SKKN Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp

31 1.9K 0
SKKN Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHỨC NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP" 1 A. Đặt vấn đề: Trong chương trình phổ thông, bài toán tổ hợp là một phần quan trọng để phát triển tư duy, tính sáng tạo của các em học sinh. Những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Để giải quyết bài toán này có nhiều phương pháp khác nhau, khi thì dùng trực tiếp các tính chất về tổ hợp, phép biến đổi tương đương, cũng có khi là sử dụng đạo hàm, tích phân, còn số phức thì thật sự còn mới mẻ. Song trong nội dung bài viết này tôi trình bày một số bài toán tổ hợp hay gặp mà cách giải là tổng thể sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức. Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, chính xác. Mong muốn hơn của tôi là cho các em cái nhìn tổng thể về cách giải quyết bài toán này. Tất nhiên, tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11, cụ thể là ở giữa HKI. Còn đạo hàm thì được trình bày ở cuối HKII của lớp 11, tích phân được học ở trong chương trình lớp 12, thậm chí số phức được trình bày ở cuối chương trình lớp 12. Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng đạo hàm, tích phân và số phức để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày nhiều, học sinh không được rèn luyện kỹ năng này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, phần lớn các em không làm được. Nhằm mục đích để cho các em học sinh chuẩn bị bước vào các kỳ thi quan trọng, thấy được tổng thể các phương pháp giải quyết bài toán tổ hợp, từ đó tạo cho các em niềm tin 2 sẽ làm bài tốt trong các kỳ thi sắp tới. Tôi chọn đề tài “Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp”. làm sáng kiến kinh nghiệm của mình. Đồng thời áp dụng đề tài ngay cho các em học sinh dang học lớp 12 năm 2013 này. B. Giải quyết vấn đề: I. Cơ sở lý luận của vấn đề. Rõ dàng các bài tập tổ hợp mà ta giải quyết ở chuyên đề này là: Tính tổng, Chứng minh đẳng thức, hay tìm n∈N * thoả mãn đẳng thức nào đó, tất nhiên là các dạng này đều chứa k n C và đó là những bài toán này liên quan đến những khai triển nhị thức Newton, mà việc chọn các số hạng trong nhị thức, số mũ của nhị thức có vai trò cực kỳ quan trọng đối với bài toán ta cần giải quyết. Giả sử, ta xét nhị thức: (1 + x) n = 0 1 2 2 n n C xC x C x C n n n n + + + + (1) (với mọi x và với mọi n∈N * ) Từ đó suy ra: 3 a) Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: [(1+x) n ]′= 0 1 2 2 n n n n n n C C x C x C x   + + + +   ′ ⇔ n(1+x) n−1 = 121 2 − +++ nn nnn xnCxCC (2) b) Lấy tích phân hai vế của (1) ta được: ( ) ( ) ( ) b b n 0 1 2 2 n n n n n n a a b b n 1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n a a 1 x dx C C x C x C x dx 1 x x x x C x C C C (3) n 1 2 3 n 1 + + + = + + + +     +   ⇔ = + + + +   + +         ∫ ∫ c) Giả sử bài toán cần tính tổng của k n C (với k = 0,1,2, n) Ta Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Mặt khác khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là 6 π ± , 4 π ± , 3 π ± ). Rồi so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính. Từ đó sẽ tìm được mối liên hệ cho tổng cần tính. Sau đây tôi sẽ trình bày mỗi phương pháp một ví dụ tương ứng, để làm minh chứng cho cơ sở lý luận của đề tài này. Ở phần giải quyết vấn đề tôi cố gắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu quả cao nhất. Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học KA -2005) Tìm số nguyên dương n sao cho : 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2.2 3.2 4.2 (2 1)2 2005 (1) n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = 4 Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có : ( ) 2 1 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 (2 1).(1 ) 2 (2) n n n n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x n x C C x C x C x + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + ⇒ + + = + + + + Chọn x= -2 thay vào (2) ta được: 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2.2 3.2 4.2 (2 1)2 (3) n n n n n n n n C C C C n C + + + + + + + = − + − + + + Từ (1) và (3) ta thấy VT (1) = VP (3) suy ra 2n+1=2005 1002=⇔ n (thoả mãn) Kết luận: 1002n = là gái trị cần tìm Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học KA-2007) Cho n là số nguyên dương,chứng minh: 12 12 2 1 6 1 4 1 2 1 2 12 2 5 2 3 2 1 2 + − =++++ − n C n CCC n n nnnn Giải: Xét các khai triển ( ) 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 x C C x C x C x C x+ = + + + + + (1) ( ) 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n n 2n 2n 2n 2n 1 x C C x C x C x C x − = − + − + + (2) Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được: ( ) ( ) ( ) 2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 x 1 x 2 C x C x C x − − + − − = + + + ( ) ( ) 2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 x 1 x C x C x C x 2 − − + − − ⇔ = + + + 5 Suy ra ( ) ( ) ( ) 2n 2n 1 1 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 0 0 1 x 1 x dx C x C x C x dx 2 − − + − − = + + + ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 2n 1 2n 1 1 2 3 4 2n 1 2n 2n 2n 2n 0 0 1 x 1 x 1 1 1 C x C x C x 2(2n 1) 2 4 2n + + −   + + −    ÷ ⇔ = + + +  ÷  ÷ +     2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 2 1 C C C C 2 4 6 2n 2n 1 − − ⇔ + + + + = + (đpcm) Ví dụ 3: (Bài tập 29 trang 206 SGK Giải tích 12- Nâng cao) Tính: S = 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19 C C C C C− + − + − Giải Ta có: 19 0 1 2 4 4 16 16 18 18 1 3 3 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 (1 ) ( ) ( )i C C i C i C i C i C i C i C i+ = + + + + + + + + + = 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19 C C C C C− + − + − +( 1 3 5 17 19 19 19 19 19 19 C C C C C− + − + − )i Từ đó suy ra phần thực ở vế phải là 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19 C C C C C− + − + − mặt khác, 19 19 (1 ) 2( ) 4 4 i cos sin Π Π   + = +     = 19 19 19 ( 2) ( ) 4 4 cos sin Π Π + = 19 2 2 ( 2) ( ) 2 2 i− + = -2 9 + 2 9 i So sánh hai cách tính trên ta được S = 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19 C C C C C− + − + − = -2 9 = -512 II. Thực trạng của vấn đề: 6 Thuận lợi: Năm 2013 tôi đặt mục tiêu là hoàn thành chuyên đề “ Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp”. thì lại trùng với việc tôi được trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông trong các em là những học sinh quyết tâm sẽ thi vào các trường Đại học và cao đẳng. Đó là thuận lợi đáng kể để tôi áp dụng đề tài này, và tôi tin là lớp học sinh được tôi truyền đạt chuyên đề này sẽ đạt kết quả khác biệt so với lớp học sinh có chất lượng tương tự khi tôi cũng trực tiếp giảng dạy các em năm 2010. Khó khăn: Tỷ lệ học sinh làm được loại toán này còn rất thấp. Điều này tôi thu được vì cả hai năm lớp 10, 11 tôi đều trực tiếp dạy các em và sang năm 2013 này tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng làm bài loại toán này thông qua một số bài kiểm tra đối với học sinh lớp 12C1 và 12C3. Lớp Sỉ số Đạt diểm dưới 5 Tỉ lệ Đạt diểm trên 5 Tỉ lệ 12C1 43 25 60.9% 18 39.1% 12C3 44 30 63.6% 14 36.4% (Khảo sát chất lượng khi chưa đưa chuyên đề này vào giảng dạy) Tôi hiểu rằng, việc lĩnh hội kiến thức này và rèn luyện kĩ năng của các em học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Hiện tại nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ đó là: - Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải quyết cho một bài toán tổ hợp. - Nhiều học sinh có tâm lí sợ loại bài tập này. Đây là chuyên đề đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức, lẫn phương 7 pháp tới các em. Cụ thể là làm thế nào để các em hiểu khi nào thì bài toán tổ hợp sử dụng được các công cụ trên. III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề : Trong dạy và học toán nhiệm vụ của thầy và trò là tìm ra một phương pháp phù hợp để giải các bài tập là quan trọng nhất. Như đã nói ở trên, phần giải quyết vấn đề này, tôi sẽ cố gắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu quả cao, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, và chính xác. Từ đó tạo cho các em niềm tin sẽ làm bài tốt trong các kỳ thi sắp tới. Sau đây tôi xin đi vào từng phần cụ thể 1. SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 1.1. Phương pháp Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức bắt đầu từ những khai triển Newton và phép lấy đạo hàm các đẳng thức đó. Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 1: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng k n kC hoặc 1k n k k n kC a b − − thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể: a) (1+x) n = nn nnnn xCxCxCC ++++ 2210 ⇒ [(1+x) n ]′= 0 1 2 2 n n n n n n C C x C x C x   + + + +   ′ ⇔ n(1+x) n−1 = 121 2 − +++ nn nnn xnCxCC b) (1−x) n = nn n n nnn xCxCxCC )1( 2210 −+−+− ⇒ [(1−x) n ]′= 0 1 2 2 ( 1) n n n n n n n C C x C x C x   − + − + −   ′ 8 ⇔ −n(1−x) n−1 = 1 2 1 2 ( 1) n n n n n n C C x nC x − − + − + − c) (x+1) n = 0 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n n C x C x C x C x C − − − + + + + + ⇒ [(x+1) n ]′= 0 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n n C x C x C x C x C − − − ′   + + + + +   ⇔ n(x+1) n−1 = 0 1 1 2 2 3 1 ( 1) ( 2) n n n n n n n n nC x n C x n C x nC − − − − + − + − + + d) (x−1) n = 0 1 1 2 2 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n n n C x C x C x C x C − − − − − + − + − + − ⇒ [(x−1) n ]′= 0 1 1 2 2 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n n n C x C x C x C x C − − − − ′   − + − + − + −   ⇔ n(x−1) n−1 = 0 1 1 2 2 3 1 ( 1) ( 2) ( 1)( 1) n n n n n n n n nC x n C x n C x n C − − − − − − + − − + − − Tổng quát: ( ) 0 1 1 2 n n n n n n n n a x C a C a x nC ax − + = + + + ⇒ ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n a x C a C a nC ax − − − − + = + + + Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 2: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…, (n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 1 2 ,2 2 ,…,n 2 (không kể dấu) tức là số hạng đó có dạng ( 1) k n k n k k C a − − hay tổng quát hơn ( ) 1 k n k k n k k C a b − − thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức Từ các đẳng thức về đạo hàm cấp 1 ở trên ta có a) n(n−1)(1+x) n-2 = 2 3 2 2.1 3.2 ( 1) n n n n n C C x n n C x − + + − b) n(n−1)(1−x) n-2 = 2 3 4 2 2 2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1) n n n n n n n C C x C x n n C x − − + + − − c) n(n−1)(x+1) n-2 = 0 2 1 3 3 2 ( 1) ( 1)( 2) 3.2 2.1 n n n n n n n n n n C x n n C x C x C − − − − − + − − + + + 9 d)(n−1)(x−1) n-2 = 0 2 1 3 3 3 2 2 ( 1) ( 1)( 2) ( 1) 3.2 ( 1) 2.1 n n n n n n n n n n n n C x n n C x C x C − − − − − − − − − − + + − + − Tổng quát ( ) 0 1 1 n n n n n n n n a bx C C a bx C b x − + = + + + ⇒ ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 n n n n n n n n n bn a bx C a b C a b x nC b x − − − − + = + + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2.1 1 2 n n n n n n n b n n a bx C a b n n C b x − − − − + = + + − Đến đây ta chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi. Một số lưu ý: - Tùy thuộc từng bài mà thế số mũ n, giá trị x và một trong các công thức trên cho phù hợp. - Nếu mất những số hạng đầu ( 0 n C , 1 n C ) ta sử dụng các công thức chứa (1+x) cho tổng không đan dấu, còn nếu tổng đan dấu ta sử dụng các công thức chứa (1- x) . - Nếu mất những số hạng sau ( n n C , 1n n C − ) ta sử dụng các công thức chứa (x+1) cho tổng không đan dấu, còn nếu tổng đan dấu ta sử dụng các công thức chứa (1- x) - Nếu mất một số hạng thì ta đạo hàm cấp 1, nếu mất 2 số hạng thì ta đạo hàm cấp 2. Ta sẽ bàn và phân tích kỹ cách áp dụng của phương pháp này trong từng bài toán cụ thể. Tóm lại: Với loại bài tập này sau khi chọn được hàm số )(xf thích hợp ta tiến hành lấy đạo hàm hàm số đã chọn theo hai cách: - Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số đã cho - Lấy đạo hàm sau khi đã sử dụng khai triển nhị thức Newton hàm số )(xf đã chọn (Dĩ nhiên ở đây )(xf có dạng có thể dùng công thức khai triển nhị thức Newton) 10 [...]... 2007 2 SỬ DỤNG CÔNG CỤ TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 2.1 Phương pháp Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 1 1 1 2 3 4 1 n Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1; ; ; ; ; ; và mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với... phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn một giá trị phù hợp cho x, rồi thay vào hai biểu thức và tính đạo hàm Như vậy tôi nhấn mạnh cho học sinh thấy khi gặp bài toán có chứa hệ số kiểu a.n ta chú ý ngay đến cách dùng đạo hàm 1.2 Bài tập Bài 1: Chứng minh rằng 1 2 3 n Cn + 2Cn + 3Cn + + nCn =n.2n-1 Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất 0 Cn và tổng không đan dấu nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp 1 Giải: ... HD: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng n +1 cuối cùng có hệ số 2 nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử dụng n +1 2 ( 1 − x ) n dx ∫ 0 Bài 3: 1/Tính tích phân 2/Chứng ∫ x (1 − x ) 1 0 n dx 1 1 1 1 1 ( − 1) C n = 1 minh: C n0 − C n + C n2 − C n3 + + n 2 4 6 8 2n + 2 2n + 2 n 3 SỬ DỤNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 3.1 Phương pháp 23... thời gian viết SKKN và vận dụng chuyên đề này vào giảng dạy, tôi nhận thấy việc làm này đã thu được kết quả đáng kể từ phía các em học sinh Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn và chính xác Đồng thời các em đã có được cái nhìn tổng thể về cách giải quyết bài toán này Điều này phần nào tạo cho các em học sinh có được tâm thế tốt khi sắp bước vào các kỳ thi... Tiếp theo ta nghiên cứu các bài toán cụ thể theo cách chia dạng sau: 2.2 Bài tập Phương pháp 1: Xét tích phân dựa vào hàm đa thức Bài 1: Tính: 1 2 Cn0 + 4Cn + 26 2 3n +1 − 1 n Cn + + Cn 3 n +1 Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân) , quan sát số hạng cuối có hệ số 3n +1 − 1 , n +1 ta biết cận từ 1 đến 3 Nên ta sử dụng ∫ 3 1 (1 + x ) n dx Giải: Ta có ∫ 3 1 (1 + x)... Bài 3 (ĐH Khối B-2003) Cho n ∈ ¥ * Tính tổng: S = C0 + n 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2n +1 − 1 n Cn + Cn + + Cn 2 3 n +1 Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, các 19 2n +1 − 1 cận và số được thay vào cho biến Vì số hạng cuối cùng có hệ số nên ta biết cận n +1 2 từ 1 đến 2 và tổng... thần nghiêm túc và hăng say nghiên cứu khoa học của mình, có vậy học sinh mới noi gương Thầy quyết tâm và ham mê học tập, từ đó để các em không cảm thấy áp lực trong học tập 30 Triếp theo là, thường xuyên tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích sự tìm tòi học tập ở học sinh Loại toán dùng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức còn rất nhiều dạng, nhưng trong tài liệu này tôi chỉ trình bày một phần nhỏ... Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một như trên để tính Bài thì 2: Tính kết quả 1 1 hơn 1 1 S= 2Cn0 − 2 22 Cn + 3 23 Cn2 − + (−1) n n + 1 2n+1 Cnn tổng Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, nhanh 1 n +1 gắn với n Cn , quan sát hệ số của số hạng cuối ta lấy cận từ 0 đến 2, tức là có dấu hiệu dùng tích phân, ∫ 2 0 (1 − x) n dx Giải: ∫ 2 0 (1 − x) n dx... là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính + Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là ± π 3 ± π 6 , ± π 4 , ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính + Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường... việc ứng dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh, tôi nhận thấy đây là một chuyên đề có thể tiếp tục áp dụng cho các năm tiếp theo, đặc biệt rất phù hợp với đối tượng là học sinh khá, giỏi Tất nhiên là phải tiếp tục hoàn thiện đề tài này hơn nữa Bài học kinh nghiệm được rút ra từ quá trình áp dụng SKKN của tôi là: Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp Người . TÀI: "SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHỨC NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP" 1 A. Đặt vấn đề: Trong chương trình phổ thông, bài toán tổ hợp là một phần. tài Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp . làm sáng kiến kinh nghiệm của mình. Đồng thời áp dụng đề tài ngay cho các em học sinh. chuyên đề “ Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp . thì lại trùng với việc tôi được trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông trong

Ngày đăng: 08/04/2015, 05:54

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan