CM T TH THUANTUY Các bài toán đẳng thức tổ hợp không sử dụng công cụ "Đạo hàm" và "Tích phân"

CÁC BÀI TỐN ĐẲNG THỨC TỔ HỢP KHƠNG SỬ DỤNG CƠNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN Đối với học sinh lớp 11, em chưa tiếp cận công cụ “Đạo hàm”, “Tích phân” việc chứng minh số tốn tổ hợp khó khăn Chun mục nhỏ giúp em có định hướng kỹ cần thiết giải toán loại I/ Các kiến thức 1/ Công thức tổ hợp: Cho �k �n, n �N ta có Cnk  n! k !(n  k )! 2/ Hai đẳng thức tổ hợp thường dùng a) Cnk  Cnn  k n, k  N , k ; n k 1 k k b) Cn 1  Cn 1  Cn ; k , n �N ; k  �n 3/ Một số khai triển Newton thường dùng n a) ( x  1) n  �Cnk x n k k 0 n b.) (1  x) n  �Cnk x k k 0 n c.) ( x  1) n  �Cnk x n k ( 1) k k 0 n d.) (1  x) n  �Cnk ( x ) k k 0 II/ Ví dụ minh họa k k 1 k 2 k Ví dụ 1: Chứng minh Cn  2Cn  Cn  Cn  ; k �n; k , n �N Giải: Áp dụng đẳng thức Pascal ta có: Cnk  2Cnk 1  Cnk   (Cnk 2  Cnk 1 )  (Cnk 1  Cnk )  Cnk11  Cnk1  Cnk Ví dụ 2: Chứng minh: Cnm  Cnm11  Cnm21  Cnm31  m 1 m 1 Cm  Cm 1 ; m �n Giải: k 1 k k k 1 k k Theo đẳng thức Pascal ta có: Cn 1  Cn 1  Cn ; � Cn 1  Cn  Cn 1 m 1 m m Từ ta có: Cn 1  Cn  Cn1 Cnm21  Cnm1  Cnm ………… Cmm1  Cmm1  Cmm Cmm11  Cmm Cộng đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho n  N *; n Chứng minh đẳng thức : 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  Giải: Với số tự nhiên k �2 Tk  k (k  1)Cnk  k ( k  1) n 1 n n2 (n  1)(n  2)Cn  n(n  1)Cn  n(n  1)2 (3) Ta có n! n(n  1)(n  2)!  k 2 k !(n  k )! (k  2)![(n  2)  (k  2)]! = n(n  1)Cn  Lần lượt cho k giá trị từ đến n ta có VT(3)= n(n  1)[Cn  Cn 2  Cn2  Cnn23  Cnn22 ] n(n  1)2n  = =VP(3) Ta có điều cần chứng minh 2 n n2 Ví dụ 4:Chứng minh: n  N *, n ta có Cn  Cn  Cn   n Cn  n( n  1)2 (4) Giải: Ta k k k k k k 1 k 2 có: k Cn  k kCn  k (k   1)Cn  kCn  (k  1)kCn  nCn1  n(n  1)Cn 2 VT  n(C  C  C  C )  n(n  1)(C Từ � (4) n n n k 1 n 1  n2n 1  ( n  1) n 2n 2  n( n  1)2 n  Ta có điều cần chứng minh n2 C n2 C n2  Cnn22 ) n S  � Cnk k 0 k  dụ 5:Tính tổng Ví 1 n! (n  1)! Cnk    Cnk11 k  k !(n  k )! (n  1)(k  1)!( n  k )! n  Giải: Ta có: k  Do S n k 1 Cn 1  (2n 1  1) � n  k 0 n 1 Ví dụ 6: (Đề thi Đại học, Cao đăng khối A – 2007) Cho n số nguyên dương, chứng minh: Giải: 1 (2n)! (2n  1)! C2kn    C2kn11 k  k !(2n  k )! 2n  (k  1)![2n   (k  1)]! 2n  Ta có: k  1 1 C20n  C21n  C22n   C22nn  (C21n 1  C22n1   C22nn11 ) 2n  2n  Từ suy (1) (1)k 1 k (1) k 1 k 1 C2 n  C2 n 1 2n  Tương tự ta có: k  1 1 C20n  C21n  C22n   C22nn  ( C21n 1  C22n 1   C22nn11 ) 2n  2n  (2) 1 n 1 � �1 � C21n  C23n   C2 n � (2  2 n 1 ) n n  � Lấy (1)+(2) ta � 1 n 1 22 n  C2 n  C2 n   C2 n  2n 2n  Hay: III/ Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh : k k 1 k 2 k a Cn  2Cn  Cn  Cn  ; k �n; k , n �N k k 1 k 2 k 3 k b Cn  3Cn  3Cn  Cn  Cn ; k �n k k 1 k 2 k 3 k 4 k c Cn  4Cn  6Cn  4Cn  Cn  Cn  ; k �n m m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 d Cn  Cn1  Cn  Cn3  Cm  Cm1 ; m �n k k k k e  Cn  Cn  Cn  (1) Cn  (1) Cn 1 f Cn  k  Cn k 1 số phương 2 Bài 2:Chứng minh đẳng thức: n �C a k 0 k n n �C k n (1) k  k 2k  243 b k 0 �C c k 0 16 �C d k 0  2n k 16  k 16  216 2n n 1 n 1 e C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  2 3 n 1 n 1 2n n f.1  10C2 n  10 C2 n  10 C2 n  10 C2 n  10  81 k n �1� n 3n �Cnk �  � 3� � k  g n �C g k 0 2001 k n �C h k 0 n (1) k n  k  �Cnk k k 2002 k 0 2001 k 2002 C2002  k  1001.2 Bài 3: Chứng minh rằng: k k 1 a) kCn  nCn1 k k 2 b) k (k  1)Cn  n( n  1)Cn2 k k 1 k 2 c) k Cn  n(Cn 1  (n  1)Cn 2 ) i 1 i d) (i  1)Ck 1  ( k  1)Ck 1 Cnk  Cn 1k  n 1 e) k  1 Cnk  Cnk22 (n  1)(n  2) f) (k  1)(k  2) Bài 4:Chứng minh: n 1 n n 1 a) Cn  2Cn   (n  1)Cn  Cn  n2 n �N 2 n b) Cn  Cn  Cn   n Cn  n(n  1) n  N , n 2 4 6 2n 2n n 1 c) 1.2 C2 n  2.2 C2 n  3.2 C2 n   n2 C2 n  n((3  1) n �N * Bài 5: Tính tổng n n a) S1  Cn  2Cn  3Cn   (1) nCn n �N * n n b) S2  Cn  2Cn  3Cn   (1) (n  1)Cn n �N , n  Bài 6: Chứng minh n �N * ta có: 1 n 1  Cn0  Cn1   Cnn  n 1 n 1 a) 1 22 n  C2 n  C2 n   C22nn 1  2n 2n  b) Bài 7: Tính tổng 1 S3  Cn0  Cn1   Cnn n �N * n2 a) 1 1 S4  Cn  Cn  Cn   Cnn n �N * 1.2 2.3 3.4 ( n  1)( n  2) b) c) S5  1 1 Cn0  Cn1  Cn2   Cnn n �N * 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( n  1)( n  2)(n  3) 1 (1) n 1 n S6  Cn1  Cn2  Cn3   Cn n 1 d) n �N * ... Cmm1  Cmm1  Cmm Cmm11  Cmm Cộng đẳng th c ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho n  N *; n Chứng minh đẳng th c : 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  Giải: Với số t nhiên k �2 Tk  k (k  1)Cnk... Cm  Cm 1 ; m �n Giải: k 1 k k k 1 k k Theo đẳng th c Pascal ta có: Cn 1  Cn 1  Cn ; � Cn 1  Cn  Cn 1 m 1 m m T ta có: Cn 1  Cn  Cn1 Cnm21  Cnm1  Cnm ………… Cmm1  Cmm1... m 1 d Cn  Cn1  Cn  Cn3  Cm  Cm 1 ; m �n k k k k e  Cn  Cn  Cn  (1) Cn  (1) Cn 1 f Cn  k  Cn k 1 số phương 2 Bài 2:Chứng minh đẳng th c: n �C a k 0 k n n �C k n (1)