnhtvitgiỏc) ã=g AB=a,BC=b,CD ChotgiỏcliABCD,trongú AB = a, BC = b, CD = c, DA = d , ã ABC = b ,BCD =c,DA=d.Chngminhrng: d = a + b + c - ab cos b - 2bc cos g - ac cos( b +g ) Gii: GiK,LtngngltrungimACvBDvMltrungimBC(ChxộtkhiK L,tclkhi ABCDkhụngphilhỡnhbỡnhhnh,vỡnu ABCDlhỡnhbỡnh hnhthỡ b + g = 1800 a = c,b =d v ktluntrờnliuhinnhiờn) Cú2khnngxyra: 1)NuABkhụngsongsongviCD ã = ã Gis AB ầ CD = E => KML AED VitrnghpABctCDvphớatrờn,tacú: ã AED = 1800 - ộở(1800 - b ) + (1800 - g )ựỷ= b + g - 1800 KhiABctCBvphớadi,tacú: ã AED = 1800 - ( b +g ) Trongchaitrnghpucú: cos AED = - cos( b + g ) ư14 Trong D MKL,theonhlớhmssin,tacú: KL2 = MK + Ml - ML.MK cosKML a c a c KL = + +2 cos( b + g ) 4 2 a c ac => KL2 = + + cos ( b +g )(1) 4 2 TheocụngthcEulervitgiỏc,tacú: a + b + c + d - e - f ) ( 2) ( Vi e = AC , f =BD ,thay(2)vo(1): KL2 = a + b + c + d - e - f = a + b + ac cos ( b +g )(3) Liỏpdngnhlớhmscos,tacú: e = a + b - abcos b (4) f = c + b -2bc cos g (5) Thay(4)v(5)vo(3),tacú: d = e + f - b + 2accos( b + g ) = a + b + c - 2ab cos b - 2bc cos g + 2ac cos( b +g ) 2)NuAB//CD Khiú b + g =1800 Vyngthctngngvi: d = a + b + c - cos b ( ab - bc ) - 2ac d = a + b + c - 2b cos b (a - c ) -2ac ( 6) Thtvy,kAE//BC, theonhlớhmscostrong D AEDtacú: d = b + ( c - a ) - 2b ( c - a) cosg = b + c + a - 2b ( c - a )cos b -2ac Vy(6)ỳng.úchớnhlpcm. *Chỳý: 1.NhclicụngthcEulersauõy: ChotgiỏcliABCD,trongú AB = a, BC = b, CD = c, DA = d , AC = e,BD = f GiKvLl trungimACvBD.Khiútacú: KL2 = a + b + c + d - e - f ( ) ChngminhcụngthcEulernhsau: XộttamgiỏcALC,theotớnhchttrungtuyn: LC + 2LA2 - AC2 2 BC + 2CD - BD 2 AB + 2AD - BD2 + 2. - AC2 4 = = ( a + b + c + d - e - f ) KL2 = ư15 úlpcm. 2.Tacúcỏchgiikhỏcchobitoỏntrờnnhsau: Hinnhiờncú: uuur uuur uuur uuur AD = AB + BC + CD uuuruuur uuur uuur uuur uuur AD = AB + BC + CD + AB.BC + AB.CD + BC CD Theonhnghacatớchvụhngsuyra: d = a + b + c - ab cos b - 2bc cos g +2 ac cos ( AB,CD ) Do cos ( AB, CD ) = cos( b +g ) ( uuur uuur ) ( uuur uuur ) (Chỳýl cos AB, BC = cos (1800 - b ) = - cos b , cos BC , CD = cos (1800 - g )= - cos g =>pcm à, gi AH, AP, AM tng ng l ng cao, ng phõn giỏc >C Bi 4: Cho tam giỏc ABC cú B ã=a Chngminhrng: trongvngtrungtuynktA.t MAP tan A B-C =tan a cot 2 Gii: Cỏch1: MB = MC => S ABM = SACM 1 => c AM sin MAB = b AM sinMAC 2 ổA ổ A => c.sin ỗ + a ữ = b.sin ỗ - a ữ (1) ố2 ứ ố ứ Theonhlớhmssin,t(1)tacú: ổA ổ A sin C sin ỗ + a ữ = sin Bsinỗ - a ữ ố2 ứ ố ứ A A A A => sin C sin cos a + sin C cos sin a = sin B sin cos a - sin Bcos sina 2 2 A A => cos sin a ( sin B + sin c ) = sin cos a CHNGII: NGDNGCALNGGICTRONGHèNHHC Lnggiỏclmtcụngcmnhtrongtoỏnhc,núcngdngtronggiicỏcdngtoỏn khỏc,inhỡnhnhhỡnhhc,khosỏthms,chngminhbtngthc Cỏcbitpchng nychyunờuranhngvớdvsdngcụngclnggiỏcchngminhnhngbitpkhúv giithiucho cỏcbnmtsbitoỏncbit. Bi1:(nhlýStewart) Cho ABCDl1imtrờncnhBC.tAD=d,BD=m,DC=n.Khiútacúcụngthcsau: (gil h thcStewart): Gii: KngcaoAH xột2tam giỏcABD vACDv theonhlýhmscosin,ta cú: Nhõntngv(1) v(2)theothtvin vm ricngli,ta cú: Do nờnt(3)suyra: nh lýStewartchngminhxong. *M rng: 1.Stewart(1717ư1785)lnhtoỏn hcvthiờnvn hcngiScotland. 2.Nutrongh thcStewartxộtAD lngtrungtuynthỡ th thcStewartcú: (4)chớnhl hthc xỏcnhtrungtuynquenbittrongtam giỏc 3.NutronghthcStewartxộtADlphõngiỏc.Khiútheotớnhchtngphõngiỏctrongta cú: ThthcStewartcú: ư11 Chỳý rng: T(5)v(6)suyra: (7)chớnhl hthc xỏcnhngphõngiỏc Vy,hthcStewartltngquỏthúacahthcxỏcnhngtrungtuynvngphõngiỏc óquenbit. Bi2:Cho ABCgisDvEl2imtrờncnhBCsaocho ngtrũnnitip cỏc ABD v ACEtipxỳcvicnhBCtngng tiMv N.Chngminhrng: Gii: Tacú: Vyngthccnchngminhtngngvingthcsau: (*) t pdngnh lýhmssintrong cỏc ABDv ACE,ta cú: Trong ABEtheonh lýhms sin,ta cú: Tngt: ư12 Thay(3)vo(1) cú: Thay(4)vo(2) cú: Do nờnt(5)v (6)suyra: Trong ABDta cú: Tngt: Túsuyra: (8) T(1)v(2)suyra: pdngnh lýhmscosintrong cỏctamgicasABDv ACEtacú: Tacú: v theo(8)cú (11) Tngttacú: ư13 (12) Thay(11),(12)vo(1) cú: ( ) (13) T(9)v(13)cú (14) T(3)(4) v(14)suyra Haysaukhithay Tacú : (15) Thay(7)vo(15)cú: Hay (*) Vy(*)ỳng vliucnchngminh. Bi3:(nhlớhmscosthnhtvitgiỏc) ã=g AB=a,BC=b,CD ChotgiỏcliABCD,trongú AB = a, BC = b, CD = c, DA = d , ã ABC = b ,BCD =c,DA=d.Chngminhrng: d = a + b + c - ab cos b - 2bc cos g - ac cos( b +g ) Gii: GiK,LtngngltrungimACvBDvMltrungimBC(ChxộtkhiK L,tclkhi ABCDkhụngphilhỡnhbỡnhhnh,vỡnu ABCDlhỡnhbỡnh hnhthỡ b + g = 1800 a = c,b =d v ktluntrờnliuhinnhiờn) Cú2khnngxyra: 1)NuABkhụngsongsongviCD ã = ã Gis AB ầ CD = E => KML AED VitrnghpABctCDvphớatrờn,tacú: ã AED = 1800 - ộở(1800 - b ) + (1800 - g )ựỷ= b + g - 1800 KhiABctCBvphớadi,tacú: ã AED = 1800 - ( b +g ) Trongchaitrnghpucú: cos AED = - cos( b + g ) ư14 Trong D MKL,theonhlớhmssin,tacú: KL2 = MK + Ml - ML.MK cosKML a c a c KL = + +2 cos( b + g ) 4 2 a c ac => KL2 = + + cos ( b +g )(1) 4 2 TheocụngthcEulervitgiỏc,tacú: a + b + c + d - e - f ) ( 2) ( Vi e = AC , f =BD ,thay(2)vo(1): KL2 = a + b + c + d - e - f = a + b + ac cos ( b +g )(3) Liỏpdngnhlớhmscos,tacú: e = a + b - abcos b (4) f = c + b -2bc cos g (5) Thay(4)v(5)vo(3),tacú: d = e + f - b + 2accos( b + g ) = a + b + c - 2ab cos b - 2bc cos g + 2ac cos( b +g ) 2)NuAB//CD Khiú b + g =1800 Vyngthctngngvi: d = a + b + c - cos b ( ab - bc ) - 2ac d = a + b + c - 2b cos b (a - c ) -2ac ( 6) Thtvy,kAE//BC, theonhlớhmscostrong D AEDtacú: d = b + ( c - a ) - 2b ( c - a) cosg = b + c + a - 2b ( c - a )cos b -2ac Vy(6)ỳng.úchớnhlpcm. *Chỳý: 1.NhclicụngthcEulersauõy: ChotgiỏcliABCD,trongú AB = a, BC = b, CD = c, DA = d , AC = e,BD = f GiKvLl trungimACvBD.Khiútacú: KL2 = a + b + c + d - e - f ( ) ChngminhcụngthcEulernhsau: XộttamgiỏcALC,theotớnhchttrungtuyn: LC + 2LA2 - AC2 2 BC + 2CD - BD 2 AB + 2AD - BD2 + 2. - AC2 4 = = ( a + b + c + d - e - f ) KL2 = ư15 úlpcm. 2.Tacúcỏchgiikhỏcchobitoỏntrờnnhsau: Hinnhiờncú: uuur uuur uuur uuur AD = AB + BC + CD uuuruuur uuur uuur uuur uuur AD = AB + BC + CD + AB.BC + AB.CD + BC CD Theonhnghacatớchvụhngsuyra: d = a + b + c - ab cos b - 2bc cos g +2 ac cos ( AB,CD ) Do cos ( AB, CD ) = cos( b +g ) ( uuur uuur ) ( uuur uuur ) (Chỳýl cos AB, BC = cos (1800 - b ) = - cos b , cos BC , CD = cos (1800 - g )= - cos g =>pcm à, gi AH, AP, AM tng ng l ng cao, ng phõn giỏc >C Bi 4: Cho tam giỏc ABC cú B ã=a Chngminhrng: trongvngtrungtuynktA.t MAP tan A B-C =tan a cot 2 Gii: Cỏch1: MB = MC => S ABM = SACM 1 => c AM sin MAB = b AM sinMAC 2 ổA ổ A => c.sin ỗ + a ữ = b.sin ỗ - a ữ (1) ố2 ứ ố ứ Theonhlớhmssin,t(1)tacú: ổA ổ A sin C sin ỗ + a ữ = sin Bsinỗ - a ữ ố2 ứ ố ứ A A A A => sin C sin cos a + sin C cos sin a = sin B sin cos a - sin Bcos sina 2 2 A A => cos sin a ( sin B + sin c ) = sin cos a ... Bài (Hướng dẫn giải trang 1 23 SGK Giải tích 12 bản) Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trục Ox Đặt OM = R, Gọi V khối tròn xoay thu quay tam giác xung quanh Ox (H. 63) a) Tính thể tích V theo... điểm x2 +1 = 4x – ⇔ x2 – 4x + = ⇔ x = Do diện tích phải tìm là: Bài (Hướng dẫn giải trang 1 23 SGK Giải tích 12 bản) Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Parabol chia hình tròn có tâm gốc tọa độ, bán... tích phần tô xám hình bên : Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam Bài (Hướng dẫn giải trang 1 23 SGK Giải tích 12 bản) Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: